概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五章習(xí)題詳解(I)

1、習(xí)題五1 .已知，利用切比雪夫不等式估計(jì)概率.解： 據(jù)切比雪夫不等式 .2設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，方程，利用切比雪夫不等式估計(jì).解：令，則由切比雪夫不等式 ， 有.3. 隨機(jī)地?cái)S顆骰子，利用切比雪夫不等式估計(jì)顆骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和在之間的概率.解： 設(shè)為顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和；為第顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則，且獨(dú)立同分布，分布律為：，于是所以 ，因此 故由切比雪夫不等式得：.即顆骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和在之間的概率大于等于 .4. 對(duì)敵陣地進(jìn)行1000次炮擊，每次炮擊中。炮彈的命中顆數(shù)的期望為，方差為，求在次炮擊中，有顆到顆炮彈擊中目標(biāo)的概率.解： 以表示第次炮擊擊中的顆數(shù) 有 ，據(jù) 定理：則 .5. 一盒同型號(hào)

2、螺絲釘共有個(gè)，已知該型號(hào)的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量，期望值是，標(biāo)準(zhǔn)差是.求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^(guò)的概率.解： 設(shè)為第個(gè)螺絲釘?shù)闹亓?，且它們之間獨(dú)立同分布，于是一盒螺絲釘?shù)闹亓?，且由，知，由中心極限定理有： .6. 用電子計(jì)算機(jī)做加法時(shí)，對(duì)每個(gè)加數(shù)依四舍五入原則取整，設(shè)所有取整的舍入誤差是相互獨(dú)立的，且均服從上的均勻分布.（1）若有個(gè)數(shù)相加，則其誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)的概率是多少？（2）最多可有多少個(gè)數(shù)相加，使得誤差總和的絕對(duì)值小于的概率達(dá)到以上.解： 設(shè)為第個(gè)加數(shù)的取整舍入誤差，則為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且均服從上的均勻分布，則 因很大，由獨(dú)立同分布中心極限定理對(duì)該誤差總和， .即誤差總和的絕

3、對(duì)值超過(guò)的概率達(dá)到 .(2) 依題意，設(shè)最多可有個(gè)數(shù)相加，則應(yīng)求出最大的，使得由中心極限定理： .即查正態(tài)分布得即取，最多可有個(gè)數(shù)相加 .7. 在人壽保險(xiǎn)公司是有3000個(gè)同一年齡的人參加人壽保險(xiǎn)，在1年中，每人的的死亡率為，參加保險(xiǎn)的人在年第天交付保險(xiǎn)費(fèi)元，死亡時(shí)家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取元，求保險(xiǎn)公司在一年的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率.解 以表示年死亡的人數(shù)依題意，注意到其概率為 .即保險(xiǎn)公司虧本的概率幾乎為 .8. 假設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，已知 .證明：當(dāng)充分大時(shí)，隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布.證明：由于獨(dú)立同分布，則也獨(dú)立同分布由 有， 因此，根據(jù)中心極限定理：即當(dāng)充分大時(shí)，近似服從 .9. 某

4、保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明：在索賠戶(hù)中被盜索賠戶(hù)占，以表示在隨機(jī)抽查的個(gè)索賠戶(hù)中因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶(hù)數(shù).（1）寫(xiě)出的概率分布；（2）利用德莫弗-位普拉斯中心極限定理.求：被盜索賠戶(hù)不少于戶(hù)，且不多于戶(hù)的概率.解 （1），所以 ，（2） .10 . 某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為，為了確保銷(xiāo)售，該廠向顧客承諾每盒中有100只以上正品的概率達(dá)到95%，問(wèn)：該廠需要在一盒中裝多少只產(chǎn)品？解：設(shè)每盒中裝只產(chǎn)品，合格品數(shù) ，則所以解得，即每盒至少裝117只才能以95%的概率保證一盒內(nèi)有100只正品。11. 某電站供應(yīng)一萬(wàn)戶(hù)用電，設(shè)用電高峰時(shí)，每戶(hù)用電的概率為，利用 中心極限定理：（1）計(jì)算同時(shí)用電戶(hù)數(shù)在戶(hù)以

