2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題1.6解析幾何(講)文

1、專題 1.6 解析幾何講高效整合【高考改編回顧基礎(chǔ)】1.的點斜式方程】 . 【 2016 ?天津卷改編】過原點且與直線 為 _ .1【答案】 y = 2x1 1【解析】因為直線 2x + y= 0 的斜率為 2，所以所求直線的斜率為直線垂直的位置關(guān)系及直線 2x + y= 0 垂直的直線方程二，所以所求直線方程為 丫 = 宕2. 【弦長問題】【 2016 - 全國卷 I 改編】設(shè)直線 y= x + 2 . 2 與圓 C: x 2+ y2 2 2y 2 = 0 相交于 A, B 兩點，則|AB| = _ .【答案】 2 ,3【解析】 解析 x2 + y2 2 2y 2= 0 , 即 x2 + (

2、y 2)2= 4 , 則圓心為 C(0 , 2) ，半徑為 2，圓心 C 到直線 yx+ 2 2 的距離 d = |0 述； 2 述 1 = 1 , 所以 |AB| = 2 眾 2 12 = 2& .， 23. 【直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系】【 2016 ?山東卷改編】已知圓 M： x2 + y2 2ay = 0(a0) 截直線 x + y = 0 所得線段的長度是 22，則圓 M 與圓 N (x 1)2+ (y 1)2= 1 的位置關(guān)系是 _【答案】相交【解析】 由垂徑定理得￥ +(萌孑， 解得 才二 4， 二圓 +(y - 2 嚴(yán)=4, ? 圓 I( 與圓 N 的圓心距 4 yj2yj (

3、D-l) 1+ (2-1) - + 二兩圓 相交 .2 24. 橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系】【 2017 課標(biāo) 3， 改編】 已知橢圓 C:專 2 - 1 ,( ab0 ) 的左、a b右頂點分別為 A 1 , A2 , 且以線段 A 1A2 為直徑的圓與直線 bx-ay ? 2ab=o 相切，則 C 的離心率為 .【答案】一6 【解析】3試題分折：以線段 厶為 直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點 (0.0),半徑為?盤，圓的方程為 =lab直線 加- ?+ 2 動=0 與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑， 即： d從而八 $|整理可得 / = 3 滬 , 即故填叵3從近五年的高考試題來看

4、，橢圓的鳥心率總a1 =3( -c 1), la=2a = 2 ,【命題預(yù)測看準(zhǔn)方向】高考的重點是求圓的方程、求與圓有關(guān)的軌跡方程、直 線與圓的位置關(guān)系、弦長問題、切線問題、圓與圓的位置關(guān)系 ， 圓與圓錐曲線的交匯問題是高考的熱點從高考試題看，涉及直線、圓的問題有與圓錐曲線等綜合命題趨勢， 經(jīng)常以選擇題、解答題的形式出現(xiàn) ?另外 ,?復(fù)習(xí)中應(yīng)注意圍繞圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等 ， 其中經(jīng)?？疾榈氖菆A與圓位置關(guān)系中的動點軌跡 ， 直線與圓的位置關(guān)系中的弦長問題、切線問題、參數(shù)的取值范圍等 ?【典例分析提升能力】【例 1】【 2018 屆北京豐臺二中高三上學(xué)期期中】已知點 P

5、 2,0 及圓 C : x 2 y6x 4y 0 .(I) 設(shè)過 P 的直線 h 與圓 C 交于 M , N 兩點，當(dāng) |MN|=4 時，求以 MN 為直徑的圓 Q 的方程 .(n)設(shè)直線 ax - y ? 1 = 0 與圓 C 交于 A , B 兩點，是否存在實數(shù) a , 使得過點 P 的直線 I , 垂直平分弦 AB ? 若存在，求出實數(shù) a 的值；若不存在，請說明理由 .2 2【答案】 ( 1) (x-2)+ y =4 (2) 不存在實數(shù) a，使得過點 P(2,0 )的直線 J 垂直平分弦 AB .【解析】試題分析： ( 1) 由利用兩點間的距離公式求出圓心 C 到 P 的距離，再根據(jù)弦

6、長 |MN| 的一半及半徑，利用勾股定理求出弦心距 d，發(fā)現(xiàn) |CP| 與 d 相等，所以得到 P 為 MN 的中點，所以以 MN 為直徑的圓的圓心坐標(biāo)即為 P的坐標(biāo)，半徑為 |MN|的一半，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可；y 得到關(guān)于 x 的一元二次方程，因為直線與圓有兩個交點，所以得到(2)把已知直線的方程代入到圓的方程中消去0 , 列出關(guān)于 a 的不等式，求出不等式的23解集即可得到 a 的取值范圍，利用反證法證明證明即可 .試題解析 ：(I ) 由于圓 C:+/-6+4y+4 = 0 的圓心 C(3-2),半徑為 3, |CP| =擊，而 弦心距 屁 所以 d=|CF| = J5,所嘆

7、 尸為血的中點，所嘆所求圓的圓心坐標(biāo)為 ( 2 期， 半徑 為+阿| = 2,故以砂為 直徑的圓 Q 的方程為： (兀 - 2+尸 =4(II) 把直線 flx-y+l=ORj = +l 代入圓 C 的方 程， 消去廠 整理得：(c? + l ) y +6(o-l)x+9 = 0,由于直線 -y+l= 0 交圓 C 于/, 月兩點，A = 36a- 1/ +1) 0 , 艮卩 -la 0 ,解彳尋口 0 .則實數(shù) 總的取值范圍是 (P.O) ?設(shè)符合條件的實數(shù) 。 存在，由于右垂 直平分 弦肋，故 圓心 C(3T) 必在直線 右上，所劃的斜率 =2,鵝 = 口斗由于十童 ( 一 0) ,故不存

