高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：8.3空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系33

1、第三節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系考綱解讀理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解平面基本性質(zhì)可以作為推理依據(jù)的公理和定理.命題趨勢(shì)探究（1）考查內(nèi)容.近年來(lái)，高考命題呈現(xiàn)出由考查知識(shí)向考查能力方向轉(zhuǎn)變的趨勢(shì)，題目新穎，靈活性強(qiáng)，立體幾何試題經(jīng)常以簡(jiǎn)單幾何體為載體，考查線面位置關(guān)系，以中檔難度題為主； 平面的基本性質(zhì)、公理、公理的推論及直線與平面的位置關(guān)系，都是每年必考的知識(shí)點(diǎn)，試題難度不大，多為選擇題和填空題.垂直是直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系中的紐帶，常常起到承上啟下的作用，或稱“二傳手”，不少問(wèn)題常以垂直為解題的突破口，然后深入，主要考查滲透轉(zhuǎn)化思想.（2）本專題知識(shí)

2、的考查多為識(shí)記，理解內(nèi)容，如果掌握了方法，題目一般不是太難，每年高考分值約5分.知識(shí)的精講一、平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)如表8-4所示. 表8-4名稱圖形文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)公理2過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面A,B,C不共線A,B,C且是唯一確定的公理2的推論推論1經(jīng)過(guò)一條直線和該直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面若點(diǎn)A,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線a有且僅有一個(gè)平面推論2兩條相交直線確定一個(gè)平面有且只有一個(gè)平面，使推論3兩條平行直線確定一個(gè)平面ab有且只有一個(gè)平面，使公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)

3、該點(diǎn)的公共直線若則且二、空間直線與直線的位置關(guān)系1.位置關(guān)系如表8-5所示. 表8-5位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號(hào)ab公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異面直線不同在如何一個(gè)平面內(nèi)2.公理4（平行公理）：平行與同一直線的兩條直線互相平行.3.定理：空間中若兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，則這兩個(gè)角相等（同向）或互補(bǔ)（反向）.三、空間中的直線與平面的位置關(guān)系（見(jiàn)表8-6）位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號(hào)公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)數(shù)個(gè)10四、空間中的平面與平面的位置關(guān)系（見(jiàn)表8-7） 表8-7位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形符號(hào)，公共

4、點(diǎn)個(gè)數(shù)0無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上注：垂直是相交（成90o）的特殊情形，異面直線經(jīng)平移后相交成90o也叫垂直.題型歸納及思路提示題型111 證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”思路提示要證明“點(diǎn)共面”、“線共面”可先由部分直線活點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證其余直線或點(diǎn)也在該平面內(nèi)（即納入法）；證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線，證明 “線共點(diǎn)”問(wèn)題是證明三條或三條以上直線交于一點(diǎn)，思路是：先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明交點(diǎn)在第三條直線上.例8.19如圖8-73所示，

5、平面ABEF平面ABCD,四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，求證：C,D,F,E四點(diǎn)共面.分析 證明四點(diǎn)共面，利用平面的確定公理，即兩條相交直線確定一個(gè)平面，本題可證明DC,FE相交與一點(diǎn).解析 如圖8-74所示，延長(zhǎng)DC交AB的延長(zhǎng)線與點(diǎn)G，由得延長(zhǎng)FE交AB的延長(zhǎng)線于G，同理可得故即G與G重合，因此，直線CD和EF相交與點(diǎn)G，即C,D,F,E四點(diǎn)共面.變式1 如圖8-75所示，已知ABCD-A1B1C1D1是正方體,點(diǎn)F在CC1上，且AE=FC1,求證E,B,F,D1四點(diǎn)共面.解析 如圖8-299所示，在DD1上，取點(diǎn)N，使DN=AE,鏈接EN,CE,又AEDN,所以四邊形AEND為平

6、行四邊形，故NEAD，又ADBC, 所以NEBC,四邊形BCNE為平行四邊形，所以NCEB,因?yàn)镃1F=AE,所以FC= D1N, 又FCD1N,所以四邊形CFD1N為平行四邊形，故D1FNC,從而D1FEB.因此，E,B,F, D1四點(diǎn)共面.評(píng)注 四點(diǎn)共面的證法：四點(diǎn)在兩條平行或相交的直線上。變式2 如圖8-76所示，在六面體ABCD-A1B1C1D1中，上下底面均為正方形，平面A1B1C1D1，平面ABCD.求證：A1C1與AC共面，B1D1與BD 共面.解析 如圖8-299所示，=,DA=DC, 平面,則,又平面ABCD,則AD, DC,所以AD, DC.設(shè)=O.與O重合，則=O,故與A

