MATLAB軟件在高等數(shù)學中應用探索

1、目 錄TOC o 1-3 h u 摘要1關鍵詞1Abstract1Key words 1 HYPERLINK l _Toc12182 引言1 HYPERLINK l _Toc1826 1 MATLAB 軟件概述2 HYPERLINK l _Toc1660 1.1 MATLAB軟件簡介 2 HYPERLINK l _Toc26274 1.2 MATLAB軟件的特點 2 HYPERLINK l _Toc6913 2 MATLAB 軟件在大學數(shù)學中的應用2 HYPERLINK l _Toc28961 2.1 函數(shù)及其圖像2 HYPERLINK l _Toc32759 2.1.1 函數(shù)2 HYPERL

2、INK l _Toc7938 2.1.2 圖像3 HYPERLINK l _Toc8617 2.2 極限6 HYPERLINK l _Toc29457 2.3 導數(shù)與微分7 HYPERLINK l _Toc18610 2.4 定積分與不定積分7 HYPERLINK l _Toc8617 2.5 重積分9 HYPERLINK l _Toc8617 2.6 曲線積分與曲面積分 10 HYPERLINK l _Toc10353 2.7 級數(shù) 12 HYPERLINK l _Toc27836 3 MATLAB 軟件在線性代數(shù)中的應用 13 HYPERLINK l _Toc9459 3.1 行列式求值

3、13 HYPERLINK l _Toc7673 3.2 矩陣的基本運算 13 HYPERLINK l _Toc31513 3.3 矩陣的秩 15 HYPERLINK l _Toc8617 3.4 矩陣的分解 16 HYPERLINK l _Toc17294 3.5 求解線性方程組 17 HYPERLINK l _Toc24925 3.6 方陣與二次型 19 HYPERLINK l _Toc7766 4 MATLAB 軟件在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的應用 21 HYPERLINK l _Toc28780 4.1 離散型隨機變量的分布 21 HYPERLINK l _Toc15001 4.2 連續(xù)型隨機

4、變量的分布 24 HYPERLINK l _Toc18546 4.3 隨機變量的數(shù)字特征 25 HYPERLINK l _Toc4276 4.3.1 數(shù)學期望 25 HYPERLINK l _Toc32184 4.3.2 方差 26 HYPERLINK l _Toc21443 5 結束語26 HYPERLINK l _Toc28434 參考文獻 27 HYPERLINK l _Toc9924 致謝 27MATLAB軟件在高等數(shù)學中的應用探索摘要 MATLAB將計算機、可視化、程序設計融合到了一簡單的交互式工作環(huán)境中,可實現(xiàn)工程計算、算法研究、符號計算、建模和仿真、原型開發(fā)、數(shù)據(jù)分析及可視化、科

5、學工程繪圖和應用程序設計等功能,在經(jīng)濟、生物、物理、信息等相關領域有著廣泛的應用天地.在數(shù)學領域,MATLAB也成為數(shù)學分析、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、復變函數(shù)論等課程的基本教學工具,有著廣闊的應用前景.為如何解決實際與理論教學中計算繁瑣問題增加學習直觀性和趣味性及培養(yǎng)學生數(shù)學的應用及創(chuàng)新能力提供借鑒給出了應用MATLAB軟件輔助大學數(shù)學教學的幾個典型案例.從中讓更多的人了解和認識MATLAB.關鍵詞 MATLAB 數(shù)學分析 線性代數(shù) 概率統(tǒng)計 數(shù)學趣味性 The Using Exploration of MATLAB on Mathematics QuestionAbstract MATL

6、AB made computer, visualization, design integration into a simple interactive work environment, which can realize engineering calculation, algorithm research, symbolic computation, modeling and simulation, prototype development, data analysis and visualization, science, engineering drawing and appli

7、cation design, and other functions, in the economic, biological, physical, information and other related fields has been widely used. In the field of mathematics, MATLAB also become mathematics analysis, linear algebra, probability and mathematical statistics, complex variable function theory and so

