材料成形有限元法基礎(chǔ)：材料成形有限元法基礎(chǔ)

1、材料成形有限元法基礎(chǔ)教材董湘懷. 材料成形計(jì)算機(jī)模擬. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2001. 講課：12學(xué)時(shí)主要參考書王勖成，邵 敏. 有限單元法基本原理與數(shù)值方法. 北京：清華大學(xué)出版社，1996. R.D.庫克著，程耿東等譯. 有限元分析的概念和應(yīng)用科學(xué)出版社.考試與成績課堂作業(yè)與期中閉卷考試課堂作業(yè): 20分（4次，每次5分）期中閉卷考試：80分有限元法基礎(chǔ)有限元發(fā)展過程60年代 70年代 80年代 90年代 2000年以后有限元應(yīng)用制造業(yè)/機(jī)械/電子/航空航天有限元發(fā)展方向大規(guī)模/高精度/高速度/智能化有限元法的基本思想基本思想 1）將連續(xù)的求解系統(tǒng)離散為一組由節(jié)點(diǎn)相互聯(lián)在一起的單元組合體

2、 2）在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)近似函數(shù)來分片表示系統(tǒng)的求解場函數(shù) 有限元法的基本思想有限元法的基本思想有限元法的基本思想有限元法的基本思想有限元法的基本思想離散為單元網(wǎng)格的沖壓件仍然要保證是一個(gè)連續(xù)體，單元與單元之間沒有裂縫、不能重疊，所有單元通過單元節(jié)點(diǎn)相互關(guān)聯(lián)著板料無論產(chǎn)生多大的塑性變形，單元與單元之間依然不會產(chǎn)生裂縫、交叉和重疊，關(guān)聯(lián)單元的節(jié)點(diǎn)也不能脫開有限元法的基本思想不合格單元單元裂縫單元重疊有限元法的基本思想變形前后單元之間都是連續(xù)的變形前的網(wǎng)格變形后的網(wǎng)格有限元法的基本思想基本思想通過在單元內(nèi)假設(shè)不同的插值函數(shù)，建立不同的單元模型，適應(yīng)各種各樣的變形模式和受力模式XFXF有限元法的基本思

3、想有限元法分類 1）位移法：基于最小勢能原理或虛功原理 2）力法： 基于最小余能原理 3）雜交法：基于修正余能原理 4）混合法：基于Reissner變分原理 有限元法的基本思想位移法基本過程 1）離散化過程 3）約束處理過程 2）單元平衡方程組裝過程 5）應(yīng)變、應(yīng)力回代過程 4）方程組求解過程 離散化過程最小勢能原理 彈性體的勢能為彈性體變形后所具有的內(nèi)能 為彈性體所受的外力功 離散化過程 為彈性體的應(yīng)變 為彈性體的應(yīng)力 u為彈性體的可容位移 彈性體處于平衡狀態(tài)時(shí)，其勢能應(yīng)為最小 0離散化過程單元插值關(guān)系 單元幾何關(guān)系 單元本構(gòu)關(guān)系 N為單元形函數(shù)矩陣 L為單元幾何微分算子 為單元彈性矩陣 單

4、元節(jié)點(diǎn)自由度向量離散化過程B 稱為應(yīng)變矩陣 單元平衡方程或單元剛度方程 k 稱為單元剛度矩陣 f 稱為單元載荷向量 單元剛度矩陣的特性 對稱性 奇異性 主元恒正且對角占優(yōu) 離散化過程線彈性問題幾何方程三維問題 三維問題線彈性問題幾何方程二維問題 二維問題平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài) 線彈性問題幾何方程二維問題 二維問題軸對稱狀態(tài) 線彈性問題幾何方程一維問題 一維問題線彈性問題本構(gòu)方程三維問題 三維問題E為彈性模量；為泊松比 線彈性問題本構(gòu)方程平面應(yīng)力 二維問題平面應(yīng)力狀態(tài) 線彈性問題本構(gòu)方程平面應(yīng)力 平面應(yīng)力狀態(tài) 線彈性問題本構(gòu)方程平面應(yīng)變 二維問題平面應(yīng)變狀態(tài) 線彈性問題本構(gòu)方程平面應(yīng)變 平面應(yīng)變

