第40周不定方程

1、PAGE PAGE 5第四十周 不定方程專題簡(jiǎn)析：當(dāng)方程的個(gè)數(shù)比方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)少時(shí)，我們就稱這樣的方程為不定方程。如5x3y9就是不定方程。這種方程的解是不確定的。如果不加限制的話，它的解有無(wú)數(shù)個(gè)；如果附加一些限制條件，那么它的解的個(gè)數(shù)就是有限的了。如5x3y9的解有：x2.4 x2.7 x3.06 x3.6 y1 y1.5 y2.1 y3 如果限定x、y的解是小于5的整數(shù)，那么解就只有x3，Y2這一組了。因此，研究不定方程主要就是分析討論這些限制條件對(duì)解的影響。 解不定方程時(shí)一般要將原方程適當(dāng)變形，把其中的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)來(lái)表示，然后再一定范圍內(nèi)試驗(yàn)求解。解題時(shí)要注意觀察未知數(shù)的

2、特點(diǎn)，盡量縮小未知數(shù)的取值范圍，減少試驗(yàn)的次數(shù)。 對(duì)于有3個(gè)未知數(shù)的不定方程組，可用削去法把它轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程再求解。 解答應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題中的限制條件（有時(shí)是明顯的，有時(shí)是隱蔽的）取適當(dāng)?shù)闹?。?求3x+4y23的自然數(shù)解。 解：先將原方程變形，y EQ F(233x,4) ?？闪斜碓囼?yàn)求解：X1234567Y52所以方程3x+4y23的自然數(shù)解為 X=1 x=5 Y=5 y=2練習(xí)一求3x+2y25的自然數(shù)解。求4x+5y37的自然數(shù)解。求5x3y16的最小自然數(shù)解。例2： 求下列方程組的正整數(shù)解。5x+7y+3z253xy6z2這是一個(gè)三元一次不定方程組。解答的實(shí)話，要先設(shè)法消去

3、其中的一個(gè)未知數(shù)，將方程組簡(jiǎn)化成例1那樣的不定方程。5x+7y+3z25 = 1 * GB3 3xy6z2 = 2 * GB3 由 = 1 * GB3 2+ = 2 * GB3 ，得13x+13y52 X+y4 = 3 * GB3 把 = 3 * GB3 式變形，得y4x。因?yàn)閤、y、z都是正整數(shù)，所以x只能取1、2、3. 當(dāng)x1時(shí)，y3 當(dāng)x2時(shí)，y2 當(dāng)x3時(shí)，y1 把上面的結(jié)果再分別代入 = 1 * GB3 或 = 2 * GB3 ，得x1，y3時(shí)，z無(wú)正整數(shù)解。 x2，y2時(shí)，z也無(wú)正整數(shù)解。 x3時(shí)，y1時(shí)，z1.所以，原方程組的正整數(shù)解為 x1 y1 z1練習(xí)二求下面方程組的自然數(shù)

4、解。1、 4x+3y2z7 2、 7x+9y+11z683x+2y+4z21 5x+7y+9z525x+7y+4z263xy6z2例3：一個(gè)商人將彈子放進(jìn)兩種盒子里，每個(gè)大盒子裝12個(gè)，每個(gè)小盒子裝5個(gè)，恰好裝完。如果彈子數(shù)為99，盒子數(shù)大于9，問(wèn)兩種盒子各有多少個(gè)？ 分析與解：兩種盒子的個(gè)數(shù)都應(yīng)該是自然數(shù)，所以要根據(jù)題意列出不定方程，再求出它的自然數(shù)解。 設(shè)大盒子有x個(gè)，小盒子有y個(gè)，則 12x+5y99（x0，y0，x+y9） y（9912y）5經(jīng)檢驗(yàn)，符合條件的解有： x2 x7 y15 y3 所以，大盒子有2個(gè)，小盒子有15個(gè)，或大盒子有7個(gè)，小盒子有3個(gè)。練習(xí)三某校6（1）班學(xué)生48

5、人到公園劃船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各幾只？（大、小船都有）甲級(jí)鉛筆7角錢一枝，乙級(jí)鉛筆3角錢一枝，小華用六元錢恰好可以買兩種不同的鉛筆共幾枝？小華和小強(qiáng)各用6角4分買了若干枝鉛筆，他們買來(lái)的鉛筆中都是5分一枝和7分一枝的兩種，而且小華買來(lái)的鉛筆比小強(qiáng)多，小華比小強(qiáng)多買來(lái)多少枝？例題4：買三種水果30千克，共用去80元。其中蘋果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。問(wèn)三種水果各買了多少千克？ 解：設(shè)蘋果買了x千克，橘子買了y千克，梨買了（30 xy）千克。根據(jù)題意得： 4x+3y+2（30 xy）82 x10 EQ F(y,2) 由式子可知：y20，則y

6、必須是2的倍數(shù)，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：蘋果987654321橘子24681012141618梨191817161514131211練習(xí)四有紅、黃、藍(lán)三種顏色的皮球共26只，其中藍(lán)皮球的只數(shù)是黃皮球的9倍，藍(lán)皮球有多少只？用10元錢買25枝筆。已知毛筆每枝2角，彩色筆每枝4角，鋼筆每枝9角。問(wèn)每種筆各買幾枝？（每種都要買）曉敏在文具店買了三種貼紙；普通貼紙每張8分，熒光紙每張1角，高級(jí)紙每張2角。她一共用了一元兩角兩分錢。那么，曉敏的三種貼紙的總數(shù)最少是多少?gòu)垼坷?：某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽準(zhǔn)備例2枝鉛筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給獲得一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生。原計(jì)劃一

7、等獎(jiǎng)每人發(fā)6枝，二等獎(jiǎng)每人發(fā)3枝，三等獎(jiǎng)每人發(fā)2枝。后又改為一等獎(jiǎng)每人發(fā)9枝，二等獎(jiǎng)每人發(fā)4枝，三等獎(jiǎng)每人發(fā)1枝。問(wèn)：一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生各有幾人？ 解：設(shè)一等獎(jiǎng)有x人，二等獎(jiǎng)有y人，三等獎(jiǎng)有z人。則 6x+3y+2z22 = 1 * GB3 9x+4y+z22 = 2 * GB3 由 = 2 * GB3 2 = 1 * GB3 ，得12x+5y22 y EQ F(2212x,5) x1x只能取1。Y2，代入 = 1 * GB3 得z5，原方程的解為 y2 z5所以，一等獎(jiǎng)的學(xué)生有1人，二等獎(jiǎng)的學(xué)生有2人，三等獎(jiǎng)的學(xué)生有5人。練習(xí)五某人打靶，8發(fā)打了53環(huán)，全部命中在10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)。他命中10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)各幾發(fā)？籃子里有煮蛋、茶葉蛋和皮蛋30個(gè)，價(jià)值24元。已知煮蛋每個(gè)0.60元，茶葉蛋每個(gè)1元，皮蛋每個(gè)1.20元。問(wèn)籃子里最多有幾個(gè)皮蛋？一頭豬賣3 EQ F(1,2) 個(gè)銀幣，一頭山羊賣1 EQ F(1,3) 個(gè)銀幣，一頭綿羊買 EQ F(1,2) 個(gè)銀幣。有人用100個(gè)銀幣賣了這三種牲畜100頭。問(wèn)豬、山羊、綿羊各幾頭？答案：練11、 x1 x3 x5 x7 y11 y8 y5 y22、 x3 x8 y11 y1 x5 y3練2x1y3z32、 x3 x4y4 y2z1 z23、 x3y