數(shù)字信號(hào)處理第七章--有限單位沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)-課件

1、第七章 FIR濾波器的設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器：可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)但相位非線性FIR數(shù)字濾波器： 可以嚴(yán)格線性相位，又可任意幅度特性因果穩(wěn)定系統(tǒng)可用FFT計(jì)算但階次比IIR濾波器要高得多主要內(nèi)容線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)窗函數(shù)設(shè)計(jì)法頻率抽樣設(shè)計(jì)法IIR與FIR比較7.1 引言一、 FIR濾波器的主要特點(diǎn)： 單位沖激響應(yīng)只有有限多項(xiàng) 可以設(shè)計(jì)成線性相位系統(tǒng) 只在原點(diǎn)處有極點(diǎn)，因此系統(tǒng)總是穩(wěn)定的 便于DSP實(shí)現(xiàn)（并可用立即數(shù)乘加指令編程，節(jié)約存儲(chǔ)器）二、FIR與IIR相比較： 首先在相頻特性控制上可以做到線性相位，IIR而不能做到這一點(diǎn)，這一點(diǎn)在通信等領(lǐng)域中要求卻很重要； 其次，F(xiàn)IR不存在穩(wěn)定性

2、問題，其非遞歸結(jié)構(gòu)不會(huì)產(chǎn)生極限環(huán)現(xiàn)象等有限精度問題； 最后，F(xiàn)IR還可以FFT用來濾波。故FIR應(yīng)用越來越多。三、線性相位設(shè)計(jì)的重要性1、系統(tǒng)的相移會(huì)造成信號(hào)波形的改變時(shí)間 t幅度原始信號(hào)時(shí)間 t幅度相移90o時(shí)間 t幅度相移 180o2、系統(tǒng)非線性相移造成輸出信號(hào)失真f1 f2f時(shí)延f1 f2f時(shí)延f1 f2f()f1 f2f() 系統(tǒng)相位特性決定了信號(hào)不同頻率的時(shí)延3、忽略相位信息的后果輸入波形DFT變換忽略相位信息IDFT變換輸出波形4、要求線性相位的例子通信系統(tǒng)：調(diào)制解調(diào)器、綜合業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)網(wǎng)（ISDN）等。希爾伯特變換器：要求輸入輸出信號(hào)正交。高保真音響系統(tǒng)：音樂的相位失真必須減到最小，

3、盡可能逼真地重現(xiàn)原來的聲音。理想微分器：線性相位要求：5、線性相位的FIR濾波器設(shè)計(jì)基礎(chǔ)- 系統(tǒng)的群延遲7.2 線性相位FIR濾波器特點(diǎn) FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)：系統(tǒng)函數(shù)：在 z 平面有N 1 個(gè)零點(diǎn)在 z = 0 處是N 1 階極點(diǎn) 一線性相位條件如果FIR DF的單位抽樣響應(yīng)h（n）為實(shí)數(shù)，而且滿足偶對稱h（n）=h（N-1-n），或滿足奇對稱h（n）=-h（N-1-n），其對稱中心在 處，可證明filter就具有準(zhǔn)確的線性相位。 N又分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，所以有4種線性相位FIR DF，如下所述。1、N為奇數(shù)的偶對稱例如 N=11，對稱中心為n0123456789102、N為偶數(shù)時(shí)

4、的偶對稱例如 N=10，對稱中心為n01234567893、N為奇數(shù)時(shí)的奇對稱例如，N=11，對稱中心為 n0123456789104、N為偶數(shù)時(shí)的奇對稱例如，N=10，對稱中心為4.5， n0123456789有兩類準(zhǔn)確的線性相位，分別要求滿足：其中、均為常數(shù)因此有：令上兩式實(shí)部虛部相等，則有：若將前頁的實(shí)部虛部相除：從而有：要使上式成立，必須：對另一相位形式，必須有：二線性相位頻率響應(yīng)特點(diǎn)命題：設(shè)FIR單位沖激響應(yīng)h(n)為實(shí)序列，且滿足偶對稱（或奇對數(shù)）條件：則：證明：1、偶對稱時(shí)：即： 所以有： 則 為線性相位。其物理意義： 該FIR有(N-1)/2個(gè) 采樣周期的群時(shí)延。02奇對稱時(shí)即

