數(shù)字信號處理6課件

1、 (4.8-1)在一般有限長變換中，其正反變換式可寫為 (4.8-2)式中k(n)稱基序列或變換核，它們相互正交，即4.8 離散余弦變換(4.8-3)序列。變換，使得x(n) 是實序列時，其變換A(k)=X(k) 也是實也是復(fù)序列。實際上有若干種實數(shù)基序列（變換核）的DFT就是這類變換之一。在DFT中，基序列是復(fù)周期序列WN 。在這種變換中，即使x(n) 是實序列，其變換X(k) 是歸一化正交變換如果縮方面特別有用十分重要。的特點，在數(shù)字信號處理的應(yīng)用，尤其是語音、圖像壓DCT與DFT關(guān)系密切。由于DCT具有能量集中(壓縮)離散余弦變換(DCT)就是一種實序列的正交變換，且DCT的變換形式如(

2、4.8-1) (4.8-2)式，其中變換核(基序4.8.1、離散余弦變換的定義列)是余弦函數(shù)。性。由x(n) 的展開不同，有數(shù)種DCT的定義。討論 x(n)的展開。1/41/81/231210例 即與DFT隱含著周期性相似，DCT同時隱含周期對稱中的x(n)在區(qū)間0 n N-1外的延伸也是周期對稱的。x(n)n因為余弦函數(shù)既是周期的又是對稱的，使(4.8-2)式11/21/41/40 1 2 3 4 5 6 7 81/41/81/211/2的周期為2N-2=6 ，對應(yīng)DCT-1 n11/811/21/41/40 1 2 3 4 5 6 7 8 91/41/81/211/2的周期為2N=8 ，對

3、應(yīng)DCT-2 n1/4-1/2-1-1/41/21/811/4-1/2-1/81-1/41/2-1/813 14 155 6 7 8 9 10 11 120 1 2 3 4的周期為4N=16 ，對應(yīng)DCT-3 n-1-1/81/4-1/2-1-1/41/21/811/4-1/2-1/81-1/41/2121314 155 6 7 8 9 10 110 1 2 31的周期為4N=16 ，對應(yīng)DCT-4 n對于給定的實序列x(n) ，0 n N-1 ，DCT定義為(4.8-5)(4.8-4)式中由x(n) 的展開不同，有數(shù)種DCT的定義，只討論最常用的一種，即DCT-2。(4.8-6)反變換系數(shù)是

4、歸一化正交變換所需要的0 n N-1x(n)=IDCTX(k)在本節(jié)中 Xc2 (k)或X c(k)為簡便記為X (k)。 由DCT的定義計算變換可以用矩陣表示為Xc=CNx其中 CN是NN的變換矩陣，例N=8DCT的反變換的矩陣表示為所以CN是歸一化的正交陣，DCT是正交變換。CN的行、列向量均有如下正交關(guān)系 (4.8-7)例 4.8.2、用DFT處理DCT將N點x(n)實序列擴展為2N點的序列y(n)1/41/81/231210 x(n)n1/811/40 1 2 3 4 5 6 71/41/81/211/2由圖可見y(n)對N-1/2偶對稱。 1/41/81/231210 x(n)n對后

5、一項令y(n)的DFT為(4.8-8) 令可寫為k=0,1,2,2N-1與DCT定義比較(4.8-9)或(4.8-10)(4.8-11)(4.8-10)式不僅給除了DFT與DCT的關(guān)系，也給出了一種將其結(jié)果乘以DCT的算法：將x(n) 擴展為2N點序列，并求2N的DFT，對IDCT也可以由Y(k)求 2N點的IDFT得到y(tǒng)(n)，再由(4.8-7)式的y(n)中截取前N點得到x(n)。后取實部，再乘以適當(dāng)常數(shù)因子。4.8.3、快速余弦變換FCT但它沒有利用DCT實系數(shù)的優(yōu)點。實際上DCT余弦變換也有類似DFT的快速算法FCT。其思路、原理與FFT很相似。思路是將長點的DCT分解為短點的DCT，

