羅爾中值定理ppt課件 (2)

1、一、羅爾中值定理引理(費馬):設y =f (x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)有定義. 在x0(a, b)處取得最大值(最小值), 且 f (x)在x0處可導, 則 f (x0) = 0.證: 因f (x)在x0處可導.45 微分中值定理設f (x0)為f (x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)的最大值, 即, x(a, b), 有 f (x) f (x0).故當|x|充分小時, 有x0+x (a, b),從而 f (x0+x) f (x0) 0因x0(a, b),(1)當x 0時,由保號性定理,令x 0+,(2)當x 0時,由保號性定理,令x 0,綜合(1),(2)有0 f (x0) 0,故 f (x0) =

2、 0,類似可證f (x)在x0取最小值的情形.注1. 因f (x0)表示曲線y =f (x)上點M(x0, f (x0)處切線斜率.而f (x0)=0表示該點處切線斜率為0.因此, 引理在幾何上表示: 若y =f (x)在(a, b)內(nèi)部某點x0處取最大(小)值, 且在x0可導, 則在M(x0, f (x0)處的切線平行于x軸.如圖bMax0y x0M x0y =f (x)注2. 若f (x)在區(qū)間a, b的端點a(或b)處取得最大(小)值. 不能保證f (a)(或 f (b)=0.即, 在端點M(a, f (a)或M(b, f (b)處切線不一定平行于x 軸.如圖.0abxyy = f (x

3、)定理1. (羅爾中值定理). 若y=f (x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導, 且f (a) = f (b). 則在(a, b)內(nèi)至少存在一點 , 使得 f .證: 因f (x)在a, b上連續(xù), 從而可取得最大值M = f (x0)和最小值m = f (x1). 其中, x0, x1 a, b(1) 若 m=M ,因m f (x) M. 即, M f (x) M, 所以f (x)=M.有f x , 故 (a, b)有 f .(2) 若 mb, 還是ab.但 介于a, b之間.注2. 若y = f (x)在a, b上滿足拉格朗日定理條件.x(a, b), y = f (x +x)f

4、 (x) = f x= f x +x) x其中| x |充分小, 介于x 和x之間.0 1. 使得 = x +x,如圖xabx+xx注3. 定理的條件f (x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導 不能減弱. 推論1. 若 f (x)在(a, b)內(nèi)的導數(shù)恒為0, 即x(a, b). 有f x=0. 則 f (x)在(a, b)內(nèi)是一個常數(shù). 即x(a, b), f (x) = C(常數(shù)).證: 取定x0(a, b). 只須證明x(a, b), 有 f (x)=f (x0)即可.因f (x)在(a, b)內(nèi)可導, 從而在(a, b)內(nèi)連續(xù).故 f (x)在x0, x (a, b)(或x,

5、x0 (a, b)上滿足拉格朗日定理的條件.f (x)f (x0) = f (x x0)=0, 介于x 和x0之間.即, x(a, b), 有f (x)=f (x0)例2. 證: 記 f (x) = arcsinx+arccosx. 在(1, 1)內(nèi)可導. 且從而在(1, 1)內(nèi), f (x) = C.(常數(shù)).取 x=0, 得故 當1 x 0時, 證: 改寫原式,利用公式證不等式時, 往往要把待證式中的一部分寫成的形式, 以便構(gòu)造函數(shù) f (x).所以, 記 f (t) = ln(1+t), 知f (t)在0, x上滿足拉格朗日中值定理的條件.且因故三、柯西中值定理定理3. 若f (x),

6、g(x)都在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導, 且 g(x) 0. 則至少存在一點(a, b),使得分析: 若分別對f (x), g(x)用拉格朗日中值定理, 可得上式左端但1, 2不一定相同, 故不能用這一方法.只須證即證: 知(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導.且從而(b)(a)=0.由羅爾中值定理, (a, b),使() = 0,例5. 設 f (x)在(, +)內(nèi)可導. f (0)=0. 證明 (, +), 使得 2f () f () = 32 f 2(1)證: 這一類問題, 往往可考慮用中值定理解決.變形.注意到,左端, 從而, 待證式為故, 記F(x) = f 2

7、(x), g(x) = x3在0, 1上連續(xù), 在(0,1)內(nèi)可導.由柯西中值定理, (0, 1), 使得若修改例5為: f (0)=0, f (1)=0, 證明, (, +), 使得f () f () =0.則可用羅爾定理證.四、泰勒中值定理在近似計算和理論分析中, 對于復雜函數(shù)f (x). 常希望用一個多項式P(x) = a0+a1x+a2x2 + anxn 來近似表示 f (x).比如, 當|x|很小時, ex 1+x, sin x.都是用一次函數(shù)表示函數(shù) f (x)的例子.缺陷: (1)精度不高, 誤差僅為o(x)(2)沒有誤差估計式.從幾何上看, 缺陷(1)是由于我們在x=0附近用直

8、線代替曲線, 精度當然不高.能否改用二次曲線, 三次曲線, , 代替? 精度是否能提高, 或者說, 曲線的吻合程度是否會更好些呢? y=ex1y=1+x看圖.1x0y我們要解決的問題是: 設f (x)在x=x0的某鄰域內(nèi)有直到n+1階導數(shù).(1)試求一個關(guān)于xx0的n次多項式Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n使Pn(x)能在x0的附近近似表示 f (x).即, f (x)和Pn(x)在x=x0處的函數(shù)值以及k階(kn)導數(shù)值都相等.即, f (x0)=Pn(x0), f (x0)= Pn(x0), f (x0) = Pn(x0), f (n)(x0)

9、 = P(n)n(x0).(2)誤差 f (x)Pn(x)的表達式.首先解決問題(1), 即設f (x)在x=x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有直到n+1階導數(shù).求Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n. 滿足f (x0) = Pn(x0), f (x0) = Pn(x0), f (x0) = Pn(x0), f (n)(x0)= P(n)n(x0).將x=x0代入Pn(x), 得Pn(x0)= a0= f (x0) ,對Pn(x)求導, 再將x0代入, 得Pn(x0) = a1 = f (x0)對Pn(x)求二次導, 將x0代入, 得Pn(x0)= 2!a2

10、= f (x0)Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n同理,一般,得Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n得定理4.(泰勒中值定理) 如果f (x)在含x0的某個區(qū)間(a, b)內(nèi)有直到n+1階的導數(shù)，則對x(a, b)，有其中是介于x0與x之間的一個值.只須證明或證:由于f (x)和Pn(x)在(a, b)內(nèi)有直到 n+1 階導數(shù), 從而 Rn(x) 在 (a, b)內(nèi)有直到 n+1 階導數(shù).注意到有1介于x0與x之間.對函數(shù)Rn(x)和(n+1)(xx0)n在x0, 1或1, x0上用柯西中值定理.有2介于x0與1 之間.繼續(xù)下去, 經(jīng)n次后,有其中 =n+1介于x0與n 之間, 從而介于x0與x之間.注1. 公式稱為 f (x) 按(xx0)的冪, 展開到n階的泰勒公式.稱為拉格朗日型余項.也可寫成注2. 當n0時，泰勒公式變?yōu)槔窭嗜罩兄倒阶?. 若且可是, 誤差Rn(x)是(xx0)n的高階無窮小(當xx0時).即 Rn(x)=0(xx0)n ). 稱為皮亞諾余項.注4. 若在泰勒中值定理中取x0=0. 則公式為其中 介于x與0之間, 01.稱為馬克勞林公式.例