二次函數(shù)特點及應(yīng)用

1、二次函數(shù)特點及應(yīng)用次函數(shù)的圖像.特點:一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，aHO,且a決定函數(shù)的開口方向，a0時，開口方向向上,aO時，開口方向向下。lai還可以決定開口大小，lai越大開口就越小，lai越小開口就越大。)則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)的三種表達(dá)式一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),aHO)頂點式拋物線的頂點P(h,k)：y=a(x-h)2+k交點式僅限于與x軸有交點A(xl,O)和B(x2,0)的拋物線:y=a(xxl)(xx2)以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：一般式和頂點式的關(guān)系對于二次函數(shù)y二ax2+bx+c,其頂點

2、坐標(biāo)為(b/2a,(4acb2)/4a),即h=-b/2a=(xl+x2)/2k=(4acb2)/4a一般式和交點式的關(guān)系xl,x2=-bV(b2-4ac)/2a(即一元二次方程求根公式)拋物線的性質(zhì)1拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x二-b/2ao對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點Po特別地，當(dāng)b二0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x二0)拋物線有一個頂點P,坐標(biāo)為P(-b/2a,(4ac-b2)/4a)當(dāng)-b/2a二0時，P在y軸上；當(dāng)二b2-4ac二0時，P在x軸上。二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a0時，拋物線向上開口；當(dāng)aVO時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開

3、口越小。一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當(dāng)a與b同號時(即ab0),對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時(即ab0時，拋物線與x軸有2個交點。A=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。A=b2-4ac0時，函數(shù)在x二-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在x|x-b/2a上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是y|y4ac-b2/4a相反不變當(dāng)b二0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y二ax2+c(aHO)定義域：R值域：(對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷)(4ac-b2)/4a,正無窮)；t,正無

4、窮)奇偶性：偶函數(shù)周期性：無活動目的：探究二次函數(shù)圖像的特點?；顒拥脑恚合韧ㄟ^兒個例子對二次函數(shù)圖像的特點提出兒個假設(shè)。再通過二次函數(shù)的統(tǒng)式予以證明?；顒硬襟E：舉例：x=y：x+1=y；x+x=y；x+x+仁y。畫直角坐標(biāo)系；列表(找出(x,y)；描點；連線。小組一起觀察圖像并討論他們的共同點。記下討論結(jié)果。利用統(tǒng)式(ax+bx+c二y)證明討論結(jié)果的必然性。成果簡述：二次函數(shù)圖像具有對稱性：對稱軸x=-b/(2a)；二次函數(shù)圖像具有一個頂點：(-b/(2a),(4ac-b)/4a)應(yīng)用：由二次函數(shù)的圖像特性可以解決生活中的最佳值的問題和最省的問題。解二次函數(shù)的內(nèi)涵及本質(zhì).二次函數(shù)y二ax2

5、+bx+c(aMO,a、b、c是常數(shù))中含有兩個變量x、y,我們只要先確定其中一個變量，就可利用解析式求出另一個變量，即得到一組解；而一組解就是一個點的坐標(biāo)，實際上二次函數(shù)的圖象就是由無數(shù)個這樣的點構(gòu)成的圖形.二、熟悉幾個特殊型二次函數(shù)的圖象及性質(zhì).1、通過描點，觀察y=ax2、y=ax2+k、y二a(x+h)2圖象的形狀及位置，熟悉各自圖象的基本特征，反之根據(jù)拋物線的特征能迅速確定它是哪一種解析式.2、理解圖象的平移口訣“加上減下，加左減右”.y=ax2-y=a（x+h）2+k“加上減下”是針對k而言的,“加左減右是針對h而言的.總之，如果兩個二次函數(shù)的二次項系數(shù)相同，則它們的拋物線形狀相同

6、，由于頂點坐標(biāo)不同，所以位置不同，而拋物線的平移實質(zhì)上是頂點的平移，如果拋物線是一般形式，應(yīng)先化為頂點式再平移.3、通過描點畫圖、圖象平移，理解并明確解析式的特征與圖象的特征是完全相對應(yīng)的，我們在解題時要做到胸中有圖，看到函數(shù)就能在頭腦中反映出它的圖象的基本特征；4、在熟悉函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，通過觀察、分析拋物線的特征，來理解二次函數(shù)的增減性、極值等性質(zhì)；利用圖象來判別二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c、以及由系數(shù)組成的代數(shù)式的符號等問題.三、要充分利用拋物線“頂點”的作用.1要能準(zhǔn)確靈活地求出“頂點”.形如y二a（x+h）2+K-頂點（一h.k）,對于其它形式的二次函數(shù)，我們可化為頂點式而求出頂點.2、

