復變函數(shù)--全套課件

1、復變函數(shù)2 兩復數(shù)相等當且僅當它們的實部和虛部分別相等. 復數(shù) z 等于0當且僅當它的實部和虛部同時等于0.說明 兩個數(shù)如果都是實數(shù),可以比較它們的大小, 如果不全是實數(shù), 就不能比較大小, 也就是說, 復數(shù)不能比較大小.第一講 復數(shù)及其代數(shù)運算3輻角的主值4 三角表示法利用歐拉公式復數(shù)可以表示成稱為復數(shù) z 的指數(shù)表示式.指數(shù)表示法利用直角坐標與極坐標的關(guān)系復數(shù)可以表示成5 方根單連通域與多連通域從幾何上看，單連通域就是無洞、無割痕的域.6 復變函數(shù)的概念注意: 復變函數(shù)的極限 極限計算的定理7復變函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)的充要條件8解三、典型例題9解10例 解例5 求下列復數(shù)的輻角主值:解12例

2、 將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為13指數(shù)表示式為故三角表示式為指數(shù)表示式為14故三角表示式為指數(shù)表示式為6、基本問題(1) 已知方程求圖形例求下列方程所表示的曲線:解16化簡后得一般方法：17解所以它的復數(shù)形式的參數(shù)方程為(2)已知圖形求方程例18例10試用復數(shù)表示圓的方程:其中，a,b,c,d是實常數(shù)。解：一般方法：20例解復數(shù)的運算21例解22即23例解即2425例1解三、典型例題26所以象的參數(shù)方程為27例 函數(shù) 將 平面上的下列曲線變成 平面上的什么曲線？解又于是表示 平面上的圓.(1)28解表示 平面上以 為圓心， 為半徑的圓.放映結(jié)束，按Esc退出.29例2

3、證 (一)30根據(jù)定理一可知,證 (二)311）導數(shù)的定義1. 復變函數(shù)的導數(shù)與微分2)復變函數(shù)的微分 2. 解析函數(shù)可微 可導 連續(xù) 有定義極限存在 解析 第二章 3. 奇點 4.可導與解析的判定5、解析函數(shù)的判定方法6.初等解析函數(shù)1)指數(shù)函數(shù) 2)三角函數(shù)3）對數(shù)函數(shù)4)冪函數(shù)39例 解例 判定 在何處可導解不滿足柯西黎曼方程,41例判定下列函數(shù)在何處可導, 在何處解析:解不滿足柯西黎曼方程,42四個偏導數(shù)均連續(xù)43例 證44例 解45例解46例例1 例3 解例4解注意: 在實變函數(shù)中, 負數(shù)無對數(shù), 復變函數(shù)中負數(shù)有對數(shù).例5解例6解答案課堂練習例7解例10 解方程解 設C為平面上給定

4、的一條光滑(或按段光滑)曲線, 如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向), 那末我們就把C理解為帶有方向的曲線, 稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負向,第三章 1.有向曲線2.積分計算（1）用參數(shù)方程將積分化成定積分3. 柯西古薩基本定理(柯西積分定理)由定理得4.原函數(shù)的定義 (牛頓-萊布尼茲公式)5. 閉路變形原理 復合閉路定理 一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.那末6.柯西積分公式一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值. 7. 高階導數(shù)公式8.調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù) 任何在 D 內(nèi)解析的函數(shù),它的實部

5、和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù).定理 區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù). 共軛調(diào)和函數(shù)解:(1)例1 直線OB的參數(shù)方程為積分都與路線C 無關(guān)(2)直線OA的參數(shù)方程為直線AB的參數(shù)方程為例2 解(1) 積分路徑的參數(shù)方程為y=x(2) 積分路徑的參數(shù)方程為y=xy=x(3) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為例3 解積分路徑的參數(shù)方程為例4 解積分路徑的參數(shù)方程為重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).例解根據(jù)柯西古薩定理, 有例3解根據(jù)柯西古薩定理得例1 計算 例2 計算 例3 計算 三、典型例題例1解依題意知, 根據(jù)復合閉路定理,例

6、2 解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復合閉路,根據(jù)閉路復合定理,例3解由復合閉路定理, 此結(jié)論非常重要, 用起來很方便, 因為不必是圓, a也不必是圓的圓心, 只要a在簡單閉曲線內(nèi)即可.例1解由柯西積分公式三、典型例題例2解例2解由閉路復合定理, 得例2解例 3解根據(jù)柯西積分公式知,三、典型例題例1解根據(jù)復合閉路定理3. 偏積分法 如果已知一個調(diào)和函數(shù) u, 那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù) v, 從而構(gòu)成一個解析函數(shù)u+vi. 這種方法稱為偏積分法.解例1 得一個解析函數(shù)這個函數(shù)可以化為例1 解:利用柯西黎曼方程, 因而得到解析函數(shù) 因而得到解析函數(shù)第四章1.復數(shù)列記作表達式稱為復數(shù)項無

7、窮級數(shù).其最前面 項的和稱為級數(shù)的部分和.部分和2.復數(shù)項級數(shù)1) 定義2) 復級數(shù)的收斂與發(fā)散充要條件必要條件非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù).3)復級數(shù)的絕對收斂與條件收斂如果 收斂, 那末稱級數(shù) 為絕對收斂.絕對收斂 條件收斂稱為這級數(shù)的部分和. 級數(shù)最前面項的和3.復變函數(shù)項級數(shù)其中各項在區(qū)域 D內(nèi)有定義.表達式稱為復變函數(shù)項級數(shù), 記作 4. 冪級數(shù) 1) 在復變函數(shù)項級數(shù)中, 形如的級數(shù)稱為冪級數(shù).-阿貝爾Abel定理如果級數(shù)在收斂,那末對的級數(shù)必絕對收斂,如果在級數(shù)發(fā)散, 那末對滿足的級數(shù)必發(fā)散.滿足2)收斂定理(3) 既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù), 也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù).此