8、在實數(shù) ? , 使得過點、 p( Z 0) 的直線 12 垂直平分弦 AB .【趁熱打鐵】【 2018 屆江蘇省興化市楚水實驗學(xué)校、黃橋中學(xué)、口岸中學(xué)三校高三心是直線 x=2 與直線 x + y=4 的交點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ .【答案】 ( x _2 f +(y _2 f =4【解析】直線 x=2 與直線 x ? y =4 的交點為 2,2 即圓心為 2,2，因為圓經(jīng)過點2 2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( X 2 ) +(y 2 ) =412 月聯(lián)考】經(jīng)過點 2,0 且圓2,0 所以半徑為 2，故圓4故答案為 x-2 2 ? y -2 2 =4【例 2】已知圓 C 經(jīng)過點 A(0 , 2) , B(2

9、, 0)，圓 C 的圓心在圓 x + y = 2 的內(nèi)部，且直線 3x + 4y + 5= 0 被圓 C 所 截得的弦長為 2 3. 點 P 為圓 C 上異于 A , B 的任意一點，直線 PA 與 x 軸交于點 M 直線 PB 與 y 軸交于點 N.求圓 C 的方程； 若直線 y= x+ 1 與圓 C 交于 Al , A 兩點，求 BA ? BA， ;求證： |AN| ? |BM| 為定值 .【答案】 (1)x 2 + y2 = 4.(2)3.(3) 證明：見解析 .【解析】 易知圓心 C 在線段 AB 的中垂線尸 也故可設(shè)込 a),圓 C 的半 徑為直線 3 + 4?+ 5=0 被圓(:

10、所截得的弦長為 2 晶 且 r=a E+ (a-2).C ( a a) 到直線 3x + 4y+ 5 = 0 的距離 = 3=*/2a la4- 1.a =O 或 a = 170-又圓 C 的圓心在 fflx ： +y?=2 的內(nèi) l&B, .a=0j 圓 t 的方程為 Xs + ys= 4.將 y=x + 1 f 弋入 x +yrt=4 得 2x? + 2xj3=0*設(shè) AJ GC ”yi) AE CXU y=)3貝 J K) 4-XJ = If K|Is= - BAj= fx (* 2) G(j-2) +yiy =LZJ - 2(x： + J( J) + 4 +( X! + 1) + 1)

11、 =2xix p (xi4 - MJ ) + 5=*3+ 1 + 5證明：當(dāng)直線 PA 的斜率不存在時 , |AN| |BM|=8. 當(dāng)直線 氏與直線 PB 的斜率都存在時，設(shè) PU, yJ, 直線 PA 的方程為尸 一+2, 令 y = 0 得時才出 j.直線朗的 方程為 尸%G 聃 令 Q0 得心， 鬥 .? |AH| - 畫匸 ( 2_超(2- 謀 =4+也士+為 +( 十 2, -2 .=4 * 4 .號 - 2* + I 加 + “ = & * 4 . f - 經(jīng) 士卜4X 卷一 +直 uy 比2& + ?ty#4 2y# (x, 2)( 駐 - 2) (&-2) (y D -2)故

12、|AN| - |BM| 為定值 8.【趁熱打鐵】1 為半徑的圓與圓(2) 已知圓 C: x 2 +( 1)已知圓 C 的方程為 x2+ y2+ 8x+ 15= 0 , 若直線 y = kx 2 上至少存在一 C 有公共點，貝 U k 的取值范圍為 _ .y2 ax + 2y a + 4 = 0 關(guān)于直線 I 1： ax + 3y 5 = 0 對稱，過點 P(3 ,A , B 兩點，則弦長 |AB| 的最小值為 _ .點，使得以該點為圓心， 2) 的直線 I 2 與圓 C 交于5【答案】 3 kW0 (2)2 3.【解析】 - 扌 WkWO M 解析將圓?圓 心 C( 一 4, 0) j 半徑匸

13、 =1*4C 的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程得 4 + 4 嚴(yán)+ b=1,二圓心 ( 一 4, 0)到直線 y=kx-2 的距離T 直線 y 二“ - 2 上至少存在一點使得臥該點為 HI 心， 1 為半徑的圓與圓 C 有公共點，4解得 - 養(yǎng) kWa圓 C 關(guān)于直線 1】： ax+知一 5=0 對稱 .y35=0；解得 a=4.當(dāng)垃 =一 4 時， 半徑小于 0,不合 題意，舍去 . 34圓,心 C 為 C2, -D, 半徑 尸聽宙|PC|二 0? 相交； = 0? 相切； 0? 相離； 幾何法 . 把圓心到直線的距離 d 和半徑 r 的大小加以比較： dr? 相離 .I = 2 r2- d2(其中

14、I 為弦長 ,根據(jù)公式： I = 1 + k2 |x 1 - X2|求解 (其中 I 為弦長， X 1 , X2 為直線與圓相交所得交點的橫坐標(biāo)， k 為直線的斜率) ? 求出交點坐標(biāo)，用兩點間距離公式求解 .【規(guī)范示例避免陷阱】【典例】已知過原點的動直線 I 與圓 G : X 2 ? y2 -6x ? 5 = 0 相交于不同的兩點 A,B. 求圓 C1 的圓心坐標(biāo) . 求線段 AB 的中點 M 的軌跡 C 的方程 . 是否存在實數(shù) k,使得直線 L:y=k(x-4) 與曲線 C 只有一個交點 ？ 若存在， 求出 k 的取值范圍 ； 若不存在 ， 說明理由【規(guī)范解答】 : 由 J+b-6 艾+

15、5 = 0,得從而可知圓 C 的 H 心坐標(biāo)為 (3,0), 設(shè)線段 AB 的中點 班熱也由弦的 性質(zhì)可 知 C )1 丄碼即 C Ml 曲J I故點 M 的軌 跡是以 OC 為直徑的圓，該圓的圓心為 c(|f o),半徑 I=|ocj=| X3=| I 其方程為 d) +/=(!)， 即 占產(chǎn)又因為點 K 為線段 AB 的中點 , 所臥點 M 在圓 G 內(nèi) , 所 (x-3) = +yJ2?又孑+7-3 口? 所以 謁易知聶 W3 】所以 &W3.所以線段 AB 的中點 M 的軌跡 C 的方程為 X 8 存在實數(shù) k 滿足題意 .由知點 M 的軌跡是臥 C （|, 0） 為圓心建為半徑的圓弧

