湖北省恩施州建始縣2022年高考數(shù)學四模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD2設(shè)是虛數(shù)單位，則（ ）ABC1D23在正方體中，點、

2、分別為、的中點，過點作平面使平面，平面若直線平面，則的值為（ ）ABCD4已知集合，集合，則（）ABCD5設(shè)，是非零向量，若對于任意的，都有成立，則ABCD6已知向量，且，則m=( )A8B6C6D87已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD8若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD9函數(shù)在上的圖象大致為（ ）A B C D 10過橢圓的左焦點的直線過的上頂點，且與橢圓相交于另一點，點在軸上的射影為，若，是坐標原點，則橢圓的離心率為（ ）ABCD11現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的

3、概率為ABCD12如圖，平面ABCD，ABCD為正方形，且，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則的面積為_14函數(shù)的最小正周期是_，單調(diào)遞增區(qū)間是_.15如圖，是一個四棱錐的平面展開圖，其中間是邊長為的正方形，上面三角形是等邊三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，則此四棱錐的體積為_16已知函數(shù)在處的切線與直線平行，則為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點且斜率存在

4、的直線交橢圓于兩點，點與點關(guān)于坐標原點對稱連接求證：存在實數(shù)，使得成立18（12分）在中，是邊上一點，且，.（1）求的長；（2）若的面積為14，求的長.19（12分）已知點，且，滿足條件的點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）是否存在過點的直線，直線與曲線相交于兩點，直線與軸分別交于兩點，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由20（12分）已知，函數(shù).（）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的值；（）若恒成立，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）21（12分）如圖，在直三棱柱中，點分別為和的中點.（）棱上是否存在點使得平面平面？若存在，寫出的長并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.（）求二面角的余弦值.

5、22（10分）已知矩陣，且二階矩陣M滿足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的一個特征向量.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】根據(jù)所給函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像，分段討論函數(shù)的零點情況：易知為的一個零點；對于當時，由代入解析式解方程可求得零點，結(jié)合即可求得的范圍；對于當時，結(jié)合導函數(shù)，結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖像如下圖所示：函數(shù)的零點，即.由圖像可知，所以是的一個零點，當時，若，則，即，所以，解得；當時，則，且若在時有一個零點，則，綜上可得，故選：

6、B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法，函數(shù)零點定義及應(yīng)用，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，導數(shù)的幾何意義應(yīng)用，屬于中檔題.2C【解析】由，可得，通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：， ，解得：.故選:C.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算，考查了復數(shù)相等的涵義.對于復數(shù)的運算類問題，易錯點是把 當成進行運算.3B【解析】作出圖形，設(shè)平面分別交、于點、，連接、，取的中點，連接、，連接交于點，推導出，由線面平行的性質(zhì)定理可得出，可得出點為的中點，同理可得出點為的中點，結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示：設(shè)平面分別交、于點、，連接、，取的中點，連接、，連接交于點，四邊形為正方

7、形，、分別為、的中點，則且，四邊形為平行四邊形，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，平面，則存在直線平面，使得，若平面，則平面，又平面，則平面，此時，平面為平面，直線不可能與平面平行，所以，平面，平面，平面，平面平面，所以，四邊形為平行四邊形，可得，為的中點，同理可證為的中點，因此，.故選：B.【點睛】本題考查線段長度比值的計算，涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是找出平面與正方體各棱的交點位置，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.4D【解析】可求出集合，然后進行并集的運算即可【詳解】解：，；故選【點睛】考查描述法、區(qū)間的定義，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及并集的運算5D【解析】畫出，根據(jù)向量的加減法

8、，分別畫出的幾種情況，由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意，得向量是所有向量中模長最小的向量，如圖，當，即時，最小，滿足，對于任意的，所以本題答案為D.【點睛】本題主要考查了空間向量的加減法，以及點到直線的距離最短問題，解題的關(guān)鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于基礎(chǔ)題.6D【解析】由已知向量的坐標求出的坐標，再由向量垂直的坐標運算得答案【詳解】，又，34+（2）（m2）0，解得m1故選D【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，考查向量垂直的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題7B【解析】利用換元法設(shè)，則等價為有且只有一個實數(shù)根，分 三種情況進行討論，結(jié)合函數(shù)的圖象，求出的取值范圍.【詳解】解：設(shè) ，則有且只有一個實

9、數(shù)根.當 時，當 時， ，由即，解得，結(jié)合圖象可知，此時當時，得 ，則 是唯一解，滿足題意；當時，此時當時，此時函數(shù)有無數(shù)個零點，不符合題意；當 時，當 時，此時 最小值為 ，結(jié)合圖象可知，要使得關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根，此時 .綜上所述： 或.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)方程根的個數(shù)的應(yīng)用.利用換元法，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.8A【解析】試題分析：由題意得有兩個不相等的實數(shù)根，所以必有解，則，且，考點：利用導數(shù)研究函數(shù)極值點【方法點睛】函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略（1）知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導數(shù)為0的點，再判斷導數(shù)為0的點的左、右兩側(cè)的導數(shù)符號.（2）已知函數(shù)求極值.求f

10、（x）求方程f（x）0的根列表檢驗f（x）在f（x）0的根的附近兩側(cè)的符號下結(jié)論.（3）已知極值求參數(shù).若函數(shù)f（x）在點（x0，y0）處取得極值，則f（x0）0，且在該點左、右兩側(cè)的導數(shù)值符號相反.9C【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時的符號，即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，排除選項A，B；當時，排除選項D，故選：C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性，屬于中檔題.10D【解析】求得點的坐標，由，得出，利用向量的坐標運算得出點的坐標，代入橢圓的方程，可得出關(guān)于、的齊次等式，進而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由，得，則，即