7、C共面，同理DB與共面.例8.20 如圖8-77所示，空間四邊形ABCD中，E,F,G分別在AB,BC,CD上，且滿足AE：EB=CF：FB=2：1，CG：GD=3：1，過(guò)E,F,G的平面交AD于H，連接EH,HG.(1)求AH：HD;(2)求證：EH,FG,BD三線共點(diǎn).BFCGHAED圖8-77解析 （1）因?yàn)樗訣FAC,又EF平面ACD，所以EF平面ACD，而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACD=GH,所以EFGH,而EFAC,所以ACGH,所以即AH：HD=3：1.（2）證明：因?yàn)镋FGH，且所以EFGH,所以四邊形EFGH為梯形.令，則，而平面ABD，平面BCD，平面平面BC

8、D=BD，所以，故EH,FG,BD三線共點(diǎn).評(píng)注 所謂“線共點(diǎn)”問(wèn)題就是證明三條或三條以上直線交于一點(diǎn)，證明三線共點(diǎn)的思路為：先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在線上的問(wèn)題.實(shí)際上，點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的問(wèn)題.變式1 如圖8-78所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別是AB,AA1的中點(diǎn).求證：（1）E,C, D1,F四點(diǎn)共面；（2）CE,D1F,DA三線共點(diǎn).解析 （1）如圖8-301所示，鏈接,EF, ,因?yàn)镋,F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，所以FE,又因?yàn)锽C,所以四邊形是平行四邊形，所以，所以EF，故EF與確定平面，所

9、以E,F,C, ,即E,F,C四點(diǎn)共面.（2） 由（1）知EF,且,所以四邊形CFE為梯形，所以CE與F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P,則P平面ABCD,且P,F平面,所以平面ABCD,且平面，又因?yàn)槠矫鍭BCD平面=AD, 所以AD,故，,AD三線共點(diǎn).評(píng)注 三線共點(diǎn)問(wèn)題，需先設(shè)兩條共面的直線交于一點(diǎn)P，然后說(shuō)明P是另外兩個(gè)平面的交點(diǎn)，即也在第三條直線上，否則，不易證明.變式2如圖8-79所示，點(diǎn)E,F,C,H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中點(diǎn)，證明：EF,HG,DC三線共點(diǎn).解析 如圖8-302所示，連接HE, ，GF由題意知，HC1EB，所以四邊形HC1 B

10、E是平行四邊形，所以HE，又,BF=FC,故GF，且GFHE,所以四邊形EFGH為梯形，設(shè)HGEF=K,則K平面, KEF平面ABCD,又平面ABCD平面=DC.則KDC,所以FE,，HG，,DC三線共點(diǎn).題型112 截面問(wèn)題思路提示截面問(wèn)題是平面基本性質(zhì)的具體應(yīng)用，先由確定平面的條件確定平面，然后做出該截面，并確定該截面的形狀.例8.21如圖8-80所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得截面記為S,則下列命題正確的是 .（寫出所以正確命題的編號(hào)）.當(dāng)時(shí)，S為四邊形；當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；當(dāng)時(shí)，S與C1D1的交

11、點(diǎn)R滿足；當(dāng)時(shí)，S為六邊形；當(dāng)時(shí)，S的面積為.分析 本題重點(diǎn)考查了截面問(wèn)題，對(duì)于截面問(wèn)題要利用平面的確定公理作為理論背景，尤其是兩條平行直線確定一個(gè)平面.解析 對(duì)于,因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，當(dāng)時(shí)，這時(shí)過(guò)的截面與正方體表面交與點(diǎn)，且，截面，如圖8-81（a）所示，截面為等腰梯形，當(dāng)時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的截面與正方體表面的交點(diǎn)在棱上，截面為四邊形，如圖8-81（b）所示，故正確；如圖8-81（c）所示，當(dāng)時(shí)，又CT=1，得 ；如圖8-81（d）所示，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為五邊形APQRS；如圖8-81（e）所示當(dāng)時(shí)，則過(guò)點(diǎn)的截面為，其截面為菱形，對(duì)角線所以的面積為綜上，

12、正確的命題序號(hào)是.變式1 如圖8-82所示，是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線與直線都相交；過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線與直線都垂直；過(guò)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線都相交；過(guò)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線都平行. 其中真命題是（ ）.A. B. C. D. 分析 由于作為考查對(duì)象的AB與是兩條異面直線，因此對(duì)題目給出的每個(gè)命題進(jìn)行考查時(shí)，一般總要借助于平面（構(gòu)造某個(gè)平面）來(lái)判斷，針對(duì)考查的角度不同，構(gòu)造平面的方式也各異.解析對(duì)于，過(guò)M與AB相交的直線必在平面MAB內(nèi)，過(guò)M與相交的直線必在平面M內(nèi)，且平面MAB與平面M的交線既不與AB平行，也不與平行，因此過(guò)