8、 on the basic teaching tools, has a broad application prospect. For how to solve the problem of complicated calculation in practical and theoretical teaching more intuitive and fun learning and cultivate the students mathematics application ability and innovation provide application of MATLAB softwa

9、re aided university mathematics teaching is given for several typical cases. To let more people understand and know from MATLAB.Key words MATLAB mathematical analysis linear algebra probability and statistics mathematics fun 引言 MATLAB是由Math Works公司于1984年推出的一種面向科學與工程的計算軟件.它集數(shù)值分析、矩陣運算、程序設計、符號計算及圖形顯示于一

10、體的非常優(yōu)秀的圖形化語言,該軟件具有簡單易學功能強大、使用方便、編程高效、界面友好等特點,已被廣泛應用在數(shù)學、物理學、化學、電子信息科學、工程力學及經(jīng)濟學等理工科和社會科學的不同應用領域.隨著計算機技術在各個領域的深入應用,MATLAB語言已經(jīng)成為大學生、研究生必須掌握的基本技能,已經(jīng)成為廣大科研工作者進行科學研究和工程實踐的必備工具.已經(jīng)被認可為能夠有效提高工作效率、改善設計手段的工具軟件,掌握了MATLAB就好比掌握了開啟這些專業(yè)領域大門的鑰匙.大部分學生對高等數(shù)學一直感到抽象、冗繁和枯燥,不能親手體驗數(shù)學,只能被動接受.近年來,基于計算機強大計算能力的廣泛應用,科學計算已成為與理論研究、

11、科學實驗并列的科學研究的三大手段.在數(shù)學軟件發(fā)展成熟的今天,國外大量課程的教材都已采用數(shù)學軟件分析,教學中大量使用數(shù)學軟件;而國內教材這方面比國外落后,教學中實際使用數(shù)學軟件的就更少.科學計算能力的低下已成為我國高等教育落后于國外的一個瓶頸,而且目前還在繼續(xù)加大.下面探討MATLAB在高等數(shù)學中的應用,實驗證明該軟件功能強大,語言簡潔易學,人機界面友好,工具箱具有豐富的技術支持,應用簡單而且效果良好.1 MATLAB軟件概述1.1 MATLAB軟件簡介Matlab即Matrix Laboratary 矩陣實驗室,是由美國Clever Moler博士于1980年開發(fā)的,設計者的初衷是為了解決“線

12、性代數(shù)”課程的矩陣運算問題.它是一種集數(shù)值計算、符號預算、可視化建模、仿真和圖形處理等多種功能于一體的優(yōu)秀圖形化軟件.Matlab將高性能的數(shù)值計算和可視化集成在一起,提供大量內置函數(shù),將數(shù)值分析、矩陣計算以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個簡單的視窗環(huán)境中,為科學研究、工程設計以及其他眾多科學領域提供了一種全面的解決方案,并在很大程度上擺脫了程序設計語言如C、Fortran等編輯模式,代表當今國際科學計算軟件的先進水平. Matlab將一個優(yōu)秀軟件的易用性與可靠性、通用性與專業(yè)性、一般目的的應用與高深的科技應用有機結合.它是一種直譯式的高級語言,比其他程序設計語言容易,對于

13、相關程序只需修改相應的參數(shù)便會得出不同的結論.現(xiàn)如今大學教學課程中引入計算機模擬技術正日益受到重視,與Basic、C和Fortran相比,用Matlab軟件做試驗的模擬,只需要用數(shù)學方式表達和描述,省去了大量繁瑣的編程過程,使得解決問題變得簡單.同時Matlab在動畫設計和音樂制作方面也有廣闊的應用前景.1.2 MATLAB軟件的特點 Matlab軟件具有簡潔緊湊、語法限制不嚴、程序設計自由度大、可移植性好、運算符、庫函數(shù)豐富、圖形功能強大、界面友好、編程效率高、擴展性、靈活性強等特點. Matlab具備很強的開放性.除內部函數(shù)外,所有Matlab基本文件和各工具箱文件都是可讀、可改的源文件,