5、所以有：或則 為線性相位 可見，其相位特性是線性相位，而且還產(chǎn)生一個(gè)900相移，這樣就使得通過filter的所有頻率都相移900，因此稱它為正交變換網(wǎng)絡(luò)。（相移900的信號(hào)與原信號(hào)為正交的）。0二幅度特點(diǎn)1、h(n)偶對稱，N為奇數(shù)對（1）式由于:由于得其中:由于 對 是偶對稱的。因此， 對 為偶對稱。線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)其中， 2、h(n)偶對稱，N為偶數(shù)對（1）式與如上合并項(xiàng)，注意到由于N為偶數(shù)， 項(xiàng)即為0，則由于 時(shí)，且對 呈奇對稱。因此， 對 呈奇對稱。并有:3、h(n)奇對稱，N為奇數(shù)所以有：為奇對稱的，即： 代入式:其中,由于 在 均為0并對這些點(diǎn)呈奇對稱。其中： 對（2）式4

6、、h(n)奇對稱，N為偶數(shù)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)由于 在 處為0。因此， 對 呈奇對稱。線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)總結(jié)：（1）第1，2種一般為低通特性； 第3，4種一般為高通、帶通特性。（2）當(dāng)N，h(n)均為偶（或奇）時(shí)，H(w)為奇對稱。當(dāng)N，h(n)為一奇一偶時(shí)，H(w)為偶對稱。四、系統(tǒng)函數(shù)H（Z）的零點(diǎn)分布情況 1、零點(diǎn)的分布原則所以，如果 是零點(diǎn)，則 也一定是H（Z） 的零點(diǎn)，h（n）為實(shí)數(shù)時(shí)，H（Z）的零點(diǎn)必成共軛對出現(xiàn)，即 也一定是H（Z）的零點(diǎn)， 也一定是H（Z）的零點(diǎn)。2、零點(diǎn)的位置（1） 既不在實(shí)軸上，也不在單位圓上，則零 點(diǎn)是互為倒數(shù)的兩組共軛對，10(2) 不在實(shí)軸上

7、，但在單位圓上，共軛對的倒數(shù)就是它們本身，如01（3） 在實(shí)軸上，不在單位圓上，實(shí)數(shù)零點(diǎn)，沒復(fù)共軛；只有倒數(shù)。例如，01（4） 既在實(shí)軸上也在單位圓上。此時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，且有兩種可能，或位于Z=1，或位于Z=-1。N為偶數(shù)時(shí)的偶對稱為其零點(diǎn)；N為偶數(shù)奇對稱H（0）=0，有Z=1零點(diǎn)；N為奇數(shù)奇對稱有零點(diǎn)Z=1，和Z= -1。7-3 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法一、設(shè)計(jì)方法 1、設(shè)計(jì)思想 先給定理想filter的頻響 ，所要求設(shè)計(jì)一個(gè)FIR的filter的頻響為 ，使 逼近 2、設(shè)計(jì)過程 設(shè)計(jì)是在時(shí)域進(jìn)行的，先用傅氏反變換求出理想filter的單位抽樣響應(yīng) ，然后加時(shí)間窗對 截?cái)啵郧蟮肍IR filter的

8、單位抽樣響應(yīng)h(n)。例如，低通filter0 是矩形的，則 一定是無限長的且是非因果的。二、窗函數(shù)對頻響的影響 1、理想LF的單位抽樣響應(yīng)理想低通filter的頻響 為100為群延時(shí)因?yàn)槠湎辔?，所以 是偶對稱，其對稱中心為 ，這是因?yàn)?時(shí)，即 為其最大，故 為其對稱中心。 又是無限長的非因果序列nn0.12、加矩形窗 加窗就是實(shí)行乘操作，而矩形窗就是截?cái)鄶?shù)據(jù)，這相當(dāng)于通過窗口 看 ，稱 為窗口函數(shù)。其他n值 因h（n）是偶對稱的。長度為N，所以其對稱中心應(yīng)為 ，所以h（n）可寫作h（n）=n為其他值3、h（n）的頻響 h（n）的頻響 可通過傅式變換求得，為了便于與 的頻響 相比較，利用卷積

9、定理(1)對于矩形窗的頻響 其中， 為幅度函數(shù)， 為相位函數(shù)。（2）對于理想LF的頻響 其中， 為幅度函數(shù)， 為相位函數(shù)。（3）h（n）的頻響其中， 為幅度函數(shù)， 為相位函數(shù)。4、窗函數(shù)頻響產(chǎn)生的影響從幾個(gè)特殊頻率點(diǎn)的卷積過程就可看出其影響:（1） 時(shí)，也就 在 到 全部面積的積分。因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）歸一化）。00（2） 時(shí)， 正好與 的一半相重疊。這時(shí)有 。(3) 時(shí)， 的主瓣全部在的通帶內(nèi)，這時(shí)應(yīng)出現(xiàn)正的肩峰。（4） 時(shí)，主瓣全部在通帶外，出現(xiàn)負(fù)的肩峰。（5）當(dāng) 時(shí)，隨 增加， 左邊 旁瓣的起伏部分掃過通帶，卷積 也隨著 的旁瓣在通帶內(nèi)的面積 變化而變化，故 將圍繞著

