5平均速度等于中間時刻的速度及其在紙帶上的應用

1、平均速度等于中間時刻的速度及其在紙帶上的應用金賀浩（太和第二中學安徽太和236600）摘要：本文先總結(jié)了幾種“推導”公式的方法，使學生全面徹底了解公式的“來龍去脈”和真正 意義，再通過舉例、應用使之掌握公式的用法.關(guān)鍵詞:勻變速直線運動;位移差；紙帶；一、平均速度等于中間時刻的速度1、公式推導或證明平均速度（無t、X 和 a ),1x v t + at 2 v + v 或 V = =2 = V = tt21 V + V + at V + V =v + 2 at = 2=t=v + a V，類比V = V0 + a -t，其中時間t不同.Vt-at 22t1 v + v - at V + v =

2、V-2 a 22t=V - a = v2 t，1t0+t- v + v把v 0 + 2 at記作匕a代表中間時刻,匕代表中間時刻的速度（T = 2），則v =匕=0，其中vo222和v分別指某段時間間隔內(nèi)對應的初始時刻和末時刻的速度或位移內(nèi)對應的初始位置和末位置的速度.形象地說，也 就是梯形對應的上第和下底，t “恰好”是梯形的中位線，即平均速度是對應的梯形的中位線是數(shù)值.；一個物體做勻加速直線運動，其中右下腳碼指對應的時刻，1.5是中間例如，質(zhì)點由A點勻加速出到B，則該段位移內(nèi)的平均速度是v =它在第3s內(nèi)（指第2s末到第3s末）的平均速度是V = v1521.52 + 3_: 時刻的坐標一

3、 L5，x + x它是數(shù)學上中點坐標x = 七1的“遷移變形”，第6s內(nèi)的平均速度是，它V + V在第二個4s內(nèi)的平均速度是V = 4 2 8 = Vg = V6，它在第一個4s內(nèi)的平均速度是.2例題：如圖所示，一個做直線運動的物體的速度圖象，初速度V0，末速度Vt，在時間t內(nèi)物體的平均速度V，則:- V + VA. V = 0 2 t ；C V q .2；解析：一 x公式V = -，x是圖像的面積，LB.D. V的大小無法確定- s對于勻變速V=京 tV + V t / V + V。2=。2因為本題x八梯2.兩個“中間速度”的對比中間時刻（時間的中點）和中間位置（位置的中點）=2ax ，全程

4、的位移為X,中點位移為7；，記中間位置時速度為V，重復利用公式v 2 - v 2 TOC o 1-5 h z 2工。jv 2 - v2 = 2蕓，V2 - v 2 = 2aX，聯(lián)立解得v = (50 x o 2x 2X v 2222, ax 2或聯(lián)立，解得v =叫+5- x o 22:V 2 - V 2. V 2 + V 2=。= 2 ；或聯(lián)立解得VX2. ax 2=-V2 -V 2 V 2 - V 2V 2 + V 2=，V2 =。2：2（1）當作勻變速直線運動時，對于任意時間間隔內(nèi)，無論是加速或減速，都有v v V或 tX22證明：由于 V 2 =孑,V 2 = V02+2；V0+ V2，

5、得x 2 t4 HYPERLINK l bookmark121 o Current Document 22V2 + v2 v 2 + 2vv + V 2 2( V2 + V2)-( V 2 + 2VV + V2)V 2 - V 2 =- 0=000X t 244(V 2 -2vv + V 2) (V - V)2V - V、_=00 = 0 =(0)2 04222即 v v 或上； V 2（ V V）或 V 2 V 2（ V V ）.xtxtx / 2t/2x/2t/22222（3）通過數(shù)字說明：例如某質(zhì)點做勻加速直線運動從A到B，七=1m/s，七=7m/s，那么經(jīng)過AB中點O時和一半時間時速度

6、分別為多大?V。* V = 4m / s .2，符合Vt2二、公式在紙帶上的應用“打點模型”T S1 1I S2 11 S3 11 S411S51S6 TDFCBEO A0 1234567+ *1卜,圖 9S31.證明:如上圖圖所示，從0到!？從1到2, 燈到3,從O到A, 從A到B,從B到C,等等，時間間隔都是相同的（002s的倍數(shù)） 根據(jù)以上推導，得 S + S -232T，BD（表示長度）S+S12T 2AC2TXV = OBa2T2Tx=D =2T，D - B（表示坐標）2T中間時刻時間的中點：Vt2中間位置位置的中點：VX2, S1S2方程組CB證法一：1由 x = v t + 2

7、at 2 得=vBT - 2aT2 f 1 f=v T + aT 2 得 v = 1 + 2 b2Ts 一 s = aT2 證法二：再由v = V0 + at，得V = V 一 aT 和 v = V + aT.s + s-42-ts s + s= 2t t-_v + v v _ 02v + v2 C tT7 S + S S + SV = ?2t 3 V =如丁 2一點撥：一般勻變速題目中，具有連續(xù)相等時間間隔的要素時，都可以轉(zhuǎn)化為“打點模型”，如右圖所 示。2.例題(1)【2011安徽高考】.一物體作勻加速直線運動，通過一段位移Ax所用的時間為t，緊 1接著通過下一段位移Ax所用的時間為t。則

