分離變量法應(yīng)用

1、關(guān)于分離變量法的應(yīng)用第一張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1非齊次邊界條件的處理：第二張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2 思考題 非齊次泛定方程在非齊次邊界條件和非零初始條件下的定解問(wèn)題應(yīng)該如何求解？第三張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3三維形式的直角坐標(biāo)分離變量以三維空間中的熱傳導(dǎo)問(wèn)題為例，考慮齊次泛定方程：考慮如下形式的解：代入方程可得：第四張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月4這樣得到如下兩個(gè)微分方程：第二個(gè)微分方程可以進(jìn)一步分離變量，令：代入方程中整理可得：第五張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月5分析易得：時(shí)間部分的解為： 空間部分（滿足邊界條

2、件要求）的解通常為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的組合。因此，三維熱傳導(dǎo)問(wèn)題的完整解為：第六張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月6例8.5 求解下列定解問(wèn)題：第七張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月7求解本征值問(wèn)題可得：第八張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月8相應(yīng)地，這時(shí)，有：同時(shí)可求出 T：構(gòu)造特解并疊加得到：第九張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月9代入初始條件可得：故定解問(wèn)題：的解為：第十張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月10 在利用分離變量法求解定解問(wèn)題的時(shí)候，對(duì)方程和邊界條件都要進(jìn)行變量分離。一般而言，能否應(yīng)用分離變量法，除了和方程和邊界條件本身的形式有關(guān)之外，

3、還和所選擇的坐標(biāo)系有關(guān)系。這個(gè)時(shí)候要根據(jù)邊界情況來(lái)選取合適的坐標(biāo)系。在進(jìn)一步討論之前，我們引入正交曲線坐標(biāo)系的概念。第十一張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月11例 8.5 求解如下定解問(wèn)題：（P194，例4）第十二張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月12正交曲線坐標(biāo)系 由三族互相正交的曲面定義的坐標(biāo)系稱為正交曲線坐標(biāo)系。正交曲線坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)的關(guān)系為：例：柱坐標(biāo)系第十三張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月13球坐標(biāo)系 其他正交曲線坐標(biāo)系還有拋物柱面坐標(biāo)、橢球坐標(biāo)等。第十四張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月14正交曲線坐標(biāo)系中的Laplace算符第十五張，PPT共二

4、十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月15 一般地，我們總可以對(duì)齊次泛定方程的時(shí)間和坐標(biāo)變量進(jìn)行分離（和坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)）。現(xiàn)在我們就來(lái)考察在不同的正交曲線坐標(biāo)系下對(duì)Laplace方程如何進(jìn)行變量分離。第十六張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月16柱坐標(biāo)系的情況第十七張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月17第十八張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月18第十九張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月19球坐標(biāo)系的情況第二十張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月20第二十一張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月21例 8.5 求解如下定解問(wèn)題：（P194，例4）第二十二張，PPT共二十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月22第二十