5、狀態(tài) 線彈性問題本構(gòu)方程軸對稱 二維問題軸對稱狀態(tài) 線彈性問題本構(gòu)方程軸對稱 二維問題軸對稱狀態(tài) 線彈性問題本構(gòu)方程軸對稱 軸對稱狀態(tài) 線彈性問題本構(gòu)方程一維問題 一維問題常用單元模型 單元模型插值關(guān)系一一對應(yīng)單元類型一維單元、二維單元、三維單元等參單元、超參單元、次參單元常用單元模型一維單元 2節(jié)點(diǎn)線單元3節(jié)點(diǎn)線單元梁單元常用單元模型二維單元3節(jié)點(diǎn)三角形線性單元6節(jié)點(diǎn)三角形二次單元常用單元模型二維單元10節(jié)點(diǎn)三角形三次單元4節(jié)點(diǎn)四邊形雙線性單元常用單元模型二維單元8節(jié)點(diǎn)四邊形二次單元12節(jié)點(diǎn)四邊形三次單元常用單元模型三維單元4節(jié)點(diǎn)四面體線性單元10節(jié)點(diǎn)四面體二次單元常用單元模型三維單元8節(jié)點(diǎn)

6、六面體線性單元20節(jié)點(diǎn)六面體二次單元常用單元模型準(zhǔn)三維空間單元桁架單元一維2節(jié)點(diǎn)線單元+單元局部隨體坐標(biāo)系 為什么要建立單元局部隨體坐標(biāo)系 ？簡化分析問題的復(fù)雜程度。在局部坐標(biāo)系中，空間桁架的每根桿每變成了一維2節(jié)點(diǎn)線單元常用單元模型準(zhǔn)三維空間單元框架單元三維梁單元+一維2節(jié)點(diǎn)線單元+單元局部隨體坐標(biāo)系 兩端都是剛性聯(lián)結(jié) 可以要承受拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)3種變形模式 框架單元的特點(diǎn)常用單元模型準(zhǔn)三維空間單元板單元薄板單元中厚板單元彎曲和橫向剪切2種變形模式抵抗板的變形如果板很薄，忽略橫向剪切抗力，認(rèn)為抵抗載荷的主要因素是彎矩常用單元模型準(zhǔn)三維空間單元?dú)卧?抵抗拉壓變形的二維單元+板單元+單元局部隨

7、體坐標(biāo)系。適合于薄殼單元和中厚殼單元從幾何上分為薄殼單元和中厚殼單元 組合單元常用單元模型準(zhǔn)三維空間單元 殼理論單元 由空間殼理論嚴(yán)格構(gòu)造的殼單元。適合于薄殼單元和中厚殼單元 退化單元 由三維實(shí)體單元退化成的殼單元。只適合于中厚殼單元 單元模型構(gòu)造 有限元法的基本思想 通過單元分片近似，在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)近似函數(shù)來分片表示系統(tǒng)的場函數(shù) 選擇近似函數(shù)簡單、實(shí)用的原則在有限元法中，近似函數(shù)稱為插值函數(shù) 單元模型構(gòu)造插值函數(shù) 一般都采用多項(xiàng)式函數(shù)，主要原因是: 采用多項(xiàng)式插值函數(shù)比較容易推導(dǎo)單元平衡方程，特別是易于進(jìn)行微分和積分運(yùn)算。隨著多項(xiàng)式函數(shù)階次的增加，可以提高有限元法的計(jì)算精度。從理論上說，無

8、限提高多項(xiàng)式的階數(shù)，可以求得系統(tǒng)的精確解。單元模型構(gòu)造方法 整體坐標(biāo)系法局部坐標(biāo)系法 Lagrange插值方法Hermite插值方法單元模型構(gòu)造方法2節(jié)點(diǎn)線單元12 oxu1u2x1x2ux1. 假設(shè)插值多項(xiàng)式2. 利用節(jié)點(diǎn)值求 a0 和 a1 單元模型構(gòu)造方法3. 代入a0 和 a1，得插值多項(xiàng)式 u(x)4. 按u1 和 u2合并同類項(xiàng)，設(shè) l = x2- x1單元模型構(gòu)造方法關(guān)鍵 如何構(gòu)造插值多項(xiàng)式 u ?二維問題三維問題，如何構(gòu)造插值多項(xiàng)式?收斂性條件 在單元內(nèi)，場函數(shù)必須是連續(xù)的； 當(dāng)單元無限縮小時(shí)，插值多項(xiàng)式應(yīng)該能夠描述場函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)（直至最高階導(dǎo)數(shù)）的均勻狀態(tài)； 場函數(shù)及其偏

