24.2 點(diǎn)、直線、圓和圓的…1

1、PAGE 24.2.1反證法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識(shí)與能力：通過實(shí)例，體會(huì)反證法的含義過程與方法：了解反證法的基本步驟，會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的命題.情感、態(tài)度、價(jià)值觀：在觀察、操作、推理等探索過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿探索性和創(chuàng)造性.【學(xué)情分析】學(xué)生從初中開始就已經(jīng)初步接觸過反證法,反證法的邏輯規(guī)則并不復(fù)雜,但用反證法證明數(shù)學(xué)問題卻讓學(xué)生感到困難。究其原因,反證法主要是需要逆向思維,而在中小學(xué)階段,逆向思維訓(xùn)練和發(fā)展都是不充分的;其次反證法中的假設(shè)部分涉及命題的否定知識(shí),學(xué)生在學(xué)習(xí)那部分知識(shí)時(shí)就存在一定的困難;再者我所教的學(xué)生其本身對(duì)問題的理解、思維能力也是相對(duì)較弱的。【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】體會(huì)反證法證明命題的思路

2、方法，用反證法證明簡(jiǎn)單的命題?！緦W(xué)習(xí)難點(diǎn)】反證過程中的反設(shè)，以及如何推出矛盾?！緦W(xué)習(xí)過程】一、情境導(dǎo)入 （一）故事引入：中國(guó)古代有一個(gè)叫路邊苦李的故事:王戎7歲時(shí)，與小伙伴們外出游玩，看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子，只有王戎站在原地不動(dòng).有人問王戎為什么?王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下,果然是苦李.王戎是怎樣知道李子是苦的?他運(yùn)用了怎樣的推理方法?從小故事入手，不僅能激發(fā)學(xué)生的興趣，也能更好的說明反證法的推理思想。（二）對(duì)話引入甲：在十一長(zhǎng)假里，我和爸爸、媽媽去新加坡玩了整整6天，真是太高興了. 乙：這不可能，10月4號(hào)上午還看見你和丙在廊

3、坊“萬(wàn)達(dá)”逛街呢！丙：是啊,10月4號(hào)我確實(shí)和甲在廊坊“萬(wàn)達(dá)”逛街！由此以得出甲沒有到新加坡玩六天。 我們不得不佩服王戎和乙，小小年紀(jì)就具備了反證法的思維反證法是數(shù)學(xué)中常用的一種方法人們?cè)谔角竽骋粏栴}的解決方法而正面求解又比較困難時(shí)，常常采用從反面考慮的策略，往往能達(dá)到柳暗花明又一村的境界那么什么叫反證法呢？（板書課題）二、探究新知（一）師生互動(dòng)用具體例子讓學(xué)生體會(huì)反證法的定義和步驟例1、求證：過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓有些命題想從已知條件出發(fā)，經(jīng)過推理，得出結(jié)論是很困難的，因此，人們想出了一種證明這種命題的方法，即反證法.結(jié)合故事、對(duì)話和本例歸納反證法的定義。（二）整體感知在證明一個(gè)命題時(shí),

4、人們有時(shí)先假設(shè)命題不成立,從這樣的假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾,或者與定義,公理,定理等矛盾,從而得出假設(shè)命題不成立是錯(cuò)誤的,即所求證的命題正確.這種證明方法叫做反證法. 用反證法證明命題實(shí)際上是這樣一個(gè)思維過程：我們假定“結(jié)論不成立”，結(jié)論一不成立就會(huì)出毛病，這個(gè)毛病是通過與已知條件矛盾，與公理或定理矛盾的方法暴露出來的這個(gè)毛病是怎么造成的呢？推理沒有錯(cuò)誤，已知條件，公理或定理沒有錯(cuò)誤，這樣一來，唯一有錯(cuò)誤的地方就是一開始的假定既然“結(jié)論不成立”有錯(cuò)誤，就肯定結(jié)論必然成立了你能說出下列結(jié)論的反面嗎?1. ab 2. d是正數(shù)3. a04. ab5.a是實(shí)數(shù)。 6. a大于2。7.a小

5、于2。 8.至少有2個(gè)9.最多有一個(gè) 10.兩條直線相交（三）合作探究1、求證:在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交,那么和另一條也相交.把本題改編成填空題：已知: 直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi),且l1l2,l3與l1相交于點(diǎn)P.求證: l3與l2相交.證明: 假設(shè)_,即_._（已知）,過直線l2外一點(diǎn)P有兩條直線和l2平行,這與“_ _”矛盾.假設(shè)不成立,即求證的命題正確.l3與l2相交.教師簡(jiǎn)單引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：證明兩直線相交的又一判定方法.2、根據(jù)上述填空，請(qǐng)同學(xué)們歸納一下用反證法證題的步驟（教師板書步驟）生：假定結(jié)論不成立（即結(jié)論的反面成立）；從假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件，

6、經(jīng)過推理論證，推出與已知條件或定義、定理、公理相矛盾；由矛盾判定假設(shè)不正確；肯定命題的結(jié)論成立明確 用反證法證題的基本思路及步驟（三）學(xué)以致用，完善新知1、用反證法證明（填空）：在三角形的內(nèi)角中，至少有一個(gè)角大于或等于明確 在運(yùn)用反證法的過程，往往要仔細(xì)分析結(jié)論的反面，特別要注意語(yǔ)句的轉(zhuǎn)換及表達(dá)2、已知：如圖，直線a,b被直線c所截，1 2求證：ab 教師在例后要引導(dǎo)學(xué)生比較體會(huì)反證法的優(yōu)點(diǎn)：當(dāng)正面證明比較繁雜或較難證明時(shí)，用反證法證明是一種證明的思路，并指出本題的結(jié)論是判定兩直線平行的又一判定定理.3、已知：如圖，在ABC中，AB=AC，APBAPC。求證：PBPC教師在題后引導(dǎo)學(xué)生歸納什么

