復(fù)變函數(shù)第四章-解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法-課件

1、 1. 復(fù)數(shù)列的極限 2. 級(jí)數(shù)的概念第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1. 復(fù)數(shù)列的極限定義4.1又設(shè)復(fù)常數(shù)：定理4.1證明課堂練習(xí):下列數(shù)列是否收斂? 如果收斂, 求出其極限.收斂, 極限為-1發(fā)散收斂，極限為02. 復(fù)級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的前面n項(xiàng)的和-級(jí)數(shù)的部分和-無窮級(jí)數(shù)定義4.2設(shè)復(fù)數(shù)列：不收斂例1解定理4.2證明解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散. 例1必要條件重要結(jié)論:不滿足必要條件,所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.啟示: 判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí), 可先考察?級(jí)數(shù)發(fā)散;應(yīng)進(jìn)一步判斷. 由定理4.2，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題可歸之為 兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題。定理4.3定理4.4定義4.3 ?由定理4.4的證明過

2、程，及不等式推論4.1證明解例2練習(xí)：發(fā)散 1. 冪級(jí)數(shù)的概念 2. 收斂定理 3. 收斂圓與收斂半徑 4. 收斂半徑的求法 5. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)4.2 冪級(jí)數(shù)1. 冪級(jí)數(shù)的概念定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：-稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的最前面n項(xiàng)的和-級(jí)數(shù)的部分和若級(jí)數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)-級(jí)數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級(jí)數(shù)(1)中稱為冪級(jí)數(shù)2. 收斂定理同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級(jí)數(shù)也有所謂的收斂定理：定理4.5 (阿貝爾(Able)定理）證明(2)用反證法，3. 收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對(duì)所有正實(shí)數(shù)都收斂，則級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上處處收斂

3、。(ii )除z=0外，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時(shí)， 級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。顯然， 否則，級(jí)數(shù)(3)將在處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍(lán)色，逐漸變大，在c內(nèi)部都是紅色,逐漸變小，在c外部都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會(huì)交錯(cuò)。故播放幻燈片 37 (i)冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。(ii)冪級(jí)數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級(jí)數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.定義這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周cR叫做冪級(jí)數(shù)的收斂圓周；圓周的內(nèi)部成為收斂圓，這個(gè)圓的半徑R叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。例如, 級(jí)數(shù):收

4、斂圓周上無收斂點(diǎn);在收斂圓周上處處收斂. 定理2(比值法)證明 定理3(根值法) 定理4.7(根值法) 定理4.6(比值法)4. 收斂半徑的求法例求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:(1)(2)解(1)因?yàn)樗允諗堪霃?2)例4.2解 綜上例3解例2 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解 (1)該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散p=1p=2該級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。 綜上該級(jí)數(shù)發(fā)散。該級(jí)數(shù)收斂，故該級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的.5. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算-冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算-冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算-冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算 冪級(jí)數(shù)的代換運(yùn)算在函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)中很有用.例3解代換解代換展開還原分析運(yùn)算定理4.

5、8-冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算-冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算例4.4 求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解例4.4 求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項(xiàng)積分,得:所以 作業(yè)P100 2(1)(2)P101 9(1)(2),10(1) 1. 泰勒展開定理 2. 展開式的唯一性 3. 簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式4.3 解析函數(shù)的泰勒(Taylor)展開1. 泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)?(或者說,一個(gè)解析函數(shù)能否展開成冪級(jí)數(shù)? 解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示？）由4.2冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知:一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函

6、數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示。定理4.9（泰勒展開定理）Dk分析：代入(1)得Dkz-(*)得證！證明(不講)(不講)證明(不講)而如果把函數(shù)中的x換成z, 在復(fù)平面內(nèi)來看函數(shù)1-z2+z4-它有兩個(gè)奇點(diǎn)i, 而這兩個(gè)奇點(diǎn)都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上, 所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑只能等于1. 因此, 即使我們只關(guān)心z的實(shí)數(shù)值, 但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成了限制. 在實(shí)變函數(shù)中有些不易理解的問題, 一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情, 例如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi), 展開式的成立必須受|x|1的限制, 這一點(diǎn)往往使人難以理解, 因?yàn)樯鲜阶蠖说暮瘮?shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)都是確定的而且是可導(dǎo)的. 例如：yz0ax2. 展開式的唯一性結(jié)論 解

