教學(xué)課件·線性代數(shù)

1、1線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 線性代數(shù)是以矩陣為主要工具研究數(shù)量間的線性關(guān)系的基礎(chǔ)理論課程。由于計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)的發(fā)展，使得很多實(shí)際問題得以離散化和定量的解決，作為離散化和數(shù)值計(jì)算理論基礎(chǔ)的線性代數(shù)，成為了解決實(shí)際問題的強(qiáng)有力工具。 通過線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生熟悉線性代數(shù)的基本概念，掌握線性代數(shù)的基本理論和基本方法。受到抽象思維能力、邏輯思維能力、分析問題和解決問題能力的訓(xùn)練，為學(xué)習(xí)后繼課程及進(jìn)一步擴(kuò)大知識面奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 線性代數(shù)課程概述一、課程的性質(zhì)與任務(wù)二、線性代數(shù)的發(fā)展簡史三、線性代數(shù)課程學(xué)習(xí)方法四、線性代數(shù)課程資源 一、課程的性質(zhì)

2、與任務(wù)線性代數(shù)課程概述 線性代數(shù)是經(jīng)濟(jì)管理類各專業(yè)的一門必修的重要基礎(chǔ)課和工具課，是研究生入學(xué)考試的必考課程。 線性代數(shù)是數(shù)學(xué)三大基礎(chǔ)之一，是關(guān)于離散量數(shù)學(xué)的課程，具有無可替代的重要地位。 線性代數(shù)是以矩陣為主要工具研究數(shù)量間的線性關(guān)系的基礎(chǔ)理論課程，具有廣泛的應(yīng)用。 線性代數(shù)的理論與方法已經(jīng)滲透到現(xiàn)代科學(xué)、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、管理的各個領(lǐng)域，它提供了描述、處理線性問題的思想和方法。二、線性代數(shù)的發(fā)展史 線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個分支，它以矩陣為工具，以研究向量空間與線性映射為對象。 線性代數(shù)在古代就有其萌芽，如二、三元線性方程組的解法早在兩千年前就已出現(xiàn)（見于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)）。 現(xiàn)代線性代數(shù)的

3、歷史基本上可以上溯到十七世紀(jì)，起源于對二維和三維直角坐標(biāo)系的研究，主要是費(fèi)馬和笛卡兒的工作。直到十八世紀(jì)末，線性代數(shù)的領(lǐng)域還只限于平面與空間。 十九世紀(jì)上半葉才完成了到n維向量空間的過渡。矩陣論始于凱萊，在十九世紀(jì)下半葉，因若當(dāng)?shù)墓ぷ鞫_(dá)到了它的頂點(diǎn)。 1888年，皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無限維向量空間。 托普利茨將線性代數(shù)的主要定理推廣到任意體上的最一般的向量空間中。 后經(jīng)眾多數(shù)學(xué)家們的不斷研究和完善，形成了現(xiàn)代的線性代數(shù)結(jié)構(gòu)體系。三、線性代數(shù)課程學(xué)習(xí)方法 線性代數(shù)課程的特點(diǎn)是概念多、符號多、運(yùn)算規(guī)律多、定理多，內(nèi)容縱橫交錯，知識聯(lián)系緊密。學(xué)生只有充分理解概念，熟悉各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算

4、方法，掌握定理的條件、結(jié)論和應(yīng)用，善于總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，了解各章節(jié)間的內(nèi)部聯(lián)系，才能使所學(xué)知識融會貫通，真正學(xué)好線性代數(shù)。 既然線性代數(shù)有自己獨(dú)特的特點(diǎn)，我們就要用適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法面對。這里給出幾點(diǎn)建議： 1.把握線性代數(shù)課程的特點(diǎn)，根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)進(jìn)行學(xué)習(xí) 線性代數(shù)常常涉及大型數(shù)組，復(fù)雜的形式，抽象的理論，因此在學(xué)習(xí)中要先將容易的問題搞明白，再解決有難度的問題；先將低階的問題搞明白，再解決高階的問題；先將基本的和單一的知識點(diǎn)掌握好，再將它們與其他概念相聯(lián)系。也即根據(jù)內(nèi)容特征采取由易到難、由低到高、由淺到深，化復(fù)雜為簡單、化抽象為具體、化一般為特殊的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行學(xué)習(xí)。 2.注重對基本概念的理解與把握，正確熟