13、M與AB，都相交的直線必是平面MAB與平面M的交線，兩個(gè)確定的平面，且有一個(gè)公共點(diǎn)M其交線是唯一的，故真； 對(duì)于，只需了解異面直線公垂線的性質(zhì)（任意兩條異面直線有且僅有一條公垂線）即可，圖中即為異面直線AB的唯一一條公垂線，因此過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB，都垂直故真； 對(duì)于，在AB和上各任取一點(diǎn)，連同點(diǎn)M確定一個(gè)平面，由“任取”即知不真. 對(duì)于，過(guò)點(diǎn)M有且只有一個(gè)平面與垂直，即與AB和都平行（因該平面不經(jīng)過(guò)AB和）直故選C.變式2 在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，過(guò)對(duì)角線的一個(gè)平面交于E，交與F，得四邊形，給出下列結(jié)論：四邊形有可能是梯形；四邊形有可能是菱形；四邊形在底面A

14、BCD內(nèi)的投影一定是正方形；四邊形有可能垂直與平面；四邊形面積的最小值為.其中正確的是（ ）A. B. C. D. 解析過(guò)作平面與正方體-的截面為四邊形BFD1E如圖8303所示， 因?yàn)槠矫嫫蕉?且平面平面平面=,平面平面=,因此,同理BF故四邊形BFD1E為平行四邊形,因此命題不正確；若點(diǎn)E.F分別為AA1CC1的中點(diǎn)，則平行四邊形BFD1E的鄰邊BE=BF,所以四邊形BFD1E為菱形，因此命題正確； 對(duì)于命題，四邊形BFD1E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形ABCD，因此命題正確；對(duì)于命題，當(dāng)EF平面BDD1B1時(shí)EF 平面BFD1E,則平面BFD1E平面BDD1B1，因此命題正確；對(duì)于

15、命題，當(dāng)點(diǎn)F到線段BD1的距離最小時(shí)，此時(shí)平行四邊彤BFD1E的面積最小，此時(shí)點(diǎn)E,F分別為AA1與CC1的中點(diǎn),此時(shí)最小值為，因此命題正確故選B. 題型113 異面直線的判定思路提示判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：（1）直接法：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線是異面直線.（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面.例8.22 一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是（ ）.A.平行或異面 B.相交或異面 C.異面 D.相交解析 假設(shè)a與b是異面直線，而ca,則c顯然與b不平行（否則，則有，矛盾），因此與可能相交或異面，故選

16、.評(píng)注 判定和證明兩條直線是異面直線，常用反證法和定義法.變式1 已知空間三條直線，若與異面，且與異面，則（ ）A. 與異面B. 與相交 C. 與平行D. 與異面、相交、平行均有可能 解析 以正方體為模型分析，若與異面，與異面，則直線與直線可能平行、相交異面.故選D.變式2 已知為不垂直的異面直線，是一個(gè)平面，則在上的射影可能是： = 1 * GB3 兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；一條直線及其外一點(diǎn)，則在上面的結(jié)論中，正確的結(jié)論的編號(hào)是 （寫出所有正確的編號(hào)）. 解析以正方體為模穗分析ab為異面直線,a,b在上的射影可能平行、垂直或成為一條直線廈其外一點(diǎn)，如圖8-304(a)

17、(b) (c)所示，故選，不正確，因?yàn)槿敉队盀橥粭l直線，則a,b必在同一平面內(nèi)與異面矛盾變式3 若直線不平行于平面，且，則（ ）A. 內(nèi)的所有直線與異面B. 內(nèi)不存在與平行的直線C. 內(nèi)存在唯一的直線與平行D. 內(nèi)的直線與都相交解析 由題意知直線與平面相交，則直線與平面內(nèi)的直線只有相交和異面兩種關(guān)系，因而只有選項(xiàng)B是正確的故選&B.例8.23如圖8-83所示，已知兩個(gè)正方形和不在同一個(gè)平面內(nèi)，和分別和為的中點(diǎn)，用反證法證明：直線與是異面直線.解析 假設(shè)直線與共面，連接,則平面,且平面與平面交于，由已知，兩正方形和不在同一平面，故平面，又，所以平面，又平面平面，所以，又，所以，這與矛盾，故假設(shè)

