人教版高中數(shù)學(xué)選修1-1第二章2.2圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、錐曲線知識(shí)點(diǎn)小結(jié)圓錐曲線在高考中的地位：圓錐曲線在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)。通過以圓錐 曲線為載體，與平面向量、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何等知識(shí)進(jìn)行綜合，結(jié)合數(shù)學(xué)思想 方法，并與高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)融為一體，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及創(chuàng)新能力，其設(shè)問形式 新穎、有趣、綜合性很強(qiáng)。.重視圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)與平面向量的巧妙結(jié)合。.重視圓錐曲線性質(zhì)與數(shù)列的有機(jī)結(jié)合。.重視解析幾何與立體幾何的有機(jī)結(jié)合。高考再現(xiàn)：2011年(文22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：至7 = L如圖所示，斜率為k (k0)且不過原點(diǎn)的直線1交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線 段AB的中點(diǎn)為

2、E,射線0E交橢圓C于點(diǎn)G,交直線x = -3于點(diǎn)D (-3, m).(1)求H12+ k2的最小值;(2)若I OG b = I 0D | I 0E | ,求證：直線1過定點(diǎn)；試問點(diǎn)B、G能否關(guān)于x軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí)4ABG的外接圓方程; 若不能，請(qǐng)說明理由.(理22)已知?jiǎng)又本€1與橢圓C： 3 + 2 = 1相交于P (x, y ), Q (x ,112叵yj兩個(gè)不同點(diǎn)，且OPQ的面積其中0為坐標(biāo)原點(diǎn).4OPQ(1)證明：只+君和X+刃均為定值;(2)設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M,求I 0M| |PQ I的最大值；(3)橢圓C上是否存在三點(diǎn)D,E, G,使得區(qū):區(qū)S、= 2 ?Z_A OD Z

3、a OD AOEGEG若存在，判斷ADEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由.(2009年山東卷)設(shè)mR,在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量a=(mKy+1),向量b=(x,y-1),a J_b,動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡為E.(1)求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀；(2)已知m=l/4,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與軌 跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A, B,且OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，并求出該圓的方程；(3)已知m=1/4,設(shè)直線1與圓C:x2+y2=R2(lR2)相切于A；且1與軌跡E只有 一個(gè)公共點(diǎn)B ,當(dāng)R為何值時(shí)，A B |取得最大值?并求最大值：1 1 1居瑪一.圓錐曲線的定義

4、:橢圓：平面?zhèn)€定點(diǎn)的距離之和等于定色玨于)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)|煙田嬲白翳(2戶菜麝那離叫做橢圓的焦距。耳瑞常數(shù)2a二忸遙軌跡是線段常數(shù)2a,軌跡不存在；2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)|/；正2)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線：平面內(nèi)與兩圖“F雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)1I 口，做B線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。數(shù)學(xué)語(yǔ)言：MF - MF = 2a2a /?0)32 a旭 14-= 1(a 0, b 0)*悅a、b、c關(guān)系 = *松=日2 +笈a、b、c的意義a是長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，b是短半軸長(zhǎng)，c是半焦距a是實(shí)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，b是虛短半軸長(zhǎng)，c是半焦距范圍-a x-b y bx aye R分類橢圓雙曲線對(duì)稱性

5、關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱， 也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱， 也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)(-40)/(e 0)12B (0,-)B (0, b)1244)，4 句)12離心率e- aC e =焦點(diǎn)坐標(biāo)尸(G。)，F(xiàn) (GO)1212尸(-2，尸(GO)漸近線無,b J/=_X a拋物線幾何性質(zhì):1(1)橢圓若橢圓0+5=1的離心率Y,則的值是一(2)雙曲線的漸近線方程是3汨：2片0,則該雙曲線的離心率等于 (3)若該拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4,則點(diǎn)例的坐標(biāo)為一(4)設(shè)雙曲線 上匕=1 (aQb0)中，離心率eg22,則兩條漸近線夾角。的 不 b2取值范圍是設(shè) 方。/則拋物線y=4a*的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6)雙