16、餌（如團(tuán)所示，不包括兩個端點人且又直線 L： 尸 kG-4） 過定點 D 甜當(dāng)直線 L 與圓 C 相切時?由 囁貞 =?得 k= 土 : 又站亠 2 二早 =學(xué)結(jié)合上圖可知當(dāng)圧卜 2 尋。卜竽 竽時直線 L: 尸 k （x-4 與曲線 C 只有 一個交點 -,如經(jīng)常用到弦心距、半徑、弦長【反思提高】處理有關(guān)圓的問題 ， 要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應(yīng)用 的一半構(gòu)成的直角三角形 ， 利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題 ， 往往使問題簡化【誤區(qū)警示】1. 求軌跡方程常用的方法有直接法、定義法、相關(guān)點法 （坐標(biāo)代入法 ） 等 ,解決此類問題時要讀懂題目給出的條件進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化 ， 準(zhǔn)確得出結(jié)論 ?本

17、題確定軌跡方程，易于忽視橫坐標(biāo)的限制范圍2. 涉及直線與圓的位置關(guān)系時1. 【橢圓的方程及其幾何性質(zhì)】， 應(yīng)多考慮圓的幾何性質(zhì) ， 利用幾何法進(jìn)行運算求解往往會減少運算量 ?考向二 橢圓、雙曲線、拋物線【高考改編回顧基礎(chǔ)】x2 y 2 1【 2017 ?江蘇卷改編】橢圓 E：孑 +希 =1 （ab0 ） 的離心率為 二，橢圓的半焦距為 c且 a2 = 4c , 則橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ .2 2x y【答案】 -+3 = 11 c HYPERLINK l _bookmark1 1【解析】因為橢圓 E 的離心率為，所以 e=-=;, 又 a2= 4c， 2 a HYPERLINK l _bo

18、okmark2 2所以 a= 2 , c = 1 , 于是 b= a c =3 ,2 2因此橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程是 X+ y = 1.4 32 . 【雙曲線的方程及其幾何性質(zhì)】 【 2017 ?全國卷川】雙曲線2y_9 = 1 （a 0） 的一條漸近線方程3y = 5X , 貝 U a =9【答案】 52 2【解析】令 ?一 9 = o , 得雙曲線的漸近線方程為ax， ?.?雙曲線音3 y = 2 2 =1 （a0） 的一條漸近線方程為3y=5X，a= 5.3.過 F 作兩條互相垂直的直線 I 1 , 丨 2 , 直線 I i 與2| 【拋物線方程及其幾何性質(zhì)】 【 2017 課標(biāo) 1 ,

19、改編】已知 F 為拋物線 C: y=4x 的焦點，C 交于 A、 B 兩點，直線 12 與 C 交于 D、 E 兩點，則 |AB|+|DE| 的最小值為【答案】 16【解析】 試題分析：設(shè) 以碼必）上 5 宀）?。ū┬l(wèi)（無宀）， 直線厶萬程為 J = *1 （x1 ）聯(lián)立方稈 兀 得旺 2 - 2fcx = 0 二可 + 巧 =2二占 （x-1）同理直線心與拋物線的交點滿足眄十毛 =暹且咅* 獰+8=16由拋物線定義可知 | 血|+| 0 國=西+花+両+不+2 卩當(dāng)且僅當(dāng) 局二一粗 =1 （或一 1） 時，取得等號 .【命題預(yù)測看準(zhǔn)方向】=占 妬從近五年的高考試題來看 ， 圓錐曲線的定義、

20、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等是高考考查的重點 ， 也是高考命題的基本元素 . 考查的角度有： 對圓錐曲線的定義的理解及定義的應(yīng)用 ， 求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ， 求圓錐曲線的離心率以及向量、直線、圓錐曲線的小綜合 .考查的重點是依據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)求離心率 ； 根據(jù)圓錐曲線的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程；圓錐曲線與向量的小綜合 ； 兩種圓錐曲線間的小綜合 ;直線與圓錐曲線的小綜合 ； 圓錐曲線的綜合應(yīng)用等 .【典例分析提升能力】10112 2【例 1】【 2017 課標(biāo) II，理 9】若雙曲線 c： 務(wù)占 =1 （ a AO， bAO ）的一條漸近線被圓 （x 2$ + y2 = 4 所a b截得的弦長為 2 ,

21、則 C 的離心率為（ ）A . 2 B . , 3【答案】 A【解試題分析：由幾何關(guān)系可得，雙曲線冷C . . 2 D . 33- 書的漸近線為： 加土創(chuàng) =4： 因為點 Mtl-A 刊)在切線區(qū)及拋物線 &上，/ 3-22 冷 .曠飛寸 0由得 P=2.CMifiNfe, y), A ( ?i,知坪譽 B( J) I 劉齊 d 由 N 為線段 AB 中點 .y=.切線 MA 的方程為嚴(yán) ?( 霊 - 勒)卑 , 叼 A切線 MB 的方程為 y= (x-x 2 )+ :. 由得 MA,MB 的交點 M(xo,yo)的坐標(biāo)為 xo= ,y 0 =因為點 M(xo,y 0)在 G 上 , 即 =-

22、4y o,所以 Xl X2 =- .1516由得兀冷 7、 詳 0?當(dāng)涼 F 時 , 扎 B 重合于原點 0, AB 中點 N 為 0,坐標(biāo)滿定 xY.因此線段 AB 中點回的軌跡方程為【例 3】【 2017 課標(biāo) 3，理 20】已知拋物線 C: y 2=2x ，過點（ 2,0 ）的直線 I 交 C 與 A,B 兩點，圓 M 是以線段 AB 為直徑的圓.（ 1） 證明：坐標(biāo)原點 O 在圓 M 上；（2） 設(shè)圓 M 過點 P 4,-2 ，求直線 I 與圓 M 的方程 .【答案】證明略；（2） 直線 I 的方程為 x y2=0 或直線 I 的方程為 2x ? y -4 =0 ，圓【解析】，圓 M