9、導(dǎo)數(shù)（直至比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的各階導(dǎo)數(shù)）在各單元邊界必須連續(xù)。 插值多項(xiàng)式收斂性條件 收斂：當(dāng)單元逐漸縮小時(shí)，如果插值多項(xiàng)式滿足收斂性條件，則數(shù)值解將收斂于精確解 插值多項(xiàng)式收斂性條件多項(xiàng)式形式本身就是連續(xù)的，因此是自動滿足的。均勻狀態(tài)是場函數(shù)最基本的變化狀態(tài)，插值多項(xiàng)式應(yīng)該能夠描述這種狀態(tài)。類似地，當(dāng)單元逐漸縮小時(shí)，場函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)在單元內(nèi)將趨于常數(shù)，因此也要求插值多項(xiàng)式具備這種表達(dá)能力。從固體力學(xué)角度來看，插值多項(xiàng)式零階導(dǎo)數(shù)所描述的場函數(shù)均勻狀態(tài)的物理意義就是剛體位移，一階導(dǎo)數(shù)的均勻狀態(tài)對應(yīng)的是常應(yīng)變狀態(tài)。插值多項(xiàng)式收斂性條件協(xié)調(diào)單元 滿足插值多項(xiàng)式收斂性條件和的單元 完備單元 滿足插值多

10、項(xiàng)式收斂性條件的單元cr 階連續(xù)性 場函數(shù)的第r階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的 插值多項(xiàng)式收斂性條件非協(xié)調(diào)單元與部分協(xié)調(diào)單元 對于一般固體力學(xué)問題來說，協(xié)調(diào)性要求單元在變形時(shí)，相鄰單元之間不應(yīng)引起開裂、重疊或其它不連續(xù)現(xiàn)象。例如，梁、板、殼等單元，在單元邊界不但要求位移是連續(xù)的，而且其一階導(dǎo)數(shù)也必須是連續(xù)的。板、殼單元位移函數(shù)沿單元邊界的法向?qū)?shù)（轉(zhuǎn)角）的連續(xù)性一般比較難實(shí)現(xiàn)，因此出現(xiàn)了許多不完全滿足協(xié)調(diào)性要求的“非協(xié)調(diào)單元”或“部分協(xié)調(diào)單元”，有時(shí)它們的精度也很好。 插值多項(xiàng)式選擇條件 插值多項(xiàng)式應(yīng)該盡可能滿足其收斂性條件（收斂性）由插值多項(xiàng)式所確定的場函數(shù)變化應(yīng)該與局部坐標(biāo)系的選擇無關(guān)（各向同性） 假設(shè)的

11、插值多項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)量應(yīng)該等于單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)（解的唯一性） 選擇條件插值多項(xiàng)式選擇條件深入分析由收斂性條件可知，插值多項(xiàng)式中必須含有常數(shù)項(xiàng)（剛體位移項(xiàng)），高階項(xiàng)的次數(shù)必須依次增加，不允許有跳躍插值多項(xiàng)式選擇條件由選擇條件可知，插值多項(xiàng)式函數(shù)在所有自由度方向上要滿足各向同性性，這樣就不會隨局部坐標(biāo)系變化而改變了 深入分析插值多項(xiàng)式選擇條件深入分析選擇條件是為了能由單元節(jié)點(diǎn)值唯一確定插值多項(xiàng)式 4節(jié)點(diǎn)四邊形的插值多項(xiàng)式應(yīng)該是 插值多項(xiàng)式系數(shù)i (i = 0,1,2,3) 也是4個(gè) 單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法基本思想 針對彈性體有限元網(wǎng)格建立一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系，每個(gè)單元的插值多項(xiàng)式都在這個(gè)坐標(biāo)系上建立 單元

12、模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法2節(jié)點(diǎn)線單元12 oxu1u2x1x2ux1. 假設(shè)插值多項(xiàng)式2. 利用節(jié)點(diǎn)值求 a0 和 a1 單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法3. 代入a0 和 a1，得插值多項(xiàng)式 u(x)4. 按u1 和 u2合并同類項(xiàng)，設(shè) l = x2- x1單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法N1 和 N2 稱為單元的形函數(shù)；N 稱為單元的形函數(shù)矩陣；ue 稱為單元節(jié)點(diǎn)位移向量。 2節(jié)點(diǎn)線的單元形函數(shù)單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法二維3節(jié)點(diǎn)三角形單元 建立整體坐標(biāo)系oxy 單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法1. 假設(shè)插值多項(xiàng)式2. 首先，利用節(jié)點(diǎn)值求 0 、 1 和 2 二維3節(jié)點(diǎn)三角形單元 單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法A為單元面積單