8、物體運動的加速度為22Ax(t t )Ax(t t )2Ax(t +1 )Ax(t +1 ) tt (t +1 ) tt (t +1 ) tt (t -1 ) tt (t -1 )解：物體作勻加速直線運動在前一段A所處的時間間隔從0到t1時刻，對應位置是A、B； 物體在后一段A所處的時間間隔從t1至lj(t1 +12)時刻，對應位置是B、C.12 1 212 1 212 1 212 1 2解法一：物體作勻加速直線運動在前一段A所用的時間為t1，0 T t1的平均速度為 TOC o 1-5 h z Ax1入v =，即為=t時刻的瞬時速度；物體在后一段Ax所用的時間為t，t T t + t的平均速

9、 1 t2 121121Ax/1 、t +1度為v =，即為(t +；t)時刻的瞬時速度。速度由v變化到v的時間為七，所以加 2 t12 21222速度Ax AxAvv va =1Att +1-422t t _ 2Ax(t t )t +111 (t +1 )，1 _ 21 2 122檢驗：(1)公式從單位上看(檢驗)，右邊部分確實是加速度的單位，正確；(2)令 t= t2,則t1 12 = 0，a = 0，即表示做勻速直線運動，符合。故A正確。解法二：1 2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark76 o Current Document 由 x = v t +

10、at 2 得 02八.1對 AB( 0 T t ): Ax = v t + at2 1A 121八一，、1 ， 一對 AC( 0 -T t +1 ): 2Ax = v (t +1 ) + a(t +1 )2 12a 12212或?qū)?BC( t T t +1 ): Ax = (v + at )t + 一 at 2 112a 1222或,由,消去vA ,得1A 1Ax - at2Ax - at 22 1 =2 21112Ax1Ax 1,-at =-att2 1t 22121Ax Axa（1 -1）2211121Ax Ax，解之，, t t TOC o 1-5 h z 得 a = =t+t1 2 2

11、2Ax(t -1 )11 (t +1 )1 2 12解法三：A1對 AB： Ax = v t - at 2 B 121對 BC： Ax = vt2 + 2- at 2 由，消去vB，得Ax + at2 Ax - L at 2，解之，2 1 =2 2tt HYPERLINK l bookmark135 o Current Document 12Ax1 Ax 1+ at =-at12/、Ax Axa (t +1)=-21Ax Ax/日 t t2Ax(t t )得a = t +1 1 tt (t1+12)， TOC o 1-5 h z 1 一 21 2 12檢驗：由聯(lián)立，v t Ax _ v t A

12、x112 t 22 12 2t 2(v t Ax) = 12(v t Ax)2 B 11 B 2v 11 (t t) = (t 2 12)AxB 1 2 2121(1 +1 ) A x2 Ax解得vB =七=，全程的平均速度是v = t +1 =匕,21 2122勻變速直線運動滿足v v，x 1 TOC o 1-5 h z (t +1 )Ax2Ax2 tt t +1 1 212(t +1 )2 Ax 2t t Ax211 2t 2 +12 + 2t t 2t t 211 21 2t； + t 0V 一 V 0 x t 22(t +1 )Ax2Ax 0tt t +1 1 212(t +1 )2

13、Ax - 2Axt t 0 tt (t +1)I 1 2 21 IAx It +1 )2 - 2tt 211 0 t t (t + t ) HYPERLINK l bookmark47 o Current Document 1 2 21即 Ax(t22 + t12) 0 t t (t + t )1 2 21解法四：由x =V + V 02 1 1由 x = =21 得 V + V 二翌.由22 得，21 t ，22 x 2 xAv v vt t2Ax(t t )由 a =得 a = a = 1 =12Att +1 t +111 (t +1 )212112 12(2)【2010安徽高考】物體做勻

14、加速直線運動，在第一個t內(nèi)位移為氣，第二個t內(nèi)位移為 x2，則物體在第一個t末的速度及加速度分別為多少？(紙帶中用平均速度代替瞬時速度) 解：物體作勻加速直線運動在前一段氣所處的時間間隔從0到t時刻，對應位置是A、B；物 體在后一段x所處的時間間隔從t到2t時刻，對應位置是B、C.2 TOC o 1-5 h z x解法一：物體作勻加速直線運動在前一段x1所用的時間為t，0 T t的平均速度為V1 = 了，即_x為；t時刻的瞬時速度；物體在后一段x所用的時間為t，t T 2t的平均速度為V =一，即222 t/1、 3、 一、113 1為。+ t)=抑寸刻的瞬時速度。速度由V變化到V的時間為二t + t = t - t =t，所以22122222加速度Av v v a =1Att檢驗：（1）公式從單位上看（檢驗），右邊部分確實是加速度的單位，正確；（2）令X = X解法三則X-X2=0，a = ，即表示做勻速直線運動，符合。古攵A正確。由 X = v t + at 2 得02對 AB( 0 t): X = vAt + 2 at 2 對 AC(0 2t): X + X = 2tv + 2a(2t)2或?qū)?BC( t 2t): X = (v + at)t + at2 2得得2 A或-等于，-得，消去X - x = at 2 VA，代入或X3-v = 3，v = v + at =