6、曲線的離心率等記，旦與橢圓 學(xué)+匕=1有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程 29 4(7)設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)尸、尸在坐標(biāo)軸上，離心率e= J2的雙曲線C過點(diǎn)12A：4KH0),則C的方程為(8)已知拋物線方程為卜=8乂若拋物線上一點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于5,則它到拋物線 的焦點(diǎn)的距離等于_；(9)拋物線卜=2%上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離和是5,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的 距離為 四、點(diǎn)七,刃和橢圓,合1= 1np點(diǎn)在橢圓上。土+工3261= p點(diǎn)在橢圓外。對(duì)于雙曲線和拋物線與點(diǎn)的位置關(guān)系可以此類推。五、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：(在這里我們把圓包括進(jìn)來)(1).首先會(huì)判斷直線與圓錐曲線是相交、相切、還是

7、相離的a.直線與圓：一般用點(diǎn)到直線的距離跟圓的半徑相比(幾何法)，也可以利用方程實(shí)根的個(gè)數(shù)來判斷(解析法).b.直線與橢圓、雙曲線、拋物線一般聯(lián)立方程，判斷相交、相切、相離c.直線與雙曲線、拋物線有自己的特殊性(2)a求弦長(zhǎng)。公式：弦長(zhǎng)/=米 +左/一到二J(1+Q) () + %)2其中攵為直線的斜率，(x,y),(x,y)是兩交點(diǎn)坐標(biāo).122b.求弦所在的直線方程C.根據(jù)其它條件求圓錐曲線方程.已知一點(diǎn)A坐標(biāo)，一直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P、Q,且中點(diǎn)為A,求P、Q所在的 直線方程(點(diǎn)差法).已知一直線方程，某圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求某個(gè)值的取值范圍(或 者是圓錐曲線上否存在兩點(diǎn)關(guān)于

8、直線對(duì)稱)(1)若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是 直線yxO與橢圓971恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是 (3)過雙曲線 9-9 = 1的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|ABl =4,則這(4)過雙曲線上 = 1不拉樣的直線有 條.外一點(diǎn)Ax,y)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如卜：(5)過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平 行于對(duì)稱軸的直線。(6)過點(diǎn)(2,4)作直線與拋物線展=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有_(7)過點(diǎn)(0,2)與雙曲畤-總二1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率取值范圍為(8)過雙曲線*-與

9、=1的右焦點(diǎn)作直線/交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若恒8=4,則滿足條件的直線/有一條(9)對(duì)于拋物線C： b=4x,我們稱滿足42 0)相交于A、B兩點(diǎn)，且線段 興 笈AB的中點(diǎn)在直線L： x2y=0上，則此橢圓的離心率為(3)試確定m的取值范圍，使得橢圓 二十與=1上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線43y= 4x+0對(duì)稱特別提醒：因?yàn)?。是直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)A0L3、直線恒過定點(diǎn)問題：(1) A、B是拋物線y2=2px (p0)上的兩點(diǎn)，且OAJ_OB (O為坐標(biāo)原點(diǎn))求證：直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；(2)拋物線y2=2px (p0)上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B

10、及一定點(diǎn)M (p,痛)，F(xiàn)為焦點(diǎn)；若|AF |MF|、|BF|成等差數(shù)列，求證：線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)。例3圖4、焦點(diǎn)三角形問題：(1)短軸長(zhǎng)為J百，離心率e二匕的橢圓的兩焦點(diǎn)為尸、F ，過尸作直線交橢圓 3121于A、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為(2)設(shè)P是等軸雙曲線必-=不(己0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)F2是左右焦點(diǎn)，若環(huán)了匕=0, |PFJ=6,則該雙曲線的方程為(3)雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4,離心率e=g, FP F,是它的左右焦點(diǎn)，若過匕的直 2/線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，且|/|自是與舊|等差中項(xiàng)，則卜8|=(4)已知雙曲線的離心率為 2, FrF2是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且N尸尸尸=60

11、, 5=1/3.求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。12嚴(yán)尸25、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：若拋物線的方程為y2=2px (p0),過拋物線的焦點(diǎn)F (斗，0)的直線交拋物線與A(xyj、B lx2，y2)兩點(diǎn)，貝Un2yM；乂占吟；(2)| AB|=x+x2+p；通徑=2P(3扁+毓J ；(4)過A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A/、B/, F拋物線的焦點(diǎn)，則NA/FB/=9(P；(5)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。(6)設(shè)A, B是拋物線y2=2px上的兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，則OALOB的充要條件是直線AB恒過定點(diǎn)(2p, 0)證明：(1)當(dāng)直線過焦點(diǎn)且垂直于x軸時(shí)，A (鄉(xiāng)，p)、B qR