13、元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法3. 將 0 、 1 和 2 代入插值多項(xiàng)式，按u1、u2、u3合并同類項(xiàng)單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法4. 同理可得單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法5. 單元插值多項(xiàng)式為單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法6. 單元插值多項(xiàng)式寫成矩陣形式（常用）單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法7. 單元插值多項(xiàng)式的另一種矩陣形式（不常用）單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法4節(jié)點(diǎn)四面體單元單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法1. 假設(shè)插值多項(xiàng)式2. 插值多項(xiàng)式為單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法（i=1,2,3,4） 循環(huán)輪換腳標(biāo)1、2、3、4，相應(yīng)可以得到a2，b2 ， c2 ， d2 、 a3 ， b3 ， c3 ， d3 、 a4 ， b4 ，

14、c4 ， d4 單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法3. 單元插值多項(xiàng)式寫成矩陣形式（常用）單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法4. 單元插值多項(xiàng)式另一種矩陣形式（不常用）單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法從理論上講，整體坐標(biāo)系法可以求任意單元的形函數(shù)，但計(jì)算過程太復(fù)雜只能求一維2節(jié)點(diǎn)線單元、二維3節(jié)點(diǎn)三角形單元和三維4節(jié)點(diǎn)四面體單元3種簡單單元的形函數(shù)復(fù)雜的或二次以上的單元必須采用局部坐標(biāo)系法求位移場 u 是形函數(shù) Ni 的線性組合，因此形函數(shù)Ni同樣具有插值多項(xiàng)式的特性單元剛度矩陣2節(jié)點(diǎn)線單元一維2節(jié)點(diǎn)線單元單元插值關(guān)系 單元幾何關(guān)系 單元本構(gòu)關(guān)系 N=N1 N2 De=E單元剛度矩陣2節(jié)點(diǎn)線單元單元剛度矩陣A為單元截面積

15、；l為單元長度矩陣B單元剛度矩陣三角形單元二維3角形單元單元插值關(guān)系 單元剛度矩陣三角形單元單元幾何關(guān)系 單元剛度矩陣三角形單元單元本構(gòu)關(guān)系 平面應(yīng)力問題單元剛度矩陣三角形單元矩陣B單元剛度矩陣三角形單元單元剛度矩陣h為單元厚度k為對稱的6*6常數(shù)矩陣A為單元面積單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法單元形函數(shù)的特性正規(guī)性：單元形函數(shù)之和等于1。 正交性：形函數(shù)在本節(jié)點(diǎn)的值等于1，在其它節(jié)點(diǎn)的值等于0。 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法為什么要采用局部坐標(biāo)系法?在單元上假設(shè)一種局部坐標(biāo)系，確定局部坐標(biāo)系的度量，并在單元節(jié)點(diǎn)上標(biāo)出局部坐標(biāo)值根據(jù)插值多項(xiàng)式選擇條件假設(shè)形函數(shù)多項(xiàng)式利用單元形函數(shù)的特性(正交性)求單元的形

16、函數(shù)一般需要如下幾個(gè)過程 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法一維單元長度坐標(biāo) 定義自然坐標(biāo)L1、L2L1、L2也叫長度坐標(biāo) 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法長度坐標(biāo)L1、L2特性L1和L2不是相互獨(dú)立的 L1和L2與形函數(shù)的關(guān)系 長度坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法一維二次單元 建立長度坐標(biāo)系的目的是為了求一維高階單元的形函數(shù) 一維3節(jié)點(diǎn)單元 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法假設(shè)單元形函數(shù)Ni為 （i=1,2,3） 根據(jù)Ni的正交性，N1在1節(jié)點(diǎn)處的值等于1，在2、3節(jié)點(diǎn)處的值等于0 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法得到方程組 得到形函數(shù)N1 同理得到N2和N3 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法說明計(jì)算過程表

17、明，采用長度坐標(biāo)系求2次單元形函數(shù)比整體坐標(biāo)系法要簡單得多由于長度坐標(biāo)Li本身就含有常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)， Ni完全滿足插值多項(xiàng)式選擇條件求要 采用這種方法還可以求更高階單元的形函數(shù)單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法說明由于長度坐標(biāo)L1和L2不是相互獨(dú)立的，形函數(shù)多項(xiàng)式的假設(shè)就會出現(xiàn)多種形式，只要它們滿足插值多項(xiàng)式選擇條件求要即可 （i=1,2,3） （i=1,2,3） （i=1,2,3） 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法一維三次單元 一維4節(jié)點(diǎn)單元 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法形函數(shù)形式假設(shè)為 根據(jù)形函數(shù)Ni的正交性，可分別求得單元的形函數(shù) 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法二維單元面積坐標(biāo) 定義面積坐標(biāo)L1、L2 、L3單元模