7、類型的證明題宜用反證法：（1）以否定性判斷作為結(jié)論的命題；（2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陳述的命題；（3）關(guān)于“唯一性”結(jié)論的命題；（4）一些不等量命題的證明；（5）有些基本定理或某一知識(shí)體系的初始階段等等.(如平行線的傳遞性的證明）4、在ABC中,若C是直角，那么B一定是銳角.題后說明：本例中“是銳角(小于90)”的反面有兩種情況，這時(shí)，必須分別證明命題結(jié)論反面的每一種情況都不可能成立，最后才能肯定命題的結(jié)論一定正確.三、實(shí)踐應(yīng)用，知識(shí)遷移1、鏈接生活反證法的思想也時(shí)常體現(xiàn)在人們的日常交流中。下面是有關(guān)的一個(gè)例子: 甲、乙、丙、丁、戊五人在運(yùn)動(dòng)會(huì)上分獲一百米、二百米、跳高、跳遠(yuǎn)

8、和鉛球冠軍，有四個(gè)人猜測(cè)比賽結(jié)果：A說：乙獲鉛球冠軍，丁獲跳高冠軍；B說：甲獲百米冠軍，戊獲跳遠(yuǎn)冠軍；C說：丙獲跳遠(yuǎn)冠軍，丁獲二百米冠軍；D說：乙獲跳高冠軍，戊獲鉛球冠軍.其中每個(gè)人都只說對(duì)一句，說錯(cuò)一句.你知道五人各獲哪項(xiàng)冠軍嗎？在你的日常生活中也有類似的例子嗎?請(qǐng)舉一至兩個(gè)例子.2、快樂驛站：警察局里有名嫌疑犯，他們分別做了如下口供：說：這里有個(gè)人說謊說：這里有個(gè)人說謊說：這里有個(gè)人說謊說：這里有個(gè)人說謊說：這里有個(gè)人說謊聰明的同學(xué)們，假如你是警察，你覺得誰(shuí)說了真話？你會(huì)釋放誰(shuí)？請(qǐng)與大家分享你的判斷！四、學(xué)習(xí)小結(jié)同學(xué)們，學(xué)了這節(jié)課，你們有何收獲與體會(huì)？ （1）引導(dǎo)學(xué)生作知識(shí)總結(jié)，學(xué)習(xí)了反證

9、法證題的思路、步驟與注意事項(xiàng)以及宜用反證法的題型（2）教師擴(kuò)展：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們體會(huì)了在證明命題另一種方法，即反證法，它是當(dāng)有的命題從已知條件出發(fā)，經(jīng)過推理，很難得出結(jié)論時(shí)，人們想出的一種證明命題的方法，希望同學(xué)們能運(yùn)用這種方法證明一些簡(jiǎn)單的命題.五、課后作業(yè) 1.用反證法證明下列命題：（1）求證：三角形內(nèi)角中至多有一個(gè)內(nèi)角是鈍角。（2）已知：如圖，ABCD，AB EF。求證：CD EF。（3）求證：圓內(nèi)兩條不是直徑的弦不能互相平分。2.課外活動(dòng)：收集反證法在生活中應(yīng)用的例子，在班上交流?！景鍟O(shè)計(jì)】黑板24.2.1反證法1、定義 2、步驟： 反設(shè)歸謬 結(jié)論 【資料下載】 反證法也稱為

10、歸謬法，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代（GHHardy，18771947）對(duì)于這種證法給過一個(gè)很有意思的評(píng)估在棋類比賽中，經(jīng)常采用一種策略，叫“棄子取勢(shì)”，即犧牲一些棋子以換取優(yōu)勢(shì)哈代指出，歸謬法是遠(yuǎn)比任何棋術(shù)更為高超的一種策略棋手可以犧牲的是幾個(gè)棋子，而數(shù)學(xué)家可以犧牲整個(gè)一盤棋歸謬法就是作為一種可以想象的最了不起的策略而產(chǎn)生的自我測(cè)試1.求證：在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等，那么他們所對(duì)的邊也不等. 2.求證：一個(gè)五邊形不可能有4個(gè)內(nèi)角為銳角.自我提高1“ab Ca=b Da=b或ab2用反證法證明“若ac，bc，則ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（ ） Aa不垂直于c Ba，b都不垂直于c Cab Da與b相交3用反證法

11、證明命題“在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不相等，那么它們所對(duì)的角也不相等”時(shí)，應(yīng)假設(shè)_4用反證法證明“若a2，則a4”時(shí)，應(yīng)假設(shè)_5請(qǐng)說出下列結(jié)論的反面:（1）d是正數(shù); （2）a0; （3）a56如下左圖，直線AB，CD相交，求證：AB，CD只有一個(gè)交點(diǎn)證明：假設(shè)AB，CD相交于兩個(gè)交點(diǎn)O與O，那么過O，O兩點(diǎn)就有_條直線，這與“過兩點(diǎn)_”矛盾，所以假設(shè)不成立，則_ 7完成下列證明 如上右圖，在ABC中，若C是直角，那么B一定是銳角 證明：假設(shè)結(jié)論不成立，則B是_或_ 當(dāng)B是_時(shí)，則_，這與_矛盾； 當(dāng)B是_時(shí)，則_，這與_矛盾 綜上所述，假設(shè)不成立B一定是銳角8用反證法證明“三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中（ ） A有一個(gè)內(nèi)角小于60 B每一個(gè)內(nèi)角都小