10、零值而波動(dòng)。(6)當(dāng) 時(shí)， 的右邊旁瓣將進(jìn)入 的通帶，右邊旁瓣的起伏造成 值圍繞 值而波動(dòng)。100.55、幾點(diǎn)結(jié)論（1）加窗后，使頻響產(chǎn)生一過渡帶，其寬度正好等于窗的頻響 的主瓣寬度（2） 在 處出現(xiàn)肩峰，肩峰兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少則取決于旁瓣的多少。（3）吉布斯（Gibbs）效應(yīng) 因?yàn)榇昂瘮?shù)的頻響的幅度函數(shù)為這是一個(gè)很特殊的函數(shù)，分析表明，當(dāng)改變N時(shí)僅能改變 的絕對值的大小，和主瓣的寬度 ，旁瓣的寬度 ，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例，也就是說，不會(huì)改變歸一化頻響 的肩峰的相對值。對于矩形窗最大相對肩峰為8.95%，不管N怎樣改變，最大肩峰總是 8.9

11、5% ，這種現(xiàn)象稱作吉布斯效應(yīng)。三、各種窗函數(shù) 1、基本概念（1）窗譜：窗函數(shù)的頻響的幅度函數(shù)亦稱作窗譜。（2）對窗函數(shù)要求 a）希望窗譜主瓣盡量窄，以獲得較陡的過渡帶，這 是因?yàn)檫^渡帶等于主瓣寬度。 b）盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度，這樣可使肩峰 和波紋減少。 2、矩形窗 時(shí)域表達(dá)式： 頻域表達(dá)式（頻譜）： 幅度函數(shù)：3、三角形（Bartlett）窗時(shí)域表達(dá)式：10 1 2 3 4 頻譜： 第一對零點(diǎn)為 ，即 ，所以主瓣寬度 ，比矩形寬一倍。4、漢寧窗（升余弦窗）其窗譜可利用如下方法求出，將 變形為又由于 其中又考慮到 ，這里所以有當(dāng) 時(shí)， ，窗譜分析 可知，它等于三部分之和，旁瓣較大程度

12、地互相抵消，但主瓣加寬一倍，即為漢寧窗是 時(shí)，特例5、海明窗，又稱作改進(jìn)升余弦窗 其窗函數(shù)為仿照漢寧窗的分析方法可以得其頻響的幅度函數(shù)為 其主瓣寬度仍為 ，（旁瓣峰值/主瓣峰值）1%有99.963%的能量集中在主瓣內(nèi)。 海明窗是下一類窗的特例6、布拉克曼窗，又稱二階余弦窗 加上余弦的二次諧波分量，可以進(jìn)一步抑制旁瓣相應(yīng)的幅度函數(shù)為 其主瓣寬度為 ，是矩形窗的三倍。7、五種窗函數(shù)的比較（1）時(shí)域窗布拉克曼三角矩形海明（2）各個(gè)窗的幅度函數(shù)，如P.340，圖7-11，注意圖中 是dB表示的。（3）理想LF加窗后的幅度函數(shù)（響應(yīng)）如P340， 圖7-12所示。四、窗函數(shù)法的設(shè)計(jì) 1、設(shè)計(jì)步驟（1）給

13、定頻響函數(shù)（2）求出單位抽樣響應(yīng)（3）根據(jù)過渡帶寬度和阻帶最小衰減，借助窗函數(shù) 基本參數(shù)表（P202表3）確定窗的形式及N的大?。?）最后求 及 2、設(shè)計(jì)舉例例1：分別利用矩形窗與漢寧窗設(shè)計(jì)具有線性相位的 FIR 低通濾波器，具體要求：其他并畫出相應(yīng)的頻響特性解：（1）由于 是一理想LF，所以 可以得出 （2）確定N 由于相位函數(shù) ，所以 呈 偶對稱，其對稱中心為 ，因此 （3）加矩形窗則有可以求出h（n）的數(shù)值，注意偶對稱，對稱中心n1224由于h（n）為偶對稱，N=25為奇數(shù)，所以例如 H（0）=0.94789，可以計(jì)算 的值， 畫如下圖（4）加漢寧窗 由于 可以求出序列的各點(diǎn)值通過 可求