18、型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法面積坐標(biāo)L1、L2 、L3特性L1 、 L2和L3不是相互獨(dú)立的 L1 、 L2和L3與形函數(shù)的關(guān)系 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法面積坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法二維6節(jié)點(diǎn)三角形單元 標(biāo)注節(jié)點(diǎn)面積坐標(biāo)單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法假設(shè)單元形函數(shù)（i=1,2,3,4,5,6） 根據(jù)Ni的正交性，求得單元形函數(shù)分別為 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法二維10節(jié)點(diǎn)三角形單元 標(biāo)注節(jié)點(diǎn)面積坐標(biāo)單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法假設(shè)單元形函數(shù)根據(jù)Ni的正交性，求得單元形函數(shù)分別為 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法三維單元體積坐標(biāo) 定義體積坐標(biāo)Li單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法體積坐標(biāo)L1、L2 、

19、L3 、L4特性L1 、 L2 、 L3和L4不是相互獨(dú)立的 L1 、 L2 、 L3和L4與形函數(shù)的關(guān)系 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法體積坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法三維10節(jié)點(diǎn)四面體單元 標(biāo)注節(jié)點(diǎn)面積坐標(biāo)單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法假設(shè)單元形函數(shù)根據(jù)Ni的正交性，求得單元形函數(shù)分別為 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法小結(jié)長度坐標(biāo)只適合求一維線單元的形函數(shù) 2節(jié)點(diǎn)線性單元、3節(jié)點(diǎn)二次單元面積坐標(biāo)只適合求二維三角形單元的形函數(shù) 3節(jié)點(diǎn)線性單元、6節(jié)點(diǎn)二次單元、10節(jié)點(diǎn)二次單元體積坐標(biāo)只適合求三維四面體單元的形函數(shù) 4節(jié)點(diǎn)線性單元、10節(jié)點(diǎn)二次單元單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法正規(guī)自然坐

20、標(biāo) 求單元的形函數(shù)時(shí)，最常用的是采用正規(guī)自然坐標(biāo)正規(guī)自然坐標(biāo)系是一種正規(guī)化的曲線坐標(biāo)系 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法一維情況 一維2節(jié)點(diǎn)線性單元 假設(shè)單元形函數(shù)正規(guī)自然坐標(biāo)單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法根據(jù)Ni的正交性求得0和1 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法得形函數(shù)N1為 同理得形函數(shù)N2為 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法一維3節(jié)點(diǎn)二次單元 假設(shè)單元形函數(shù)正規(guī)自然坐標(biāo)單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法根據(jù)Ni的正交性，求得單元的形函數(shù)分別為 采用正規(guī)自然坐標(biāo)方法可求更高階單元的形函數(shù) 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法二維情況 二維4節(jié)點(diǎn)四邊形單元正規(guī)自然坐標(biāo)單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法假設(shè)單元形函數(shù)根據(jù)Ni的正交性，求得單元的形函數(shù)分

21、別為 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法二維8節(jié)點(diǎn)四邊形 二次單元正規(guī)自然坐標(biāo)單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法假設(shè)單元形函數(shù)根據(jù)Ni的正交性，求得單元的形函數(shù)分別為 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法二維12節(jié)點(diǎn)四邊形 三次單元正規(guī)自然坐標(biāo)單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法假設(shè)單元形函數(shù)根據(jù)Ni的正交性，求得單元的形函數(shù) 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法三維情況 三維8節(jié)點(diǎn)六面體單元正規(guī)自然坐標(biāo)單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法假設(shè)單元形函數(shù)根據(jù)Ni的正交性，求得單元的形函數(shù) 單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法三維20節(jié)點(diǎn)六面體 二次單元正規(guī)自然坐標(biāo)單元模型構(gòu)造局部坐標(biāo)系法假設(shè)單元形函數(shù)根據(jù)Ni的正交性，求得單元的形函數(shù) 單元模型等參單元等參單元 單元內(nèi)任意