5、上的概率？（2）若每戶(hù)用電瓦，問(wèn)：電站至少應(yīng)具有多大發(fā)電量，才能以的概率保證供電？解 以表示用電高峰時(shí)同時(shí)用電的戶(hù)數(shù)（1）依題意，又，于是據(jù) 定理：（2） 設(shè)電站至少具有瓦發(fā)電量，才能的概率保證供電，則因?yàn)橐翰楸淼茫旱眉措娬揪哂型甙l(fā)電量，才能以的概率保證供電 . （B）1、設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，相互獨(dú)立，且都與的分布相同，求當(dāng)時(shí)，依概率收斂的極限 .（答案：）2、設(shè)相互獨(dú)立，且分布相同，存在，則根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理，當(dāng)充分大時(shí)，近似服從正態(tài)分布，求分布參數(shù). （答案：）3、某生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是一個(gè)隨機(jī)變量，其平均值為50kg，標(biāo)準(zhǔn)差為5kg. 若用最大載

6、重量為5噸的卡車(chē)承運(yùn)，利用中心極限定理說(shuō)明，每輛車(chē)最多可裝多少箱才能保證不超載的概率大于？（答案：）習(xí)題六1.設(shè)是來(lái)自 上均勻分布的樣本，末知，求樣本的聯(lián)合密度函數(shù)解: 2. 設(shè)總體服從參數(shù)為的泊松分布，其概率分布律為：求：樣本的聯(lián)合分布律為：解： . 3若總體，其中已知，但末知，而為它的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，指出下列量中哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是統(tǒng)計(jì)量.（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6）解： （1）、（3）、（4）、（6）給出的各統(tǒng)計(jì)量，而（2）、（5）給出的量因含有末知參數(shù)，所以不是統(tǒng)計(jì)量 .4. 總體的一組容量為的樣本觀測(cè)值為：，求經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).解 :將樣本觀測(cè)值重新排序

7、為：，所以經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為：5. 來(lái)自總體的一組樣本觀測(cè)值為： 求樣本均值，樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差.解：， .6. 在總體中隨機(jī)抽取一容量為的樣本，求樣本均值在到之間的概率.解： 由知故所求概率為 .7. 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且，證明 .證明：由于，則 據(jù)分布的定義，.8. 若對(duì)總體有，取的容量為的樣本，樣本均值為，問(wèn)多大時(shí)，有解： 由，知即查表得，即 .9. 設(shè)總體，并且，相互獨(dú)立，現(xiàn)從兩總體中分別抽取容量為的樣本，樣本均值分別為，求 .解： .10. 設(shè)總體，都服從正態(tài)分布，并且，相互獨(dú)立，分別是總體和的容量為的樣本均值，確定的值，使 .解 由于于是，.即，查表得，取 .11. 設(shè)總體，為的

8、一個(gè)樣本，設(shè)，求常數(shù)，使分布.解 由于獨(dú)立同分布所以于是=其中所以即 .12. 設(shè)為來(lái)自總體的樣本，求 .解 設(shè)總體為，則由可知，由定理 可知利用分布表，可得 .13. 設(shè)是總體的一個(gè)樣本，若統(tǒng)計(jì)量，試確定與 .解 由于獨(dú)立同分布,所以,且兩者相互獨(dú)立,由分布定義知故 , .14. 設(shè)總體 ， 是樣本，求的分布.解 記，則有，由于則 .下面證明和相互獨(dú)立.因?yàn)?，都服從?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，因此只要證明，互不相關(guān)，即即可.由于，因此，.這樣.15. 設(shè)總體,從二總體中分別抽取樣本,得到下列數(shù)據(jù): , , ； , ,，求概率 .解 由于故 .從而 .B1. 設(shè)有個(gè)產(chǎn)品，其中有個(gè)次品，進(jìn)行放回抽樣，定義如下：求樣本的聯(lián)合分布.解: 因?yàn)槭欠呕爻闃?，所以?dú)立同分布，.則的聯(lián)合分布為.2設(shè)總體，是樣本，證明：.證: