專題二三角函數(shù)、解三角形、平面向量(自動(dòng)保存的)

1、專題二 三角函數(shù)、解三角形、平面向量三角函數(shù)任意角的概念（1）角分正角、負(fù)角、零角。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)是角增大的方向。（2）終邊相同的角： = 1 * GB3 若角與角終邊相同，則（或可寫成。其中）。 = 2 * GB3 對(duì)于任意角，總可以在唯一找到一個(gè)角與其終邊相同。 = 3 * GB3 根據(jù)上述結(jié)論，可以利用角所在的象限判斷任意角所在的象限。 = 4 * GB3 終邊相同的角表示形式不是唯一的。（3）終邊共線的角： = 1 * GB3 若角與終邊共線：則（或可寫成。其中）。 = 2 * GB3 其中若為偶數(shù)，則與終邊相同；若為奇數(shù)，則與終邊共線且反向；故:終邊在軸的角為；終邊在軸的角為；終邊在直線

2、上的角為；終邊在直線上的角為；（4）終邊在坐標(biāo)軸上的角： = 1 * GB3 若角終邊在軸上，則（或可寫成。其中）。 = 2 * GB3 若角終邊在軸上，則（或可寫成。其中）。 = 3 * GB3 終邊在坐標(biāo)軸的角可表示為，其中。（5）象限角：終邊在第一象限的角：終邊在第二象限的角：終邊在第三象限的角：終邊在第四象限的角：注：終邊在第四象限的角還可以表示為：（6）已知角所在的象限，要會(huì)求角所在象限。（用等分單位圓法記憶結(jié)論）若角是第一、二象限角，則在一、三象限；若角是第三、四象限角，則在二、四象限；（7）區(qū)域角：區(qū)域角的寫法：首先依逆時(shí)針方向由小到大找到一個(gè)區(qū)間角，再在兩端加上或，其中。如：的

3、解為（一、三象限角分線左側(cè)區(qū)域）；的解為（一、三象限角分線與二、四象限角分線構(gòu)成的上下對(duì)頂區(qū)域）；（8）角的對(duì)稱關(guān)系：若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：，（）；若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：，（）；若角與角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：，（是奇數(shù)）；角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：，（）；（9）弧度制 = 1 * GB3 我們把等于半徑的弧長所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角1弧度的角規(guī)定正角的弧度數(shù)為正實(shí)數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)實(shí)數(shù)，零角的弧度數(shù)為0?；《扰c角度的換算：弧度；弧度弧長公式：其中為角所對(duì)的弧長，為弧度數(shù)，為角所在扇形的半徑；扇形面積公式： 2、任意角的三

4、角函數(shù)（1）任意角的三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角，角的終邊上任意一點(diǎn)，它與原點(diǎn)的距離為()，那么角的正弦、余弦、正切分別是：，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)（2）三角函數(shù)在各象限內(nèi)的函數(shù)值符號(hào)口訣是：一全正、二正弦、三雙切、四余弦。（3）三角函數(shù)線： = 1 * GB3 把有向線段、稱為角的正弦線、余弦線、正切線； = 2 * GB3 注：三角函數(shù)線的長度等于相應(yīng)三角函數(shù)值的絕對(duì)值，三角函數(shù)線的方向決定了相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)。 = 3 * GB3 根據(jù)三角函數(shù)線可知：若，則；. = 4 * GB3 根據(jù)三角函數(shù)線可求解一些簡單的三角不等式的解；如：的解為的解為（4）同角三角函數(shù)關(guān)系：

5、平方關(guān)系：；商數(shù)關(guān)系：（5）正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限）；說明：口訣中的“奇、偶”是指中的整數(shù)來講的；象限是將看成銳角時(shí)，所在的象限；“變”指的是函數(shù)名的改變，正弦變余弦、正切變余切。（6）已知角的某個(gè)函數(shù)值，求另外兩個(gè)函數(shù)值：若已知，求：（按在一四、二三象限兩種情況討論）若已知，求：（按在一二、三四象限兩種情況討論）若已知，求：（按在一四、二三象限兩種情況討論）（7）已知角的某個(gè)函數(shù)值，求角。如已知，求 = 1 * GB3 求銳角，令；（） = 2 * GB3 判斷角所在的象限；（，在第三、四象限） = 3 * GB3 求內(nèi)的；（在內(nèi)或） = 4 * GB3 加上