22、一點(diǎn)的位移u與單元節(jié)點(diǎn)位移ue之間的關(guān)系為 一般單元坐標(biāo)的插值關(guān)系也采用與位移插值關(guān)系相同的變換關(guān)系即單元內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x與單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)xe之間的關(guān)系為 單元模型等參單元等參單元凡是幾何形狀和位移場采用同階同參數(shù)插值關(guān)系來描述的單元，稱為等參單元 前面介紹的所有單元都屬于等參單元 在描述單元的幾何形狀和位移場時(shí)，并不一定非采用同階插值關(guān)系 單元模型等參單元等參單元3節(jié)點(diǎn)三角形等參單元 單元模型等參單元超參單元如果幾何形狀插值函數(shù)的階數(shù)高于位移場插值函數(shù)的階數(shù)，稱為超參單元 次參單元如果幾何形狀插值函數(shù)的階數(shù)低于位移場插值函數(shù)的階數(shù)，稱為次參單元 單元剛度矩陣2節(jié)點(diǎn)線單元單元插值關(guān)系 單元幾何

23、關(guān)系 單元本構(gòu)關(guān)系 N=N1 N2 De=E一維2節(jié)點(diǎn)線單元單元剛度矩陣2節(jié)點(diǎn)線單元矩陣B單元剛度矩陣2節(jié)點(diǎn)線單元l為單元長度單元剛度矩陣2節(jié)點(diǎn)線單元單元剛度矩陣A為單元截面積；l為單元長度單元剛度矩陣四邊形單元二維4邊形單元單元插值關(guān)系 單元剛度矩陣四邊形單元單元幾何關(guān)系 單元剛度矩陣四邊形單元單元本構(gòu)關(guān)系 平面應(yīng)力問題單元剛度矩陣四邊形單元矩陣B由于Ni是關(guān)于自然坐標(biāo)r和s的函數(shù)，因此不能直接偏導(dǎo)單元剛度矩陣四邊形單元將Ni(i=1,2,3,4)，看成是關(guān)于整體坐標(biāo)x和y的隱函數(shù)，利用鏈鎖規(guī)則求偏導(dǎo)單元剛度矩陣四邊形單元雅可比矩陣 J利用等參單元關(guān)系 單元剛度矩陣四邊形單元雅可比矩陣J中的

24、4個(gè)元素分別表示為 單元剛度矩陣四邊形單元B進(jìn)一步表示為 單元剛度矩陣由于bi和ci是關(guān)于自然坐標(biāo)r、s的函數(shù)，所以矩陣B和k也是它們的函數(shù)，一般要采用高斯積分方法計(jì)算單剛k 單元平衡方程組裝過程 為什么要組裝 ? 消除內(nèi)力組裝的原則是什么 ? 單元自由度與結(jié)構(gòu)自由度對應(yīng)單元平衡方程組裝過程 2 F 1 3 U3U4U2U1U5U6結(jié)構(gòu)自由度向量U單元平衡方程組裝過程 2 1 U3U4U2U11u1u2u3u4 3 U611 U2U12u1u2U5u3u42單元平衡方程組裝過程2 1 U3U4U2U11u1u2u3u42單元平衡方程組裝過程組裝單元單元平衡方程組裝過程 3 U611 U2U12

25、u1u2U5u3u4單元平衡方程組裝過程再組裝單元總體剛度方程 K 稱為總體剛度矩陣 U 稱為位移向量 F 稱為載荷向量 總體剛度矩陣K的特性 對稱性 奇異性 稀疏性 非零元素帶狀分布 約束處理過程 為什么要約束處理 ?總體平衡方程組是奇異的消除無限制的剛體運(yùn)動 使總體平衡方程組存在唯一一組解約束處理過程邊界條件 邊界條件分類 力(載荷)邊界條件位移邊界條件 集中載荷力 表面分布力 自重力熱交換引起的溫度載荷 固定位移約束 強(qiáng)制位移約束 關(guān)聯(lián)位移約束 約束處理過程模型簡化xy約束處理過程模型簡化yxxy約束處理過程約束方程123456789101112yx約束處理過程約束處理方法位移約束處理方