12、 -p)，因此y1y2=-p2成立；當(dāng)直線過焦點(diǎn)且不與x油垂直時(shí)，顯然直線的斜率k#0,直線AB的方程為:y=k (x-P )；由此的 x=2把x=V +e代入y2=2px消去x得: k 2ky2-2py-kp2=O, -y1y2=-P2VA (xr %)、B (x2, y2)兩點(diǎn)都在拋物線y2=2px (p0)上, Ay12=2px1，y22=2px2；兩式相乘得 2px2/. p4=4p2x1x2；從而X1X2=過A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線X= - P的垂線，垂足分別為A/、B/, 2則 |AB| = |AF|+|BF| = |AA/|+|BB/|=X+ +x2+ =x1+x2+p(3)VA (xr

13、 %)、B (x2, y?). J.i_x1-rx?-rp4 2(xi+x2)+ 4iafi+祚F+Fxi+2 x2+2X1rX2-rPX X +艮I、十X,十比X1X224Xi+x,+p m 艮=p2的+乂2+0過A、B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A/、B/,由于點(diǎn)A、B是拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可知，|AF| =|AA/|, |BF| = |BB/|ZB/BF = 1800-2ZB/FB, NA/AF = 18(P2NA/FA由AA/ BB/ AZB/BF + ZA/AF = 1800即：1叫肅5 威順一2NA/FA = 18(P /R垂足分別為A/、B/、N，

14、N為線段AB的中點(diǎn)，過A、B、N分別作準(zhǔn)線的垂線，|AA/|十|BB/|TN為線段AB的中點(diǎn)，則|NN|=2以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。(6)設(shè)A, B是拋物線y2=2px上的兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，則OALOB的充要條件是直 線AB恒過定點(diǎn)(2p, 0)六,你了解下列結(jié)論嗎?共漸近線的雙曲線系：(1)漸近線方程為：片x艮蘆P=0 的雙曲線方程可設(shè)為:興致(夕w0)入0時(shí)表示焦點(diǎn)在x袖上的雙曲線；入 0時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線； (2)與雙曲線堊-籃二1有相同的漸近線的與雙曲線卷卷=1有共同的漸近線，且過點(diǎn)(-3%弓)的雙曲線方程為(2)中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(3, 0), 一條漸近線方程2x-3y

15、=0的雙曲線方程是 七、圓錐曲線中的最值問題例8圖(1)如圖所示，若A (3, 2), F為拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，求|PF|+|PA| 的最小值，以及取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。變式：若A (3, 5)呢？(2).定長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線乂=上移動(dòng)，求AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的最小值，并求此時(shí)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)。(3)若yc/?,且3* + 2/=6,則X+.最大值是_, *+y的最小值是一(4)以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為 八.動(dòng)點(diǎn)軌跡方程問題：1、直接法當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)的要滿足的條件簡(jiǎn)單明確時(shí)，直接按“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、代入坐標(biāo)、 整理化

16、簡(jiǎn)、限制說明五個(gè)基本步驟求軌跡方程，稱之直接法.例1.點(diǎn)與定點(diǎn)尸(0,2)的距離和它到定直線y=8的距離的比是1:2，求點(diǎn)的軌跡方程式，并說明軌跡是什么圖形.變式：已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F(1Q)和直線x=3的距離之和等于4,求P的軌跡方程.2、待定系數(shù)法：已知軌跡是什么圖形，先設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，再求出參數(shù)。例2、已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為電一2道)和(02，且經(jīng)過點(diǎn)(一病，有),求橢圓的標(biāo) 準(zhǔn)方程。變式：拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為135。的直線，被拋物線截得的弦長(zhǎng)為8,試求拋物線的方程。3、定義法：定義法是指先分析、說明動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種特殊曲線(如圓、橢圓、雙曲線、 拋物線等