23、的方程為 （x 3）M 的方程為I2 2+ （y 1 ） =10 .-1 y4 丿 C 2 丿 1685 .試題分析：設(shè)出點的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與圓的方程， 由斜率之積為 - 1 可得 加丄 0 月， 即得結(jié)論 ;（2） 結(jié)合 （1） 的結(jié)論求得 實數(shù)拆 的值， 分類討論即 可求得直線！的方程 和圓財 的方程 一試題解析： （1） 設(shè)/ （西（冷 /:x=my + 2 . 由 x= + 2J 可得於 _2 砂一斗 =0、 則”比 =4 .I y =2x 又兀 =今，乃 =今， 故杠 = ；） =斗? 因此加 的斜率與仙 的斜率 之積為 - = = -1 , 所以0A10B .故坐標(biāo)原點 0 在圓

24、M - 由 I 河得比十乃 =2%:+故圓心 M 的坐標(biāo)為 （蘇+2 廠畫可 4=朋（鬥十力） +斗 =2 朋丄十 4 .圓 M 的半徑 r = J （腫+ 2$ +卅.由于圓 證 過點 P （4-2） , 因此 APBP=O, 故 （畫 一 4）（ 花一 4） + （”+2）（ 乃+ 2） = 0 ,艮卩畫為+ 4 （畫+花） +比旳+2 （冏+乃）十 20 = 0 .由 （I） 可得 JiJi =4,畫冷 =斗 .2 1所以 2m -m -1 =0 ，解得 m= 1 或 m 2當(dāng) m= 1 時，直線 I 的方程為 x-y-2=0 ，圓心 M 的坐標(biāo)為 3,1 ，圓 M 的半徑為 .10，圓

25、 M 的方程為 （x-3$ + （y-1 2 =10 .1當(dāng) m 時，直線 I 的方程為 2x y- 4 = 0 , 圓心 M 的坐標(biāo)為 . ,2ig 1 & 2 丿V85，圓 M 的半徑為 ，圓 M4的方程為 jx_9 y 1I 4 丿 I 2 丿 1685= .2 2【趁熱打鐵】【 2018 屆廣東省仲元中學(xué)、中山一中等七校高三第二次聯(lián)考】 已知橢圓 x2 y1 （a b 0） 的上、a b下、左、右四個頂點分別為 A、 B、 C、 D,x 軸正半軸上的某點 G 滿足 |GD| =2,|GA| = 3,|Gq =4 .17(1)求橢圓的方程 ； 設(shè)該橢圓的左、右焦點分別為 F ,、 F2

26、, 點 M 在圓 x2 y 2 = b 2 上， 且 M 在第一象限 ， 過 M 作圓 X 亍=b2 的 切線交橢圓于 P,Q ,求證： PF 2Q 的周長是定值 .2 2【答案】 =1 (2) 見解析9 8【解析】試題分析：CD 設(shè)點 G的坐標(biāo)為 ( 0)可知力 =2+4 衛(wèi)=3 壓斗一 “1力二 Q匚 = 2, 可得榊圓方程 ； 法 ： 設(shè)吃 $) 衛(wèi) 3) 結(jié)合橢圓方程可得陰 R- 牛 在圓中， M 是切點，| 加卜 Jp/f_|t?i 心掃 同理可得巧 |+|M|=3,則易得結(jié)論 : 法二 : 設(shè)鬥 3 鬥 3 的方程為 尸 Ax+ 柄(儀 0 嚴(yán)冋，聯(lián)立橢圓方程 ?由 根與系數(shù)的關(guān)系

27、式結(jié)合弦長公式求 PQ=-. t 再求出 | 昭 =3務(wù)昭 =3牛則結(jié)論易得 .試題解析 :設(shè)點 &的坐標(biāo) 為( sO)(gM), 可知対 =2+4 衛(wèi) =3，x( = 4-a = l Jb = 3 2 12 ?因此橢圓的方程是 +4=19 5方法 1： 設(shè) PgjJQsyJ 則害羊 =1,yO1819m272X在圓中， M 是切點 ,A|PM |=,J|OP 同理|QF + |QM| = 3 , 二冋 P|+|巧 Q| + |PQ| = 3 + 3 = 6,-*因此 ANB AC 的周長是定值 6 .萬法 2:設(shè) PQ 的萬程為 y 二滋+3 化 0 町 0) ,y = kx + m由 x2

28、 x1 ? ( 8+9ki)x2+18kmx+9m 1-72=0i + 19 8設(shè) P(x 11y1),Q( x2l y2)t 則 口 + 心 - 8 + gp 皿嚴(yán)彳 _ 8 +9k 1|PQ| = Jl + F |x L -X2 | = Jl + lc +只 2) 2 4X3l= Vl + k 28+9k 24x9x8x9k 1-nj 1 + 88+9k2)2? PQ與圓二 PQ =x2 y2 =8 相切， ? Jl+k26km8 9k 2 2 2 , 即 m =2 ? .2 . 1 k 2 ,? PE =X! -1 2 y20 X 1 3 , PF 2 =3 x1 ,同理可 QF 2得?

29、 - 時 |+因此卜2P 2 周長是定值 6 . 3l3( 9 xj 亠彳卩 0=6/ 權(quán) 2 一 6kmF2 JJ-39 丿5+ 6km 6km68+9k 2 8+9k 2 8+9k 21920【方法總結(jié)全面提升】1. 涉及橢圓 ( 或雙曲線 )兩焦點距離的問題或焦點弦問題以及到拋物線焦點(或準(zhǔn)線 )距離的問題 ， 可優(yōu)先考慮圓錐曲線的定義 ?求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時“先定型 ， 后計算” ， 即首先確定是何種曲線 ， 焦點在哪個坐標(biāo)軸上 ， 然后利用 條件求a,b,p 的值 .2. 求橢圓、雙曲線的離心率問題 , 關(guān)鍵是首先根據(jù)已知條件確定 a,b,c 的關(guān)系 , 然后將 b 用 a,c 代換

