6.4.3 余弦定理、正弦定理（第2課時(shí)）正弦定理（2）

1、【新教材】余弦定理、正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版）第2課時(shí) 正弦定理教材分析教材開門見山地提出“三角形的邊與角之間有什么數(shù)量關(guān)系呢？ ”運(yùn)用由特殊到一般的歸納思想方法，從a b直角三角形出發(fā)，得到sin力 sin 8a b直角三角形出發(fā)，得到sin力 sin 8是否成立呢？ ”這樣設(shè)置符合學(xué)生的認(rèn)知。csinC,并以等邊三角形加以驗(yàn)證，進(jìn)而提出“對(duì)其他三角形教材中對(duì)正弦定理的證明采用了構(gòu)造向量投影相等的思路。同時(shí)設(shè)置了兩個(gè)例題說明正弦定理的應(yīng)用.教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)課程目標(biāo)1、通過對(duì)任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理，并能解決一些簡單的問題；2、通過對(duì)特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)

2、正弦定理，初步學(xué)會(huì)運(yùn)用由特殊到一般的思想方法 發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；3、通過參與、思考、交流，體驗(yàn)正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程，逐步培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識(shí)；通過對(duì)正弦函 數(shù)的學(xué)習(xí)體會(huì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，和諧美.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象：正弦定理及其變形、三角形面積公式；.邏輯推理：用正弦定理及其變形解決相關(guān)問題；.數(shù)學(xué)運(yùn)算：解三角形；.數(shù)學(xué)建模：通過對(duì)特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理，使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用由特殊到一般 的思想方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容，對(duì)正弦定理的證明及基本運(yùn)用;難點(diǎn)：正弦定理的探索及證明.課前準(zhǔn)備教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，小組為單位，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多

3、媒體。教學(xué)過程一、情景導(dǎo)入提問：角與邊之間是否存在定量關(guān)系？耍求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本45-48頁，思考并完成以下問題1、直角三角形中的邊角關(guān)系是怎樣的？2、什么是正弦定理？3、正弦定理可進(jìn)行怎樣的變形？4、三角形的兩邊及內(nèi)角怎樣求其面積？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答下列問題。三、新知探究,正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦之比相等，即總=島=肅下=2凡 其中R是三角形外接 bill bill JD 0111圓的半徑.正弦定理的變形。：h : c=sin A ： sin 8 ： s

4、in C；(2) = 2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C；(3)sin 4=沃,(3)sin 4=沃,sin B=2r,sin C=c2R;(4)sin B=bsinA, Z?sin C=csin B, isin C=csin A.abc+-+c(sin 人sin Bsin C-sin A + sin B+sin C.正弦定理應(yīng)用解三角形(1)三角形的兩角及任一邊，求其他兩邊和一角；(2)三角形的兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角).4、三角形的面積公式(1)S=，“(/%表示a邊上的高).(2)S=；a/?sin Cbcsin Aacsin

5、 B.四、典例分析、舉一反三題型一 兩角及一邊解三角形例 1 在中，A = 30, C=105,。=10,求4 c, B.【答案】3=45。力=1W，c=5g+ 5班.【解析】因?yàn)锳 = 30。, C=105,所以3=45。.囚sinfsin Cz asin B lOsin 45 r- 所以b=.人=八。=32, sin A sin 30 v asin C lOsin 105asin C lOsin 105C= T sin Asin 30=5陋+ 5#解題技巧(兩角及一邊解三角形問題的基本方法)假設(shè)所給邊是角的對(duì)邊時(shí)，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，最后 由正弦定理求第

6、三邊;(2)假設(shè)所給邊不是角的對(duì)邊時(shí)，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角，再由正弦定理求另外兩邊.跟蹤訓(xùn)練一在5c中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, cA= 105, C = 45, c = 貝ij b = ()A. 1 B巾 C.y/3 D. 2.在A5C 中，假設(shè) tanA=；, C=150, BC= 1,那么 A.【答案】1、A. 2、手.【解析】1、在ABC 中，V71=105, C=45, ：.B=S0-A-C=180-105-45 = 30.由正弦定理出，得嵩=磊，解得b=L應(yīng)選A.2、因?yàn)閠anA=:，所以sin4=.由正弦定理知二sin C=T5sin 150。=9 o

7、1 usin /i，題型二兩邊及一邊的對(duì)角解三角形 例 2 在AABC 中，71=45, c=#,。=2,求兒 B, C.【答案】b=y3+1, 8=75。，。=60?；?小一1, B=15。，C=120.【解析】 sin % -sin C/.sin C=csin A &xsin 45 a/5C=60?；?120。.當(dāng)。=60。時(shí)，8=75。,b=b=csin 3 而sin 750 小十sin C sin 60當(dāng)C=12。時(shí),3=15。，b=舄霍=強(qiáng)密=小一1.=5+1, 3=75。，。=60。或人=小一1, 3=15。，C=120.解題技巧：(兩邊及一邊的對(duì)角解三角形的方法)(1)首先由正弦

