應(yīng)用數(shù)學(xué)第三章-函--數(shù)課件

1、應(yīng)用數(shù)學(xué) 主編:河南機(jī)電學(xué)校基礎(chǔ)部第三章函數(shù)第一節(jié)函數(shù)的概念初中我們學(xué)過對應(yīng)，例如：對于任何一個(gè)實(shí)數(shù)a，數(shù)軸上都有唯一的點(diǎn)P和它對應(yīng)；對于坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一個(gè)點(diǎn)A，都有唯一的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對和它對應(yīng)；對于任何一個(gè)三角形，都有唯一的一個(gè)確定的面積和它對應(yīng).這一節(jié)我們將學(xué)習(xí)映射與函數(shù).看下面的例子：在圖3-1中，設(shè)A，B分別是兩個(gè)集合，為簡明起見，設(shè)A，B分別是兩個(gè)有限集.圖3-1第一節(jié)函數(shù)的概念說明：(2)(3)這兩個(gè)對應(yīng)的共同特點(diǎn)是,對于左邊集合A中的任何一個(gè)元素，在右邊集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng).設(shè)A,B是兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的任何一個(gè)元素a，在集合B中都有唯一的

2、元素b和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從集合A到集合B的映射.記作f:A B.元素a叫做元素b的原象，元素b叫做元素a的象.第一節(jié)函數(shù)的概念可以看出：(2)(3)這兩個(gè)對應(yīng)都是集合A到集合B的映射；(1)不是集合A到集合B的映射.映射的三要素：集合A、集合B、對應(yīng)法則f，缺一不可；集合A中的元素一定有象，且唯一；集合B中的元素不一定有原象，即使有也未必唯一；集合A、集合B可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其他集合.第一節(jié)函數(shù)的概念映射概念是函數(shù)概念的推廣.函數(shù)傳統(tǒng)定義設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y，如果對于x的每一個(gè)值，y都有唯一的一個(gè)值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)，自變量x取值的集合叫做定

3、義域，自變量x的值對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值y的集合叫做函數(shù)的值域.第一節(jié)函數(shù)的概念近代定義(從映射的觀點(diǎn)定義函數(shù))如果A,B都是非空的數(shù)集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函數(shù)，記作y=f(x)，其中xA，yB，原象的集合叫做函數(shù)y=f(x)的定義域，象的集合M( )叫做函數(shù)y=f(x)的值域.函數(shù)有三要素：定義域，值域，對應(yīng)法則.第一節(jié)函數(shù)的概念函數(shù)符號y=f(x)表示“y是x的函數(shù)”，可簡記為函數(shù)f(x)，有時(shí)也記為g(x)，F(xiàn)(x).f(a)的意義：自變量x取確定的值a時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值用符號f(a)表示.兩個(gè)函數(shù)相同：當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的三要素完全相同時(shí),這兩個(gè)函數(shù)相同.第一節(jié)函

4、數(shù)的概念前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、表示方法，現(xiàn)在我們來研究一下函數(shù)的性質(zhì).單調(diào)遞增函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果對于屬于D內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量x1、x2,當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，如圖3-2所示.第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性圖3-2第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性圖3-3單調(diào)遞減函數(shù)如果對于屬于定義域D內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量x1、x2,當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)，如圖3-3所示.第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù).那么就說函數(shù)y=f(x)在這一

5、區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖像是上升的，減函數(shù)的圖像是下降的.要了解函數(shù)在某一區(qū)間上是否具有單調(diào)性，從圖上進(jìn)行觀察是一種常用而又粗略的方法，嚴(yán)格地說，它需要根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義進(jìn)行證明.第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性第三節(jié)函數(shù)的奇偶性圖3-4函數(shù)f(x)=2x的圖像(圖3-4)關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(-x)=-f(x)；由此，我們引出奇函數(shù)的定義.奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).根據(jù)上面的定義，函數(shù)f(x)=2x是奇函數(shù).第三節(jié)函數(shù)的奇偶性圖3-5函數(shù)f(x)=x2的圖像(圖3-5)關(guān)

6、于y軸對稱， f(-x)=f(x)；由此，我們引出偶函數(shù)的定義.偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).根據(jù)上面的定義,函數(shù)f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函數(shù).第三節(jié)函數(shù)的奇偶性奇偶性的定義如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性.說明：從函數(shù)奇偶性的定義可以看出，具有奇偶性的函數(shù)：(1)其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；(2)f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)必有一項(xiàng)成立.因此，判斷某一函數(shù)的奇偶性時(shí)，首先看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，若對稱，再計(jì)算，看是等于f(x)還是等于-f(x)，

7、然后下結(jié)論；若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)沒有奇偶性.(3)無奇偶性的函數(shù)是非奇非偶函數(shù).(4)函數(shù)f(x)=0既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，因?yàn)槠涠x域關(guān)于原點(diǎn)對稱且既滿足f(x)=f(-x)也滿足f(x)=-f(-x).(5)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，反過來，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).第三節(jié)函數(shù)的奇偶性第三節(jié)函數(shù)的奇偶性第三節(jié)函數(shù)的奇偶性第三節(jié)函數(shù)的奇偶性第四節(jié)反函數(shù)在物理上，我們學(xué)過勻速運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，即s=vt與t=s/v(其中速度v是常量),在s=vt中，位移s是時(shí)

8、間t的函數(shù).在t=s/v中，時(shí)間t是位移s的函數(shù).在這種情況下，我們說函數(shù)t=s/v是函數(shù)s=vt的反函數(shù).在函數(shù)y=2x(xR)中，x是自變量，y是x的函數(shù).從函數(shù)y=2x中解出x，就可以得到式子x=1/2y(yR).這樣，對于y在R中的任何一個(gè)值，通過式子x=1/2y，x都有唯一的值和它對應(yīng).這就說明可以把y作為自變量，x作為y的函數(shù). 這時(shí)，我們就說x=1/2y(yR)是函數(shù)y=2x(xR)的反函數(shù).由此，我們可給出反函數(shù)的定義.第四節(jié)反函數(shù)設(shè)有函數(shù)y=f(x),其定義域D,值域?yàn)镸.如果對于M中的每一個(gè)y值(yM),都可以從關(guān)系式y(tǒng)=f(x)確定唯一的x值(xD)與之對應(yīng),這樣就確定了

9、一個(gè)以y為自變量的新函數(shù),即為x=f-1(y),這個(gè)函數(shù)就叫做y=f(x)的反函數(shù),它的定義域?yàn)镸,值域?yàn)镈.第四節(jié)反函數(shù)函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)x=f-1(y)中是以y表示自變量的,為了符合習(xí)慣，我們常常對換函數(shù)x=f-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f-1(x),xM符號f-1的含義有二個(gè)：一是表明原函數(shù)的反函數(shù)；二是表明反函數(shù)的對應(yīng)法則.第四節(jié)反函數(shù)對于任意一個(gè)函數(shù)y=f(x)，它的反函數(shù)不一定存在.例如，在函數(shù)y=x2(xR)中，因?yàn)閷τ趛(y0)都有兩個(gè)值與它對應(yīng)，所以不能構(gòu)成yx的映射，更不能構(gòu)成函數(shù).我們就說在函數(shù)y=x2(xR)沒有反函數(shù).第四節(jié)反函數(shù)反函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系:(1)反函數(shù)與函數(shù)是相對的.如果函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f-1(x)，那么函數(shù)y=f-1(x)的反函數(shù)就是y=f(x)，即y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù).(2)函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別是y=f-1(x)的值域