【新整理】三角形“四心”向量形式的結(jié)論及證明(附練習(xí)答案)教案資料

1、向量 ( AB AC )( 0) 所在直線過 ABC 的內(nèi)心 ( 是 BAC 的角平分|AB | AC | BA | | BC | | CA | | CB |AB AC BA BC CA CB3P如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除三角形“四心 ”向量形式的充要條件應(yīng)用在學(xué)習(xí)了平面向量一章的基礎(chǔ)內(nèi)容之后，學(xué)生們通過課堂例題以及課后習(xí)題陸續(xù)接觸了有 關(guān)三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件。現(xiàn)歸納總結(jié)如下：一 知識點總結(jié)1） O 是 ABC 的重心 OA OB OC 0 ;1S BOC S AOC S AOB S ABC若 O 是 ABC 的重心，則 3 故 OA OB OC 0 ;PG 1 (PA

2、PB PC) G 為 ABC 的重心 .2） O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ;若 O 是 ABC (非直角三角形 )的垂心，則 S BOC： S AOC： S AOB tan A：tan B：tan C故 tan AOA tan BOB tan COC 03） O 是 ABC 的外心 |OA | | OB | | OC | (或 OA 2 OB 2 OC 2 )若 O 是 ABC 的外心則 S BOC： S AOC： S AOB sin BOC：sin AOC：sin AOB sin2A : sin2B : sin2C故 sin2AOA sin2BOB sin2C

3、OC 04） O 是內(nèi)心 ABC 的充要條件是OA ( ) OB ( ) OC ( ) 0引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡潔。如果記 AB , BC ,CA 的單位向量為 e1, e2 ,e3 ，則剛才 O 是ABC 內(nèi)心的充要條件可以寫成： OA ( e1 e 3 ) OB ( e 1 e2 ) OC ( e2 e 3 ) 0O 是 ABC 內(nèi)心的充要條件也可以是 aOA bOB cOC 0若 O 是 ABC 的內(nèi)心，則 S BOC： S AOC： S AOB a： b： c A故 aOA bOB cOC 0或 sinAOA sinBOB sinCOC 0; e1| AB | PC | BC |

4、 PA |CA | PB 0 P ABC 的內(nèi)心 ; e2| AB | | AC | C線所在直線 )； B二 范例(一)將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例 1 O 是平面上的一定點， A,B,C 是平面上不共線的三個點，動點 P精品資料ACAB2 2 2 2BAB如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除滿足 OP OA ( ABAB)， 0, 則 P 點的軌跡一定通過 ABC 的（ ）AC（A ）外心（ B）內(nèi)心（ C）重心（ D）垂心解析：因為 是向量 AB 的單位向量設(shè) AB 與 AC 方向上的單位向量分別為ABOP OA AP ，則原式可化為 AP (e1 e2 ) ，由菱形的基本性質(zhì)知 AP 平分ABC

5、 中， AP 平分 BAC ，則知選 B.e1和 e2 ，又BAC ，那么在點評：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生” ，首先 是什么？沒見過！想想，一個非零AB向量除以它的模不就是單位向量？ 此題所用的都必須是簡單的基本知識，如向量的加減法、向量 的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起， 解這道題一點問題也沒有。(二)將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查 “垂心定理”例 2 H 是ABC 所在平面內(nèi)任一點， HA HB HB HC HC HA 點 H 是ABC 的垂心 .由 HA HB HB HC HB ( HC HA ) 0 HB AC 0 HB A

6、C ,同理 HC AB， HA BC .故 H 是ABC 的垂心 . （反之亦然（證略） ）例 3.(湖南)P 是ABC 所在平面上一點，若 PA PB PB PC PC PA ，則 P 是ABC 的（ D ）A 外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心解析 :由 PA PB PB PC得 PA PB PB PC 0 .即 PB (PA PC) 0, 即PB CA 0則 PB CA, 同理 PA BC , PC AB所以 P 為 ABC 的垂心 . 故選 D.點評：本題考查平面向量有關(guān)運算，及 “數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直 ”、三角形垂心定義等相關(guān)知識 .將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運算及關(guān)知識

