1.2.1 余弦定理1

1、 “余弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)方案 鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 楊勇一、課題：余弦定理（蘇教版必修5第一章第2節(jié)）二、教學(xué)內(nèi)容分析余弦定理是“縱橫”知識(shí)網(wǎng)絡(luò)上的一個(gè)重要結(jié)點(diǎn)，縱向發(fā)展的知識(shí)：勾股定理余弦定理秦九韶公式海倫公式；橫向聯(lián)結(jié)的知識(shí)：和角公式、正弦定理及三角形面積公式余弦定理承前的基礎(chǔ)知識(shí)有勾股定理、向量基礎(chǔ)知識(shí)、三角函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式、和角公式、正弦定理及三角形面積公式，這些都是建立余弦定理的知識(shí)儲(chǔ)備，后續(xù)的知識(shí)有正余弦定理的應(yīng)用及其拓展內(nèi)容秦九韶公式與海倫公式同時(shí)，余弦定理可推導(dǎo)證明和角公式、正弦定理等，使三角內(nèi)容緊密聯(lián)結(jié)成一個(gè)完整的知識(shí)體系余弦定理是三角函數(shù)模塊和平面向量模塊在三角形中的具體運(yùn)用

2、，是解決生產(chǎn)、生活實(shí)際問題及可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值本節(jié)課是“解斜三角形”教學(xué)的第二課時(shí)，其主要任務(wù)是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”三、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能（1）通過兩顆星之間的距離，感受余弦定理來自于現(xiàn)實(shí)世界、從實(shí)際生活中提煉出數(shù)學(xué)的過程，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；（2）通過對(duì)三角形邊角關(guān)系的探索，能證明余弦定理，了解可以從向量、解析幾何和三角方法等多種途徑證明余弦定理；2.過程與方法（1）理解余弦定理的兩種表示形式，初步了解余弦定理的兩種形式之間的關(guān)系；（2）通過學(xué)生動(dòng)手操作、提出問題、解決問題的過程，提高學(xué)生運(yùn)用余弦定理解決問題的能力；

3、3.情感態(tài)度價(jià)值觀體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程以及數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，讓學(xué)生獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，在質(zhì)疑、交流、合作中形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)對(duì)于三角形邊角關(guān)系的探索過程，是學(xué)生在問題引導(dǎo)下，嘗試問題解決，提升自信的心理歷程，本節(jié)課的終結(jié)點(diǎn)是余弦定理納入學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)之中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，因此課堂教學(xué)的重點(diǎn)確立為：余弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明要獲取余弦定理的關(guān)鍵是引入向量或建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，這從學(xué)生的認(rèn)知能力來講，是一個(gè)較難的問題，因而，本堂課的難點(diǎn)確立為：余弦定理的建立在突破難點(diǎn)上，采用探究式提問策略，通過解直角三角形、向量及建立直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)知識(shí)（注：建立直角坐標(biāo)系的方法根據(jù)學(xué)

4、生的接受能力而定），使難點(diǎn)在學(xué)生遞進(jìn)式的解答過程中，層層突破，并領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系四、教學(xué)過程：（一）創(chuàng)設(shè)情境1. 牽牛星A和織女星B分別距離地球C約17光年和26光年，從地球上觀測這兩顆星的張角為340，求牽牛星和織女星之間的距離（精確到0.01光年,其中COS340=0.83）.設(shè)計(jì)意圖：通過問題情境的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)學(xué)生的興趣，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)AB無法具體測量后，轉(zhuǎn)而想到正弦定理，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)該問題不符合正弦定理能解決的兩種類型，一時(shí)激起強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突。（二）學(xué)生探究對(duì)問題進(jìn)行探究：（1）若C=900，AB是否能求？ （2）C=600，AC=BC，AB是否能求？（3）能否對(duì)上述問題進(jìn)行一般化？即：任