18、不成立，所以直線與不共面，直線與是異面直線.變式1在正方體中，棱的中點(diǎn)分別是，如圖8-84所示，判斷點(diǎn)是否共面？并說(shuō)明理由.解析 點(diǎn)ADHF不共面，反證法：假設(shè)ADHF共面連接CFAFHF又ADBC，因?yàn)锽C平面BCCBAD平面BCCB，所以AD平面BCCB，因?yàn)镃DH，所以平面ADHF平面BCCB=CF因?yàn)锳D平面ADHF所以ADCF所以CFBC，而CF與BC相交，矛盾，所以假設(shè)不成立，故點(diǎn)A，DH，F(xiàn)不共面，最有效訓(xùn)練題33（限時(shí)45分鐘）1.下列命題正確的是（ ）A. 若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B. 若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C

19、. 若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D. 若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行2.下列四個(gè)命題： = 1 * GB3 若直線是異面直線，是異面直線，則是異面直線；若直線相交，相交，則相交；若，則與所成的角相等；若，則，其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）A.4 B. 3 C. 2 D. 13.設(shè)直線與平面相交但不垂直，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）A. 在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線垂直B. 過(guò)直線有且只有一個(gè)平面與平面垂直C. 與直線垂直的直線不可能與平面平行D. 與直線平行的平面不可能與平面垂直4.平行六面體中,既與共面也與共面的棱的條數(shù)為（ ）A.3 B. 4 C

20、. 5 D. 65.如圖8-85所示，是正方體的棱的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題： = 1 * GB3 過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線與直線都相交；過(guò)點(diǎn)有且只有一條直線與直線都垂直；過(guò)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線都相交；過(guò)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線都平行；其中真命題是（ ）A. B. C. D. 6如圖8-86所示，在四面體中，若截面是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為（ ）A. B. 截面 C. D.異面直線與所成的角為圖8-867過(guò)正方體的頂點(diǎn)作直線，使與直線所成的角都相等，這樣的直線可以作 條8如圖8-87所示，是正方體的表面展開(kāi)圖，分別是棱的中點(diǎn)，與在原正方體中的位置關(guān)系為 9下列命題中不正確的是 = 1 *

21、 GB3 沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線；分別和兩條異面直線都相交的兩條直線異面；一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線不可能平行；一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可以確定兩個(gè)平面；10在正方體的頂點(diǎn)中任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)于有這4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四面體的以下判斷中，所有正確的結(jié)論是 （寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)） = 1 * GB3 能構(gòu)成每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；能構(gòu)成每個(gè)面都是直角三角形的四面體；能構(gòu)成三個(gè)面為全等的等腰直角三角形，一個(gè)面為等邊三角形的四面體；11如圖8-88所示，空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，分別在上，且 （1）求證：四點(diǎn)共圓；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線

22、12如圖8-89所示，正方體中，分別是，的中點(diǎn)，問(wèn)：（1）和是否為異面直線？說(shuō)明理由；（2）和是否為異面直線？說(shuō)明理由；最有效訓(xùn)練題33I.C 解析 如圖8-305所示，在正方體-中，易知AB1與AD1與底面所成的角為45，但AB1與AD栩交，故選項(xiàng)A錯(cuò).設(shè)EF，PQ分別是棱AA1BB1CC1DD1的中點(diǎn),點(diǎn)A,B,A1到面EFPQ的距離相等，但平面ABB1A與平面EFPQ相交，故選項(xiàng)B錯(cuò)平面ABB1A1平面ABCD平面ADD1A1平面ABCD但平面ABB1A1與平面ADD1A1相交于A1A故選項(xiàng)D錯(cuò)故選C.2 D 解析 如圖8-306所示 若A1A為b,CD為a,BC為c,則a,c不異面，所

23、以不正確 若A1A為b,AB為a, A1B1為c, 則ac所以不正確 若A1A為b,AB為a, AD為c, 則abacbc. 且a與c相交，故也不正確. 由異面直線所成角的定義或等角定理知正確敞選D.3. B 解析 如圖8-307所示，是的斜線，PA,，AB則，內(nèi)所有與，平行的直線都垂直于m故A錯(cuò);即可知過(guò)有且僅有一個(gè)平面PAB與垂直，假設(shè)有兩個(gè)平面都與垂直，則這兩個(gè)平面的交線m 應(yīng)與垂直，與條件矛盾，所以B正確；又，所以，因?yàn)?，所以，所以C錯(cuò).又在平面內(nèi)取不在直線上的-點(diǎn)D，過(guò)D可作平面與平面PAB平行，所以，因?yàn)槠矫鍼AB，所以平面故選B.4.C 解析 如圖8-308所示，平行六面體與AB,都共面的棱為BCC1D1DCAA1BB1共5條. ； 故選C. 5C. 解析 如圖8309所示，因?yàn)辄c(diǎn)M不在B1C1上，所以由B1C1與點(diǎn)M可確