7、巧妙結(jié)合。2變式： 若 H 為ABC所在平面內(nèi)一點，且 HA則點 H是ABC的垂心證明: HA HB CA BC(HA HB) BA (CA CB) BA得(HA HB CA CB) BA 0即(HC HC ) BA 0AB HC同理 AC HB， BC HA故 H 是ABC的垂心精品資料量積為零，則兩向量所在直線垂直 ”等相2 2 2 2 2BC HB CA HC ABAHC圖 6311223413如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除(三)將平面向量與三角形重心結(jié)合考查例 4 G 是ABC 所在平面內(nèi)一點，心.證明 作圖如右，圖中 GB GC GE連結(jié) BE 和 CE，則 CE=GB， BE=GC點， A

8、D 為 BC 邊上的中線 .“重心定理”GA GB GC =0 點 G 是ABC 的重BGCE 為平行四邊形 D 是 BC 的中將 GB GC GE 代入 GA GB GC =0，得 GA EG =0 GA GE 2GD ，故 G 是ABC 的重心 . （反之亦然（證略） ）例 5 P 是ABC 所在平面內(nèi)任一點 .G 是ABC 的重心 PG 1 (PA PB PC) .證明 PG PA AG PB G 是ABC 的重心 GA GB GC =0 AG由此可得 PG (PA PB例 6 若 O 為 ABC 內(nèi)一點，A內(nèi)心 B外心BG PC CG 3PG (AG BG CG)BG CG =0，即

9、3PG PA PB PCPC) . （反之亦然（證略） ）OA OB OC 0 ， 則 O 是 ABCC垂心 D重心(PA PB PC) AOB的（ ）EDC解析：由 OA OB OC 0 得 OB OC OA ，如圖以O(shè)B OC OD ， 由平行四邊形性質(zhì)知 OE OD， OA2所以是重心，選 D。OB、 OC 為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則2 OE ， 同理可證其它兩邊上的這個性質(zhì)，點評： 本題需要扎實的平面幾何知識， 平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心性質(zhì)： 重心是三角形中線的內(nèi)分點，所分這比為。本題在解題的過程中將平面向量的有關(guān)運算與平行四邊形 1的對角線互相平分及三角形重心性質(zhì)等相

10、 關(guān)知識巧妙結(jié)合。變式： 已知 D， E， F 分別為 ABC 的邊 BC， AC， AB 的中點則 AD BE CF 0證明：ADBECFAD BEGA GB3GA23GB23GC2CF (GA GB GC)GC 0AD BE CF 0變式引申： 如圖 4，平行四邊形 ABCD 的中心為 O， P 為該平面上任意一點，則 PO(PA PB PC PD)精品資料PO ( PA PC )，21211y HYPERLINK l _bookmark2 22 3 3D（ 1 ,0)、 E ( 1 2 , 2 )、 F ( 2 , 2 )AH (x 2 , y 4 )，QF ( 2 , y 3 )A D

11、G41如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除證明： 1 PO2(PB PD )，PO (PA PB PC PD)點評： （1）證法運用了向量加法的三角形法則，證法 2 運用了向量加法的平行四邊形法則 （2）若 P 與 O 重合，則上式變 OA OB OC OD 0(四)將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例 7 若 O 為 ABC 內(nèi)一點， OA OB OC ，則 O 是 ABC 的（ ）A 內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心解析：由向量模的定義知 O 到 ABC 的三頂點距離相等。故 O 是 ABC 的外心 ，選 B。點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。(五)將平面向量與三角形四心結(jié)

12、合考查例 8已知向量 OP1 ， OP2， OP3 滿足條件 OP1 + OP2 + OP3 =0， |OP1 |=|OP2 |=|OP3 |=1，求證證明同理P1P2P3 是正三角形 .（數(shù)學(xué)第一冊（下） ，復(fù)習(xí)參考題五 B 組第 6 題）由已知 OP1 + OP2 =- OP3 ，兩邊平方得 OP1 OP2 = ，OP2 OP3 = OP3 OP1 = ，2| P1P2 |=| P2 P3 |=|P3 P1 |= 3 ，從而 P1P2 P3 是正三角形 .反之，若點 O 是正三角形 P1P2P3 的中心，則顯然有 OP1 + OP2 + OP3 =0 且|OP1 |=|OP2 |=|OP3

