高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：8.3空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系33

1、第三節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系考綱解讀理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解平面基本性質(zhì)可以作為推理依據(jù)的公理和定理.命題趨勢探究（1）考查內(nèi)容.近年來，高考命題呈現(xiàn)出由考查知識向考查能力方向轉(zhuǎn)變的趨勢，題目新穎，靈活性強(qiáng)，立體幾何試題經(jīng)常以簡單幾何體為載體，考查線面位置關(guān)系，以中檔難度題為主； 平面的基本性質(zhì)、公理、公理的推論及直線與平面的位置關(guān)系，都是每年必考的知識點(diǎn)，試題難度不大，多為選擇題和填空題.垂直是直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系中的紐帶，常常起到承上啟下的作用，或稱“二傳手”，不少問題常以垂直為解題的突破口，然后深入，主要考查滲透轉(zhuǎn)化思想.（2）本專題知識

2、的考查多為識記，理解內(nèi)容，如果掌握了方法，題目一般不是太難，每年高考分值約5分.知識的精講一、平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)如表8-4所示. 表8-4名稱圖形文字語言符號語言公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)公理2過不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個平面A,B,C不共線A,B,C且是唯一確定的公理2的推論推論1經(jīng)過一條直線和該直線外一點(diǎn)有且只有一個平面若點(diǎn)A,則經(jīng)過點(diǎn)A和直線a有且僅有一個平面推論2兩條相交直線確定一個平面有且只有一個平面，使推論3兩條平行直線確定一個平面ab有且只有一個平面，使公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過

3、該點(diǎn)的公共直線若則且二、空間直線與直線的位置關(guān)系1.位置關(guān)系如表8-5所示. 表8-5位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號ab公共點(diǎn)個數(shù)100特征兩條相交直線確定一個平面兩條平行直線確定一個平面兩條異面直線不同在如何一個平面內(nèi)2.公理4（平行公理）：平行與同一直線的兩條直線互相平行.3.定理：空間中若兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，則這兩個角相等（同向）或互補(bǔ)（反向）.三、空間中的直線與平面的位置關(guān)系（見表8-6）位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號公共點(diǎn)個數(shù)無數(shù)個10四、空間中的平面與平面的位置關(guān)系（見表8-7） 表8-7位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形符號，公共

4、點(diǎn)個數(shù)0無數(shù)個公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上無數(shù)個公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上注：垂直是相交（成90o）的特殊情形，異面直線經(jīng)平移后相交成90o也叫垂直.題型歸納及思路提示題型111 證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”思路提示要證明“點(diǎn)共面”、“線共面”可先由部分直線活點(diǎn)確定一個平面，再證其余直線或點(diǎn)也在該平面內(nèi)（即納入法）；證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線，證明 “線共點(diǎn)”問題是證明三條或三條以上直線交于一點(diǎn)，思路是：先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明交點(diǎn)在第三條直線上.例8.19如圖8-73所示，

5、平面ABEF平面ABCD,四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，求證：C,D,F,E四點(diǎn)共面.分析 證明四點(diǎn)共面，利用平面的確定公理，即兩條相交直線確定一個平面，本題可證明DC,FE相交與一點(diǎn).解析 如圖8-74所示，延長DC交AB的延長線與點(diǎn)G，由得延長FE交AB的延長線于G，同理可得故即G與G重合，因此，直線CD和EF相交與點(diǎn)G，即C,D,F,E四點(diǎn)共面.變式1 如圖8-75所示，已知ABCD-A1B1C1D1是正方體,點(diǎn)F在CC1上，且AE=FC1,求證E,B,F,D1四點(diǎn)共面.解析 如圖8-299所示，在DD1上，取點(diǎn)N，使DN=AE,鏈接EN,CE,又AEDN,所以四邊形AEND為平

6、行四邊形，故NEAD，又ADBC, 所以NEBC,四邊形BCNE為平行四邊形，所以NCEB,因為C1F=AE,所以FC= D1N, 又FCD1N,所以四邊形CFD1N為平行四邊形，故D1FNC,從而D1FEB.因此，E,B,F, D1四點(diǎn)共面.評注 四點(diǎn)共面的證法：四點(diǎn)在兩條平行或相交的直線上。變式2 如圖8-76所示，在六面體ABCD-A1B1C1D1中，上下底面均為正方形，平面A1B1C1D1，平面ABCD.求證：A1C1與AC共面，B1D1與BD 共面.解析 如圖8-299所示，=,DA=DC, 平面,則,又平面ABCD,則AD, DC,所以AD, DC.設(shè)=O.與O重合，則=O,故與A