7、析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級(jí)數(shù)。利用泰勒級(jí)數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，這樣的展開式是否唯一？事實(shí)上，設(shè)f (z)用另外的方法展開為冪級(jí)數(shù):由展開式的唯一性，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分 析運(yùn)算和 已知函數(shù)的展開式來展開由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)就是Talor級(jí)數(shù)，因而是唯一的。-直接法-間接法代公式函數(shù)展開成Taylor級(jí)數(shù)的方法：例 解3. 簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式例1 解間 接 法例2 把下列函數(shù)展開成 z 的冪級(jí)數(shù):解 （2）由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得：因ln(1+z)在從z=-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)解析， ln(1+z)離原點(diǎn)最近的一個(gè)奇點(diǎn)是-1,它的展開式的收

8、斂范圍為zR1時(shí), 即| z |R, 因此, 只有在R1|z-z0|R2的圓環(huán)域, 原級(jí)數(shù)才收斂.z0R1R2例如級(jí)數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有. 例如, 可以證明, 上述級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的, 而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo).冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì), 級(jí)數(shù)現(xiàn)在反問, 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成冪級(jí)數(shù)?先看下例.例如，1Oxy由此推想，若f (z) 在R 1z - z0R2 內(nèi)解析, f (z) 可以展開成級(jí)數(shù)，只是這個(gè)級(jí)數(shù)含有負(fù)冪次項(xiàng),即2. 函數(shù)展開成羅朗級(jí)數(shù)定理4.123. 證明思路Cauchy 積分公式推廣到復(fù)連通域Dz0R1R2rRk1k2D1z證明 由復(fù)連通域上的C

9、auchy 積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2式(*1),(*2)中系數(shù)cn的積分分別是在k2， k1上進(jìn)行的，在D內(nèi)取繞z0的簡(jiǎn)單閉曲線c，由復(fù)合閉路定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：證畢！ (2)在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f (z)在奇點(diǎn) z0的鄰域內(nèi)解析，需要把f (z)展成級(jí)數(shù)，那么 就利用羅朗（ Laurent ）級(jí)數(shù)來展開。級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為羅朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。4. 展開式的唯一性結(jié)論 一個(gè)在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是f (z)的羅朗級(jí)數(shù)。事實(shí)上，Dz0R1R2cDz0R1R2c二、函數(shù)的羅

10、朗展開式求法常用方法 : 1. 直接法 2. 間接法 1. 直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)然后寫出缺點(diǎn): 計(jì)算往往很麻煩.根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性, 可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開 .優(yōu)點(diǎn) : 簡(jiǎn)捷 , 快速 .2. 間接展開法三、典型例題例1解由定理知:其中故由柯西古薩基本定理知:由高階導(dǎo)數(shù)公式知:另解本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),例1解三、典型例題例2解練習(xí)解例4.7xyo12xyo12xyo12解:注意首項(xiàng)(2)對(duì)于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理 函數(shù)分解成多項(xiàng)式與若干個(gè)最簡(jiǎn)分式之和，然后利用已知的幾何級(jí)數(shù)，經(jīng)計(jì)算展成需要的形式。小結(jié)：把f

11、(z)展成羅朗( Laurent )級(jí)數(shù)的方法：解 (1) 在(最大的)去心鄰域例4.8yxo12 (2) 在(最大的)去心鄰域xo12練習(xí)：函數(shù)可以在以z0為中心的(由奇點(diǎn)隔開的)不同圓環(huán)域內(nèi)解析, 因而在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的羅朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例). 我們不要把這種情形與羅朗展開式的唯一性相混淆. 所謂羅朗展開式的唯一性, 是指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的羅朗展開式是唯一的. (1)根據(jù)區(qū)域判別級(jí)數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f (z)展成羅朗( Laurent )級(jí)數(shù)。(2) Laurent級(jí)數(shù)與Taylor 級(jí)數(shù)的