30、 ,求 e= 的值;另外要注意雙曲線的漸近線與離心率的關(guān)系 ?圓錐曲線的性質(zhì)常與等差數(shù)列、等比數(shù)列、三角函數(shù)、不等式等 問題聯(lián)系在一起 ， 一般先利用條件轉(zhuǎn)化為單一知識點的問題再求解3. 求曲線的軌跡方程時 ， 先看軌跡的形狀是否預(yù)知 ， 若能依據(jù)條件確定其形狀 ， 可用定義法或待定系數(shù)法求解 ； 若動點 P 與另一動點 Q 有關(guān) ,點 Q 在已知曲線上運動 ， 可用代入法求動點 P 的軌跡方程 ； 否則用直接法求解 ?4. 涉及圓錐曲線的焦點弦、焦點三角形問題 ， 常結(jié)合定義、正弦定理、余弦定理等知識解決5. 涉及垂直問題可結(jié)合向量的數(shù)量積解決6. 解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，主要有方程

31、組法，和“點差法” 或“點差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，要注意使用條件曲線是否相交 .? 對于弦中點問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”0 , 在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐【規(guī)范示例避免陷阱】【典例】【 2016 ?乙卷】設(shè)圓 x2+ y2 + 2x 15= 0 的圓心為 A , 直線 I 過點 B(1,0) 且與 x 軸不重合， I 交圓 A 于 C, D 兩點，過 B 作 AC 的平行線交 AD 于點 E.(I )證明 |EA| + |EB| 為定值，并寫出點 E 的軌跡方程；(n)設(shè)點 E 的軌跡為曲線 C 1, 直線 I 交 C 1 于 M N 兩點，過 B 且與 I 垂直的直線與圓

32、 A 交于 P, Q 兩點，求四邊形 MPNQT 積的取值范圍 .【規(guī)范解答】 ( I )圓 A 整理為 (x + 1)2+ y2= 16 , 圓心 A( 1,0) , 1 分如圖，因為 BE/ AC 則/ ACB= Z EBD 由 |AC| = |AD| ,貝 ADC= Z ACD 所以/ EBD= Z EDB則 |EB| = |ED| , 1 分所以 |EA| + |EB|= |AE| + |ED|= |AD|=4?所以 E 的軌跡為一個橢圓， 1 分b y321OB 212D(II)Ci： 才 + 專二 1； 設(shè) my + 1 ja=2, c=l, 萬程為 亍+牙=lg=O) ? l 分

33、因為 PQ 丄設(shè) PQ: y= m(x 1)， 麻立 1 與橢圓 5得(3m: + 4) y : + &my 9 Oj21則 |MN| = ,1 + m2|y M yN221 + m2 36m + +43 m 2 + 412 2+3 m2 + 4|2m|_i+m4mi + m所以 * 二| MN| - Ire 匚卜4 寸 SUL + 4_ 24n :+ LL2 Y+l3mJ +4圓心 A 到 PQ 距離 d =?1& 曲）? 2 分所以 |PQ| = 2 |AQ| 2- d2= 2 16 -pl + cf 巳 3 皿+ 4【反思提升】處理有關(guān)圓錐曲線與圓相結(jié)合的問題 ， 要特別注意圓心、半徑及

34、平面幾何知識的應(yīng)用 , 如直徑對的圓心角為直角 ， 構(gòu)成了垂直關(guān)系 ； 弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形 . 利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題 ， 往往使問題簡化【誤區(qū)警示】第 ( I) 問得分點及說明得分點1 . 寫出圓心坐標(biāo)得 1 分 .2. 得出 EB= ED 得 1 分 .3. 根據(jù)橢圓定義判斷點 E 的軌跡是橢圓，得 1 分 .4. 得出橢圓方程，得 1 分 .踩點說明1. 只要得出橢圓方程正確，得 4 分，忽略 y0 扣 1 分 .2. 只要正確判斷出點 E 的軌跡是橢圓，得 3 分 .3 . 若只有橢圓方程，而沒有解答過程，得第(n)問得分點及說明5 . 根據(jù)弦長公式整理得出弦

35、長 |MN| 得 2 分2 分 .6 . 得出弦長 |PQ| 得 2 分 .23247. 列出面積表達(dá)式，得 2 分 . & 求出面積的范圍，得 2 分 . 2 m X踩點說明1 ?結(jié)果正確，有過程得滿分 .2 . 兩個弦長 |MN| , |PQ| 只要結(jié)果正確，每個得 2 分 .3 ?直線方程和橢圓方程聯(lián)立，給 1 分 .4. 寫對弦長公式，給 1 分 .5. 寫出點到直線距離公式正確，給 1 分 .考向三圓錐曲線的熱點問題【高考改編回顧基礎(chǔ)】2【 2017 ?全國卷 n 改x1. 【直線、圓、橢圓的位置關(guān)系及過定點問題】編】設(shè) 0 為坐標(biāo)原點，動點 M 在橢圓 C: 2 +y2= 1 上，

36、 P 在圓 x2 + y2= 2 上，設(shè)點 Q 在直線 x=- 3 上，且 OP- PQ= 1, 則過點 P 且垂直于 0Q 的直線 I _ ( 填 “經(jīng)過”或“不經(jīng)過” ) C 的左焦點 F.【答案】經(jīng)過【解析】 由題意知 R( - 1, 0) . , Pm, n) f 貝 i0Q=(-3j t) PF=(-1 - 叫 一 n)， OQ PF=3+3m tn, 0P= Go, n)， PQ= ( 3_t n) *由 OP PQ= 1 得 3n raa + tn ns= 1 f又 ni + zi =2， 故 3+ 3m-tn 0所以 OQ? FF=0, 即 00丄 PF?又過點焦點只2.橢圓

37、C: 孑+話=1(ab0) ，過P 存在唯一直線垂直于 OQ,所以過點 P 且垂直于 00 的直線 1 過 C的左x y2 2【直線與橢圓的位置關(guān)系及定值問題】 【 2016 - 山東卷改編】如圖 13-1 ，已知動點 M(0 , m)(0m0 , yo O) .PN 的中點 . 過點 P 作 x k，為定值 _ .由 M(0 , m) , 可得 P( X0 , 2m), Q(x 。 ，一 2m) , ，亠八 ，亠所以直線 PM 的斜率 k =直線 QM 勺斜率 k2m m m=-,m3m0 .XX 0 X02526k k 此時 k = 3 , 所以 k 為定值 3.Xx2= y , 點 A

38、1物,線1)的3. 【直線與拋物線的位置關(guān)系及范圍問題】 【 2017 ?浙江卷改編】已知拋物 線【解析】 設(shè)直線 AP 的斜率為 點 P （x， y） j-2x| ，則直線【答案】 （ 1 , 1）x2- 4k，貝 U k =AP 斜率的取值范圍為2.因為 ?x 3，所以直線_ .AP 斜率的取值范圍是【命題預(yù)測看準(zhǔn)方向】直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系是高考的重點 ， 常常與平面向量、三角函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)、不等式等知識交匯命題?直線與圓錐曲線相交 ， 求其弦長、中點、定點、定值、最值、面積、對稱、參數(shù)范圍、存在性問題等是高考的熱點， 常用到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 ?預(yù)測 2018 年應(yīng)側(cè)重

39、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、定點問題、 定值問題、最值問題、范圍問題、探索性問題等 ?【典例分析提升能力】2【例 1】【 2017 浙江， 21】（本題滿分 15 分）如圖，已知拋物線 x2 = y，點 A （11 | 9， -） , B （） ，拋物線上2 4 2 4（n） 求| PA| |PQ| 的最大值 .27 【答案】 （I） （-1,1） ；（ n2）716【解析】2 2 2試題分析： （I） 由兩點求斜率 公式可 得腫的斜率為 ，由得腫斜率的取值范圍； （II ）聯(lián)立直線恥與跑的方程 得。的橫 坐標(biāo) 進(jìn)而表 達(dá)| 圧| 與| 尸 Q 的長度 ，通過函數(shù) / （A） = -1X+1/求

40、解| 島卜 | 尸 0 向最大值 .272 22試題解析 : I 設(shè)直線 AP 的斟率為 k,則氐二 4 Z+2 n ） 聯(lián)立宜線 AP 與 BQ 的方程1 3斜率的 取值范圍是 （W解得點 Q 的橫坐標(biāo)是勺二|PQl=腫 g -令心 mx 上+廳，一/+ 仏+32( + 1)2于, 所嘆網(wǎng) I 網(wǎng) I 二 - 仏 -1X+1 尸J 疋+1因為 八肋 =Y4ix 上+X, 所以 臨在區(qū) 間 （7上單調(diào)遞 増 （|J） 上單調(diào)遞減，因此當(dāng) 時，【趁熱打鐵】【 2018 屆河南省鄭州市高三第 次質(zhì)量檢測（模擬） 】已知橢圓xC :ay的左、右b = 1(a b 0), 2I 取得最大值 丫?焦點分

41、別為 F! , F 2 ，以 Fl F2 為直徑的圓與直線 ax 2by - 2ab = 0 相切 .（ 1） 求橢圓 C 的離心率；（ 2） 如圖，過 F!作直線 I 與橢圓分別交于兩點 P,Q ，若 L PQF 2 的周長為 4/2，求 RPUQ 的最大值 .281【答案】 2 ; (2) 7 .2 2【解析】 試題分析： 有直線和圓 相切得到關(guān)于 S 的關(guān)系式，APQ 耳 i 的周長可得 d =近 , 故 b1 =1 ,可得橢圓的方程 . 分直線整理可得宀遲 從而可得 寧根據(jù) 三角形J 斜率 存在 和不存 在兩種情況分別求得 喬?亞 的值 可得喬?可?最 大值是 ?( 1) 由題意試題

42、解析：即* (a 2 +4* 1)=(? a-i 1)(fl 1+4b2)J. a 2b1( 2) 因為三角形 .PQF 2 的周長為 4； 2 ,所以 44 2,a 二 2,? -1 ,292?橢圓方程為 一 寸= 1，且焦點 Fi -1,0 ,F 2 1,0 ,2若直線 I 斜率不存在，則可得 I _ x 軸，方程為 x = 1,x= T解方程組 x2 2 可得 y HYPERLINK l _bookmark3 12x = T x = TV 二y 2 _ 2y 2 或 、一 2303132若直線 / 斜率存在丿設(shè)直線 / 的方程為 7 =上兀 +1） 由吒鵝消去 y 整理得 （2 + 1）

43、 2+4+2-2=0,設(shè)尸（耳網(wǎng)）衛(wèi)（花宀）2-23F+T罵尸 險=3-1 小）（花 T 宀） = （可一 1）（花一 1） +戸$左= （疋 + 1） 西形 + （疋 一 1） （壬 +形） +A1 +1.= （切貂 + （3 右磊） +g_7 疋一 1_7 92 + 2 2 （2+1） ：耳 - 7二可得 - 1 卩磴 亍綜上可得 -1P - 7所以碼卩竝 9 最大值是牙 .P 4,m【例 2【 2018 屆廣西柳州市高三上摸底】 已知拋物線 C 的頂點在原點，焦點在 X 軸上，且拋物線上有到焦點的距離為 5.（1） 求該拋物線 C 的方程；（2） 已知拋物線上一點 Mt,4 , 過點 M

44、 作拋物線的兩條弦 MD 和 ME ，且 MD _ME , 判斷直線 DE 是否過 定點？并說明理由 .2 2 2 2【答案】（ 1） y2 =4x. （ 2） 8,-4【解析】 試題分析； （D 求出拋物線的焦 點坐標(biāo) ，結(jié)合題意 列關(guān)于 P 的等式求 P ,則拋物線方程 可求：由求出 M 的坐標(biāo) , 設(shè)出直線 DE 的方程 + r 3 聯(lián)立直纟肪 稈和拋 物線方 程?化為 關(guān)于 7 的一元二次方程后 D,E 兩點縱坐標(biāo)的和與枳 ，利用 莎?旋 =0 得到匸與 B 的關(guān)系，進(jìn)一 步得到 DE 方程 ，由直 線系方 程 可得直線 DE 所過走點 .試題解析 :（ 1） 由題意設(shè)拋物線 方程為

