概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五章習題詳解(I)

1、習題五1 .已知，利用切比雪夫不等式估計概率.解： 據(jù)切比雪夫不等式 .2設(shè)隨機變量的數(shù)學(xué)期望，方程，利用切比雪夫不等式估計.解：令，則由切比雪夫不等式 ， 有.3. 隨機地擲顆骰子，利用切比雪夫不等式估計顆骰子出現(xiàn)點數(shù)之和在之間的概率.解： 設(shè)為顆骰子所出現(xiàn)的點數(shù)之和；為第顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則，且獨立同分布，分布律為：，于是所以 ，因此 故由切比雪夫不等式得：.即顆骰子出現(xiàn)點數(shù)之和在之間的概率大于等于 .4. 對敵陣地進行1000次炮擊，每次炮擊中。炮彈的命中顆數(shù)的期望為，方差為，求在次炮擊中，有顆到顆炮彈擊中目標的概率.解： 以表示第次炮擊擊中的顆數(shù) 有 ，據(jù) 定理：則 .5. 一盒同型號

2、螺絲釘共有個，已知該型號的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€隨機變量，期望值是，標準差是.求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^的概率.解： 設(shè)為第個螺絲釘?shù)闹亓?，且它們之間獨立同分布，于是一盒螺絲釘?shù)闹亓?，且由，知，由中心極限定理有： .6. 用電子計算機做加法時，對每個加數(shù)依四舍五入原則取整，設(shè)所有取整的舍入誤差是相互獨立的，且均服從上的均勻分布.（1）若有個數(shù)相加，則其誤差總和的絕對值超過的概率是多少？（2）最多可有多少個數(shù)相加，使得誤差總和的絕對值小于的概率達到以上.解： 設(shè)為第個加數(shù)的取整舍入誤差，則為相互獨立的隨機變量序列，且均服從上的均勻分布，則 因很大，由獨立同分布中心極限定理對該誤差總和， .即誤差總和的絕

3、對值超過的概率達到 .(2) 依題意，設(shè)最多可有個數(shù)相加，則應(yīng)求出最大的，使得由中心極限定理： .即查正態(tài)分布得即取，最多可有個數(shù)相加 .7. 在人壽保險公司是有3000個同一年齡的人參加人壽保險，在1年中，每人的的死亡率為，參加保險的人在年第天交付保險費元，死亡時家屬可以從保險公司領(lǐng)取元，求保險公司在一年的這項保險中虧本的概率.解 以表示年死亡的人數(shù)依題意，注意到其概率為 .即保險公司虧本的概率幾乎為 .8. 假設(shè)是獨立同分布的隨機變量，已知 .證明：當充分大時，隨機變量近似服從正態(tài)分布.證明：由于獨立同分布，則也獨立同分布由 有， 因此，根據(jù)中心極限定理：即當充分大時，近似服從 .9. 某

4、保險公司多年的統(tǒng)計資料表明：在索賠戶中被盜索賠戶占，以表示在隨機抽查的個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù).（1）寫出的概率分布；（2）利用德莫弗-位普拉斯中心極限定理.求：被盜索賠戶不少于戶，且不多于戶的概率.解 （1），所以 ，（2） .10 . 某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為，為了確保銷售，該廠向顧客承諾每盒中有100只以上正品的概率達到95%，問：該廠需要在一盒中裝多少只產(chǎn)品？解：設(shè)每盒中裝只產(chǎn)品，合格品數(shù) ，則所以解得，即每盒至少裝117只才能以95%的概率保證一盒內(nèi)有100只正品。11. 某電站供應(yīng)一萬戶用電，設(shè)用電高峰時，每戶用電的概率為，利用 中心極限定理：（1）計算同時用電戶數(shù)在戶以

5、上的概率？（2）若每戶用電瓦，問：電站至少應(yīng)具有多大發(fā)電量，才能以的概率保證供電？解 以表示用電高峰時同時用電的戶數(shù)（1）依題意，又，于是據(jù) 定理：（2） 設(shè)電站至少具有瓦發(fā)電量，才能的概率保證供電，則因為要：查表得：得即電站具有瓦發(fā)電量，才能以的概率保證供電 . （B）1、設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，相互獨立，且都與的分布相同，求當時，依概率收斂的極限 .（答案：）2、設(shè)相互獨立，且分布相同，存在，則根據(jù)獨立同分布的中心極限定理，當充分大時，近似服從正態(tài)分布，求分布參數(shù). （答案：）3、某生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是一個隨機變量，其平均值為50kg，標準差為5kg. 若用最大載

6、重量為5噸的卡車承運，利用中心極限定理說明，每輛車最多可裝多少箱才能保證不超載的概率大于？（答案：）習題六1.設(shè)是來自 上均勻分布的樣本，末知，求樣本的聯(lián)合密度函數(shù)解: 2. 設(shè)總體服從參數(shù)為的泊松分布，其概率分布律為：求：樣本的聯(lián)合分布律為：解： . 3若總體，其中已知，但末知，而為它的一個簡單隨機樣本，指出下列量中哪些是統(tǒng)計量，哪些不是統(tǒng)計量.（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6）解： （1）、（3）、（4）、（6）給出的各統(tǒng)計量，而（2）、（5）給出的量因含有末知參數(shù)，所以不是統(tǒng)計量 .4. 總體的一組容量為的樣本觀測值為：，求經(jīng)驗分布函數(shù).解 :將樣本觀測值重新排序

7、為：，所以經(jīng)驗分布函數(shù)為：5. 來自總體的一組樣本觀測值為： 求樣本均值，樣本方差和樣本標準差.解：， .6. 在總體中隨機抽取一容量為的樣本，求樣本均值在到之間的概率.解： 由知故所求概率為 .7. 設(shè)隨機變量與相互獨立，且，證明 .證明：由于，則 據(jù)分布的定義，.8. 若對總體有，取的容量為的樣本，樣本均值為，問多大時，有解： 由，知即查表得，即 .9. 設(shè)總體，并且，相互獨立，現(xiàn)從兩總體中分別抽取容量為的樣本，樣本均值分別為，求 .解： .10. 設(shè)總體，都服從正態(tài)分布，并且，相互獨立，分別是總體和的容量為的樣本均值，確定的值，使 .解 由于于是，.即，查表得，取 .11. 設(shè)總體，為的

8、一個樣本，設(shè)，求常數(shù)，使分布.解 由于獨立同分布所以于是=其中所以即 .12. 設(shè)為來自總體的樣本，求 .解 設(shè)總體為，則由可知，由定理 可知利用分布表，可得 .13. 設(shè)是總體的一個樣本，若統(tǒng)計量，試確定與 .解 由于獨立同分布,所以,且兩者相互獨立,由分布定義知故 , .14. 設(shè)總體 ， 是樣本，求的分布.解 記，則有，由于則 .下面證明和相互獨立.因為，都服從標準正態(tài)分布，因此只要證明，互不相關(guān)，即即可.由于，因此，.這樣.15. 設(shè)總體,從二總體中分別抽取樣本,得到下列數(shù)據(jù): , , ； , ,，求概率 .解 由于故 .從而 .B1. 設(shè)有個產(chǎn)品，其中有個次品，進行放回抽樣，定義如下：求樣本的聯(lián)合分布.解: 因為是放回抽樣，所以獨立同分布，.則的聯(lián)合分布為.2設(shè)總體，是樣本，證明：.證: