概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)東華大學(xué)出版答案第六章

1、 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念與抽樣分布第一節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念習(xí)題Page203設(shè)總體分布為下述情形（1）；（2）服從參數(shù)為的指數(shù)分布；（3），為取自總體的樣本，分別寫(xiě)出它們的樣本空間和樣本的聯(lián)合分布律（或聯(lián)合密度）。解答：（1）因，所以，故樣本空間為， ，；（2）因，所以，故樣本空間， ；（3）因，所以，故樣本空間，。設(shè)樣本觀察值中有些值是相同的，把它們按小到大排列，分別取值為，取得頻數(shù)分別為，顯然有樣本均值，樣本方差。求證：；有一組的樣本觀察值，其數(shù)據(jù)如下，試求、。0134685732解答：（1）= 。（2）， ， 設(shè)為取自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，其中未知但已知。問(wèn)下述樣本函數(shù)中哪些是統(tǒng)計(jì)量？哪些不是統(tǒng)

2、計(jì)量？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。解答：因統(tǒng)計(jì)量是樣本的連續(xù)函數(shù)且不包含任何未知參數(shù)。由題意，未知但已知，因此可知除（2）不是統(tǒng)計(jì)量外，其余5個(gè)都是統(tǒng)計(jì)量。在計(jì)算樣本均值與樣本方差時(shí)，常常對(duì)數(shù)據(jù)作線形變換，使成為較簡(jiǎn)單的整數(shù)以簡(jiǎn)化運(yùn)算，求證：。其中：，。解答：因?yàn)樗裕?；。設(shè)某工廠生產(chǎn)軸承，從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10根，測(cè)量直徑如下（單位：）：14.6、14.7、15.2、14.9、14.8、15.0、15.1、15.2、14.8、14.7。試用原始數(shù)據(jù)和作變換后的數(shù)據(jù)分別求和，并比較哪種方法計(jì)算方便。解答：， ，。通過(guò)變換，我們可得：6、7、12、9、8、10、11、1

3、2、8、7，得，由上題的公式可知設(shè)總體分布為下述情形（1）；（2）；（3），為取自總體的樣本，與分別為樣本均值與樣本方差，試分別求。解答：有定理6.1及其推論、定理6.2可知：。（1）因，則，； （2）因，則； （3）因，則。第二節(jié) 抽樣分布與分位數(shù)Page217在正態(tài)總體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為36的樣本，求樣本平均值落在50.8和53.8之間的概率？解答：因從正態(tài)總體中抽取容量為36的樣本，由6.2節(jié)的推論可知，其樣本均值=，因此，由此 =設(shè)總體，今從中抽取容量分別為10和15的兩個(gè)獨(dú)立樣本，試問(wèn)這兩個(gè)樣本的平均值之差的絕對(duì)值大于0.3的概率有多大？解答：由題意，令表示樣本容量為10的樣本均值

4、、表示樣本容量為15的樣本均值，且與相互獨(dú)立。由6.2節(jié)的推論可知，、，因此由例3.16可知：，所以= =0.8065。設(shè)總體，問(wèn)樣本容量取多大時(shí)，才能以0.95的概率保證樣本平均值與總體期望之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.3？解答：因樣本均值，即，即得：，因此，因?yàn)檎麛?shù)可得：。已知是的一個(gè)樣本，令，問(wèn)取什么值時(shí)，服從分布？并給出自由度。解答：因是的一個(gè)樣本，所以與相互獨(dú)立，且由例3.16可知它們分別服從、，要使服從分布，只要使與均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即令即可，此時(shí)，可知。設(shè)總體，從中抽取容量為10的樣本，求滿足的最大的。解答：因總體，所以，即從中抽取的容量為10的樣本，去我們有，所以查表可知，即。設(shè)為取

5、自總體的樣本，求樣本均值的期望與方差。解答：由定理6.1及其推論知：，因?yàn)槿∽钥傮w的樣本，因此，即。設(shè)為取自總體的樣本，令（1）；（2）；（3）；（4）。求常數(shù)，使服從分布。解答：為取自總體的樣本，所以互相獨(dú)立，且，即。因此： （1），則； （2），則； （3），則； （4），則。設(shè)是取自的容量為的樣本，令（1），（2），問(wèn)分別服從什么分布。解答：因是取自的容量為的樣本，因此：，且與相互獨(dú)立，由此可得；又因，且 與相互獨(dú)立，因此。設(shè)為的一個(gè)樣本，問(wèn)樣本方差大于0.144的概率？解答：因?yàn)榈囊粋€(gè)樣本，而由定理6.4知：。 所以，。設(shè)為來(lái)自總體的一個(gè)樣本，令，求。解答：由定理6.4可知：，而，因此

6、，。設(shè)為來(lái)自總體的一個(gè)樣本，與是它的樣本均值與樣本方差；又設(shè)與相互獨(dú)立。且服從，試證：。解答：因?yàn)榭傮w的樣本，所以，又因與相互獨(dú)立，所以與、相互獨(dú)立，因此我們有，即。設(shè)，求的和0.10的上側(cè)分位數(shù)。解答：由上側(cè)分位數(shù)的定義，即要求的。今，顯然由和0.10可知0，即：，因此，。查表求下列分布的上側(cè)分位數(shù)：（1），；（2），；（3），；（4），。解答：因表中不一定恰好有我們所需要的數(shù)值，因此可通過(guò)線形內(nèi)插法求出它的近似解。即：若有、，假定，現(xiàn)要求的函數(shù)值，則：，或利用該式計(jì)算對(duì)應(yīng)的。即可得： （1）， 。 （2） ，因表中沒(méi)有自由度為70的值，因此利用：當(dāng)充分大時(shí)，即，因此：今，可得，即。 （3）

7、，因表中沒(méi)有自由度為60的值，因此可利用：當(dāng)充分大時(shí)，分布的漸進(jìn)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可得：。 （4），因表中沒(méi)有的值，利用，可得：。復(fù)習(xí)題總體抽取的樣本，它的頻數(shù)分布樣本均值，樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差。解答：，。設(shè)總體，為其樣本，與是它的樣本均值和樣本方差，求和。解答：由定理6.1及其推論、定理6.2可知：。下面是100個(gè)學(xué)生的身高（單位：厘米）身高154158158162162166166170170174174178178182學(xué)生數(shù)101426281282同組內(nèi)學(xué)生以組中值表示其身高，試求與。解答：因同組內(nèi)學(xué)生以組中值表示其身高，因此可得個(gè)各身高的頻數(shù)為：身高15616

8、0164168172176180學(xué)生數(shù)101426281282令：，則可得：-12-8-404812101426281282-120-112-104048642414408964160192512288得：，設(shè)為的一個(gè)樣本，是樣本均值，試問(wèn)樣本容量取多大才能使下式成立：（1）；（2）。解答：因?yàn)榈囊粋€(gè)樣本，因此，即，得，因此。，即，也即：，由此。因?yàn)檎麛?shù)，所以。設(shè)為的樣本，令，求參數(shù)，使?jié)M足分布，并給出自由度。解答：因?yàn)榈臉颖荆虼伺c相互獨(dú)立，且均服從，也就是說(shuō)：，。要使服從分布，由的定義可知：，且此時(shí)，。設(shè)為的樣本，利用（6.11）給出（1）；（2）的密度函數(shù)。解答：因?yàn)榈臉颖?，所以，且相互?dú)立，因此，即得密度函數(shù)為：。因，所以。設(shè)，求證。解答：因，所以可看成有兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量通過(guò)構(gòu)造而來(lái)，而，因此