電子科大高等數(shù)學(xué)競賽試題與解答

1、電子科大高等數(shù)學(xué)競賽試題與解答一、選擇題（40分，每小題4分，只有一個答案正確）.1.設(shè)，且，則（ C ）(A) 存在且等于零;(B) 存在但不一定等于零；(C) 不一定存在；(D) 一定不存在.2.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，的原函數(shù)，則（ A ）(A) 當(dāng)為奇函數(shù)時,必為偶函數(shù)；(B) 當(dāng)為偶函數(shù)時,必為奇函數(shù)；(C) 當(dāng)為周期函數(shù)時,必為周期函數(shù)；(D) 當(dāng)為單調(diào)增函數(shù)時,必為單調(diào)增函數(shù).3.設(shè)，在內(nèi)恒有，記，則有（ B ）(A) ;(B) ;(C) ;(D) 不確定.4.設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，當(dāng)時，是同階無窮小，則（ B ）(A) 4；(B) 3；(C) 2；(D) 1.5.設(shè)，則在點（ D ）(A)

2、不連續(xù)；(B) 連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在；(C) 可微；(D) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微.6.設(shè)，則以向量、為邊的平行四邊形的對角線的長度為（ A ）(A) ；(B) 3, 11；(C) ；(D) .7.設(shè)是包含原點在內(nèi)的兩條同向閉曲線，的內(nèi)部，若已知（k為常數(shù)），則有（ D ）(A) 等于k； (B) 等于； (C) 大于k；(D) 不一定等于k，與L2的形狀有關(guān).8.設(shè)在處收斂，則在處（ D ）(A) 絕對收斂；(B) 條件收斂；(C) 發(fā)散；(D) 收斂性與an有關(guān).9.設(shè)A為矩陣，B為矩陣，若，則齊次線性方程組（ C ）(A) 無解；(B) 只有零解；(C) 有非零解；(D) 可能有解，也可

3、能無解.10.設(shè)是空間個相異的點，記，則共面的充分必要條件是（ D ）(A) 秩(A)=1;(B) 秩(A)=2;(C) 秩(A)=3; (D) 秩(A)=2或秩(A)=3.11設(shè)在（）上連續(xù)，且為非零偶函數(shù)，則（B）.（A）是偶函數(shù)；（B）是奇函數(shù)；（C）是非奇非偶函數(shù)；（D）可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù).12設(shè)在上連續(xù)，且，則（D）.（A）在內(nèi)不一定有使； （B）對于上的一切都有；（C）在的某個小區(qū)間上有；（D）在內(nèi)至少有一點使.13已知當(dāng)時，的導(dǎo)數(shù)與為等價無窮小，則（B）.（A）等于0；（B）等于；（C）等于1；（D）不存在.14設(shè)是微分方程的滿足，的解，則（B）.（A）等于0；（B）等

4、于1；（C）等于2；（D）不存在.15設(shè)直線L：，平面：，則它們的位置關(guān)系是 （C）.（A）；（B）L在上；（C）；（D）L與斜交.16設(shè)在全平面上有，則保證不等式成立的條件是（A）.（A），；（B），；（C），；（D），.17設(shè)S為八面體全表面上半部分的上側(cè)，則不正確的是（D）.（A）；（B）；（C）；（D）.18設(shè)常數(shù)，則級數(shù)是（A）.（A）條件收斂；（B）絕對收斂；（C）發(fā)散；（D）斂散性與有關(guān)19設(shè)A、B都是階非零矩陣，且，則A和B的秩（D）.（A）必有一個等于零；（B）都等于；（C）一個小于，一個等于；（D）都小于.20設(shè)A是3階可逆矩陣，且滿足，（為A的伴隨矩陣），則A的三個特征值

5、是（C）.（A）3，3，；（B），2；（C）3，；（D），2，2.21. 下列命題中正確的命題有幾個？ （ A ）（1）無界變量必為無窮大量； (2) 有限多個無窮大量之和仍為無窮大量；（3）無窮大量必為無界變量； (4) 無窮大量與有界變量之積仍為無窮大量.(A) 1個； (B) 2個； (C) 3個； (D) 4個. 22. 設(shè) ， 則是間斷點的函數(shù)是 （ B ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .23. 設(shè)為在上應(yīng)用拉格朗日中值定理的“中值”，則 （ C ）(A) 1； (B) ； (C) ； (D) .24. 設(shè)連續(xù)，當(dāng)時，與為等價無窮小，令，, 則當(dāng)時，的 （ D ）(A)

