P波入射反射、透射系數(shù)推導(dǎo)知識講解

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。P波入射反射、透射系數(shù)推導(dǎo)-P波入射Zoeppritz方程的推導(dǎo)根據(jù)彈性力學(xué)的假設(shè)，介質(zhì)是均勻各向同性的無限大介質(zhì)，平面波是一種最簡單的波動形式，其以波面為平面的形式在介質(zhì)中傳播，即平面波在垂直于波傳播的任一平面上，各點的振動是同相的，實際上并不存在激發(fā)平面波的震源，所以它是一個數(shù)學(xué)抽象了的波動過程。點震源激發(fā)的球面波向四面八方傳播，當(dāng)其距震源足夠遠時，在這個地方研究一個局部的等相位面，可以將其看成一個平面波。在理論上，任何類型的波都可以用平面波的合成形式來表示，所以平面波是波動現(xiàn)象中最基本的形式，也是

2、理論研究和實際應(yīng)用的基礎(chǔ)。在地震勘探中，討論在兩種不同的介質(zhì)分界面上的波的傳播現(xiàn)象是十分重要的。一般分為兩種情況進行討論，第一種，我們所研究的地球介質(zhì)按其物性變化是分層的，具有層裝結(jié)構(gòu)。因此，討論兩種彈性性質(zhì)不同的介質(zhì)分界面上波的傳播情況。第二種，地球表面是一個特殊的分界面，它將無限介質(zhì)劃分為兩個半空間。地面以上的空氣介質(zhì)，其密度與地面以下的巖石或海平面以下的海水層及巖石層的密度相比可以忽略。因此，地球表面可以看成是一個彈性半空間表面，稱為自由面，其上的應(yīng)力作用為零。根據(jù)本文所討論的地質(zhì)模型所涉及到的地質(zhì)災(zāi)害，我們只討論波在第一種介質(zhì)分界面情況下波的傳播，即平面波在彈性分界面上的反射與透射。1

3、.1波函數(shù)設(shè)有一平面諧縱波入射到兩種半無限彈性介質(zhì)的分界面上。在這種情況下，波不僅會折回到入射介質(zhì)中傳播，而且會透射到另一種介質(zhì)中傳播；即同時存在反射波和透射射波。反射波和透射波中都包含縱波和橫波兩種成份。P波在介質(zhì)分界面上的反射和透射情況如圖所示：關(guān)于位函數(shù)我們首先看：沿任意方向傳播的平面波。設(shè)是一個任意取定的單位方向矢量。（1）下面來看沿方向的平面波，或稱三維平面波的波函數(shù)形式。三維平面波的波函數(shù)滿足三維波動方程，即：（2）這里我們通過和一維平面波函數(shù)類比，可以得出三維平面波函數(shù)的形式。我們知道，在一維平面波的情況下，空間任意一點上的波函數(shù)值只取決于。于是沿正方向傳播的平面波的波函數(shù)為。其

4、中的實際上是從原點至點所在波面的垂直距離，即（一維平面波的傳播方向的單位矢量為。在三維平面波情況下，這一距離應(yīng)為。因此，將一維平面波函數(shù)中的以代替應(yīng)該可以得到三維平面波的波函數(shù)）即：（3）同一維平面波一樣，式中的為波沿方向的傳播時間。代表一個沿的正方向傳播的平面波。同理，代表一個沿的負方向傳播的平面波，在一般情況下，沿任意方向傳播的平面波的波函數(shù)可寫成：（4）1.2平面簡諧波：平面簡諧波是是波函數(shù)為簡諧形式的平面波，也是數(shù)學(xué)上最容易處理的一種波。因此，在研究波的傳播問題時經(jīng)常使用簡諧波假定。沿正方向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)可寫成：（5）或（6）上面兩式分別代表的是余弦形式和正弦形式的平面簡諧波