5、練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算 線性代數(shù)的概念多，要把握概念的內(nèi)涵。 線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān)。 線性代數(shù)的定理多，要掌握定理的條件和結(jié)論。要注意對象之間，定義運(yùn)算之間的比較和關(guān)聯(lián)。 3.注重知識點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，把握解題方法的要點(diǎn)，努力提高綜合分析能力 線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，解題方法靈活多變，學(xué)習(xí)時要不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識融會貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路就開闊了。 4.把握知識之間的邏輯關(guān)系，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)體系，使知識形成網(wǎng)絡(luò) 學(xué)習(xí)線性代數(shù)要把握知識之間的邏輯關(guān)系，抓住問題和方法主線，要學(xué)會

6、構(gòu)建知識體系，形成知識網(wǎng)絡(luò)。 5.注重邏輯性與敘述表述 線性代數(shù)對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解學(xué)生對數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家學(xué)習(xí)整理時，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時還應(yīng)注意語言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡明。 6.聽講、看書、思考、記憶、練習(xí)和總結(jié)是學(xué)好線性代數(shù)的基本保證 一定要重視上課聽講，不能使線性代數(shù)的學(xué)習(xí)退化為自學(xué)。聽課時要與老師的思路同步，老師的一句話就可能使你豁然開朗，就可能改變你的學(xué)習(xí)方法。 課下要做到多看、多思、多練、多記，及時理解、消化和鞏固課程內(nèi)容。要重視對三基的掌握和理解，只有理解教學(xué)內(nèi)

7、容才能記得牢。 在學(xué)習(xí)中一定要認(rèn)真仔細(xì)地預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)，做到每單元完成后必須及時對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行梳理和總結(jié)，多思多議，不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，做到融會貫通。四、線性代數(shù)課程資源主教材：線性代數(shù)張學(xué)奇主編. 中國人民大學(xué)出版社輔導(dǎo)教材：1.線性代數(shù)輔導(dǎo)教程張學(xué)奇主編.2.線性代數(shù)習(xí)題全解張學(xué)奇主編.中國人民大學(xué)出版社16線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中國人民大學(xué)出版社 矩陣是線性代數(shù)的一個最重要的基本概念，線性代數(shù)的許多內(nèi)容都可以借助矩陣進(jìn)行討論。矩陣作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，它在自然科學(xué)的各個領(lǐng)域以及經(jīng)濟(jì)分析、經(jīng)濟(jì)管理中都有著廣泛的應(yīng)用。本章主要介紹矩陣的概念、

8、矩陣的運(yùn)算、方陣的行列式、分塊矩陣、方陣的逆矩陣、矩陣的初等變換和矩陣的秩。第一章 矩陣第一章 矩陣第一節(jié) 矩陣的概念一、矩陣的概念二、幾種特殊的矩陣1 矩陣的概念一、矩陣的概念 例 某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品，它們的成本包括三類：原料費(fèi)、工資、管理費(fèi)和其它。成 本產(chǎn) 品ABC原料費(fèi)131.5工資342.5管理費(fèi)121.5生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本表 成本數(shù)據(jù)簡表 產(chǎn)品季 度夏季秋季冬季春季A4000450045004000B2000260024002200C5800620060006000每季度生產(chǎn)每種產(chǎn)品的數(shù)量產(chǎn)品數(shù)量簡表 從i市到j(luò)市有單向航線從i市到j(luò)市無單向航線 例2 某航空公司在四個城市之間單向航

9、線如圖，城市間的連線和箭頭表示城市之間航線的線路和方向，如果將此圖對應(yīng)一個行列的矩形表格,記為 其中A中第i行第j列交叉點(diǎn)的數(shù) 定義為n 階方陣 行矩陣 列矩陣 幾個特殊形式矩陣 二、幾種特殊的矩陣1.對角矩陣 2.數(shù)量矩陣 單位矩陣 上三角矩陣 下三角矩陣 對稱矩陣反對稱矩陣條件： “矩陣”這個詞是由西爾維斯特首先使用的。他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個述語。 英國數(shù)學(xué)家凱萊，被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者。他首先把矩陣作為一個獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念，首先發(fā)表了關(guān)于這個題目的一系列文章，同研究線性變換下的不變量相結(jié)合，首先引進(jìn)矩陣以簡化記號。第一章 矩陣第二節(jié) 矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法二、