7、C共面，同理DB與共面.例8.20 如圖8-77所示，空間四邊形ABCD中，E,F,G分別在AB,BC,CD上，且滿足AE：EB=CF：FB=2：1，CG：GD=3：1，過E,F,G的平面交AD于H，連接EH,HG.(1)求AH：HD;(2)求證：EH,FG,BD三線共點(diǎn).BFCGHAED圖8-77解析 （1）因為所以EFAC,又EF平面ACD，所以EF平面ACD，而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACD=GH,所以EFGH,而EFAC,所以ACGH,所以即AH：HD=3：1.（2）證明：因為EFGH，且所以EFGH,所以四邊形EFGH為梯形.令，則，而平面ABD，平面BCD，平面平面BC

8、D=BD，所以，故EH,FG,BD三線共點(diǎn).評注 所謂“線共點(diǎn)”問題就是證明三條或三條以上直線交于一點(diǎn)，證明三線共點(diǎn)的思路為：先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過該點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在線上的問題.實(shí)際上，點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的問題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的問題.變式1 如圖8-78所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是AB,AA1的中點(diǎn).求證：（1）E,C, D1,F四點(diǎn)共面；（2）CE,D1F,DA三線共點(diǎn).解析 （1）如圖8-301所示，鏈接,EF, ,因為E,F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，所以FE,又因為BC,所以四邊形是平行四邊形，所以，所以EF，故EF與確定平面，所

9、以E,F,C, ,即E,F,C四點(diǎn)共面.（2） 由（1）知EF,且,所以四邊形CFE為梯形，所以CE與F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P,則P平面ABCD,且P,F平面,所以平面ABCD,且平面，又因為平面ABCD平面=AD, 所以AD,故，,AD三線共點(diǎn).評注 三線共點(diǎn)問題，需先設(shè)兩條共面的直線交于一點(diǎn)P，然后說明P是另外兩個平面的交點(diǎn)，即也在第三條直線上，否則，不易證明.變式2如圖8-79所示，點(diǎn)E,F,C,H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中點(diǎn)，證明：EF,HG,DC三線共點(diǎn).解析 如圖8-302所示，連接HE, ，GF由題意知，HC1EB，所以四邊形HC1 B

10、E是平行四邊形，所以HE，又,BF=FC,故GF，且GFHE,所以四邊形EFGH為梯形，設(shè)HGEF=K,則K平面, KEF平面ABCD,又平面ABCD平面=DC.則KDC,所以FE,，HG，,DC三線共點(diǎn).題型112 截面問題思路提示截面問題是平面基本性質(zhì)的具體應(yīng)用，先由確定平面的條件確定平面，然后做出該截面，并確定該截面的形狀.例8.21如圖8-80所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得截面記為S,則下列命題正確的是 .（寫出所以正確命題的編號）.當(dāng)時，S為四邊形；當(dāng)時，S為等腰梯形；當(dāng)時，S與C1D1的交

11、點(diǎn)R滿足；當(dāng)時，S為六邊形；當(dāng)時，S的面積為.分析 本題重點(diǎn)考查了截面問題，對于截面問題要利用平面的確定公理作為理論背景，尤其是兩條平行直線確定一個平面.解析 對于,因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，當(dāng)時，這時過的截面與正方體表面交與點(diǎn)，且，截面，如圖8-81（a）所示，截面為等腰梯形，當(dāng)時，過三點(diǎn)的截面與正方體表面的交點(diǎn)在棱上，截面為四邊形，如圖8-81（b）所示，故正確；如圖8-81（c）所示，當(dāng)時，又CT=1，得 ；如圖8-81（d）所示，當(dāng)時，過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為五邊形APQRS；如圖8-81（e）所示當(dāng)時，則過點(diǎn)的截面為，其截面為菱形，對角線所以的面積為綜上，

12、正確的命題序號是.變式1 如圖8-82所示，是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn)，給出下列四個命題：過點(diǎn)有且只有一條直線與直線都相交；過點(diǎn)有且只有一條直線與直線都垂直；過點(diǎn)有且只有一個平面與直線都相交；過點(diǎn)有且只有一個平面與直線都平行. 其中真命題是（ ）.A. B. C. D. 分析 由于作為考查對象的AB與是兩條異面直線，因此對題目給出的每個命題進(jìn)行考查時，一般總要借助于平面（構(gòu)造某個平面）來判斷，針對考查的角度不同，構(gòu)造平面的方式也各異.解析對于，過M與AB相交的直線必在平面MAB內(nèi)，過M與相交的直線必在平面M內(nèi)，且平面MAB與平面M的交線既不與AB平行，也不與平行，因此過