14、用戶可通過對源文件的修改或加入自己編寫的文件去構成新的專用工具箱.2 MATLAB軟件在大學數(shù)學中的應用2.1 函數(shù)及其圖像2. 1. 1 函數(shù)數(shù)學分析中函數(shù)部分主要講述以下內容：（1）函數(shù)的基本性質,如函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性、有界性等；（2）常值函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)六種基本初等函數(shù)的性質.2. 1. 2 圖像函數(shù)的圖像對我們了解函數(shù)的性質很有幫助,而計算與繪圖正是Matlab所“擅長”的項目. 例2.1.1 繪制函數(shù) ,的圖形.程序為： clear x=-2*pi:0.1:2*pi; y=cos(x)； plot(x,y,.)運行結果： 圖2-1 函數(shù)

15、的圖形 例2.1.2 繪制函數(shù)的動畫圖像.程序為： x=-3:0.1:3; X,Y=meshgrid(x); z=sin(X.*Y).*exp(X.*Y/5); mesh(z); M=moviein(40); axis manual For j=1:40 mesh(cos(4*pi*j/40)*z,z) M(:,j)=getframe; End運行結果： 圖2-2 函數(shù)的圖形 例2.1.3 繪制螺旋線 的圖形.程序為： t=0:0.1:6*pi; x=cos(t); y=sin(t); z=t; plot3(x,y,z)運行結果： 圖2-3 函數(shù) 的圖形 例2.1.4 繪制函數(shù) 的圖形.程序為

16、： x,y=meshgrid(-2:0.1:2); z=x.*exp(-x.2-y.2); plot3(x,y,z)運行結果： 圖2-4 函數(shù)的圖形 例2.1.5 繪制由 繞y軸旋轉一周形成的旋轉曲面.程序為： x=0.2:0.001:0.5; y=1./x; x,y,z=cylinder(y,30); mesh(x,y,z)運行結果： 圖2-5 由函數(shù)旋轉所得曲面圖形2.2 極限 極限這個概念是高等數(shù)學中非常重要而且又很抽象的概念, 我們理解起來往往很困難, 但通過幾何圖形能夠很好地體現(xiàn)此概念的內涵. 例2.2 畫出函數(shù) 的圖像,觀察時的極限. 程序為： x=linspace(-40,40,

17、200); y=sin(x)./x; plot(x,y); grid on axis(-40,40,-1.5,1.5)運行結果： 圖2-6 函數(shù) 的圖形 從圖中可看出,.2.3 導數(shù)與微分 導數(shù)是高等數(shù)學的一個基本概念.相關的內容有復合函數(shù)求導,隱函數(shù)求導,多元函數(shù)的偏導數(shù)以及導數(shù)的應用極值問題等等,是高等數(shù)學中非常重要的一部分內容. Matlab的符號運用工具箱中有著請打的求導運算功能.在一些較為復雜的導數(shù)和微分計算中, 利用Matlab可以快速求出結果, 并能輕易畫出圖像, 比較原圖像和微分圖像之間的區(qū)別, 能更加直觀地理解微分的意義. 例2.3 求函數(shù) 的一階導數(shù)、二階導數(shù).程序為： s

18、yms x a by=sin(a*x)*cos(b*x);diff(y) syms x a bf=sin(a*x)*cos(b*x);diff(f,2)運行結果： ans = a*cos(a*x)*cos(b*x) - b*sin(a*x)*sin(b*x)ans = - a2*cos(b*x)*sin(a*x) - b2*cos(b*x)*sin(a*x) - 2*a*b*cos(a*x)*sin(b*x) 2.4 定積分與不定積分 積分是高等數(shù)學里的一個基本而又重要的組成部分.積分是微分的逆運算,不定積分的求解除了記住常用的積分表和積分法則外,還包含很大的技巧.積分是微分的逆運算, 由于人

