教學(xué)項(xiàng)目4 數(shù)值分析法模型ppt課件

1、數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)嚴(yán)可頌 主講 教學(xué)工程四 數(shù)值分析法模型4.1 插值法建模 拉格朗日插值分段線性插值三次樣條插值一、插值的定義二、插值的方法三、用Matlab解插值問題知 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)其中互不一樣，無妨設(shè)求任一插值點(diǎn)處的插值節(jié)點(diǎn)可視為由產(chǎn)生，表達(dá)式復(fù)雜，或無封鎖方式，或未知。4.1.1 插值法的定義 構(gòu)造一個(gè)(相對(duì)簡單的)函數(shù)經(jīng)過全部節(jié)點(diǎn), 即再用計(jì)算插值，即4.1.2 插值的方法 知函數(shù)f(x)在n+1個(gè)點(diǎn)x0,x1,xn處的函數(shù)值為 y0,y1,yn 。求一n次多項(xiàng)式函數(shù)Pn(x)，使其滿足：拉格朗日(Lagrange)插值 稱為拉格朗日插值基函數(shù)。 處理此問題的拉格朗日插值多項(xiàng)式公式如下其

2、中Li(x) 為n次多項(xiàng)式：特殊情況兩點(diǎn)一次(線性)插值多項(xiàng)式:三點(diǎn)二次(拋物)插值多項(xiàng)式: 采用拉格朗日多項(xiàng)式插值：選取不同插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n+1，其中n為插值多項(xiàng)式的次數(shù)，當(dāng)n取10時(shí)，繪出插值結(jié)果圖形.例分段線性插值計(jì)算量與n無關(guān);n越大，誤差越小.xjxj-1xj+1x0 xnxoy比分段線性插值更光滑。xyxi-1 xiab 在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描畫是：函數(shù)(曲線)的k階導(dǎo)數(shù)存在且延續(xù)，那么稱該曲線具有k階光滑性。 光滑性的階次越高，那么越光滑。能否存在較低次的分段多項(xiàng)式到達(dá)較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個(gè)很好的例子。三次樣條插值 三次樣條插值g(x)為被插值函數(shù)。用MATL

3、AB作插值計(jì)算一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法被插值點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)xi處的插值結(jié)果nearest ：最臨近插值linear ： 線性插值；spline ： 三次樣條插值；cubic ： 立方插值。缺省時(shí)： 分段線性插值。留意：一切的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不可以超越x的范圍。 例：在1-12的11小時(shí)內(nèi)，每隔1小時(shí)丈量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計(jì)每隔1/10小時(shí)的溫度值。hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:

4、0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的)plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)xy實(shí)驗(yàn)習(xí)題 知飛機(jī)下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改動(dòng)0.1時(shí)的y值。機(jī)翼下輪廓線4.2 擬合法簡介 2.擬合的根本原理1. 擬合問題引例擬 合 問 題 引 例 1溫度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7電阻R() 765 826 873 942 1032知熱敏電阻數(shù)據(jù)：求600C時(shí)的電阻R。 設(shè) R=at+ba,b

5、為待定系數(shù)擬 合 問 題 引 例 2 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)求血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律c(t).作半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系(semilogy)下的圖形曲 線 擬 合 問 題 的 提 法知一組二維數(shù)據(jù)，即平面上 n個(gè)點(diǎn)xi,yi) i=1,n, 尋求一個(gè)函數(shù)曲線y=f(x), 使 f(x) 在某種準(zhǔn)那么下與一切數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=f(x)(xi,yi)ii 為點(diǎn)xi,y

6、i) 與曲線 y=f(x) 的間隔擬合與插值的關(guān)系 函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。 實(shí)例：下面數(shù)據(jù)是某次實(shí)驗(yàn)所得，希望得到X和 f之間的關(guān)系？問題：給定一批數(shù)據(jù)點(diǎn)，需確定滿足特定要求的曲線或曲面處理方案：假設(shè)不要求曲線面經(jīng)過一切數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對(duì)象整體的變化趨勢，這就是數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。假設(shè)要求所求曲線面經(jīng)過所給一切數(shù)據(jù)點(diǎn)，就是插值問題；最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：曲線擬合問題最常用的解法線性最小二乘法的根本思緒第一步:先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x),