6、相應(yīng)的周期，得到結(jié)果。（解為或）（8）利用同角三角函數(shù)關(guān)系證明、化簡、求值等（總的原則是由繁到簡），常見技巧有： = 1 * GB3 弦切互化（主要是切化弦）； = 2 * GB3 和積轉(zhuǎn)化法：如：； = 3 * GB3 “1”的代換：如： = 4 * GB3 關(guān)于的齊次式：轉(zhuǎn)化成關(guān)于的問題；如：已知，求，的值。 = 5 * GB3 利用誘導(dǎo)公式化簡的思路是：負(fù)角化正角正角化周角（）周角化銳角； = 6 * GB3 三角函數(shù)式的化簡是一種不指定答案的恒等變形，化簡結(jié)果要盡可能的使項(xiàng)數(shù)少、函數(shù)的種類少、次數(shù)低、能求出值的要求出值、無根式、無分式等。（9）熟記下面的結(jié)論：；或 ；或 ；3、三角函數(shù)

7、的圖像和性質(zhì)： = 1 * GB2 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（A、0）（A、0）定義域RRRR值域最大值1，最小值-1最大值1，最小值-1R沒有最值周期性 奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)非奇非偶當(dāng)奇函數(shù)當(dāng)非奇非偶當(dāng)偶函數(shù)單調(diào)性上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）；上為增函數(shù)上為減函數(shù)（）上為增函數(shù)（），無減區(qū)間上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）上為減函數(shù)；上為增函數(shù)（）對(duì)稱性對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為，對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為無對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為對(duì)稱軸是直線凡是該圖象與直線軸的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心對(duì)稱軸是直線凡是該圖象與直線軸的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心漸近線無無無無 ， ， 注： = 1 * roman i.求三角函數(shù)的定義

8、域經(jīng)常借助兩個(gè)工具，即單位圓中的三角函數(shù)線和三角函數(shù)的圖像 = 2 * roman ii. 或（）的周期為 = 3 * roman iii. 不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（）；是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（）；，并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如： . = 4 * roman iv. 在利用三角換元求最值時(shí)，一定要注意正、余弦函數(shù)的有界性。（2）三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) = 1 * GB3 當(dāng)函數(shù)（）表示一個(gè)振動(dòng)時(shí)，叫做振幅，叫做周期，叫做頻率，叫做相位，叫做初相， = 2 * GB3 由經(jīng)圖像變換得到的圖像：方法一：先平移個(gè)單位，再做沿軸的伸縮變換，最后做沿軸的伸縮變換；方法二：先做沿軸的伸縮變換，再平

9、移個(gè)單位，最后做沿軸的伸縮變換；注：不論那種形式的圖像變換，都遵循“每次變換只針對(duì)一個(gè)”的變換原則。會(huì)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像。 = 3 * GB3 綜合應(yīng)用(以（）為例)：在熟記的圖像與性質(zhì)的前提下，把看成一個(gè)整體，代入公式解決問題 = 1 * roman i.最值：令，求出相應(yīng)的，則，同理可以求最小值。 = 2 * roman ii.求對(duì)稱中心：令，求出相應(yīng)的，則為對(duì)稱中心； = 3 * roman iii. 求對(duì)稱軸：令，求出相應(yīng)的，則為對(duì)稱軸方程； = 4 * roman iv.求單調(diào)區(qū)間：求單調(diào)區(qū)間之前一定要先將化為正數(shù)，令，求出相應(yīng)的單調(diào)增區(qū)間，同理可以求減區(qū)間；注：