45、尸 =2”,其準(zhǔn)線方程 為 x 二一 蘭，2V 鞏 4 嚴(yán)）到 焦點的距離等于 / 到其準(zhǔn) 線的距離，4 +R = 5 2?拋物線p= 2 .C 的方程為 y2 =4x .（2） 由（ 1）可得點 M 4,4 ，可得直線 DE 的斜率不為 0 ,設(shè)直線 DE 的方程為： x = my t,心、 x = my +t +聯(lián)立 2 y = 4x2，得 y- 4my - 4t = 0 ,則 I =16m 2 16t 0 .設(shè) D 為，力 ,E x 2,y2 , 則 y? = 4m, y - -4t .T MD ME 二 -4, % -4 x2 - 4, y 2 -4 = x 2 -4 捲 X2 16

46、y 2 一 4 屮 y 162、詩嚴(yán) + 4 （宀） +16（y 22） 2=16 - （% +丫 2 ） +3y匚 t2 -16m 2 -12t 32 -16m即 t -12t 32=16m2 _4 （% +y 2 ） +32二 016m ，得 : t-6 = 4 2m 1 ,3334:. t -6 = 2 2m 1 ，即 t = 4m 8 或 t = -4m 4 ,代人式檢驗均滿足 .： 0,?直線 DE 的方程為：x = my 4m 8 二 my 4 8 或 x = my-4 4 .直線過定點 8,-4 （定點 （4,4 ） 不滿足題意，故舍去） .【趁熱打鐵】【 2018 屆云南省昆明

47、一中高三第一次摸底】已知動點 x+1 j +y2 +& x _1 （ +y2 =2 血 .M x,y 滿足：（ 1）（2）求動點 M 的軌跡 E 的方程；設(shè)過點 N -1,0 的直線 I 與曲線 E 交于 A,B 兩點，點 A 關(guān)于 x 軸的對稱點為 C （點 C 與點 B 不重合），證明：直線 BC 恒過定點，并求該定點的坐標(biāo) ?2【答案】（ 1） ; y2 =1 ； （ 2）直線過定點 -2,0 ，證明見解析 .2【解析】 試題分祈： （1） 動總 M 到點 P （-1,O） ? 0（ 0） 的距離之和為 2 血， S.PQ22r 所以動點 M 的軌跡為 橢圓， 從而可求動點 M 的軌跡

48、E 的方 程； （2） 直線 f 的方程為： y = k （X ） f 由y-kxA-t ）J 得 （1 + 2） + 4+2-2-0 根據(jù)韋達(dá)定 理可得+y =12丙乃+西旳=2,直線月 C 的方程為尸 m 兀_2,即可證 明其過 定點 .為一碼 Xi X,試題解析： 1） 由已輸 動點 M 到點 尸（ - 1 心 0 （1 的距離 之和為 2 血，H|2|2V2, 所以動點 M 的軌跡為橢圓，而 o = j2, t 所以& = 1, 所兒 動點 M 的軌跡 E 的方程： 芻+宀1.設(shè)/ （耳比）， 鞏花宀）， 則厲耳 - 旳），由 已知得直線的斜率存在，設(shè)斜率為匕 則直線 J 的方 程為：

49、 y= k x 1y 二 k x 1 由 x2 2 y2 =12得 1 2k 2 x2 4k 2x 2k 2 - 2 = 0 ,4 芒 2/21 +2P直線 肚的 方程切 廠加日（“切，所以尸迪 - 竺迪 眄一坷- 0 則“珂乃 +花旳二 2 確花乎; （西 +花） 二 2 對花+ （坷 十花） =_2 Ji + Fi 上 （西 +孔） + 2 疋 （西 +呂）所以 直線眈 與葢軸交于定點 0 （-10） .【例 3】【2018 屆廣東省仲元中學(xué)、中山一中等七校高三第二次聯(lián)考】已知橢圓孔兀 花一碼+ 2 2 2a bx2 y2 = 1(a b 0) 的上、下、左、右四個頂點分別為 A、 B、

50、C、 D,x 軸正半軸上的某點 G 滿足 |GD| = 2,|GA| = 3,|GC| = 4 .35(1) 求橢圓的方程 ； 設(shè)該橢圓的左、右焦點分別為2 2 2 2 2 2R、 F2 , 點 M在圓 x y 二 b 上，且 M在第一象限 , 過 M作圓 x y = b 的切線交橢圓于 P,Q ,求證： PF 2Q 的周長是定值 .Xy2【答案】 (1) 1 見解析9 8【解析】試題分析：(1) 設(shè)點 G 的坐標(biāo)為 x0,0 可知 2a =2 ?4,a =3,x 04-a =1,b = . 32- 爲(wèi)=2. 2，可得橢圓方程 ；( 2)法一： 設(shè) P(xy, ),Q(x 2,y2 )，結(jié)合橢

51、圓方程可得 PF 2| = 3 兇，在圓中， M 是切點，3PM | = Qp|2 _|0M =1x1，同理可得 |QF2|+|QM|=3,則易得結(jié)論 ； 法二： 設(shè) PQ PQ 的方程為y =kx +m(k： 【 0,m： 0 )，聯(lián)立橢圓方程，由根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合弦長公式求出 PQ =-6km 2，再求出8 + 9k236昭 卜 3 彳衛(wèi)站 | 二 3- ￥， 則結(jié)論易得 .試題解析 :設(shè)點 G 的坐標(biāo)為 （ 0） 傀 a 0） ,可知 h = 2+4 衛(wèi) =3 ,=4_a = l,b =少 2_耳 J =2y/2 -2 1因此橢圓的方程是 + =1?9 82 1+y 廿 Jg-i)*