11、.而，所以，所以點.因為點在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關(guān)鍵就是要得出、的齊次等式，充分利用點在橢圓上這一條件，圍繞求點的坐標來求解，考查計算能力，屬于中等題.11B【解析】求得基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動，基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為，故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型

12、及其概率的計算問題，其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù)，利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12C【解析】分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè).則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選：C【點睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小

13、題，每小題5分，共20分。13【解析】由余弦定理先算出c，再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理，得，即，解得，故的面積.故答案為：【點睛】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積，考查學生的計算能力，是一道基礎(chǔ)題.14 ， 【解析】化簡函數(shù)的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可【詳解】函數(shù)，最小正周期，令，可得，所以單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案為：，【點睛】本題主要考查了二倍角的公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題15【解析】畫圖直觀圖可得該幾何體為棱錐,再計算高求解體積即可.【詳解】解：如圖,是一個四棱錐的平面展開圖,其中間是邊長為的正方形,上面三角形是等邊三角形,左、右三角形是等腰

14、直角三角形,此四棱錐中,是邊長為的正方形,是邊長為的等邊三角形,故,又,故平面平面,的高是四棱錐的高,此四棱錐的體積為:故答案為：【點睛】本題主要考查了四棱錐中的長度計算以及垂直的判定和體積計算等,需要根據(jù)題意16【解析】根據(jù)題意得出，由此可得出實數(shù)的值.【詳解】，直線的斜率為，由于函數(shù)在處的切線與直線平行，則.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線與直線平行求參數(shù)，解題時要結(jié)合兩直線的位置關(guān)系得出兩直線斜率之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）證明見解析【解析】（1）由點可得,由,根據(jù)即可求解；（2）設(shè)直線的方

15、程為,聯(lián)立可得,設(shè),由韋達定理可得,再根據(jù)直線的斜率公式求得；由點B與點Q關(guān)于原點對稱,可設(shè),可求得,則,即可求證.【詳解】解:（1）由題意可知,又,得,所以橢圓的方程為（2）證明:設(shè)直線的方程為，聯(lián)立,可得,設(shè),則有,因為,所以,又因為點B與點Q關(guān)于原點對稱,所以,即,則有,由點在橢圓上,得,所以,所以,即，所以存在實數(shù),使成立【點睛】本題考查橢圓的標準方程,考查直線的斜率公式的應(yīng)用,考查運算能力.18（1）1；（2）5.【解析】（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，再由兩角差的正弦公式求得，最后由正弦定理構(gòu)建方程，求得答案.（2）在中，由正弦定理構(gòu)建方程求得AB，再由任意三角形的面積公式構(gòu)建方程求

16、得BC，最后由余弦定理構(gòu)建方程求得AC.【詳解】（1）據(jù)題意，且，所以.所以.在中，據(jù)正弦定理可知，所以.（2）在中，據(jù)正弦定理可知，所以.因為的面積為14，所以，即，得.在中，據(jù)余弦定理可知，所以.【點睛】本題考查由正弦定理與余弦定理解三角形，還考查了由同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角差的正弦公式化簡求值，屬于簡單題.19（1）（2）存在， 或【解析】（1）由得看成到兩定點的和為定值，滿足橢圓定義，用定義可解曲線的方程.（2）先討論斜率不存在情況是否符合題意，當直線的斜率存在時，設(shè)直線點斜式方程，由，可得，再直線與橢圓聯(lián)解，利用根的判別式得到關(guān)于的一元二次方程求解.【詳解】解：設(shè)，由， ，可得，即為，

17、由，可得的軌跡是以為焦點，且的橢圓，由，可得，可得曲線的方程為；假設(shè)存在過點的直線l符合題意當直線的斜率不存在，設(shè)方程為，可得為短軸的兩個端點，不成立；當直線的斜率存在時，設(shè)方程為，由，可得，即，可得，化為，由可得，由在橢圓內(nèi)，可得直線與橢圓相交，則化為，即為，解得，所以存在直線符合題意，且方程為或【點睛】本題考查求軌跡方程及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題. （1）定義法求軌跡方程的思路:應(yīng)用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動點的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標準方程，用待定系數(shù)法求解；（2）解決是否存在直線的問題時，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)立方程

18、消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解.20（）；（）3.【解析】（）先求導，得，已知導函數(shù)單調(diào)遞增，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，令，求得，討論得，而，故，進而得解；（）可通過必要性探路，當時，由知，又由于，則，當，結(jié)合零點存在定理可判斷必存在使得，得，化簡得，再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證；【詳解】（）的定義域為.易知單調(diào)遞增，由題意有.令，則.令得.所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.所以，而又有，因此，所以.（）由知，又由于，則.下面證明符合條件.若.所以.易知單調(diào)遞增，而，因此必存在使得，即.且當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；則.綜上，的最大值為3.【點睛】本題考查導數(shù)的計算，利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值，屬于中檔題21（）存在點滿足題意，且，證明詳見解析；（）.【解析】（）可考慮采用補形法，取的中點為，連接，可結(jié)合等腰三角形性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)，先證平面，即，若能證明，則可得證，可通過我們反推出點對應(yīng)位置應(yīng)在處，進而得證；（）采用建系法，以為坐標原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，分別求出兩平面對應(yīng)法向量，再結(jié)合向量夾角公式即可求解；【詳解】（）存在點滿足題意，且.證明如下：取的中點為，連接.則，所以平面.因為是的中點，所以.在直三棱柱中，平面平面，且交線為，所以平面，所以.在平面內(nèi)，所以，從而可得.又因為，所以平面.因為平面，所以平面平面.（）如圖所示，以為坐標原點，