6、 高階無窮小；(B) 低階無窮??；(C) 同階無窮小但非等價無窮??；(D) 等價無窮小.25. 設(shè)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足 則在點處 （ A ）(A) 取極大值；(B) 取極小值； (C) 無極值； (D) 不能確定是否有極值.26. 設(shè)在連續(xù)，且導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則有 （ D ）(A) 1個極小值點與2個極大值點，無拐點；(B) 2個極小值點與1個極大值點，1個拐點；(C) 2個極小值點與2個極大值點, 無拐點；(D) 2個極小值點與2個極大值點，1個拐點.27. 設(shè)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，則 （ B ）(A) ；(B) ； (C) ； (D) 0 .28. 設(shè)任意項級數(shù) 條件收斂，將其中的

7、正項保留負(fù)項改為0所組成的級數(shù)記為, 將其中的負(fù)項保留正項改為0所組成的級數(shù)記為，則與 （ B ） (A) 兩者都收斂； (B) 兩者都發(fā)散；(C)一個收斂一個發(fā)散；(D) 以上三種情況都可能發(fā)生.29. 設(shè) 階矩陣A的伴隨矩陣 ，且非齊次線性方程組 有兩個不同的解向量，則下列命題正確的是 （ D ）(A) 也是的解； (B) 的通鮮為 （）；(C) 滿足的數(shù)必不為零；(D) 是的基礎(chǔ)解系.30. 設(shè)則三個平面 兩兩相交成三條平行直線的充要條件是 （ C ）(A) 秩;(B) 秩;(C) 中任意兩個均線性無關(guān)，且不能由線性表出; (D) 線性相關(guān)，且不能由線性表出.二、（8分）設(shè)在的鄰域具有二

8、階導(dǎo)數(shù)，且，試求，及.解 由等價無窮小得（或由泰勒公式得）三、（8分）設(shè)及，求.解.四、（8分）設(shè)函數(shù)滿足與，求，（表示對的一階偏導(dǎo)數(shù)，其他類推）.解等式兩端對x求導(dǎo),得. 這兩個等式,對x求導(dǎo)得, 由已知條件得,故解得， .五、（8分）設(shè)向量組，是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，向量不是方程組的解，即，試證明：向量組，線性無關(guān).證設(shè)有一組數(shù)使得,即兩邊左乘A,得 , ,即,為的基礎(chǔ)解系。故線性無關(guān)。六、（10分）已知三元二次型經(jīng)正交變換化為，又知，其中，為A的伴隨矩陣，求此二次型的表達(dá)式.解由條件知A的特征值為，則，的特征值為，A*的特征值為，由已知是A*關(guān)于的特征向量，也就是是A關(guān)于的特征向

9、量，設(shè)A關(guān)于的特征向量為, 是實對稱陣，與X要正交，解出.令，則，故七、（8分）設(shè)S是以L為邊界的光滑曲面，試求可微函數(shù)使曲面積分與曲面S的形狀無關(guān).解以L為邊界任作兩個光滑曲面，它們的法向量指向同一例，記為與所圍成的閉曲面，取外側(cè)，所圍立體為，則，由高斯公式得，由的任意性得 , 即解線性非齊次方程得.八、（10分）設(shè)一球面的方程為，從原點向球面上任一點Q處的切平面作垂線，垂足為點P，當(dāng)點Q在球面上變動時，點P的軌跡形成一封閉曲面S，求此封閉曲面S所圍成的立體的體積.解設(shè)點Q為，則球面的切平面方程為 垂線方程為代入及切平面方程得，即（P點軌跡）.化為球坐標(biāo)方程得.九、（10分）設(shè)函數(shù)在（）上連

10、續(xù)，在可導(dǎo)，且.（1）求證：，等式成立.（2）求極限.證（1）令, ,由中值定理得 ，.（2）由上式變形得，兩邊取極限，.十、（10分）設(shè)函數(shù)在（，）連續(xù)，周期為1，且，函數(shù)在0，1上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，設(shè)，求證：級數(shù)收斂.證由已知條件，令則為周期為1的函數(shù)，且，因此=，連續(xù)、周期，有界，使，有，即，又在連續(xù)，使，有，故，由正項級數(shù)比較法知收斂.二、（8分）設(shè)，試確定、的值，使都存在.解：當(dāng)時，故；當(dāng)時，。十一、（8分）設(shè)的一個原函數(shù)，且，求.解：，由知，十二、（10分）設(shè)，S為的邊界曲面外側(cè)，計算解：（下側(cè)），（上側(cè)）， 十三、（10分）已知向量組線性無關(guān)，向量都可用表出，即求證：線性相關(guān)的充分必要