5、意一個(gè)三角形，已知兩邊和夾角，求第三邊.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生發(fā)現(xiàn)該問題不符合正弦定理能解決的兩種類型，老師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題先特殊化（1）、（2），發(fā)現(xiàn)可以輕松解決，再一般化為（3），如何解決？然后利用幾何畫板演示AB隨著C的變化而變化的過程， 再演示AB隨著CB的變化而變化的過程,讓學(xué)生感受AB和AC、BC和C之間存在著某種函數(shù)關(guān)系。（三）建構(gòu)數(shù)學(xué)1定理的推導(dǎo)：請同學(xué)們自主思考后與同桌交流，然后請代表展示。方法一：幾何法如圖2，當(dāng)C為銳角時(shí)，作BDAC于D，BD把ABC分成兩個(gè)直角三角形： ACBD圖2在RtABD中，AB2=AD2+BD2；在RtBDC中，BD=BCsinC=asinC，DC=BCc

6、osC=acosC所以，AB2=AD2+BD2化為c2=(bacosC)2+(asinC)2，c2=b22abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b22abcosC可以看出C為銳角時(shí)，ABC的三邊a，b，c具有c2=a2+b22abcosC的關(guān)系。如圖3，當(dāng)C為鈍角時(shí)，作BDAC，交AC的延長線于D。BADC圖3ACB是兩個(gè)直角三角形之差。在RtABD中，AB2=AD2+BD2在RtBCD中，BCD=CBD=BCsin(C)，CD=BC cos(C)所以AB2=AD2+BD2化為c2=(AC+CD)2+BD2=b+acos(C)2+asin(C)2=b2+2abcos(C)+

7、a2cos2(C)+a2sin2(C)=b2+2abcos(C)+a2因?yàn)閏os(C)=cosC，所以也可以得到c2=b2+a22abcosC。方法二：向量法推導(dǎo) 如圖，在中，、的長分別為、 ， 即； 同理可證：， 即：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和，減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。方法三：解析法我們把頂點(diǎn)C置于原點(diǎn)，CA落在x軸的正半軸上，由于ABC的AC=b,CB=a,AB=c，則A，B，C點(diǎn)的坐分別為A(b,0),B(acos C,asin C),C(0,0).AB2=(acosC-b)2+(asinC-0)2=a2cos2C-2abcosC+b2-a2sin2C=a2+

8、b2-2abcos C,即c2=a2+b2-2abcos C.設(shè)計(jì)意圖：通過把問題一般化后，充分放手讓學(xué)生自己去探究，體現(xiàn)學(xué)生的主體性，學(xué)生可能一時(shí)很難找到思路，老師可適當(dāng)啟發(fā)、點(diǎn)撥：數(shù)學(xué)中求邊長問題一般的方法有哪些？最容易想到的思路就是構(gòu)造直角三角形，嘗試應(yīng)用勾股定理去探究這個(gè)三角形的邊角關(guān)系；而用向量的數(shù)量積證明余弦定理更是學(xué)生比較難想到的，原因是學(xué)生很難將向量的知識(shí)與解三角形的知識(shí)相結(jié)合，目前的學(xué)生要用解析法就更顯得難了，因?yàn)槲覀兘探滩牡捻樞蚴潜匦?、4、5、2、3，必修2中的解析幾何在該內(nèi)容的后面，好在必修4向量中對(duì)兩點(diǎn)間距離公式有所研究。因而老師在上課時(shí)要適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥、啟發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生大

9、膽的探索，不求全責(zé)備，允許學(xué)生犯錯(cuò)，比如：用幾何法證明時(shí)學(xué)生會(huì)漏掉鈍角時(shí)的情況這是正常的，因?yàn)槭軋D形的限制，老師不急于指出，放到后面去完善，再比如學(xué)生說用向量法時(shí)老師要特別放慢，追問邊長和向量有什么關(guān)系？為什么要兩邊平方？首尾相連的兩向量夾角怎樣找？再如用坐標(biāo)法時(shí)，坐標(biāo)系怎樣建立？坐標(biāo)原點(diǎn)的選取，A點(diǎn)坐標(biāo)的產(chǎn)生等。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從不同的途徑去探索余弦定理的證明，這樣既能開拓學(xué)生的視野，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)余弦定理的理解，又能培養(yǎng)學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣。2定理的內(nèi)容教師總結(jié)：以上三種方法， 我們都得到三角形中邊角關(guān)系的又一重要定理：（多媒體投影余弦定理的內(nèi)容） 余弦定理 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊

10、的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即c2=a2+b22abcosCa2=b2+c22bccosAb2=c2+a22accosB3定理的剖析剖析1：公式的結(jié)構(gòu)特征怎樣？（1）a b c 輪換對(duì)稱;（2）每個(gè)等式中有同一個(gè)三角形中的四個(gè)元素，知三求一.（方程思想）剖析2：勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.剖析3：公式的變形形式及其作用作用(1)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊. (2)已知三角形的三條邊長，可求出三個(gè)內(nèi)角。4定理的應(yīng)用例1解決引入時(shí)兩顆星之間的距離例2已知ABC的三邊為 、2、1，求它的最大內(nèi)角。例3：在ABC中，已知b

11、=4,c= ,C=60求邊a設(shè)計(jì)意圖：給出三種題型，讓學(xué)生體會(huì)余弦定理的應(yīng)用（1）兩邊夾角求對(duì)邊：回答開始提出的問題。（2）已知三邊求三角。（3）正、余弦定理都好用，體現(xiàn)知三求一及方法的取舍。5鞏固訓(xùn)練設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)步鞏固余弦定理的應(yīng)用。6回顧反思：（1）推導(dǎo)余弦定理的三種方法（2）余弦定理的作用。（3）本節(jié)課所涉及的數(shù)學(xué)思想。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己總結(jié)出證法、作用、思想，老師作適當(dāng)補(bǔ)充。7布置作業(yè)：必做題：P16練習(xí)1,3；習(xí)題1 ，P17習(xí)題3、6選做題：在ABC中，已知求邊a的最小值。設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)必做與選做，既能讓學(xué)生鞏固余弦定理，又能讓學(xué)有余力的學(xué)生有所拓展和探究。五、教學(xué)反思 1、本節(jié)

12、課的重點(diǎn)首先是定理的證明，其次才是定理的應(yīng)用。我們傳統(tǒng)的定理概念教學(xué)往往采取的是“掐頭去尾燒中斷”的方法，忽視了定理、概念的形成過程，只是一味的教給學(xué)生定理概念的結(jié)論或公式，讓學(xué)生通過大量的題目去套用這些結(jié)論或形式，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，效果很差。學(xué)生根本沒有掌握住這些定理、概念的形成過程，不能明白知識(shí)的來龍去脈，怎么會(huì)靈活的應(yīng)用呢？事實(shí)上已經(jīng)證明，這種生搬硬套、死記硬背式的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法已經(jīng)不能適應(yīng)新課標(biāo)教育的教學(xué)理念。新課標(biāo)課程倡導(dǎo)：強(qiáng)調(diào)過程，重視學(xué)生探索新知識(shí)的經(jīng)歷和獲得的新知的體會(huì)，不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，把“發(fā)現(xiàn)、探究知識(shí)”的權(quán)利還給學(xué)生。 2、本節(jié)課的教學(xué)過程重視學(xué)生探究知識(shí)的過程，突出了以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的教學(xué)理念。教師通過提供一些可供學(xué)生研究的素材，引導(dǎo)學(xué)生自己去研究問題，探究問題的結(jié)論。在這個(gè)過程中，教師應(yīng)該做到“收放有度”，即：不能收的太緊，剝奪了學(xué)生獨(dú)立思考、合作學(xué)習(xí)的意識(shí)，更不能采取“放羊式”的教學(xué)，對(duì)于學(xué)生在探究問題中出現(xiàn)的困惑置之不理。 3、合理的應(yīng)用多媒體教學(xué)，起到畫龍點(diǎn)睛、提高效率、增強(qiáng)學(xué)生對(duì)問題感官認(rèn)識(shí)的效果，不能讓教師成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學(xué)的后果是將學(xué)生上課時(shí)的“眼到、手到、口到”變?yōu)闄C(jī)械的“眼到”，學(xué)生看了一節(jié)課的“電影”，沒有充足的時(shí)間去思考、練習(xí)、鞏固，課后會(huì)很快將所學(xué)