17、)的定義或特征，再求出該曲線的相關(guān)參量，從而得到軌跡方程.例3、求與圓(X-3戶+卜=1及(*+3)2 + /= 9都外切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程.解：設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,則由動(dòng)圓與定圓都外切得|%二3+。|%=1 +八又因?yàn)?| 吸叱 |=(3+/) (1 + /) = 2,由雙曲線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一支承所求動(dòng)圓圓心的軌跡是雙曲線的一支，其方程為：必_y=1 (%1)18彭(1)、一動(dòng)圓與圓*+卜+ 6*+5=0外切，同時(shí)與圓*+卜-6x-91 = 0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程式，并說明它是什么曲線.(2、已知A/8U的底邊BC長(zhǎng)為12,且底邊固定，頂點(diǎn)A是動(dòng)點(diǎn)，使 1sin 5-

18、sinC=-sin/l,求點(diǎn) A 的軌跡.分析：首先建立坐標(biāo)系，由于點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不易用坐標(biāo)表示，注意條件的運(yùn)用，可 利用正弦定理將其化為邊的關(guān)系，注意有關(guān)限制條件.解：以底邊BC為X軸，底邊BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立核坐標(biāo)系，這時(shí)1比一6,0), U(6,0),由 sin 8 sin C = -sin /得1一 c= /d= 6,即 |6.所以，點(diǎn) A 的軌跡是以 8(6,0), 0(6,0)為焦點(diǎn)，2d=6的雙曲線的左支其方程為：門。=1(*0/0)上，尸，尸是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，求AZ尸尸* 松121 2的重心G的軌跡方程.分析：要求重心的軌跡方程，必須知道三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用相關(guān)點(diǎn)法進(jìn)行

19、求解.注意限制條件.解：設(shè)人力。的重心G的坐標(biāo)為(協(xié)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3%3旭 I/2因?yàn)辄c(diǎn)A位于雙曲線3臺(tái)= 1(d0/0)上，從而有竿一喈二N0),即告一十 = 0)32 b2令令所以，A/尸尸的重心G的軌跡方程為與上 = 1(yw0).12 令(葉變式：如圖，從雙曲線U:* 產(chǎn)=1上一點(diǎn)Q引直線/:x+y=2的垂線，垂足為/V,求線段Q/V的中點(diǎn)戶的軌跡方程. TOC o 1-5 h z 解：設(shè) 9，Q (x,y),則/V(2xx,2yy). /V在直線/上, 1111 2x- x +2y-y = 2 . 又 PN1 /得七匕一 二1,即 xy+y x =0 11X X111_ 3x+

20、y 2廣一工2又點(diǎn)Q在雙曲線C上,(蘭手2)變(七芻一)2二1,3y+x-222y =-12化簡(jiǎn)整理得：2M 2b2x+2y1 = 0,此即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.5參數(shù)法參數(shù)法是指先引入一個(gè)中間變量(參數(shù))，使所求動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)y間建立起聯(lián)系, 然后再?gòu)乃笫阶又邢?shù)，得到p間的直接關(guān)系式，即得到所求軌跡方程.例5過拋物線 =2平(p 0)的頂點(diǎn)。作兩條互相垂直的弦OA、OB,求弦的中點(diǎn)例的軌跡方程.解：設(shè)直線。4的斜率為攵。0),則直線08的斜率為-；直線OA的2P /=T,即4%,華，同理可得8(2/2題./ 一，S|l方程為y=/x由c -川甘寸V展=2然x=:+/2由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得k2 ,消去%,得/ =以x2p),此即點(diǎn)例的軌跡方程. y= -y- pk6、交軌法求兩曲線的交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，或者先引入?yún)?shù)來建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)來得到軌跡方程，稱之交軌法.例6如右圖，垂直于X軸的直線交雙曲線上 4 = 1于M、兩點(diǎn)，勺8為雙曲線的左、右頂點(diǎn),求直線管與4”的交點(diǎn)的軌跡方程,并指出軌跡的形狀.報(bào) b2解：設(shè)/協(xié)及(勺匕),Mx.用，又/卜配),/00),可得 直線的方程為產(chǎn)=_(x+a；直線/之、的方程為=二-(x&.q 2 = 1, 一二a2 b2 （浜*）,代入得 11b211x得/=二22