13、M與AB，都相交的直線必是平面MAB與平面M的交線，兩個確定的平面，且有一個公共點(diǎn)M其交線是唯一的，故真； 對于，只需了解異面直線公垂線的性質(zhì)（任意兩條異面直線有且僅有一條公垂線）即可，圖中即為異面直線AB的唯一一條公垂線，因此過M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB，都垂直故真； 對于，在AB和上各任取一點(diǎn)，連同點(diǎn)M確定一個平面，由“任取”即知不真. 對于，過點(diǎn)M有且只有一個平面與垂直，即與AB和都平行（因該平面不經(jīng)過AB和）直故選C.變式2 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，過對角線的一個平面交于E，交與F，得四邊形，給出下列結(jié)論：四邊形有可能是梯形；四邊形有可能是菱形；四邊形在底面A

14、BCD內(nèi)的投影一定是正方形；四邊形有可能垂直與平面；四邊形面積的最小值為.其中正確的是（ ）A. B. C. D. 解析過作平面與正方體-的截面為四邊形BFD1E如圖8303所示， 因為平面平而,且平面平面平面=,平面平面=,因此,同理BF故四邊形BFD1E為平行四邊形,因此命題不正確；若點(diǎn)E.F分別為AA1CC1的中點(diǎn)，則平行四邊形BFD1E的鄰邊BE=BF,所以四邊形BFD1E為菱形，因此命題正確； 對于命題，四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形ABCD，因此命題正確；對于命題，當(dāng)EF平面BDD1B1時EF 平面BFD1E,則平面BFD1E平面BDD1B1，因此命題正確；對于

15、命題，當(dāng)點(diǎn)F到線段BD1的距離最小時，此時平行四邊彤BFD1E的面積最小，此時點(diǎn)E,F分別為AA1與CC1的中點(diǎn),此時最小值為，因此命題正確故選B. 題型113 異面直線的判定思路提示判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：（1）直接法：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過B點(diǎn)的直線是異面直線.（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面.例8.22 一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（ ）.A.平行或異面 B.相交或異面 C.異面 D.相交解析 假設(shè)a與b是異面直線，而ca,則c顯然與b不平行（否則，則有，矛盾），因此與可能相交或異面，故選

16、.評注 判定和證明兩條直線是異面直線，常用反證法和定義法.變式1 已知空間三條直線，若與異面，且與異面，則（ ）A. 與異面B. 與相交 C. 與平行D. 與異面、相交、平行均有可能 解析 以正方體為模型分析，若與異面，與異面，則直線與直線可能平行、相交異面.故選D.變式2 已知為不垂直的異面直線，是一個平面，則在上的射影可能是： = 1 * GB3 兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；一條直線及其外一點(diǎn)，則在上面的結(jié)論中，正確的結(jié)論的編號是 （寫出所有正確的編號）. 解析以正方體為模穗分析ab為異面直線,a,b在上的射影可能平行、垂直或成為一條直線廈其外一點(diǎn)，如圖8-304(a)

17、(b) (c)所示，故選，不正確，因為若投影為同一條直線，則a,b必在同一平面內(nèi)與異面矛盾變式3 若直線不平行于平面，且，則（ ）A. 內(nèi)的所有直線與異面B. 內(nèi)不存在與平行的直線C. 內(nèi)存在唯一的直線與平行D. 內(nèi)的直線與都相交解析 由題意知直線與平面相交，則直線與平面內(nèi)的直線只有相交和異面兩種關(guān)系，因而只有選項B是正確的故選&B.例8.23如圖8-83所示，已知兩個正方形和不在同一個平面內(nèi)，和分別和為的中點(diǎn)，用反證法證明：直線與是異面直線.解析 假設(shè)直線與共面，連接,則平面,且平面與平面交于，由已知，兩正方形和不在同一平面，故平面，又，所以平面，又平面平面，所以，又，所以，這與矛盾，故假設(shè)