7、m0)模型假設(shè)1. 機(jī)體看作一個(gè)房室，室內(nèi)血藥濃度均勻一室模型模型建立 在此，d=300mg，t及ct在某些點(diǎn)處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v用線性最小二乘擬合c(t)計(jì)算結(jié)果：d=300;t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2)程序：給藥方案 設(shè)計(jì)cc2c10t 設(shè)每次注射劑量D, 間隔時(shí)間 血藥濃度c(t) 應(yīng)c1 c(t) c2 初次劑量D0 應(yīng)加大給藥方案記為：2、1、計(jì)算結(jié)果：

8、給藥方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02故可制定給藥方案：即: 初次注射375mg， 其他每次注射225mg， 注射的間隔時(shí)間為4小時(shí)。估計(jì)水塔的流量2、解題思緒3、算法設(shè)計(jì)與編程1、問題 某居民區(qū)有一供居民用水的園柱形水塔，普通可以經(jīng)過丈量其水位來估計(jì)水的流量，但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時(shí)停頓供水，這段時(shí)間無法丈量水塔的水位和水泵的供水量通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時(shí).水塔是一個(gè)高12.2米，直徑17.4米的正園柱按照設(shè)計(jì)，水塔水位降至約8.2米時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)，水位升到約10.8米時(shí)水泵停頓任務(wù)表1

9、 是某一天的水位丈量記錄，試估計(jì)任何時(shí)辰包括水泵正供水時(shí)從水塔流出的水流量，及一天的總用水量流量估計(jì)的解題思緒擬合水位時(shí)間函數(shù)確定流量時(shí)間函數(shù)估計(jì)一天總用水量 擬合水位時(shí)間函數(shù) 丈量記錄看，一天有兩個(gè)供水時(shí)段以下稱第1供水時(shí)段和第2供水時(shí)段，和3個(gè)水泵不任務(wù)時(shí)段以下稱第1時(shí)段t=0到t=8.97，第2次時(shí)段t=10.95到t=20.84和第3時(shí)段t=23以后對(duì)第1、2時(shí)段的丈量數(shù)據(jù)直接分別作多項(xiàng)式擬合，得到水位函數(shù)為使擬合曲線比較光滑，多項(xiàng)式次數(shù)不要太高，普通在36由于第3時(shí)段只需3個(gè)丈量記錄，無法對(duì)這一時(shí)段的水位作出較好的擬合 2、確定流量時(shí)間函數(shù) 對(duì)于第1、2時(shí)段只需將水位函數(shù)求導(dǎo)數(shù)即可，

10、對(duì)于兩個(gè)供水時(shí)段的流量，那么用供水時(shí)段前后水泵不任務(wù)時(shí)段的流量擬合得到，并且將擬合得到的第2供水時(shí)段流量外推，將第3時(shí)段流量包含在第2供水時(shí)段內(nèi)3、一天總用水量的估計(jì) 總用水量等于兩個(gè)水泵不任務(wù)時(shí)段和兩個(gè)供水時(shí)段用水量之和，它們都可以由流量對(duì)時(shí)間的積分得到。算法設(shè)計(jì)與編程1、擬合第1、2時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量2、擬合供水時(shí)段的流量3、估計(jì)一天總用水量4、流量及總用水量的檢驗(yàn) 1、擬合第1時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時(shí)辰和水位丈量記錄水泵啟動(dòng)的4個(gè)時(shí)辰不輸入，第1時(shí)段各時(shí)辰的流量可如下得：1 c1=polyfitt1：10，h1：10，3； %用3次多項(xiàng)式擬合第1時(shí)段水位，c1輸出