14、出加窗后的h（n）相應(yīng)幅度函數(shù)可用下式求得：如H（0）=0.98460，圖如下例2.設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為 ，通帶截止頻率為 ，阻帶起始頻率為 ，阻帶衰減不小于-50dB.幅度特性如圖所示。 解：（1）求對應(yīng)的數(shù)字頻率：通帶截止頻率為：阻帶起始頻率為：（2）求 ：設(shè) 為理想線性相位濾波器（3）求窗函數(shù)：由阻帶衰減確定窗形狀，由過渡帶確定N。查表7-3知可選海明窗。所要求的過渡帶寬（數(shù)字頻域）：又海明窗的過渡帶滿足：由此求得：所以：（4）求h(n)：由海明窗的w(n)確定FIR濾波器的h(n)。所以：7-4、凱澤（Kaiser）窗及其濾波器設(shè)計(jì) 上述幾種窗函數(shù)：矩形窗、

15、漢寧窗、海明窗等，為了壓制旁瓣，是以加寬主瓣為代價(jià)的。而且，每一種窗的主瓣和旁瓣之比是固定不變的，而凱澤窗可以在主瓣寬度與旁瓣衰減之間自由選擇。 一、凱澤窗 凱澤在1966（1974）發(fā)現(xiàn)，利用第一類零階修正（變形）貝賽爾函數(shù)可以構(gòu)成一種近似最佳的窗函數(shù)。凱澤窗定義為：1。定義其中， 為第一類零階修正貝塞爾函數(shù)， ， 是一個(gè)可自由選擇的參數(shù)。2.特點(diǎn)可同時(shí)調(diào)整主瓣寬度與旁瓣;越大， 窗越窄。頻譜旁瓣越小，而主瓣相應(yīng)增加；相當(dāng)于矩形窗;通常選擇，它們相當(dāng)于旁瓣與主瓣幅度為3.1%-0.047%；凱澤窗隨 變化的曲線如下圖：注：第一類零階修正貝塞爾函數(shù)為由圖可以看出, 為對稱中心，且是偶對稱,即3

16、.凱澤經(jīng)驗(yàn)公式該公式可使filter設(shè)計(jì)人員根據(jù)filter的設(shè)計(jì)指標(biāo),估算出值和 N 值。且，：通帶截止頻率，由 定;：止帶截止頻率，由 定.過渡帶寬度4.設(shè)計(jì)舉例利用凱澤窗設(shè)計(jì)一FIR低通filter，要求解：取38將N=38, =5.653代入 表達(dá)式，得0 37 0.0 1.000 0.0204 0.021 36 1.8336 2.030 0.0415 0.042 35 2.5568 3.345 0.0704 0.078 29 4.6548 19.96 0.4082 0.413 34 3.086 5.251 0.1074 0.11 4 33 3.5111 7.441 0.1522 0.

17、155 32 3.8656 10.11 0.2067 0.216 31 4.1678 13.10 0.2679 0.297 30 4.4286 16.44 0.3362 0.3417 20 5.6350 48.03 0.9822 0.989 28 4.8512 23.83 0.4873 0.4910 27 5.0215 27.73 0.5671 0.5711 26 5.1682 31.72 0.6489 0.6512 25 5.2931 35.33 0.7225 0.72 13 24 5.3980 39.01 0.7978 0.8014 23 5.4838 41.93 0.8575 0.861

18、5 22 5.5515 44.67 0.9135 0.9116 21 5.6017 46.74 0.9558 0.9618 19 5.6515 48.90 1.0 1.00048121618192529333721n012345637363534333231-0.01220.01290.0139-0.01458-0.015590.016940.018480.020.040.070.110.150.210.27-0.000240.0005160.00096-0.0016-0.00230.00350.004978910111213143029282726252423-0.01965-0.02152

19、0.02379-0.02659-0.03013-0.034770.041090.050220.340.410.490.570.650.720.800.86-0.0067-0.00880.0120.015-0.0196-0.0250.03290.0431516171822212019-0.06451-0.090400.15070.45200.910.960.981.00-0.059-0.0870.1480.45的圖形如下所示7-5、頻率取樣設(shè)計(jì)法一、設(shè)計(jì)思想窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從時(shí)域出發(fā)，把理想的 用一定形狀的窗函數(shù)截取成有限長的 ，以 來近似 從而使頻響 近似理想頻響 。頻率取樣法是從頻域出發(fā)，對理想的頻響 進(jìn)行等間隔取樣，以有限個(gè)頻響采樣去近似理想頻響，即：，等間隔取樣并