13、 |.即 O 是ABC 所在平面內(nèi)一點，OP1 + OP2 + OP3 =0 且|OP1 |=|OP2 |=|OP3 | 點 O 是正 P1P2 P3 的中心 .例 9在ABC中，已知 Q、 G、 H 分別是三角形的外心、重心、垂心。求證： 且 QG:GH=1:2?！咀C明】：以 A 為原點， AB所在的直線為 x 軸， 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。 C(x2,y 2)， D、 E、 F 分別為 AB、 BC、 AC的中點，則有：x x x y x y2 2 2 2 2 y由題設(shè)可設(shè) Q（x1 , y 3 )、 H (x 2 , y 4 ) , G (x1 x 2 , y 2 )x x 1 y 2

14、 F2 2 2BC (x 2 x1 , y 2 )QAH BCAH BC x 2 ( x 2 x 1) y 2y 4 0y 4 x 2 (x 2 x HYPERLINK l _bookmark1 1 )Q、 G、 H 三點共線，設(shè) A(0,0) 、B（x1,0）、C(x 2,y2)HExB(x1 ,0精品資料2(OA OBB3ABOG OH .如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除QFQFy 3QHQGACACx 2 ( x 22x 2x 2 (x 1 )2x 1)y 22y HYPERLINK l _bookmark3 3 )y HYPERLINK l _bookmark4 2,32y 2 y 2 (y 3

15、 )62x 2 x 1（ ,2y 3 ) （ 2x 22y 2(x 2 ( x 2x 12x 13, y 4x 122x 2 x 16( ,1= QH32 )3x 2 (x 2 x 1 ) y6y 2 60(3x 2 ( x 2 2y 2x 1 y 2,31 2x 23 22y 2 22x 1 ) y2 )x 2 ( x 2 x 1 ) y 2 )x 1,3x 2 ( x 2 x 1 ) 2y 2y2 )即QH =3QG ，故 Q、 G、 H 三點共線，且 QG： GH=1： 2【注】：本例如果用平面幾何知識、向量的代數(shù)運算和幾何運算處理，都相當(dāng)麻煩，而借用向 量的坐標(biāo)形式，將向量的運算完全化

16、為代數(shù)運算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起，從 而，很多對稱、共線、共點、垂直等問題的證明，都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運算的論證。例 10若 O、 H 分別是 ABC 的外心和垂心 .求證 OH OA OB OC .證明 若ABC 的垂心為 H，外心為 O，如圖 .連 BO 并延長交外接圓于 D，連結(jié) AD， CD . AD AB， CD BC .又垂心為 H， AH BC， CH AB，AHCD， CHAD，四邊形 AHCD 為平行四邊形， AH DC DO OC ，故 OH OA AH OA OB OC .著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心” 外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（ 1）

17、三角形的外心、重心、垂心三點共線“歐拉線” ；（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第一個三分點，即重心到垂心的距 離是重心到外心距離的 2 倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題 .例 11 設(shè) O、 G、 H 分別是銳角 ABC 的外心、重心、垂心 .求證證明1OG OH3按重心定理 G 是ABC 的重心 OG1 OC)按垂心定理 OH OA OB OC由此可得 13三、與三角形的“四心”有關(guān)的高考連接題及其應(yīng)用例 1： （2003 年全國高考題） O 是平面上一定點， A、 B、 C 是平面上不共線的三點，動點 P 滿足OP OA ( AC )， 0 ,

18、 ，則動點 P 的軌跡一定通過 ABC的（ ）AB ACAFC精品資料ETABAB cosB AC cosC如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除（ A）外心 （B）內(nèi)心（ C）重心 （D）垂心事實上如圖設(shè) AE , AFABAC都是單位向量AC易知四邊形 AETF是菱形 故選答案 B例 2：（2005 年北京市東城區(qū)高三模擬題） O 為 ABC所在平面內(nèi)一點，如果 OA OB則 O必為 ABC的（ ）（ A）外心 （B）內(nèi)心（C）重心 （D）垂心事實上 OA OB OB OC(OA OC) OB 0 CA OB 0OBCA例 3：已知 O 為三角形 ABC 所在平面內(nèi)一點，且滿足2 2 2 2 2 2OA