10、數(shù)與矩陣乘法三、矩陣的乘法四、矩陣的轉(zhuǎn)置2 矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法解 由矩陣加法和減法定義可得二、數(shù)與矩陣乘法三、矩陣的乘法 引例 某企業(yè)有兩個工廠、，生產(chǎn)甲、乙、丙三種類型的產(chǎn)品，生產(chǎn)每種類型產(chǎn)品的數(shù)量如表1，生產(chǎn)每種產(chǎn)品的單位價格和單位利潤如表2所示試求各工廠的總收入和總利潤甲乙丙a11a12a13a21a22a23單位價格單位利潤b11b12b21b22b31b32表1表2甲乙丙a11a12a13a21a22a23單位價格單位利潤b11b12b21b22b31b32 解 依題意，兩個工廠的總收入和總利潤為 總收入總利潤a11 b11 +a12 b21 +a13b31a11 b12 +a

11、12 b22 +a13b32a21 b11+ a22 b21 +a23 b31a21 b12+ a22 b22 +a23 b32將上述3個表中的數(shù)據(jù)分別用矩陣表示，有例 設(shè) ,求 和解 由矩陣乘積定義，得解 由矩陣乘積定義，得 例 設(shè)矩陣 ，求所有與矩陣A可交換的矩陣?yán)?設(shè) ，求解四、矩陣的轉(zhuǎn)置解 第一章 矩陣第三節(jié) 方陣的行列式一、二、三階行列式二、排列與逆序三、n階行列式的定義四、行列式的性質(zhì)五、行列式按行（列）展開六、行列式的計(jì)算七、方陣的行列式3 方陣的行列式一、二階和三階行列式設(shè)有二元線性方程組用加減消元法可得 上式給出了二元線性方程組的公式解但公式解的表達(dá)式比較復(fù)雜，不便于記憶，引

12、進(jìn)新的符號來表示這個結(jié)果我們稱由4個數(shù)組成的記號為二階行列式它含有兩行、兩列橫的叫行，縱的叫列行列式中的數(shù)叫作行列式的元素利用二階行列式記號，取 二階行列式是這樣兩項(xiàng)的代數(shù)和：一個是從左上角到右下角的對角線（主對角線）上兩個元素的乘積，取正號；另一個是從右上角到左下角的對角線（副對角線）上兩個元素的乘積，取負(fù)號 需要注意的是二階方陣和二階行列式是兩個不同的概念，二階方陣是按確定方式排成的一個數(shù)表，而二階行列式是按照一定運(yùn)算法則確定的一個數(shù) 二階行列式的對角線法則：例 解二元線性方程組 解 由于因此，二元線性方程組的解為 為了進(jìn)一步討論線性方程組的需要，下面給出三階行列式的概念 三階行列式對角線

13、法則： 實(shí)線上三元素的乘積取正號，虛線上三元素的乘積取負(fù)號.例計(jì)算三階行列式 解按對角線法則有實(shí)線上三元素的乘積取正號，虛線上三元素的乘積取負(fù)號.例解方程 解 方程左端的三階行列式 二、排列與逆序 例如，312是一個3級排列，3214是一個4級排列，而25134是一個5級排列三、n階行列式的定義三階行列式的特征分析 三階行列式具有如下規(guī)律： (1) 三階行列式是3！項(xiàng)的代數(shù)和； (2) 三階行列式中的每一項(xiàng)是三個元素的乘積，它們是取自不同的行和不同的列； (3) 每一項(xiàng)的符號是：當(dāng)這一項(xiàng)中元素的行標(biāo)是按自然序排列時，如果元素的列標(biāo)為偶排列，則取正號，為奇排列，則取負(fù)號三階行列式可表示為 按此結(jié)

14、構(gòu)規(guī)律可將三階行列式概念的推廣到n階行列式 需要注意的是n階方陣和n階行列式是兩個不同的概念，n階方陣是按確定方式排成的一個數(shù)表，而n階行列式是按照一定運(yùn)算法則確定的一個數(shù)例 計(jì)算上三角形行列式上三角形行列式 下三角形行列式 對角形行列式 結(jié)論：上(下)三角形行列式及對角形行列式的值，均等于主對角線上元素的乘積解 所以 四、行列式的性質(zhì) 推論 如果行列式某兩行(列)的對應(yīng)元素相同，則此行列式的值等于零 性質(zhì) 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面即例 計(jì)算行列式 解 利用行列式的性質(zhì)將行列式化為上三角形行列式例 試證明： 證 把行列式的第、列同時加到第列上去，則得例 計(jì)算行