11、3次多項(xiàng)式的系數(shù)2a1=polyderc1； % a1輸出多項(xiàng)式系數(shù)為c1導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3tp1=0：0.1：9； x1=-polyvala1，tp1； % x1輸出多項(xiàng)式系數(shù)為a1在tp1點(diǎn)的函數(shù)值取負(fù)后邊為正值，即tp1時(shí)辰的流量 4流量函數(shù)為： 2、擬合第2時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時(shí)辰和水位丈量記錄水泵啟動(dòng)的4個(gè)時(shí)辰不輸入，第2時(shí)段各時(shí)辰的流量可如下得：1 c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)； %用3次多項(xiàng)式擬合第2時(shí)段水位，c2輸出3次多項(xiàng)式的系數(shù)2 a2=polyder(c2)； % a2輸出多項(xiàng)式系數(shù)為c2導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3tp2=1

12、0.9:0.1:21; x2=-polyval(a2,tp2); % x2輸出多項(xiàng)式系數(shù)為a2在tp2點(diǎn)的函數(shù)值取負(fù)后邊為正值，即tp2時(shí)辰的流量4流量函數(shù)為： 3、擬合供水時(shí)段的流量 在第1供水時(shí)段t=911之前即第1時(shí)段和之后即第2時(shí)段各取幾點(diǎn)，其流量曾經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時(shí)段的流量為使流量函數(shù)在t=9和t=11延續(xù)，我們簡單地只取4個(gè)點(diǎn)，擬合3次多項(xiàng)式即曲線必過這4個(gè)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)如下： xx1=-polyvala1，8 9； %取第1時(shí)段在t=8,9的流量 xx2=-polyvala2，11 12； %取第2時(shí)段在t=11,12的流量 xx12=xx1 xx2； c12=polyfit

13、8 9 11 12，xx12，3； %擬合3次多項(xiàng)式 tp12=9：0.1：11； x12=polyvalc12，tp12； % x12輸出第1供水時(shí)段 各時(shí)辰的流量擬合的流量函數(shù)為： 在第2供水時(shí)段之前取t=20，20.8兩點(diǎn)的流水量，在該時(shí)辰之后第3時(shí)段僅有3個(gè)水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個(gè)數(shù)值擬合第2供水時(shí)段的流量如下： dt3=difft(22：24)； %最后3個(gè)時(shí)辰的兩兩之差 dh3=diffh(22：24)； %最后3個(gè)水位的兩兩之差 dht3=-dh3./dt3； %t(22)和t(23)的流量 t3=20 20.8 t(22) t(23)； xx3=-polyva

14、l(a2，t3(1：2)，dht3)； %取t3各時(shí)辰的流量 c3=polyfitt3，xx3，3； %擬合3次多項(xiàng)式 t3=20.8：0.1：24； x3=polyvalc3，tp3；% x3輸出第2供水時(shí)段 外推至t=24各時(shí)辰的流量擬合的流量函數(shù)為： 3、一天總用水量的估計(jì) 第1、2時(shí)段和第1、2供水時(shí)段流量的積分之和，就是一天總用水量雖然諸時(shí)段的流量已表為多項(xiàng)式函數(shù)，積分可以解析地算出，這里仍用數(shù)值積分計(jì)算如下： y1=0.1*trapz(x1)； %第1時(shí)段用水量仍按高 度計(jì)，0.1為積分步長 y2=0.1*trapz(x2)； %第2時(shí)段用水量 y12=0.1*trapz(x12)； %第1供水時(shí)段用水量 y3=0.1*trapz(x3)； %第2供水時(shí)段用水量 y=y1+y2+y12+y3*237.8*0.01； %一天總用水量 計(jì)算結(jié)果：y1=146.2, y2=266.8, y12=47.4, y3=77.3，y=1250.4 4、流量及總用水量的檢驗(yàn) 計(jì)算出的各時(shí)辰的流量可用水位記錄的數(shù)值微分來檢驗(yàn)用水量y1可用第1時(shí)段水位丈量記錄中下降高度968-822=146來檢驗(yàn)，類似地，y2用1082-822=260檢驗(yàn)供水時(shí)段流量的一種檢驗(yàn)方法如下：供水時(shí)段的用水量加上水位上升值260是該時(shí)段泵入的水量，除以時(shí)段長度得到水泵的功率單位時(shí)間泵