11、條件是矩陣的秩.解：（）設(shè)線性相關(guān)，則不全為0的使，即，線性無關(guān)，即是齊次線性方程組的非零解，故。（）設(shè)，則有非零解，即不全為0的使成立，從而，故線性相關(guān)。十四、（10分）設(shè)n階實對稱矩陣的秩為r，且滿足（稱A為冪等矩陣），求：（1）二次型的標(biāo)準(zhǔn)形；（2）行列式的值，其中E為單位矩陣.解：A為實對稱陣，正交陣P，使，為A的特征值。（1）設(shè)是A的任一特征值，為對應(yīng)特征向量，則，或，即實對稱冪等矩陣的特征值只取0或1。由，知中有r個1，個0，適當(dāng)排列P中列向量，可使，其中為r階單位矩陣，故二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為。（2）由得，故十五、（10分）已知，.求證：（1）數(shù)列收斂；（2）的極限值a是方程的唯一正根

12、.解一：（1），； 又收斂，收斂，收斂，又因，故收斂。（2）令，且，即a是的根，令，故根唯一。解二：由已知，由此可見， （用歸納法證明偶數(shù)項單調(diào)減少，奇數(shù)項單調(diào)增加）。設(shè)，。， 由知、收斂，令，；由，知，。對兩邊取極限得， 對兩邊取極限得， 由得，解得由知收斂，且為方程的根（再證唯一性）。十六、（12分）設(shè)在單位圓上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上取值為零，求證： , 其中D為圓環(huán)域：解一：令，。由已知當(dāng)時，故解二：令，令為（逆時針），為（順時針） ，。十七、（12分）如圖所示，有一圓錐形的塔，底半徑為R，高為，現(xiàn)沿塔身建一登上塔頂?shù)臉翘荩髽翘萸€在每一點的切線與過該點垂直于平面的直線的夾角為，

13、樓梯入口在點, 試求樓梯曲線的方程.解：設(shè)曲線上任一點為，曲線參數(shù)方程為（*），在點的切向量為，垂線方向向量為。，化簡得，由實際問題應(yīng)，解得，由，得，故，將此式代入?yún)?shù)方程（*）即得樓梯曲線。十八、(10分）設(shè)在區(qū)間連續(xù)，, 試解答下列問題：（1）用表示；（2）求；（3）求證：；（4）設(shè)在內(nèi)的最大值和最小值分別是,求證：. 解（1）（2）（3）（4）十九、（10分）求曲線 所圍成的平面圖形的面積.解1去掉絕對值曲線為：解2令.二十、（10分）設(shè)曲面為曲線 () 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的下側(cè)，計算曲面積分 解1S的方程為補兩平面 ；解2二十一、（10分）設(shè)n階矩陣 的前 個列向量線性相關(guān), 后 個

14、列向量線性無關(guān), ; （1）證明線性方程組有無窮多解；（2）求方程組的通解.解（1）相關(guān)，相關(guān)；無關(guān)，的秩為，且可以由表出；又由已知可由表出，故與等價，從而的秩為，增廣矩陣的秩與A的秩相等，即，故有無窮多解.（2）相關(guān)，不全為0的數(shù)，使，即，又 的基礎(chǔ)解系只含一個解向量的基礎(chǔ)解系；又 的解，故的通解為x = C二十二、（10分）設(shè) 階矩陣的4個不同特征值為, 其對應(yīng)的特征向量依次為，記, 求證： 線性無關(guān).解1，從而.無關(guān)，故的秩為4，故線性無關(guān).解2設(shè)存在一組數(shù)使 （1）由題設(shè)，利用特征向量的性質(zhì)可得 （2）將（2）式一并代入（1）式可有整理得因分屬不同的特征值，故線性無關(guān)，從而有視為未知數(shù)，此為4個未知量，4個方程組成的齊次線性方程組，其系數(shù)行式為范德蒙德行列的轉(zhuǎn)置. 因互異，所以. 這表明只有零解，即=0，從而線性無關(guān).二十三、（10分）設(shè)冪級數(shù) , 當(dāng)時，且;（1）求冪級數(shù)的和函數(shù)