19、類思維的局限性, 積分更難求解.定積分在一些情況下可以看作在一定范圍內的微小量的和.Matlab為我們的積分運算提供一個簡潔而又功能強大的工具,應用Matlab也可達到快速、精確的求解. 例2.4.1 計算定積分 . 程序為： syms x; y=(x*(1+x)3)(-0.5); int(y,0,+inf)運行結果： ans = 2 例2.4.2 顯示不定積分 ; ; 的圖像.程序為： syms x; a=int(sec(x)*tan(x); b=int(1/(sin(x)2); c=int(1/sqrt(1-x2); ezplot(a); ezplot(b); ezplot(c);運行結果

20、： 圖2-7 不定積分的積分曲線 圖2-8 不定積分的積分曲線 圖2-9 不定積分的積分曲線2.5 重積分定積分解決了連續(xù)量求值的問題,而解決多維連續(xù)量的求和問題時就要用到重積分的運算了.重積分是建立在定積分基礎上的積分,它的基本思想也是將重積分轉化為定積分來計算,其中關鍵是積分限的確定,這也是重積分的難點所在.Matlab系統(tǒng)并沒有提供專門的函數(shù)來計算重積分,因此在我們確定了積分限后仍用計算定積分的函數(shù)來處理重積分問題. 例2.5.1 計算積分.程序為： syms x y; f=x*y; int(int(f,y,2-x,sqrt(2*x-x2),x,0,2)運行結果：ans = 0 例2.5

21、.2 計算,由曲面,z=1,z=2所圍成的空間立體.程序為： syms x y z; f=z; Az=int(f,z,x2+y2,2); Ay=int(Az,y,0,sqrt(2-x2); Ax=int(Ay,x,0,sqrt(2)運行結果：Ax = (2*pi)/32.6 曲線積分與曲面積分積分實際上是求連續(xù)量作用的累積,當連續(xù)量定義在直線段上時,求累積的過程就是定積分,當連續(xù)量定義在平面區(qū)域上時,這個過程就是二重積分,當連續(xù)量定義在三維立體空間上時,這個過程就是三重積分.如果連續(xù)量是定義在空間曲線上或者空間曲面上時,則這個球累積的過程就是曲線積分和曲面積分了.曲線積分、曲面積分又分為兩種類

22、型,一種是定義域無向的積分,一種是定義域有向的積分. 例2.6.1 計算曲線積分,其中為圓周且取正方向. 法一（直接計算）：程序為： syms x y t dx dy a x=a*cos(t); y=a*sin(t); dx=diff(x); dy=diff(y); int(x*y2-4*y3)*dx+(x2*y+sin(y)*dy,t,0,2*pi)運行結果：ans = 3*pi*a4 法二（利用Green公式）：程序為： syms x y p q d r t f a u v p=x*y2-4*y3; q=x2*y+sin(y); d=diff(q,x)-diff(p,y); u=r*cos

23、(t); v=r*sin(t); g=subs(d,x y,u v); int(int(g*r,t,0,2*pi),r,0,a)運行結果：ans = 3*pi*a4 例2.6.2 計算曲面積分,其中是平面被圓柱面截得的部分.采用極坐標計算積分,程序為： syms x y z dzx dzy sxy r t u v z=y+3; dzx=diff(z,x); dzy=diff(z,y); sxy=y*z*sqrt(1+dzx2+dzy2); u=r*cos(t);v=r*sin(t); int(int(subs(sxy,x y,u v)*r,t,0,2*pi),r,0,1)運行結果：ans =

24、(pi*2(1/2)/4 例2.6.3 計算曲面積分,其中為上半球的表面外側.利用Gauss公式,程序為： syms p q r x y z dpx dqy drz f g u v t m n l a p=x*z2; q=x2*y-z3; r=2*x*y+y2*z; dpx=diff(p,x); dqy=diff(q,y); drz=diff(r,z); f=dpx+dqy+drz; m=t*sin(u)*cos(v); n=t*sin(u)*sin(v); l=t*cos(u); g=subs(f,x y z,m n l); int(int(int(g*t2*sin(u),u,0,pi/2)