12、不同點(diǎn)： Taylor級(jí)數(shù)先展開求R, 找出收斂域。 Laurent級(jí)數(shù)先求 f(z) 的奇點(diǎn)，然后以 z0 為中心，奇點(diǎn)為分隔點(diǎn)，找出z0到無窮遠(yuǎn) 點(diǎn)的所有使 f(z) 解析的環(huán)，在環(huán)域上展成 級(jí)數(shù)。作業(yè)P103 17，18 1. 定義 2. 分類 3. 性質(zhì) 4. 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系4.5 孤立奇點(diǎn) 1. 定義例如-z=0為孤立奇點(diǎn)-z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的奇點(diǎn)-z=1為孤立奇點(diǎn)定義4.4xyo這說明奇點(diǎn)未必是孤立的。2.孤立奇點(diǎn)的分類以下將f (z)在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類。考察：特點(diǎn)：沒有負(fù)冪項(xiàng)特點(diǎn)：只有有限多個(gè)

13、負(fù)冪項(xiàng)特點(diǎn)：有無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)依據(jù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù)的情況分為三類:1可去奇點(diǎn)1可去奇點(diǎn); 2極點(diǎn); 3本性奇點(diǎn).如果羅朗級(jí)數(shù)中不含 的負(fù)冪項(xiàng), 那末孤立奇點(diǎn) 稱為 的可去奇點(diǎn).1) 定義其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明: (1)(2) 無論在是否有定義, 補(bǔ)充定義則函數(shù)在解析.如果補(bǔ)充定義:時(shí),那末在解析.例中不含負(fù)冪項(xiàng),是的可去奇點(diǎn) . 2) 可去奇點(diǎn)的判定(1) 由定義判斷:的洛朗級(jí)數(shù)無負(fù)在如果冪項(xiàng),則為的可去奇點(diǎn).(2) 判斷極限若極限存在且為有限值,則為的可去奇點(diǎn).例 說明為的可去奇點(diǎn).解 所以為的可去奇點(diǎn).無負(fù)冪項(xiàng)另解 的可去奇點(diǎn).為2. 極點(diǎn) 如果在羅朗級(jí)數(shù)中只有有限多

14、個(gè)z-z0的負(fù)冪項(xiàng), 且其中關(guān)于(z-z0)-1的最高冪為 (z-z0)-m, 即f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+. (m1, c-m0),則孤立奇點(diǎn)z0稱為函數(shù) f (z)的m級(jí)極點(diǎn). 上式也可寫成 其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +. , 在 |z-z0|d 內(nèi)是解析的函數(shù), 且 g (z0) 0 . 反過來, 當(dāng)任何一個(gè)函數(shù) f (z) 能表示為(*)的形式, 且g (z0) 0 時(shí), 則z0是 f (z)的m級(jí)極點(diǎn).如果z0為 f (z)的極點(diǎn), 由(*

15、)式, 就有定理4.13:這個(gè)定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)單的方法.例例思考例3. 本性奇點(diǎn) 如果在洛朗級(jí)數(shù)中含有無窮多z-z0的負(fù)冪項(xiàng),則孤立奇點(diǎn)z0稱為 f (z)的本性奇點(diǎn).注孤立 奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)支點(diǎn)(多值函數(shù))極 點(diǎn)本質(zhì)奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)綜上所述:我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點(diǎn)的類型.綜上所述:孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)m級(jí)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)特點(diǎn)存在且為有限值不存在且不為無負(fù)冪項(xiàng)含無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)關(guān)于的最高冪為三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)1. 定義如果函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)解析, 則稱點(diǎn)為的孤立奇點(diǎn).Rxyo令變換規(guī)定此變換將:映射為映射為結(jié)論: 在去心鄰域內(nèi)對(duì)函數(shù)的研究在去心鄰域內(nèi)對(duì)函數(shù)的研究因?yàn)?在去心鄰域內(nèi)是解析的,所以是的孤立奇點(diǎn).規(guī)定: m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn) .的可去奇點(diǎn)、m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn),如果 t=0 是是的可去奇點(diǎn)、 那末就稱點(diǎn)1)不含正冪項(xiàng);2)含有有限多的正冪項(xiàng)且為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項(xiàng);那末是的1)可去奇點(diǎn) ;2) m 級(jí)極點(diǎn);3)本性奇點(diǎn) .判別法1 (利用羅朗級(jí)數(shù)的特點(diǎn))2.判別方法:在內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中:如果例 (1)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的羅朗展開式為:不含正冪項(xiàng)所以是的可去奇點(diǎn) .(2)函數(shù)含有正冪項(xiàng)且 z 為最高正冪項(xiàng),所以是的