52、 i 詩方法 1:設(shè) P(“y)Q(syJ,則#+普： 0利 3,二陋 | = 3- 字在圓中， M 是切點 ,2? |PM卜 OP|2 |OM | 2 =質(zhì) y： -8 = x： +8 ii i 、?- +PM|=3 -Xi +-Xi =3 ,3 3同理|QF2|因此 ? BA C 的周長是定值 6 .方法 2:設(shè) PQ 的方程為 y 二 kx m k 0,m 0 ,y = kx m 由x2 .x2=i ,得 8 9k 2 x2 18kmx 9m 2 -72 =0 ,9 83738設(shè) P Xi,yi ,Q X 2 ,y2 , 則8km2 ,x i X2 8 9k 229m 7228 9k 2

53、1k2-18km8 9k 2-4 9mp28 9k 2? PQ= 1 k2 % x2 =（8+9k 2）21 k2 ? x1 x2 -4x 1x2T PQ 與圓啊=3 - 字F + y 8 相切 L ? =2y/2 卩 in = + H ,46xk98x （9k 1-m 1+8）8+9k 2Vl+P（+8 1-0I 9 丿0 x 1 0,由韋達(dá)定理，得嗎 +1 昴曲二屈 ,所以 | OAf|.|ON| = 比 T6（他 -3）（ 叱 - 3） 疋耳花 +花)+ 9 6-24+9 （2+1 ）2 即【例 4】已知橢圓 C 的焦點坐標(biāo)是=3.(1) 求橢圓 C 的方程；為定值 ?Fi( 1,0)

54、, F2( 1,0) , 過點 F2 垂直于長軸的直線 I 交橢圓 C 于 B, D 兩點，且 |BD|42 是否存在過點 P(2,1) 的直線 I i 與橢圓 C 相交于不同的兩點 M N, 且滿足 PM- PN=4?若存在，求出直線 I i 的方程；若不存在，請說明理由 .【答案】 扌+ 3 = 1.(2)存在直線 li 滿足條件，其方程為 y=A_ 9 3【解析】 設(shè)橢圓的方程聲 十薩?心 由題可知 因為畫 1 = 3,所以 一 =3,a又一孑 =1,所以且 =2, b=pL所以橢圓 C 的方程 為于+尋二匚(2)假設(shè)存在直線 h 且由題青 得斜率存在；設(shè)滿足條件的方稈為 y=k(x-2

55、) + l.y=k x-2由匕*L4 3=+ = 1因為直線 h 與橢圓+1得(3 +4k) Bk(2k l)x-F lk J 16k 8 Q,C 相交于不同 的兩點 N,設(shè)口巧 yi, Ng y 山 所 A=3k(2k-l) !4(S+4k;) (16k :-l6k-8)0, 所決 k 一虧_Sk 2k-l _L6k-16k-8血十吐一 3+4 甘 3+4 応f f 5因為 PM PN= M L 2) (z： 2+ (yl) (yd -l)=pA所以 (XL _ 2) (z=2) (l + 帖) p5 即XL E= 2( Xi + Xa) +4 (1. + 小二門161 16k 8_3 +

56、4k所3 以8k 2k-13 + 4k E44 + 4kE_5-|,所以 k= 右 故存在直線 1 扇足條件，其方程為 產(chǎn)43【趁熱打鐵】如圖，圓 C : x2_ 1， ax ? y2_ ay? a=0 .(1) 若圓 C 與 x 軸相切，求圓 C 的方程；(2) 求圓心 C 的軌跡方程；(3) 已知 a 1，圓 C 與 x 軸相交于兩點 M,N ( 點 M 在點 N 的左側(cè) ). 過點 M 任作一條直線與圓 0 :x2 ?y2 二 4 相交于兩點 代 B . 問：是否存在實數(shù) a，使得 . ANM =/BNM ?若存在，求出實數(shù) a 的值，若不 存在，請說明理由 .【答案】 ( 1) x2-

57、2xy 2-y 1=0 ； ( 2) 2x-2y-1=0 ( 3)存在 a = 4，使得 一 ANM = BNM【解折】 試題分折： ( 1)在圓的方程中 令卩二。 可得關(guān)于 x 的一元 二次方 程的尹 兇 式等于霧 f 由此求得 a的值， 從而求得所求圓 的方程 。消去圓心坐標(biāo)中的參 數(shù)即可 先求 出敲 (1? 0) 少仏 0、假 設(shè)存在實數(shù) 當(dāng)直線直線直時 設(shè)直線血的方程為卩 =風(fēng)兀 - 】 ) ，代入丁 +p4 利用韋達(dá)定理，根 讎零求得 門的值、 經(jīng)過檢驗 , 當(dāng)直線 AB與兀軸垂直時，這個 a值仍然滿泉 ZANM= Z5W曲與站由不垂的斜率之和等干從而得出結(jié)論 解析： 由1+門圓 C

58、 與北軸相切 ，可知圓心的縱坐標(biāo)的維對値與半徑相等的方程沏 2 兀+忙一尹 +1=5(2) 求圓心 C 點坐標(biāo)為 x, y，則 x+?t j 由41 亠 a a , y2 2+二 口求得 4 二 1 .即可得到所求圓 C4?故先將圓 C 的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為 :圓心 C 點的軌跡方程為 2x -2y - 1=0(3) 令 y=0，得 x2 1axa=0 , 即卩 x 1 x a =0 所以 M 1,0 ,N a,0代入 x2 y2 =4 得 , 假設(shè)存在實數(shù) a，當(dāng)直線 AB 與 x 軸不垂直時，設(shè)直線 AB 的方程為 y = k x - 1 ,為+X 2 =去，為 X21 +kk2 -41 k2因為 y1 y2捲 -a x2 ak x 1 -1 X 2 a x -11 k 2 x2 -2k 2x k 2 -4 =0 ，設(shè) A y ,B X 2 ,y2 ,從而x -a人a X2 a4445而 X 1 -1 X 2 一 a 廣 T 捲- a 二 2x 1X2 一 a 1 X 2 X 1 2a46- 2 2a1 k 2 1 k2補 d 2k =2 - 2 - a 12a -81 k 2因為 . ANM =/BNM，所以 yi y2 0，即 2a _8 =0 ，得 a =4 .Xi a x? a 1 + k當(dāng)直線 AB 與 x 軸垂