10、當(dāng)根據(jù)求出的區(qū)間恰為單調(diào)減區(qū)間。 = 5 * roman v.求周期：周期為，函數(shù)周期為 = 6 * roman vi.奇偶性：若為偶函數(shù)，（即時(shí)，取得最大或最小值）若為奇函數(shù)，（即當(dāng)時(shí)，.）若為偶函數(shù)若為奇函數(shù)，（3）三角函數(shù)的最值問題 = 1 * GB3 函數(shù)的最值與的正負(fù)有關(guān)； = 2 * GB3 形如利用輔助角公式轉(zhuǎn)化成研究； = 3 * GB3 形如通過將次轉(zhuǎn)化成研究； = 4 * GB3 形如或可轉(zhuǎn)化為以或?yàn)樽兞康亩魏瘮?shù)研究； = 5 * GB3 形如可考慮換元法把三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題；如：求（）的最值。（答案：，） = 6 * GB3 形如可轉(zhuǎn)化成橢圓上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜

11、率的最值問題。特別的是：當(dāng)時(shí)可轉(zhuǎn)化成圓上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率的最值問題。4、兩角和差的三角函數(shù)與三角恒等變換 = 1 * GB2 常用公式： = 1 * GB3 兩角和與差的三角函數(shù)公式：； = 2 * GB3 二倍角公式：； = 3 * GB3 其他公式：降冪公式：；輔助角公式：（這里的）半角公式：； = 2 * GB2 求值問題（解題的關(guān)鍵在于把“所求角”用“已知角”表示） = 1 * GB3 當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示成兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；如：已知，且，求。（） = 2 * GB3 當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差關(guān)系，然后再用誘導(dǎo)

12、公式將“所求角”變成“已知角”；常見的配角技巧：， = 3 * GB3 給值求角時(shí)： = 1 * roman i.已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)； = 2 * roman ii.已知正弦、余弦函數(shù)值，選正弦、余弦函數(shù)。若角的范圍是，選正弦、余弦均可；若角的范圍是，選余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正弦函數(shù)。如：已知，且，求的值（）解三角形正弦定理 = 1 * GB2 定理內(nèi)容：（為外接圓半徑） = 2 * GB2 正弦定理變形形式： = 1 * GB3 ，； = 2 * GB3 ，； = 3 * GB3 = 3 * GB2 能解決的問題： = 1 * GB3 已知兩角及任一邊，求另一個(gè)角其它兩邊； =

13、2 * GB3 已知兩邊及一邊的對(duì)角，求另一邊或其他兩角（注：這種情況中結(jié)果根據(jù)大邊對(duì)大角可能有一解、二解、無解，應(yīng)注意區(qū)分）余弦定理 = 1 * GB2 定理內(nèi)容：， = 2 * GB2 正弦定理變形形式：，； = 3 * GB2 能解決的問題： = 1 * GB3 已知三邊，求各角； = 2 * GB3 已知兩邊和它們夾角，求第三邊或其他兩角中的常用結(jié)論： = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 ； = 3 * GB3 在中：； = 4 * GB3 在銳角中：； = 5 * GB3 在中：成等差； = 6 * GB3 射影定理：，; = 7 * GB3 實(shí)際問題中的一些術(shù)語： = 1

14、* roman i.仰角和俯角：視線與水平線的夾角，仰視則為仰角，俯視則為俯角； = 2 * roman ii.北偏東角：自正北方向按順時(shí)針向東轉(zhuǎn)到目標(biāo)線時(shí)轉(zhuǎn)過的角為三角形面積公式 = 1 * GB3 （為邊上的高）； = 2 * GB3 ； = 3 * GB3 （為外接圓半徑） = 4 * GB3 （為內(nèi)切圓半徑）； = 5 * GB3 （）；三角形形狀的判定判斷三角形的形狀的基本思想是：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一，即將條件化為只含角（或邊）的關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系（或三邊的關(guān)系），結(jié)論一般為特殊的三角形。平面向量平面向量的概念和計(jì)算 = 1 * GB2 定義：既

15、有大小又有方向的量稱為向量，向量的大小稱為向量的模。注：平面向量都是自由向量，所謂“自由向量”是指“向量經(jīng)平移仍等于原向量”。我們所研究的向量都與起點(diǎn)無關(guān)，當(dāng)我們用有向線段表示向量時(shí)，起點(diǎn)可以取任意位置。幾個(gè)向量的規(guī)定： = 1 * GB3 零向量：長度為零的向量，方向任意，記做：； = 2 * GB3 單位向量：長度為1的向量，非零向量的單位向量為； = 3 * GB3 平行（共線）向量：方向相同或相反的非零向量，（規(guī)定：與任何向量共線）； = 4 * GB3 相等向量：大小相等且方向相同的兩個(gè)向量；（兩個(gè)向量不能比大小） = 5 * GB3 相反向量：大小相等且方向相反的兩個(gè)向量；（規(guī)定：