18、不成立，所以直線與不共面，直線與是異面直線.變式1在正方體中，棱的中點(diǎn)分別是，如圖8-84所示，判斷點(diǎn)是否共面？并說明理由.解析 點(diǎn)ADHF不共面，反證法：假設(shè)ADHF共面連接CFAFHF又ADBC，因為BC平面BCCBAD平面BCCB，所以AD平面BCCB，因為CDH，所以平面ADHF平面BCCB=CF因為AD平面ADHF所以ADCF所以CFBC，而CF與BC相交，矛盾，所以假設(shè)不成立，故點(diǎn)A，DH，F(xiàn)不共面，最有效訓(xùn)練題33（限時45分鐘）1.下列命題正確的是（ ）A. 若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B. 若一個平面內(nèi)有三個點(diǎn)到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C

19、. 若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D. 若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行2.下列四個命題： = 1 * GB3 若直線是異面直線，是異面直線，則是異面直線；若直線相交，相交，則相交；若，則與所成的角相等；若，則，其中真命題的個數(shù)是（ ）A.4 B. 3 C. 2 D. 13.設(shè)直線與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是（ ）A. 在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線垂直B. 過直線有且只有一個平面與平面垂直C. 與直線垂直的直線不可能與平面平行D. 與直線平行的平面不可能與平面垂直4.平行六面體中,既與共面也與共面的棱的條數(shù)為（ ）A.3 B. 4 C

20、. 5 D. 65.如圖8-85所示，是正方體的棱的中點(diǎn)，給出下列四個命題： = 1 * GB3 過點(diǎn)有且只有一條直線與直線都相交；過點(diǎn)有且只有一條直線與直線都垂直；過點(diǎn)有且只有一個平面與直線都相交；過點(diǎn)有且只有一個平面與直線都平行；其中真命題是（ ）A. B. C. D. 6如圖8-86所示，在四面體中，若截面是正方形，則在下列命題中，錯誤的為（ ）A. B. 截面 C. D.異面直線與所成的角為圖8-867過正方體的頂點(diǎn)作直線，使與直線所成的角都相等，這樣的直線可以作 條8如圖8-87所示，是正方體的表面展開圖，分別是棱的中點(diǎn)，與在原正方體中的位置關(guān)系為 9下列命題中不正確的是 = 1 *

21、 GB3 沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線；分別和兩條異面直線都相交的兩條直線異面；一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線不可能平行；一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可以確定兩個平面；10在正方體的頂點(diǎn)中任意選擇4個頂點(diǎn)，對于有這4個頂點(diǎn)構(gòu)成的四面體的以下判斷中，所有正確的結(jié)論是 （寫出所有正確結(jié)論的編號） = 1 * GB3 能構(gòu)成每個面都是等邊三角形的四面體；能構(gòu)成每個面都是直角三角形的四面體；能構(gòu)成三個面為全等的等腰直角三角形，一個面為等邊三角形的四面體；11如圖8-88所示，空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，分別在上，且 （1）求證：四點(diǎn)共圓；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線

22、12如圖8-89所示，正方體中，分別是，的中點(diǎn)，問：（1）和是否為異面直線？說明理由；（2）和是否為異面直線？說明理由；最有效訓(xùn)練題33I.C 解析 如圖8-305所示，在正方體-中，易知AB1與AD1與底面所成的角為45，但AB1與AD栩交，故選項A錯.設(shè)EF，PQ分別是棱AA1BB1CC1DD1的中點(diǎn),點(diǎn)A,B,A1到面EFPQ的距離相等，但平面ABB1A與平面EFPQ相交，故選項B錯平面ABB1A1平面ABCD平面ADD1A1平面ABCD但平面ABB1A1與平面ADD1A1相交于A1A故選項D錯故選C.2 D 解析 如圖8-306所示 若A1A為b,CD為a,BC為c,則a,c不異面，所

23、以不正確 若A1A為b,AB為a, A1B1為c, 則ac所以不正確 若A1A為b,AB為a, AD為c, 則abacbc. 且a與c相交，故也不正確. 由異面直線所成角的定義或等角定理知正確敞選D.3. B 解析 如圖8-307所示，是的斜線，PA,，AB則，內(nèi)所有與，平行的直線都垂直于m故A錯;即可知過有且僅有一個平面PAB與垂直，假設(shè)有兩個平面都與垂直，則這兩個平面的交線m 應(yīng)與垂直，與條件矛盾，所以B正確；又，所以，因為，所以，所以C錯.又在平面內(nèi)取不在直線上的-點(diǎn)D，過D可作平面與平面PAB平行，所以，因為平面PAB，所以平面故選B.4.C 解析 如圖8-308所示，平行六面體與AB,都共面的棱為BCC1D1DCAA1BB1共5條. ； 故選C. 5C. 解析 如圖8309所示，因為點(diǎn)M不在B1C1上，所以由B1C1與點(diǎn)M可確