8、定理求出另一邊對(duì)角的正弦值.(2)如果的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法那么能判斷另一邊所對(duì)的 角為銳角，由正弦值可求銳角唯一.(3)如果的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，那么不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角， 要分類討論.跟蹤訓(xùn)練二ABC 中，5 = 45。，b 二版 a=l,那么角 A =.2.在3c 中，q=1, b=y3, A = 30,求邊 c 的長.【答案】1、30. 2、1或2.【解析】1、由正弦定理得，焉=*曲 解得sinA=1,所以4 = 30?；駻= 150。.又因癡，所以AA, TOC o 1-5 h z Alii 21 111 r*j乙貝

9、U A = 30. a b /目.八 hsin A yj32、由7 T=T p?得 sin B= =.sin A sn Ba 2；ab, ABA = 30, ：.B 為 60?；?120.當(dāng) 8=60。時(shí)，C=180o-60-30o = 90.此時(shí)，C=1片 + 廿=.1+3 = 2.當(dāng) 3=120。時(shí)，C=180o-120-30o = 30.此時(shí)，c=a=l.綜上知c= 1或2.題型三 正弦定理在邊角互化中的應(yīng)用例 3 在A5C 中，匕+c=l, C=45。，5=30,那么 b=.【答案】V2-1.b c【解析】由正弦定理知卷=清”olll U oill Vx人+cb_sin 3+sin C

10、 sin B. h+c .sin 300r-1/?=sinB+sin CS，n sin 45。+sin 30。=y2-例4在AABC中，呼=氣&=哼，試判斷ABC的形狀； c/v/【答案】等邊三角形.【解析】（化邊為角）根據(jù)正弦定理，得到喘=喘=煞，整理為焉=焉=表VA, B, Ce（0,兀），：.A = B=C,ZVIB。為等邊三角形.解題技巧（正弦定理應(yīng)用技巧）利用正弦定理將邊化為角或者將角化為邊處理，這是正弦定理的一種重要作用，也是處理三角形問題 的重要手段.正弦定理的變形有多種形式，要根據(jù)題目選擇合適的變形進(jìn)行使用.再判斷三角形形狀時(shí)（1） 化角為邊.將題目中的所有條件，利用正弦定理化

11、角為邊，再根據(jù)多項(xiàng)式的有關(guān)知識(shí)（分解因式、配方等） 得到邊的關(guān)系，如a=b, /+尻=/等，進(jìn)而確定三角形的形狀.利用的公式為：sinA=;, sin3=W，ZaZasinC=;.（2）化邊為角.將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得到三 1個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀.利用的公式為：Q=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC.跟蹤訓(xùn)練三1 在ABC 中，假設(shè) 4cos A=bsin & 那么 sin Acos A+cos2jB 等于（）A. 1B.yC. -1C. -1D.j_22.在5c 中,QCOS71Aj=bcos（B判斷A3C的形狀.

12、【答案】1、A.2、等腰三角形.【解析】1、由正弦定理，ojW sin Acos A = sin2B,即 sin Acos A= 1 cos? 所以 sin Acos A+cos2jB= 1.2、法一：（化角為邊）:71，Qsin A = Osin B.z7 h由正弦定理可得：哧=喻：.a2=b2, ：,a=b,工/XABC為等腰三角形.法二：（化邊為角）：cos(/_ A )=/?cos(2-B j,Asin A = /?sin由正弦定理可得：2Rsin2A = 2/?sin2B, B|J sin A = sin B,.A = B（A + B=ti不合題意舍去），故ABC為等腰三角形.題型四

13、與三角形面積有關(guān)問題例5 在A3C中，8=30。，AB=20 AC=2,求ABC的面積.【答案】2小或小.【解析】由正弦定理，得sinC=*=坐，又ABsin8cAe448,故該三角形有兩解：。=60?；?20。.當(dāng)。=60。時(shí)，A=90, S-8c=%BAC=2#;當(dāng) C=120。時(shí)，A = 30, SBC=AB-AGsinA=y3.ABC的面積為25或“I解題技巧（三角形面積公式應(yīng)用技巧）（1）求三角形面積時(shí)，應(yīng)先根據(jù)題目給出的條件選擇最簡便、最快捷的計(jì)算方法，這樣不僅能減少 一些不必要的計(jì)算，還能使計(jì)算結(jié)果更加接近真實(shí)值.（2）事實(shí)上，在眾多公式中，最常用的公式是SABC=cihsm C

14、=csin A=*csin B,即給出三角形的兩邊和 夾角（其中某邊或角需求解）求三角形面積，反過來，給出三角形的面積利用上述公式也可求得相應(yīng)的邊或角, 應(yīng)熟練應(yīng)用此公式.跟蹤訓(xùn)練四.BC的面積為5，且匕=2, c=小,那么A的大小為（ ）A. 60。或 120。B. 60C. 120C. 120D. 30?；?150.在鈍角A3C中，角4 B, C的對(duì)邊分別為m。，的且q= 1, A = 30。，c=小，那么ABC的面積為【答案】1、A.2、聲.【解析】1、由S8c=csinA得,=/x2x巾xsinA,一a/3所以 sin A= ?,故A = 60或120。，應(yīng)選A.2、在鈍角AABC中，由a=l, A=30。，c=小，利用正弦定理可知C=120。，得到3=30。，利用面積公式 得Saabc= 2X1 XVX2 =4-,五、課堂小結(jié) 讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)6. 4. 3余弦定理、正弦定理第2課時(shí) 正弦定理1.正弦定理例1