5、。我們最常使用的是指數(shù)形式的平面簡諧波（7）通過取上式的實部或虛部即可得到余弦形式或正弦形式的平面簡諧波的波函數(shù)。上面各波函數(shù)中的稱為波的振幅，因為波函數(shù)值總是在和之間變化。下面討論波函數(shù)中其他各量的意義及它們之間的關(guān)系。為此，首先“固定”時間變量以考查波剖面的情況。不難驗證，（8）這表明，波剖面的值每隔距離重復(fù)一次。因此我們將這個量稱為波長，記為，同時，把稱為波數(shù)?？梢姴〝?shù)就是距離內(nèi)所含的波長個數(shù)。再“固定”空間變量以考查振動圖的情況。容易看出，（9）這說明，振動圖的值每隔時間重復(fù)一次。因此將這個量稱作周期，記為，由此可見，周期即為波傳播一個波長距離所用的時間。另外，其中和分別為頻率和圓頻率

6、。利用上面得到的各量之間的關(guān)系，可將平面簡諧波的波函數(shù)寫成如下等價形式：（10）沿任意方向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)可寫為（11）因此二維平面波的波函數(shù)可以寫成：=（12）我們可以寫出入射P波、反射波P波、反射SV波、透射P波和透射SV波的位函數(shù)：（13）（14）(15)(16)(17)上式中，（18）且有（19）由此可得反射和透射定律（斯奈爾定律）如下：（20）另外，由圖可見：，在介質(zhì)I中，總的位函數(shù)為（21）（22）在介質(zhì)中，總的位函數(shù)為（23）（24）1.3邊界條件我們知道，介質(zhì)分界面處的邊界條件為位移連續(xù)和應(yīng)力連續(xù)。因此，可寫出本問題的邊界條件如下：在Z=0處（25）（1）位移連續(xù)：地震

7、波在傳播過程中質(zhì)點振動的位移可以分解為其標量位的梯度與與其矢量位的旋度之和的形式，有：（26）同時（27）設(shè)（28）將式（26）按梯度和旋度公式展開，得到的3個分量為：（29）研究空間傳播的平面波時，一般情況下選擇直角坐標系，可使得波前面與一個坐標軸（如軸）平行，此時方向余弦。這樣，波前面在軸方向上無限延伸，波函數(shù)與坐標無關(guān)，于是有此時，式（29）中對的導(dǎo)數(shù)項變?yōu)?，則式（29）變?yōu)椋海?0）這說明位移分量可以分為兩部分其中一部分時位于平面內(nèi)的位移分量和，它們只與和有關(guān)，含有波和波成份；另一部分是垂直于平面的位移分量，它只與和有關(guān)。且只含有波成份。這一結(jié)果表明，可將波和波作為一組與波分開來處理

8、。我們在討論波和波時使用位函數(shù)和然后由（30）式過渡到位移。為簡單起見，記。（31）和滿足下面的波動方程：（32）（2）應(yīng)力連續(xù)首先由虎克定律有：（33）（34）虎克定律闡述了應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系。再看應(yīng)變的定義式：（35）（36）應(yīng)變的定義式闡述了應(yīng)變和位移的關(guān)系。再由位移和位移位的關(guān)系式：（37）體應(yīng)變的關(guān)系式：（38）（39）（40）由以上各式可得到：將（37）式代入上式得到：式中：，故而故所以而（波函數(shù)滿足波動方程）故（41）=（42）1.4反射系數(shù)和透射系數(shù)以下的工作是使波函數(shù)滿足上面的邊界條件，為此將（21）（24）式代入（25）式，并整理。首先代（25）式的第一式有：由于故上式變?yōu)椋簩?，并且代入上式：?3）代入（25）式的二式有：由于故上式變?yōu)椋海夜剩?44)應(yīng)力連續(xù)故代入(25)式第三式有：=+因為，且，故上式變?yōu)椋?(45)代入(25)式的四式：=由于，且，故上式變?yōu)椋海?6）聯(lián)立（43）（44）（45）（46）有（47）由斯奈爾定律可得：代入（47）式中的第三式，并將其方程組的各項同除，得（48）此方程組稱為（Knott）方程，它反映了各波的位函數(shù)振幅之間的關(guān)系。其中的、和分別為P波的反射系數(shù)，SV波的反射系數(shù)，P波的透射系數(shù)，SV波的透射系數(shù)。上述的反射系數(shù)和透射系數(shù)是對位函數(shù)而言的，位移的反射系數(shù)和透射系數(shù)滿足（49）其中、和分別為入射P波、反射P波