8、時, 級數(shù)在復平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散.3)收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數(shù), 其收斂半徑的情況有三種:對所有的正實數(shù)都收斂.即級數(shù)在復平面內(nèi)處處收斂.(2) 對所有的正實數(shù)除外都發(fā)散.在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出一般的結(jié)論, 要對具體級數(shù)進行具體分析.注意.收斂圓收斂半徑方法1: 比值法方法2: 根值法4)收斂半徑的求法那末收斂半徑那末收斂半徑5)冪級數(shù)的運算與性質(zhì)如果當時,又設在內(nèi)解析且滿足那末當時,(2)冪級數(shù)的代換(復合)運算復變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的解析性設冪級數(shù)的收斂半徑為那末是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù) .它的和函數(shù)即(1)(2)在收斂圓內(nèi)的導數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導得到, 即(3)在收

9、斂圓內(nèi)可以逐項積分, 即或5. 泰勒級數(shù)其中泰勒級數(shù) 1)定理設在區(qū)域內(nèi)解析,為 內(nèi)的一為到的邊界上各點的最短距離, 那末點,時,成立,當2)常見函數(shù)的泰勒展開式 6. 洛朗級數(shù)定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡單閉曲線.為洛朗系數(shù).1)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級數(shù). 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的, 這就是 f (z) 的洛朗級數(shù). 根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性, 可用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去展開 .(2) 間接展開法2)將函數(shù)展為洛朗級數(shù)的方法(1) 直接展開法而解 例解 級數(shù)滿足必要條件, 但例 判別級數(shù)的斂散性

10、.解解 由正項級數(shù)的比值判別法知絕對收斂.例 判別級數(shù)的斂散性.例故原級數(shù)收斂, 且為絕對收斂.因為所以由正項級數(shù)的比值判別法知:解故原級數(shù)收斂.所以原級數(shù)非絕對收斂.例解例 求下列冪級數(shù)的收斂半徑解說明:例1解例2 解例3解上式兩邊逐項求導,例4 解三、典型例題例1解本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負冪項的奇點,例2 內(nèi)是處處解析的,試把 f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).解oxy112oxy由且仍有2oxy由此時仍有例3解 洛朗級數(shù)在積分上的應用1）定義 如果函數(shù)在 不解析, 但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析, 則稱為的孤立奇點.第五章1. 孤立奇點的概念與分類孤立奇點奇點2）孤立

11、奇點的分類依據(jù)在其孤立奇點的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類:i) 可去奇點; ii) 極點; iii) 本性奇點.定義 如果洛朗級數(shù)中不含 的負冪項, 那末孤立奇點 稱為 的可去奇點. i) 可去奇點ii) 極點 定義 如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的負冪項, 其中關(guān)于的最高冪為即級極點.那末孤立奇點稱為函數(shù)的或?qū)懗蓸O點的判定方法在點 的某去心鄰域內(nèi)其中 在 的鄰域內(nèi)解析, 且 的負冪項為有的洛朗展開式中含有限項.(a) 由定義判別(b) 由定義的等價形式判別(c) 利用極限判斷 .如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個那末孤立奇點稱為的本性奇點.的負冪項,注意: 在本性奇點的鄰域內(nèi)不存在且不為iii)本

12、性奇點綜上所述:孤立奇點可去奇點m級極點本性奇點洛朗級數(shù)特點存在且為有限值不存在且不為無負冪項含無窮多個負冪項含有限個負冪項關(guān)于的最高冪為i) 零點的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱為的 m 級零點. 3)函數(shù)的零點與極點的關(guān)系ii)零點與極點的關(guān)系如果是的 m 級極點, 那末就是的 m 級零點. 反過來也成立. 2. 留數(shù)記作定義 如果的一個孤立奇點, 則沿內(nèi)包含的任意一條簡單閉曲線 C 的積分的值除后所得的數(shù)稱為以1)留數(shù)定理 設函數(shù)在區(qū)域 D內(nèi)除有限個孤外處處解析, C 是 D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線, 那末立奇點留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)

13、化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù).(1) 如果為的可去奇點, 則如果 為 的一級極點, 那末 a) (2) 如果為的本性奇點, 則需將成洛朗級數(shù)求展開(3) 如果為的極點, 則有如下計算規(guī)則2)留數(shù)的計算方法 c)設及在如果那末為一級極點, 且有都解析，如果 為 的 級極點, 那末b) 1.留數(shù)定理 設函數(shù)在區(qū)域 D內(nèi)除有限個孤外處處解析, C 是 D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線, 則立奇點留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù).留數(shù)的應用注1 計算閉路積分步驟1 明確積分曲線及內(nèi)部奇點2 確定奇點類型,計算留數(shù)3 應用留數(shù)定理,求積分注2 計算定積分(不要求)注3 計算廣義積分(不要求)例2 指出函數(shù)在點的奇點特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi), 的奇點存在, 函數(shù)的奇點為總有不是孤立奇點.所以如果補充定義:時,那末在解析.例3 中不含負冪項,是的可去奇點 . 例4 說明為的可去奇點.解 所以為的可去奇點.無負冪項另解 的可去奇點.為課堂練習求的奇點, 如果是極點, 指出它的級數(shù).答案(1)由于知是的一級零點 .課堂練習是五級零點