7、理解頂點、對稱軸、函數(shù)最值三者的關(guān)系.若頂點為（一h,k）,則對稱軸為x=h,y最大（?。?k；反之，若對稱軸為x=m,y最值二n，則頂點為（m,n）；理解它們之間的關(guān)系，在分析、解決問題時，可達(dá)到舉一反三的效果.3、利用頂點畫草圖.在大多數(shù)情況下，我們只需要畫出草圖能幫助我們分析、解決問題就行了，這時可根據(jù)拋物線頂點，結(jié)合開口方向，畫出拋物線的大致圖象.四、理解學(xué)握拋物線與坐標(biāo)軸交點的求法.一般地，點的坐標(biāo)由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)組成，我們在求拋物線與坐標(biāo)軸的交點時，可優(yōu)先確定其中一個坐標(biāo)，再利用解析式求出另一個坐標(biāo).如果方程無實數(shù)根,則說明拋物線與x軸無交點從以上求交點的過程可以看出，求交點的實質(zhì)

8、就是解方程，而且與方程的根的判別式聯(lián)系起來，利用根的判別式判定拋物線與x軸的交點個數(shù)五、靈活應(yīng)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是我們求解析式時最常規(guī)有效的方法，求解析式時往往可選擇多種方法，如能綜合利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，不僅可以簡化計算，而且對進(jìn)一步理解二次函數(shù)的本質(zhì)及數(shù)與形的關(guān)系大有裨益.二次函數(shù)y=ax2學(xué)習(xí)要求：知道二次函數(shù)的意義.會用描點法畫出函數(shù)y=ax2的圖象，知道拋物線的有關(guān)概念.重點難點解析本節(jié)重點是二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)；難點是根據(jù)圖象概括二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì).形如=ax2+bx+c（其中a

9、、b、c是常數(shù)，aMO）的函數(shù)都是二次函數(shù).解析式中只能含有兩個變量x、y,且x的二次項的系數(shù)不能為0,自變量x的取值范圍通常是全體實數(shù)，但在實際問題中應(yīng)使實際量有意義。如圓面積S與圓半徑R的關(guān)系式5=ttR2中，半徑R只能取非負(fù)數(shù)。拋物線丫=3%2的形狀是由a決定的。a的符號決定拋物線的開口方向，當(dāng)a0時，開口向上，拋物線在y軸的上方（頂點在x軸上），并向上無限延伸；當(dāng)a0時，拋物線y=ax2的開口向上，當(dāng)a0向上(0,0)丫軸x時，y隨x增大而增大;x時，y隨x增大而減小.當(dāng)x=0時,y最小=0.y=ax2a時，y隨x增大而減??；x0時，兩條拋物線的開口都向上，并向上無限延伸，拋物線有最低

10、點，y有最小值，當(dāng)a0時，開口向上；aVO時，開口向下；對稱軸是直線x=h：頂點坐標(biāo)是(h,k).規(guī)則2二次函數(shù)y二ax2+bx+c的性質(zhì)：y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a#O)是二次函數(shù)，圖象是拋物線.利用配方，可以把二次函數(shù)表示成y二a(xh)2+k的形式，由此可以確定這條拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)是，當(dāng)a0時，開口向上；a0a0拋物線開口向上，并向上無限延伸.對稱軸是x=，頂點坐標(biāo)是(-,).(3)當(dāng)x時，y隨x的增大而增大.拋物線有最低點，當(dāng)x=時，y有最小值，y最小值=.)拋物線開口向下，并向下無限延伸.對稱軸是x=，頂點坐標(biāo)是(-,).當(dāng)x時，y隨x的增大而減小.拋物線有最高點，當(dāng)x=時，y有最大值，y最大值=求拋物線的頂點、對稱軸、最值的方法配方法：將解析式化為y=a(xh)2+k的形式，頂點坐標(biāo)(h,k),對