15、列式 五、行列式按行（列）展開對于三階行列式，有 三階行列式可以展開成二階行列式的形式. 為了表述這種展開形式下面引入余子式和代數(shù)余子式的概念.由代數(shù)余子式，三階行列式可表述為 這種表述不但對行列式的第一行成立，對于行列式的任意行（列）而言均有類似結(jié)論.余子式為 代數(shù)余子式為 結(jié)論：任何行列式均可展開成某行（列）的元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和. 即有為了證明行列式展開定理，我們先證明一個引理.對于一般情況 證 設(shè) 由行列式性質(zhì)4及引理，可得同理可證 列的情形同理可以證明. 定理及其推論可以合并表述為：定理推論 拉普拉斯（Laplace,17491827）法國著名數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，拉普拉斯是

16、分析概率論的創(chuàng)始人，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的先軀。拉普拉斯在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域都有突出的貢獻(xiàn)，行列式展開定理就是拉普拉斯提出的。 利用展開定理計(jì)算行列式的步驟： （1）選擇某一元素簡單的行（列），利用行列式性質(zhì)，將選擇的行（列）化簡為僅有一個非零元素元素的行（列）； （2）再由定理1按該行（列）展開，將行列式變?yōu)榈鸵浑A行列式； （3）如此繼續(xù)下去，直到將行列式化為三階或二階行列式，以此簡化行列式的計(jì)算例 計(jì)算行列式 解 選擇第列保留一個非零元素其余元素化為零例 證明 證 將等式左端的行列式按第1行展開，得六、行列式計(jì)算 1.三角化方法 三角化方法是利用行列式的性質(zhì)將行列式化為三角形行列式，利用三角形行列式結(jié)果

17、來進(jìn)行行列式計(jì)算的方法例 計(jì)算行列式 例 計(jì)算行列式解 將行列式化為三角形行列式 從第2行起，把每一行均加到第1行上. 每一列各減去第1列將行列式化為下三角行列式 計(jì)算三角行列式 2. 降階展開法 降階展開法是利用行列式的性質(zhì)將某幾行或某幾列盡可能多的元素變?yōu)榱?，然后按行（列）展開，將行列式化為較低階行列式進(jìn)行計(jì)算的方法例 計(jì)算行列式 解 將行列式按第列展開 例 計(jì)算行列式 3.遞推法 遞推法是將行列式從高階向低階變形，找出遞推公式，利用遞推公式將行列式降階進(jìn)行計(jì)算的方法例 計(jì)算行列式 七、方陣的行列式例 方陣 的行列式為 例 設(shè) ， ，驗(yàn)證 證 因?yàn)?所以 又 而 所以 第一章 矩陣第四節(jié)

18、可逆矩陣一、可逆矩陣二、矩陣可逆的條件三、可逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)4 可逆矩陣一、可逆矩陣?yán)?已知矩陣 因?yàn)?二、矩陣可逆的條件為了解決這些問題，先介紹伴隨矩陣的概念由行列式按行展開性質(zhì)，可得 由此可得如下定理定理及推論說明：解 因?yàn)?又 所以 例 設(shè)矩陣 解 因?yàn)?即 所以 三、可逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)于是 所以 總價值總利潤甲20024060068乙35030087095所以 第一章 矩陣第五節(jié) 分塊矩陣一、矩陣的分塊二、分塊矩陣的運(yùn)算5 分塊矩陣 問題：在矩陣的理論和應(yīng)用問題研究中，經(jīng)常遇到階數(shù)較高或結(jié)構(gòu)特殊的矩陣，為了便于分析和計(jì)算，常常把矩陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆謮K，以簡化矩陣的運(yùn)算，突出矩陣的結(jié)構(gòu)和矩陣

