1.2.1 余弦定理1

1、 “余弦定理”教學設計方案 鎮(zhèn)江市實驗高級中學 楊勇一、課題：余弦定理（蘇教版必修5第一章第2節(jié)）二、教學內容分析余弦定理是“縱橫”知識網絡上的一個重要結點，縱向發(fā)展的知識：勾股定理余弦定理秦九韶公式海倫公式；橫向聯結的知識：和角公式、正弦定理及三角形面積公式余弦定理承前的基礎知識有勾股定理、向量基礎知識、三角函數定義、誘導公式、和角公式、正弦定理及三角形面積公式，這些都是建立余弦定理的知識儲備，后續(xù)的知識有正余弦定理的應用及其拓展內容秦九韶公式與海倫公式同時，余弦定理可推導證明和角公式、正弦定理等，使三角內容緊密聯結成一個完整的知識體系余弦定理是三角函數模塊和平面向量模塊在三角形中的具體運用

2、，是解決生產、生活實際問題及可轉化為三角形計算問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值本節(jié)課是“解斜三角形”教學的第二課時，其主要任務是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學課”三、教學目標1.知識與技能（1）通過兩顆星之間的距離，感受余弦定理來自于現實世界、從實際生活中提煉出數學的過程，以此培養(yǎng)學生的數學應用意識；（2）通過對三角形邊角關系的探索，能證明余弦定理，了解可以從向量、解析幾何和三角方法等多種途徑證明余弦定理；2.過程與方法（1）理解余弦定理的兩種表示形式，初步了解余弦定理的兩種形式之間的關系；（2）通過學生動手操作、提出問題、解決問題的過程，提高學生運用余弦定理解決問題的能力；

3、3.情感態(tài)度價值觀體驗數學活動的過程以及數學在現實生活中的應用，讓學生獲得發(fā)現的成就感，在質疑、交流、合作中形成良好的數學思維品質三、教學重點與難點對于三角形邊角關系的探索過程，是學生在問題引導下，嘗試問題解決，提升自信的心理歷程，本節(jié)課的終結點是余弦定理納入學生的知識結構之中，培養(yǎng)學生的數學應用意識，因此課堂教學的重點確立為：余弦定理的發(fā)現與證明要獲取余弦定理的關鍵是引入向量或建立適當的直角坐標系，這從學生的認知能力來講，是一個較難的問題，因而，本堂課的難點確立為：余弦定理的建立在突破難點上，采用探究式提問策略，通過解直角三角形、向量及建立直角坐標系的基礎知識（注：建立直角坐標系的方法根據學

4、生的接受能力而定），使難點在學生遞進式的解答過程中，層層突破，并領悟數學知識的內在聯系四、教學過程：（一）創(chuàng)設情境1. 牽牛星A和織女星B分別距離地球C約17光年和26光年，從地球上觀測這兩顆星的張角為340，求牽牛星和織女星之間的距離（精確到0.01光年,其中COS340=0.83）.設計意圖：通過問題情境的創(chuàng)設，激發(fā)學生的興趣，在學生發(fā)現AB無法具體測量后，轉而想到正弦定理，進而發(fā)現該問題不符合正弦定理能解決的兩種類型，一時激起強烈的認知沖突。（二）學生探究對問題進行探究：（1）若C=900，AB是否能求？ （2）C=600，AC=BC，AB是否能求？（3）能否對上述問題進行一般化？即：任

5、意一個三角形，已知兩邊和夾角，求第三邊.設計意圖：學生發(fā)現該問題不符合正弦定理能解決的兩種類型，老師引導學生對問題先特殊化（1）、（2），發(fā)現可以輕松解決，再一般化為（3），如何解決？然后利用幾何畫板演示AB隨著C的變化而變化的過程， 再演示AB隨著CB的變化而變化的過程,讓學生感受AB和AC、BC和C之間存在著某種函數關系。（三）建構數學1定理的推導：請同學們自主思考后與同桌交流，然后請代表展示。方法一：幾何法如圖2，當C為銳角時，作BDAC于D，BD把ABC分成兩個直角三角形： ACBD圖2在RtABD中，AB2=AD2+BD2；在RtBDC中，BD=BCsinC=asinC，DC=BCc

6、osC=acosC所以，AB2=AD2+BD2化為c2=(bacosC)2+(asinC)2，c2=b22abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b22abcosC可以看出C為銳角時，ABC的三邊a，b，c具有c2=a2+b22abcosC的關系。如圖3，當C為鈍角時，作BDAC，交AC的延長線于D。BADC圖3ACB是兩個直角三角形之差。在RtABD中，AB2=AD2+BD2在RtBCD中，BCD=CBD=BCsin(C)，CD=BC cos(C)所以AB2=AD2+BD2化為c2=(AC+CD)2+BD2=b+acos(C)2+asin(C)2=b2+2abcos(C)+