25、,v,0,2*pi),t,0,a)運行結果：ans = (2*pi*a5)/52.7 級數(shù) 在高等數(shù)學里級數(shù)主要圍繞三部分：常數(shù)項級數(shù)的級數(shù)求和和收斂法則、冪級數(shù)的收斂和將函數(shù)展開為冪級數(shù)、傅里葉級數(shù)的性質和將函數(shù)展為傅里葉級數(shù).下面舉例運用Matlab計算級數(shù)求和及展為冪級數(shù). 例2.7.1 級數(shù)求和 1) ；2） .程序為：1） syms i x s=symsum(2/(2*i+1)*(2*x+1)(2*i+1),i,0,inf) simple(s)2） syms n x s=symsum(n*(x-1)n,n,1,inf) simple(s)運算結果：ans= log(x+1)/x)2）

26、 ans = (x-1)/(x-2)2 例2.7.2 將函數(shù) 展開為的冪級數(shù).程序為： syms x; f=1/(x2+3*x+3); y=taylor(f,x,5,1)運行結果：y = (18*(x - 1)2)/343 - (5*x)/49 - (55*(x - 1)3)/2401 + (149*(x - 1)4)/16807 + 12/493 MATLAB軟件在線性代數(shù)中的應用3.1 行列式求值 在線性代數(shù)中,行列式是個基本工具,其應用比較廣泛,在Matlab中求其值很簡單. 例3.1 .程序為： syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 A=a1

27、1 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33; det(A)運行結果：ans = a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a313.2 矩陣的基本運算矩陣的基本運算主要有矩陣的加、減,數(shù)乘,矩陣與矩陣的相乘,矩陣的冪運算,矩陣的轉置,矩陣的逆運算,矩陣的范數(shù).例子很多,我就不一一舉例了,僅舉些和差、矩陣與矩陣的相乘、矩陣的逆運算以及矩陣的范數(shù)的例子. 例3.2.1 程序為： A=1 2 3;2 1 2;3 3 1; B=3 2 4;2 5 3; 2 3 1;

28、 C=A-B; D=A+B; C,D運行結果：C = -2 0 -1 0 -4 -1 1 0 0 D = 4 4 7 4 6 5 5 6 2 例3.2.2 程序為： A=1 2 3;2 1 2;3 3 1; B=3 2 4;2 5 3; 2 3 1; C=A*B D=B*A運行結果：C = 13 21 13 12 15 1317 24 22D = 19 20 17 21 18 1911 10 13 例3.2.3 程序為： A=1 2 3;2 1 2;3 3 1; B=3 2 4;2 5 3; 2 3 1; C=inv(A) D=inv(B)運行結果：C = -0.4167 0.5833 0.0

29、833 0.3333 -0.6667 0.33330.2500 0.2500 -0.2500D = 0.2000 -0.5000 0.7000 -0.2000 0.2500 0.05000.2000 0.2500 -0.5500 例3.2.4 1范數(shù)(或列范數(shù))、2范數(shù)、無窮范數(shù)（或行范數(shù)）、F范數(shù).程序為： A=2 3 1;4 6 2;3 4 2; norm(A,1) norm(A) norm(A,inf) norm(A,fro)運行結果：1范數(shù)：ans = 132范數(shù)：ans = 9.9346無窮范數(shù)：ans = 12F范數(shù)：ans = 9.94993.3 矩陣的秩矩陣的秩是矩陣的行向量或

30、列向量不相關的個數(shù),可用Matlab中函數(shù)求得. 例3.3 程序為： A=1 2 3;2 1 2;3 3 1; rank(A)運行結果：ans = 33.4 矩陣的分解在求解線性方程組、矩陣的特征值和特征向量等過程中都要用到矩陣的分解,在Matlab中有專門的矩陣分解函數(shù).這里主要介紹Schur分解、Cholesky分解、LU分解、QR分解. 例3.4.1 求Schur分解.程序為： A=2 1 2;1 2 1;2 3 1; T=schur(A)運行結果：T = 4.8737 -0.5301 1.4919 0 0.8503 -1.2220 0 0 -0.7240 例3.4.2 求5階Chole