19、之間的關(guān)系一、矩陣的分塊 在矩陣的行和列之間加進(jìn)一些縱線和橫線，把矩陣分成若干塊，每一塊視為一個小矩陣，并稱之為的子矩陣或子塊，以子矩陣為元素的矩陣稱為分塊矩陣將矩陣進(jìn)行分塊，可以使矩陣的結(jié)構(gòu)變得更加清晰分塊矩陣子塊矩陣二、分塊矩陣的運(yùn)算1.分塊矩陣的加法 2.數(shù)與分塊矩陣的乘積3.分塊矩陣的乘法例 設(shè)矩陣 按分塊矩陣的乘法，有而 所以 4.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置 分塊矩陣轉(zhuǎn)置時，不但要將行列互換，而且行列互換后的各子矩陣都應(yīng)轉(zhuǎn)置. 5.特殊的分塊矩陣 分塊對角矩陣 分塊上三角形矩陣 分塊下三角形矩陣 均為方陣. 其中 例 對于分塊矩陣 證 由分塊矩陣乘法有 由行列式展開定理可得 所以 分塊三角矩陣的

20、行列式均為方陣，則若均為方陣，則若分塊對角矩陣的行列式與逆矩陣?yán)?設(shè) ，求 解 對矩陣分塊為 所以 第一章 矩陣第六節(jié) 矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換與初等陣二、矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形三、利用初等變換求逆矩陣6 矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換與初等陣?yán)纾?階初等矩陣 初等矩陣具有以下性質(zhì)：(1)初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍是同類型的初等矩陣；(2)初等矩陣都是可逆矩陣；(3)初等矩陣的逆矩陣仍是同類型的初等矩陣，且有例 設(shè) 二、矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形例 下列矩陣均為行階梯形矩陣 例 下列矩陣均不是行階梯形矩陣 指出不是行階梯形矩陣的理由. 例如下列矩陣均為行最簡形矩陣.例 利用初等行變換將矩陣 化為行最簡形矩陣

21、.解 對矩陣作初等行變換 說明：在實(shí)施矩陣的初等行變換時，如果用某一行的一個非零元素將非零元素所在列上其它各行中元素消去，稱這一行稱為主行，該非零元素稱為主元. 矩陣之間的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)：例 求矩陣 的等價標(biāo)準(zhǔn)形. 三、利用初等變換求逆矩陣 求逆矩陣的方法:例 求矩陣 解 運(yùn)用初等變換法例 設(shè)矩陣 且 所以 第一章 矩陣第七節(jié) 矩陣的秩一、矩陣的秩二、利用初等變換求矩陣的秩7 矩陣的秩一、矩陣的秩例 求下列矩陣的秩所以 二、利用初等變換求矩陣的秩例 設(shè) 求 所以 例 設(shè) 所以 線性方程組理論是數(shù)學(xué)中一個重要的基礎(chǔ)理論，是線性代數(shù)研究的重點(diǎn)。科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理中的許多問題，經(jīng)?？梢詺w結(jié)為求

22、解一個線性方程組。本章主要討論線性方程組的求解方法、線性方程組有解的充要條件、向量間的線性關(guān)系和性質(zhì)、線性方程組的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。第二章 線性方程組第二章 線性方程組第一節(jié) 線性方程組一、線性方程組的概念二、克拉默法則三、高斯消元法四、線性方程組有解的判定定理1 線性方程組一、線性方程組的概念運(yùn)費(fèi)的總費(fèi)用為 例 二元線性方程組 解的討論. 有實(shí)數(shù)解 的充要條件是：兩條直線 均過平面上的點(diǎn) .解 平面上兩條直線間有三種情況：相交、平行和重合，因此二元線性方程組的解也有三種形式：唯一解、無解和無窮多解，或者說方程組的解集中分別含有一個、零個和無窮多個元素.例 線性方程組的圖像與解 x1x2x1x2

23、x1x2唯一解 無解 無窮多解 方程組圖像解線性方程組的概念一般表達(dá)式矩陣表達(dá)式非齊次線性方程組齊次線性方程組系數(shù)矩陣未知量矩陣常數(shù)項(xiàng)矩陣 線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的矩陣稱為線性方程組的增廣矩陣. 二、克拉默(Cramer)法則對于二元線性方程組當(dāng)系數(shù)行列式 時，二元線性方程組有唯一解.上式給出了二元線性方程組的求解公式取 1750 年，瑞士數(shù)學(xué)家克拉默在其著作線性代數(shù)分析導(dǎo)引中，給出了行列式的定義和展開法則，以及著名的克拉默法則。例 解線性方程組 解1 用克拉默法則，線性方程組的系數(shù)行列式為因此線性方程組有唯一解，又所以線性方程組的解為 解2 用矩陣的初等變換求解，由于方程組的解為 如果