6、利用基序列余弦的遞推關(guān)系，減少乘法次數(shù)，其流圖結(jié)構(gòu)與FFT也很相似。利用DFT求DCT的算法，可以通過FFT提高計算效率，由DCT與IDCT的定義，其基序列（變換核）相同，以IDCT為例，推導(dǎo)快速余弦變換的原理。(4.8-6)為推導(dǎo)方便將(4.8-6)式改寫為(4.8-12)1、一個N點的IDCT分解為兩個N/2點的IDCT 0 n N-1 (4.8-12)式中(4.8-13) (4.8-14)將(4.8-12)式中的 按 的奇、偶分為兩部分 (4.8-15)式中= g(n)+h(n) 是N/2點的IDCT 利用 (4.8-17)積的公式作恒等變換h(n)還不是標(biāo)準(zhǔn)的N/2點的IDCT利用三角

7、的和差與2cos cos = cos(+) + cos(-) (4.8-18)令(4.8-19)對(4.8-17)式兩邊乘以得(4.8-20)并且定義即(4.8-20)式的第二項可寫為 (4.8-21) 將(4.8-21)式代入(4.8-20)式(4.8-22)(4.8-23)h(n)是N/2點的IDCT，與h(n)的關(guān)系為 (4.8-24)現(xiàn)在g(n)與都可表示為N/2點的IDCT，由式(4.8-15)可得到前N/2點的x(n)0 n (N/2)-1而后N/2點的x(n)，利用余弦的周期對稱性：x(N-n-1)= g(N-n-1)+h(N-n-1) (4.8-25) = g(n)-h(n)分

8、解方法同上， 由式(4.8-16)(4.8-26)其中中的 取奇、偶2、一個N/2點的IDCT分解為兩個N/4點的IDCT (4.8-27)(4.8-29)(4.8-28)利用(4.8-30)(4.8-31)同上利用定義(4.8-31)式的后一項(4.8-34)以及 (4.8-33)(4.8-32)這樣，得到(4.8-35)( 4.8-36)( 4.8-37)由此，前N/4點的g(n)為后N/4點的g(n)為同理由(4.8-23)( 4.8-38)其中中的 取奇、偶( 4.8-39)( 4.8-40)( 4.8-41)利用(4.8-31)式(4.8-42)(4.8-33)以及同上利用定義 (4

9、.8-42)式的后一項( 4.8-43)這樣，得到( 4.8-44)( 4.8-45)( 4.8-46)由此，前N/4點的h(n)為后N/4點的h(n)為例、8點IFCT的流圖一個8點的IDCT分解為兩個4點的IDCT0 n 30 n 33、不斷分解，直到兩點IDCT-1-1-1-1 圖4.8-1 8點的IDCT分解為兩個4點的IDCT一次分解后的流圖如圖4.8-2所示。X(0)X(7)X(6)X(5)X(4)X(3)X(2)X(1)x(0)x(7)x(6)x(5)x(4)x(3)x(2)x(1)N/2點DFCN/2點DFC二次分解將一個4點的IDCT分解為兩個2點的IDCT-1-1g(n)流

10、圖為g(0)g(3)g(2)g(1)g1(0)g1(1)g2(0)g2(1)利用-1-1h1(0)h1(1)h2(0)h2(1)h(n)流圖為-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1 圖4.8-2 8點的IFCT流圖 最后，N=8點的IFCT流圖4.8-3如下所示X(0)X(7)X(6)X(5)X(4)X(2)X(1)X(3)x(0)x(7)x(6)x(5)x(4)x(3)x(2)x(1)因為FCT的算法是IFCT的逆過程，所以翻轉(zhuǎn)IFCT的流圖由圖4.8-2可歸納FCT的一般運算規(guī)律(1)、乘法次數(shù) ，若 是實序列，運算就是實數(shù)運算。的方向就可得到FCT的運算流圖。(2) 輸入是倒序位的。(3) 輸出序號的生成由一對二進制數(shù)(0，1)開始，在每個作業(yè)：畫出16點IFCT流圖110，100，101)；。后取反，得到八個二進制數(shù)(000，001，011，010，111，依此方法再對四個二進制數(shù)(00，01，11，10) 前加“0”制數(shù)(00，01)取反，得到四個二進制數(shù)(00，01，11，10)數(shù)前加一個“0”，得到一對二進制數(shù)(00，01)；對這對二進當(dāng)N=8時，就是x(0), x(1) ,x(3) ,x(2), x(7), x(6),x(4),x(5)。h(n)是N/2點的IDCT，與h(