31、sky分解.程序為： A=1 1 1 1 1 ;1 2 3 4 5;1 3 9 10 15;1 4 10 30 35;1 5 15 35 70； R,p=chol(A)運行結果：R = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 0 0 2.0000 1.5000 3.0000 0 0 0 4.2131 4.1537 0 0 0 0 5.1717p = 0 例3.4.3 求LU分解.程序為： A=2 1 2 2;1 2 3 4;2 4 1 1;3 1 2 3 L,U=lu(A)運行結果：L = 0.6667

32、0.1000 0.2800 1.0000 0.3333 0.5000 1.0000 0 0.6667 1.0000 0 0 1.0000 0 0 0U = 3.0000 1.0000 2.0000 3.0000 0 3.3333 -0.3333 -1.0000 0 0 2.5000 3.5000 0 0 0 -0.8800 例3.4.4 求QR分解.程序為： A=1 3 2 2;2 1 2 1;3 1 2 1;2 1 2 4 Q,R=qr(A)運行結果：Q = -0.2357 0.9629 -0.1313 0.0000 -0.4714 -0.0438 0.5252 -0.7071 -0.707

33、1 -0.2626 -0.6565 0.0000 -0.4714 -0.0438 0.5252 0.7071R = -4.2426 -2.3570 -3.7712 -3.5355 0 2.5386 1.2255 1.4444 0 0 0.5252 1.7070 0 0 0 2.12133.5 求解線性方程組線性方程組分為齊次方程組和非齊次方程組.對于齊次方程組而言,可用通過求系數(shù)矩陣的秩來判斷解的情況；對于非齊次方程組而言,則要根據(jù)系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩和未知數(shù)個數(shù)的關系,才能判斷解的情況. 例3.5.1 .程序為： A=1 -1 1 1;1 -1 1 -2;1 -1 -2 1; form

34、at rat n=4; RA=rank(A) if(RA=n)fprintf(方程組只要零解)elseB=null(A,r)End運行結果：RA = 3 B = 1 1 0 0 syms k x=k*Bx = k k 0 0 例3.5.2 .程序為： A=4 2 -1;3 -1 2;11 3 0; b=2 10 8; B=A b; n=3; RA=rank(A) RB=rank(B) if(RA=RB&RA=n)x=Abelse if(RA=RB&RA3.6 方陣與二次型 在這里我們主要說下用Matlab求方陣的特征值與特征向量,這在數(shù)學的方陣對角化及解微分方程組等問題里都有廣泛應用.二次型里

35、我們主要介紹二次型正定的判定,二次型正定的充要條件是,它的矩陣的特征值都為正,或者矩陣的所有順序主子式都為正. 例3.6.1 程序為： a=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2; V D=eig(a)運行結果：V = 0 881/2158 881/2158 0 881/1079 881/1079 1 -881/2158 -881/2158 D = 2 0 0 0 1 0 0 0 1 例3.6.2 程序為： a=1 2 4;2 -2 2;4 2 1; syms y1 y2 y3 y=y1;y2;y3; P,D=eig(a) x=P*y f=y1 y2 y3*D*y運行結果：P = 963/16

36、15 1292/2889 2/3 963/3230 -2584/2889 1/3 -963/1292 0 2/3 D = -3 0 0 0 -3 0 0 0 6 x = (2*y3)/3 + (4*5(1/2)*y1)/15 + (5(1/2)*y2)/5 y3/3 + (2*5(1/2)*y1)/15 - (2*5(1/2)*y2)/5 (2*y3)/3 - (5(1/2)*y1)/3 f = 6*y32 - 3*y22 - 3*y12 例3.6.3 法一：程序為： a=2 2 1;2 8 0;1 0 -4; d=eig(a) if all(d0)fprintf(二次型正定)elsefpri