24、將克拉默法則運(yùn)用的n元齊次線性方程組上, 則有下面定理.例 已知齊次線性方程組 有非零解 說明 ：克拉默法則給出了線性方程組的解與系數(shù)的關(guān)系，具有一定的理論意義，但它僅適用于行列式不為零的 n 元線性方程組，且計(jì)算量大，對于一般的線性方程組的求解主要采用下述高斯消元法.三、高斯(Gauss)消元法例 求解線性方程組 消元過程第二個方程減去第一個方程的2倍第三個方程減去第一個方程第二個方程與第三個方程互換第三個方程減去第二個方程的4倍解 線性方程組的解為 回代過程將第三個方程兩邊乘以 第一個方程減去第三個方程的3倍第二個方程加上第三個方程第一個方程加上第二個方程第一個方程兩邊乘以 線性方程組同解

25、變換 增廣矩陣的初等變換 初等變換 對線性方程組所作的同解變換過程，相當(dāng)于對其增廣矩陣作對應(yīng)的初等行變換過程. 由分塊矩陣的乘法，得 高斯是德國數(shù)學(xué)家 ，也是科學(xué)家，他和牛頓、阿基米德，被譽(yù)為有史以來的三大數(shù)學(xué)家。高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，在歷史上影響之大， 可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列，有“數(shù)學(xué)王子”之稱。 例 解線性方程組 例 解線性方程組 即 例 解線性方程組 行階梯形矩陣對應(yīng)的方程組為即 對行階梯形矩陣?yán)^續(xù)實(shí)施初等行變換從而有 四、線性方程組有解的判定定理行階梯形矩陣對應(yīng)的方程組原方程組同解，即有解，有解時求出其解.解 將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，有得原方程組的同解方程組即 有非零解

26、，并求線性方程組的解. 解 由于方程組的系數(shù)行列式所以方程組一般解為 同解方程組為 即 例 設(shè)有線性方程組 方程組通解為 方程組通解為 第二章 線性方程組第二節(jié) n維向量及其線性運(yùn)算一、n維向量的概念二、向量的線性運(yùn)算2 n維向量及其線性運(yùn)算一、n維向量的概念 對于向量大家已有所了解，如在中學(xué)物理中，力是一個有方向的量，如果讓所有的力都從原點(diǎn)發(fā)出，決定其性質(zhì)的便只有方向和大小兩個要素了，這種量稱為向量，可以用點(diǎn)的坐標(biāo)來表示.還有位移、速度、加速度等等. 向量概念、向量運(yùn)算和向量理論具有廣泛的應(yīng)用.例 矩陣 的每一行可視為一例 在線性方程組 中. 二、向量的線性運(yùn)算例 線性方程組的向量表達(dá)式 設(shè)

27、線性方程組 由于反之，由向量表達(dá)式也可得線性方程組，稱為線性方程組對應(yīng)的向量方程.相應(yīng)地，齊次線性方程組對應(yīng)的向量方程為第二章 線性方程組第三節(jié) 向量間的線性關(guān)系一、向量組的線性組合二、向量組的線性相關(guān)性三、向量組的線性關(guān)系定理3 向量間的線性關(guān)系一、向量組的線性組合 本節(jié)討論向量組的線性組合和向量組的線性相關(guān)性，它們在向量中具有重要的作用，與線性方程組密切相關(guān)，是研究線性方程組的基礎(chǔ).將向量間的線性組合關(guān)系推廣到一般情況，有證 顯然由向量的線性運(yùn)算可知線性方程組與線性表示之間的關(guān)系 由線性方程組有解的判定定理可得對此方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換對此方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換二、向量組的