7、a2cos2(C)+a2sin2(C)=b2+2abcos(C)+a2因為cos(C)=cosC，所以也可以得到c2=b2+a22abcosC。方法二：向量法推導 如圖，在中，、的長分別為、 ， 即； 同理可證：， 即：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和，減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。方法三：解析法我們把頂點C置于原點，CA落在x軸的正半軸上，由于ABC的AC=b,CB=a,AB=c，則A，B，C點的坐分別為A(b,0),B(acos C,asin C),C(0,0).AB2=(acosC-b)2+(asinC-0)2=a2cos2C-2abcosC+b2-a2sin2C=a2+

8、b2-2abcos C,即c2=a2+b2-2abcos C.設計意圖：通過把問題一般化后，充分放手讓學生自己去探究，體現學生的主體性，學生可能一時很難找到思路，老師可適當啟發(fā)、點撥：數學中求邊長問題一般的方法有哪些？最容易想到的思路就是構造直角三角形，嘗試應用勾股定理去探究這個三角形的邊角關系；而用向量的數量積證明余弦定理更是學生比較難想到的，原因是學生很難將向量的知識與解三角形的知識相結合，目前的學生要用解析法就更顯得難了，因為我們教教材的順序是必修1、4、5、2、3，必修2中的解析幾何在該內容的后面，好在必修4向量中對兩點間距離公式有所研究。因而老師在上課時要適當的點撥、啟發(fā)，鼓勵學生大

9、膽的探索，不求全責備，允許學生犯錯，比如：用幾何法證明時學生會漏掉鈍角時的情況這是正常的，因為受圖形的限制，老師不急于指出，放到后面去完善，再比如學生說用向量法時老師要特別放慢，追問邊長和向量有什么關系？為什么要兩邊平方？首尾相連的兩向量夾角怎樣找？再如用坐標法時，坐標系怎樣建立？坐標原點的選取，A點坐標的產生等。在教學中引導學生從不同的途徑去探索余弦定理的證明，這樣既能開拓學生的視野，加強學生對余弦定理的理解，又能培養(yǎng)學生形成良好的思維習慣。2定理的內容教師總結：以上三種方法， 我們都得到三角形中邊角關系的又一重要定理：（多媒體投影余弦定理的內容） 余弦定理 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊

10、的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即c2=a2+b22abcosCa2=b2+c22bccosAb2=c2+a22accosB3定理的剖析剖析1：公式的結構特征怎樣？（1）a b c 輪換對稱;（2）每個等式中有同一個三角形中的四個元素，知三求一.（方程思想）剖析2：勾股定理與余弦定理有何關系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.剖析3：公式的變形形式及其作用作用(1)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊. (2)已知三角形的三條邊長，可求出三個內角。4定理的應用例1解決引入時兩顆星之間的距離例2已知ABC的三邊為 、2、1，求它的最大內角。例3：在ABC中，已知b

11、=4,c= ,C=60求邊a設計意圖：給出三種題型，讓學生體會余弦定理的應用（1）兩邊夾角求對邊：回答開始提出的問題。（2）已知三邊求三角。（3）正、余弦定理都好用，體現知三求一及方法的取舍。5鞏固訓練設計意圖：進步鞏固余弦定理的應用。6回顧反思：（1）推導余弦定理的三種方法（2）余弦定理的作用。（3）本節(jié)課所涉及的數學思想。設計意圖：讓學生自己總結出證法、作用、思想，老師作適當補充。7布置作業(yè)：必做題：P16練習1,3；習題1 ，P17習題3、6選做題：在ABC中，已知求邊a的最小值。設計意圖：設計必做與選做，既能讓學生鞏固余弦定理，又能讓學有余力的學生有所拓展和探究。五、教學反思 1、本節(jié)

12、課的重點首先是定理的證明，其次才是定理的應用。我們傳統(tǒng)的定理概念教學往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過程，只是一味的教給學生定理概念的結論或公式，讓學生通過大量的題目去套用這些結論或形式，大搞題海戰(zhàn)術，加重了學生的負擔，效果很差。學生根本沒有掌握住這些定理、概念的形成過程，不能明白知識的來龍去脈，怎么會靈活的應用呢？事實上已經證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教學方法和學習方法已經不能適應新課標教育的教學理念。新課標課程倡導：強調過程，重視學生探索新知識的經歷和獲得的新知的體會，不能再讓教學脫離學生的內心感受，把“發(fā)現、探究知識”的權利還給學生。 2、本節(jié)課的教學過程重視學生探究知識的過程，突出了以教師為主導，學生為主體的教學理念。教師通過提供一些可供學生研究的素材，引導學生自己去研究問題，探究問題的結論。在這個過程中，教師應該做到“收放有度”，即：不能收的太緊，剝奪了學生獨立思考、合作學習的意識，更不能采取“放羊式”的教學，對于學生在探究問題中出現的困惑置之不理。 3、合理的應用多媒體教學，起到畫龍點睛、提高效率、增強學生對問題感官認識的效果，不能讓教師成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學的后果是將學生上課時的“眼到、手到、口到”變?yōu)闄C械的“眼到”，學生看了一節(jié)課的“電影”，沒有充足的時間去思考、練習、鞏固，課后會很快將所學