26、法 賦0賦1法 乘大數(shù)法 約束處理過程賦0賦1法位移約束處理例子關(guān)聯(lián)約束方程 約束處理過程賦0賦1法賦0賦1法約束處理過程賦0賦1法有6個(gè)方程，5個(gè)未知數(shù)，如果約束方程可以消除有限元平衡方程組的奇異性，則取任意5個(gè)方程聯(lián)立求解，都會得到方程組的唯一一組解。 系數(shù)矩陣由原來的對稱的變成了非對稱的，這對于大規(guī)模有限元方程組求解是十分不利的，采用相同的求解方法，在求解時(shí)間和矩陣存貯容量方面都增加了一倍。 約束處理過程賦0賦1法如何解決 ?可以發(fā)現(xiàn), 約束處理過程實(shí)際上是在系數(shù)矩陣上做了一次列初等變換。 為了保持平衡方程組系數(shù)矩陣的對稱性，對變換后的系數(shù)矩陣再做一次相同的行初等變換。 約束處理過程賦0

27、賦1法具體做法：第4行乘以系數(shù)k加到第3行，并去掉第4行。為了保持系數(shù)矩陣的階數(shù)，將第4行的所有元素賦0，在其對角線元素位置賦1。即所謂賦0賦1法。 約束處理過程賦0賦1法經(jīng)過初等變換，方程組的系數(shù)矩陣仍然保持對稱性 初等變換不會改變方程組的解 約束后的方程組可以求得5個(gè)未知數(shù) 通過關(guān)聯(lián)約束方程回代求解U4約束處理過程賦0賦1法進(jìn)一步改進(jìn)方法 將關(guān)聯(lián)約束方程直接引進(jìn)約束后的方程組）中，使U4也直接參與方程組求解。 用關(guān)聯(lián)約束取代約束后方程組的賦0賦1行（第4行），然后再做對稱化處理。即將取代后的一行方程（第4行）乘以k加到第3行，則系數(shù)矩陣仍然保持對稱性。約束處理過程賦0賦1法約束處理過程賦0

28、賦1法基本原理 利用初等變換對求解方程組進(jìn)行相同的行列變換，既保證方程組解不會改變，又可以保持方程組系數(shù)矩陣的對稱性。 在進(jìn)行初等變換時(shí)，只要保證對方程組系數(shù)矩陣做相同的行列變換，就可以保持方程組系數(shù)矩陣的對稱性。 約束處理過程賦0賦1法固定和強(qiáng)制位移約束條件處理 通過關(guān)聯(lián)位移約束方法簡化。如果k = 0，則退化成強(qiáng)制位移邊界條件即 U4=C 如果k =C= 0，則退化成固定位移邊界條件即 U4=0 約束處理過程賦0賦1法強(qiáng)制位移約束條件處理 U4=C約束處理過程賦0賦1法固定位移約束條件處理 U4=0約束處理過程賦0賦1法固定位移和強(qiáng)制位移約束處理后的系數(shù)矩陣是相同的，只是簡單地將方程組系數(shù)

29、矩陣中要約束自由度的行列分別賦0，對角線元素賦1，這也是賦0賦1法的由來。約束處理過程賦0賦1法在方程組載荷右端項(xiàng)的處理方法上兩者是不同，處理固定位移邊界條件時(shí)，只要將對應(yīng)自由度的載荷賦0即可。處理強(qiáng)制位移邊界條件時(shí)，要在方程組系數(shù)矩陣未賦0賦1法前，先將對應(yīng)自由度的列乘以系數(shù)C減到載荷右端項(xiàng)，再將對應(yīng)自由度的載荷位置賦C。約束處理過程乘大數(shù)法乘大數(shù)法基本原理 利用矩陣的初等變換不改變方程組解的思想。 約束處理過程乘大數(shù)法關(guān)聯(lián)約束方程 約束處理過程乘大數(shù)法關(guān)聯(lián)約束方程 A是一個(gè)大數(shù)，是系數(shù)矩陣中對角線元素K44的1010倍量級以上 為什么要乘以大數(shù)A ？放大位移約束方程的優(yōu)勢約束處理過程乘大數(shù)

30、法關(guān)聯(lián)約束方程 將關(guān)聯(lián)約束加到有限元平衡方程對應(yīng)自由度行，第3行或第4行，這里取第4行約束處理過程乘大數(shù)法如果關(guān)聯(lián)約束方程可以消除有限元平衡方程的奇異性，約束后的方程組就存在唯一的一組解。約束后的方程組的系數(shù)矩陣是非對稱的。利用初等變換方法將系數(shù)矩陣變換成對稱的 約束處理過程乘大數(shù)法關(guān)聯(lián)約束方程 再乘以系數(shù)-k 加到約束后方程組的第3行 約束處理過程乘大數(shù)法約束處理過程乘大數(shù)法強(qiáng)制位移邊界條件 約束后的方程組簡化為 約束處理過程乘大數(shù)法固定位移邊界條件 k = 0，C = 0 約束后的方程組簡化為 約束處理過程乘大數(shù)法固定位移和強(qiáng)制位移邊界條件的乘大數(shù)約束處理相對比較簡單，而且它們的系數(shù)矩陣約