28、線性相關(guān)性這兩個命題可以作為定理直接應(yīng)用. 證明略.三、向量組的線性組合與線性相關(guān)關(guān)系定理所以 再證明表示法唯一. 兩式相減得 第二章 線性方程組第四節(jié) 向量組的秩一、向量組的等價二、極大線性無關(guān)組和向量組的秩三、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系4 向量組的秩一、向量組的等價向量組的等價滿足下述性質(zhì)：此結(jié)論與定理1互為逆否命題. 二、極大線性無關(guān)組和向量組的秩三、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系例 設(shè)矩陣 求向量組的極大無關(guān)組和向量組秩的方法：于是第二章 線性方程組第五節(jié) 線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)5 線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)對應(yīng)的齊次線性

29、方程組例 求齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系及通解.同解方程組為二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)例 求線性方程組的通解.解 將方程組的增廣矩陣化為行最簡形矩陣原方程組的同解方程組為對應(yīng)的導(dǎo)出組的同解方程組為例 設(shè)線性方程組解 將增廣矩陣化為階梯形矩陣原方程組的同解方程組為導(dǎo)出組的同解方程組為 在解析幾何中，我們已經(jīng)見到平面或空間的向量兩個向量可以相加，也可以用一個實(shí)數(shù)去乘一個向量這種向量的加法以及數(shù)與向量的乘法滿足一定的運(yùn)算規(guī)律向量空間正是解析幾何里向量概念連同它們上面定義的線性運(yùn)算的一般化 向量空間是線性代數(shù)研究的基本對象.本章主要介紹向量空間及基、維數(shù)、坐標(biāo)等概念，向量的內(nèi)積與正交矩陣第三章 向量空間

30、第一節(jié) 向量空間一、向量空間與子空間二、基與向量的坐標(biāo)三、基變換與坐標(biāo)變換第三章 向量空間1 向量空間一、向量空間與子空間 問題：向量組的極大無關(guān)組與向量組等價.因此，只要找到向量組的一個極大無關(guān)組，就等于掌握了這個向量組.為此引入向量組基與坐標(biāo)的概念.下面給出向量組基的定義.此線性方程組的增廣矩陣實(shí)施初等變換即 將上式寫成矩陣乘積的形式，有再由坐標(biāo)的唯一性得或 稱為坐標(biāo)變換公式.所以，過渡矩陣為 由坐標(biāo)變換公式，可得第二節(jié) 向量的內(nèi)積一、向量內(nèi)積二、正交向量組第三章 向量空間2 向量的內(nèi)積一、向量內(nèi)積向量長度滿足的性質(zhì)：二、正交向量組 得齊次線性方程組 由 得 即 問題：定理1 給出了正交向

31、量組的必要條件。但一個線性無關(guān)的向量組未必是正交向量組。對于線性無關(guān)的向量組，能否求得與其等價的正交向量組？下面介紹一種常用的正交化方法施密特正交化方法。第三節(jié) 正交矩陣一、標(biāo)準(zhǔn)正交基二、正交矩陣第三章 向量空間3 正交矩陣一、標(biāo)準(zhǔn)正交基齊次線性方程組即 二、正交矩陣即 由性質(zhì)2可知定理對行也成立. 矩陣的特征值、特征向量和相似標(biāo)準(zhǔn)型的理論是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分。用矩陣來分析工程技術(shù)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)等問題時，經(jīng)常要用到矩陣的特征值理論。 本章主要介紹矩陣的特征值、特征向量和矩陣相似的概念和有關(guān)理論，討論矩陣在相似意義下的對角化問題。第四章 矩陣的特征值與特征向量第一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量一、矩

32、陣的特征值與特征向量的概念二、矩陣的特征值與特征向量的求法三、矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)第四章 矩陣的特征值與特征向量1 矩陣的特征值與特征向量的概念一、矩陣的特征值和特征向量的概念寫成矩陣形式 或 其中 如果當(dāng)前的水平為 則 例 已知向量 是 的一個特即 將此例推廣為一般情況，有 二、矩陣的特征值和特征向量的求法問題：如何確定矩陣的特征值與特征向量？根據(jù)上述分析，給出下面定義和定理.由 由 例 求矩陣 的特征值與特征向量.例 求 的特征值與特征向量. 三、矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)第二節(jié) 相似矩陣與對角化條件一、相似矩陣的概念與性質(zhì)二、矩陣可對角化的條件第四章 矩陣的特征值與特征向量 問題：對角矩陣是矩陣中形式最簡單、運(yùn)算最方便的一類矩陣。那么，對于任意方陣是否可化為對角矩陣，且保持方陣的一些原有性質(zhì)不