37、ntf(二次型非正定)End運行結果：d = -3095/742 781/501 5331/619 二次型非正定 法二：程序為： a=2 2 1;2 8 0;1 0 -4; for i=1:3b=a(1:i,1:i);fprintf(第%d階主子式的值為,i)det(b)if(det(b) 4 MATLAB軟件在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的應用4.1 離散型隨機變量的分布離散型隨機變量是一個個離散的點,常見的離散分布有兩點分布、超幾何分布、二項分布和泊松分布.這四種分布很有代表性,它們之間也有聯(lián)系.Matlab提供的函數(shù)主要包括四種運算,兩點分布很簡單,在此不再舉例,下面我們看剩余三種分布的例子.例4

38、.1.1 設有1000名學生,其中優(yōu)秀生有300名,隨機抽取50名來檢查,計算：(1) 其中不多于10名優(yōu)秀生的概率.繪出這50名學生中優(yōu)秀生的概率分布圖.(2) 其中恰有10名優(yōu)秀生的概率.繪出隨機變量的概率密度分布圖.程序為： p1=hygecdf(10,1000,300,50)p1 = 440/5977 x=hygeinv(p1,1000,300,50)x = 10 p2=hygepdf(10,1000,300,50)p2 = 440/5977 x=1:50; px1=hygecdf(x,1000,300,50); px2=hygepdf(x,1000,300,50); stairs(x

39、,px1) figure,stairs(x,px2)運行結果： 圖4-1 優(yōu)秀生的概率分布 圖4-2 概率分布密度圖 例4.1.2 設有一批產品,其中一級品的概率為0.2,現(xiàn)從中隨機抽取20個,其中一級品的個數(shù)為隨機數(shù).根據(jù)條件給出一個隨機數(shù),然后再根據(jù)這個隨機數(shù)計算一級品率的最大可能性估量值.程序為： x=binornd(20,0.2) p,pci=binofit(x,20)運行結果：x = 4 p = 1/5 pci = 120/2093 1078/2469 例4.1.3 設有一批零件2000個,其中有30個次品,隨機抽取100個產品,求其中次品數(shù)x的概率密度分布.有兩種抽取方法：1）不放

40、回抽樣,一次抽取100個.2)放回抽樣,抽100個.程序為： x=0:20; p1=hygepdf(x,2000,30,100); p2=binopdf(x,100,0.015); p3=poisspdf(x,1.5); subplot(3,1,1) plot(x,p1,+) title(hygepdf) subplot(3,1,2) plot(x,p1,*) title(binopdf) subplot(3,1,3) plot(x,p1,.) title(poisspdf)運行結果： 圖4-3 次品數(shù)的概率分布密度圖4.2 連續(xù)型隨機變量的分布連續(xù)型隨機變量的變化是連續(xù)的,連續(xù)型隨機變量的分

41、布規(guī)律有很多種,下面介紹我們常用的正態(tài)分布. 例4.2 設隨機變量,求的概率,并在概率密度分布圖上畫出來隨求隨機變量的分布情況.程序為： mu=2.5;sigma=4; x1=1;x2=3; specs=x1,x2; p=normspec(specs,mu,sigma)p = 383/1955 運行結果： 圖4-4 隨機變量分布圖4.3 隨機變量的數(shù)字特征4.3.1 數(shù)學期望 盡管隨機變量的分布和密度能很好的描述隨機變量的概率分布情況,但不能給出隨機變量的其他一些統(tǒng)計特征,而且有時候人們又非常關注這些統(tǒng)計特征.如隨機變量的均值和方差,均值反映了隨機變量的分布中心,方差反映了隨機變量偏離均值的程度.隨機變量的這些特征由它們的數(shù)字特征給出,Matlab可以很容易的計算這些數(shù)字特征.隨機變量的數(shù)學期望分三類：離散型隨機變量、連續(xù)型隨