16、的相反向量為自身）；注：有向線段和向量的區(qū)別： 有向線段有固定的起點(diǎn)，有大小和方向；向量可選任意點(diǎn)為起點(diǎn)，有大小和方向；向量平行與直線平行的區(qū)別：向量平行包括向量共線(或重合)的情況，而直線平行不包括共線的情況因而要利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合3、平面向量的線性運(yùn)算 = 1 * GB2 平面向量的加法運(yùn)算 = 1 * GB3 平面向量的加法運(yùn)算法則：平行四邊形法則、三角形法則如下圖 = 2 * GB3 平面向量的加法運(yùn)算律：交換律：；結(jié)合律：； = 2 * GB2 平面向量的減法運(yùn)算 = 1 * GB3 平面向量的加法運(yùn)算法則：三角形法則如右圖： = 2 * GB

17、3 平面向量的減法的意義：； = 3 * GB2 平面向量的數(shù)乘運(yùn)算 = 1 * GB3 也表示一個(gè)向量，當(dāng)時(shí)，與方向相同，當(dāng)時(shí)，與方向相反。 = 2 * GB3 ；當(dāng)時(shí)，； = 3 * GB3 平面向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律：；4、平面向量共線定理 = 1 * GB2 定理內(nèi)容：（）與共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得。 = 2 * GB2 共線向量：對(duì)于兩個(gè)向量 = 1 * roman i.存在常數(shù)，使得（其中） = 2 * roman ii.存在不全為0的常數(shù)，使得 = 3 * GB2 直線型問題的向量表述： = 1 * GB3 直線，則且不共線； = 2 * GB3 三點(diǎn)共線，則：； = 3 * G

18、B3 直線，則：； = 4 * GB3 直線和直線的夾角（或其補(bǔ)角）為則：； = 5 * GB3 三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則：與不平行； = 6 * GB3 對(duì)于三角形,記：，則：對(duì)于中位線有如下結(jié)論： = 7 * GB3 對(duì)于共線三點(diǎn)及線外一點(diǎn),則 = 1 * roman i.存在實(shí)數(shù)使得：其中. = 2 * roman ii.特別的，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，,平面向量基本定理 = 1 * GB2 定理內(nèi)容：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)，使。其中，不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。 = 2 * GB2 平面向量的正交分解：把一個(gè)向量分解

19、為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。 = 3 * GB2 如果取與軸正向同向的單位向量，作為一組基底，那么對(duì)于平面上任一向量，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)，使。則稱有序數(shù)對(duì)為的坐標(biāo)，記做。6. 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)，則：，；(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)即：若點(diǎn)，則若，則， = 3 * GB2 平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)，其中， = 4 * GB2 三點(diǎn)，共線充要條件為： = 5 * GB2 ， = 6 * GB2 在中，頂點(diǎn)，重心,邊上的中點(diǎn)為，則有以下三個(gè)常用結(jié)論：（注意三角形重心的性質(zhì)） = 1 * GB3 ， = 2 * GB3 的坐標(biāo)為， = 3 * GB3 ， .7. 平面向量數(shù)量積 = 1 * GB2 定義：（其中為的夾角），規(guī)定： = 2 * GB2 若，則 = 3 * GB2 對(duì)于非零向量，； = 4 * GB2 平面向量數(shù)量積的幾何意義：等于與在方向上的射影 的乘積，或與在方向上的射影的乘積 = 5 * GB2 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 = 1 * GB3 、 = 2 * GB3 = 3 * GB3 = 4 * GB3 注意避免出現(xiàn)以下三個(gè)錯(cuò)誤：是錯(cuò)的；是錯(cuò)的；或是錯(cuò)的。 = 6 * GB2 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì) = 1 * GB3 （是方向上的單位向量）； = 2 * GB