19、BC OB CA OC AB ，則點 O 是三角形 ABC 的（ ）（ A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心事實上由條件可推出 OA OB OB OC OC OA 故選答案 D例 4：設(shè) O是平面上一定點， A、 B、 C 是平面上不共線的三點，OB OC OC OA，故選答案 D動點 P 滿足 OP OA ( AB AC )， 0, ，則動點 P 的軌跡一定通過 ABC的（ ）AB cosB AC cosC（ A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心事實上 ( AB AC ) BC ( BC BC) 0 故選答案 D例 5： 2005 年 全 國 （ I ） 卷 第 15 題 “

20、 ABC 的 外 接 圓 的 圓 心 為 O， 兩 條 邊 上 的 高 的 交 點 為 H ，OH m(OA OB OC )，則實數(shù) m=_”先解決該題：作直經(jīng) BD， 連 DA， DC , 有 OB OD ， DA AB，AH BC， CH AB ，故 CH / DA， AH / DC故 AHCD 是 平 行 四 邊 形 ， 進(jìn) 而 AH DC ， 又D C O C O D O C O OH OA AH OA DCDC BC ，圖 3精品資料1 1 12 2 2OP2 OP3 = OP3 OP1 = ，231 1 12如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除故 OH OA OB OC ，所以 m 1評注：外心

21、的向量表示可以完善為：若 O 為 ABC 的外心， H 為垂心，則 OH例 6已知向量 OP1 ， OP2 ， OP3 滿足條件OA OB OC 。其逆命題也成立。OP1 + OP2 + OP3 =0， |OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1，求證： P1P2P3 是正三角形 . （數(shù)學(xué)第一冊（下） ，復(fù)習(xí)參考題五 B 組第 6 題）證明： 由已知 OP1 + OP2 =- OP3 ，兩邊平方得 OP1 OP2 = 1，同理 1 | P1P2 |=| P2 P3 |=| P3P1 |= 3 ，從而 P1P2P3 是正三角形 .反之，若點 O 是正三角形 P1P2P3 的中心，則顯然有

22、 OP1 + OP2 + OP3 =0 且|OP1 |=| OP2 |=|OP3 |，即 O 是 ABC所在平面內(nèi)一點，OP1 + OP2 + OP3 =0 且 |OP1 |=| OP2 |=| OP3 | 點 O 是正 P1P2P3 的中心 .四、練習(xí)1已知 A、B、C 是平面上不共線的三點， O是三角形則點 P 一定為三角形 ABC的( B)A. AB邊中線的中點 B. AB邊中線的三等分點ABC的重心， 動點 P 滿足 OP =3(2OA + 2 OB +2OC ),( 非重心 ) C. 重心 D. AB邊的中點分析：取 AB邊的中點 M，則 OA OB 2OM ，由 OP =3( 2O

23、A+ 2 OB +2OC ) 可得 3 OP 3OM 2MC， MP 2 MC ，即點 P 為三角形中 AB邊上的中線的一個三等分點，且點 P 不過重心。2在同一個平面上有 ABC 及一點 滿足關(guān)系式：的( D )A. 外心 B. 內(nèi)心 C重心 D垂心OA + BC =OB +CA 2 OC 2 AB 2 ，則 為 ABC3已知ABC的三個頂點 A、 B、 C 及平面內(nèi)一點 P 滿足： PA PB PC 0 ，則 P 為ABC的( C )A. 外心 B. 內(nèi)心 C重心 D垂心4已知 O是平面上一定點， A、 B、 C 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿足：OP OA ( AB AC ) ，則 P 的軌跡一定通過 ABC的( C )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D垂心5已知 ABC， P 為三角形所在平面上的動點，且滿足： PA PC PA PB PB PC 0 ，則 P 點為三角形的 ( D )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心6已知ABC， P 為三角形所在平面上的一點，且點 P 滿足： a PA b PB c PC 0 ，則 P 點為三角形的(