31、束后是相同的，只是簡單地將方程組系數(shù)矩陣中要約束自由度的對角線元素加上一個(gè)相對大數(shù)A即可 乘大數(shù)法的叫法并不十分準(zhǔn)確，應(yīng)該叫加大數(shù)法更貼切 乘大數(shù)和加大數(shù)的效果是一樣的約束處理過程兩種方法比較賦0賦1法在約束處理過程中是嚴(yán)格精確的，而乘大數(shù)法是一種近似約束處理方法，它的精度取決于所乘大數(shù)A值 兩種方法都可以消除有限元平衡方程的奇異性，得到符合實(shí)際邊界條件的唯一一組解。但兩種方法還是有很大的區(qū)別 約束處理過程兩種方法比較采用乘大數(shù)法約束處理后的有限元平衡方程在求解時(shí)可能造成解的失真，大數(shù)A值越大可能解的偏差會越大，而賦0賦1法就不會出現(xiàn)類似的問題，它在約束過程和求解過程都是精確的乘大數(shù)法相對于賦

32、0賦1法在約束處理過程上簡單一些 約束處理過程兩種方法比較賦0賦1法實(shí)際上是將關(guān)聯(lián)位移約束方程代入到有限元平衡方程中的，是代入法。而乘大數(shù)是將占絕對優(yōu)勢的關(guān)聯(lián)位移約束方程合并到有限元平衡方程中的，是罰方法，計(jì)算誤差來自于合并過程，計(jì)算精度取決于關(guān)聯(lián)位移約束方程的優(yōu)勢大小商業(yè)軟件中，位移邊界條件的約束處理都采用賦0賦1法，乘大數(shù)很少被采用主要原因是它是一種近似方法，而且大數(shù)的大小也不好確定，有時(shí)還會造成求解失敗 約束處理過程彈簧單元假設(shè)柔性彈簧 kOXYU4f f = kU4k約束處理過程彈簧單元彈簧約束方程 f = kU4方程組求解過程特點(diǎn)方程組求解是有限元計(jì)算過程中很重要的一部分，在有限元法

33、的發(fā)展過程中，有限元方程的求解效率一直是其應(yīng)用的最大瓶頸之一 有限元方程組的特點(diǎn)： 有限元方程組的系數(shù)矩陣具有對稱、稀疏、帶狀分布以及正定、主元占優(yōu)。有效地利用這些特點(diǎn)，以減少系數(shù)矩陣的存貯量，提高方程組求解效率 方程組求解過程分類比較線性方程組的解法主要分兩大類: 直接解法：以高斯消去法基礎(chǔ)，以等帶寬或變帶寬方式存貯系數(shù)矩陣內(nèi)元素，對于求解規(guī)模比較大的問題，要存貯的元素非常巨大。 迭代解法：只需要存貯系數(shù)矩陣中非零元素，存貯量很小，一般是變帶寬存貯量的20%或更少，有些算法的求解效率也非常高，適合求解大規(guī)模線性方程組。但是這種解法對接近病態(tài)的方程組很難保證收斂性。 方程組求解過程帶寬定義有限

34、元方程組系數(shù)矩陣是稀疏的、非零元素呈帶狀分布，帶寬就是它的寬度，帶寬的大小是由系統(tǒng)有限元網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)號排序決定的，具體求法是 帶寬=(單元最大節(jié)點(diǎn)號之差+1)*節(jié)點(diǎn)自由度數(shù) 帶寬是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)標(biāo)注方法直接決定的，不同標(biāo)注方法帶寬可能相差很大 方程組求解過程帶寬帶寬是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)標(biāo)注方法直接決定的，不同標(biāo)注方法帶寬可能相差很大 方程組求解過程帶寬所示四邊形網(wǎng)格的三種節(jié)點(diǎn)號標(biāo)注方法，每個(gè)節(jié)點(diǎn)是2個(gè)自由度結(jié)構(gòu)的帶寬分別是12，18，56，相差很大，其中12和56之間相差近5倍，這就意味著系數(shù)矩陣的存貯量也是相差5倍，因此，對于大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)號優(yōu)化是十分必要的 方程組求解過程系數(shù)矩陣存貯 系數(shù)矩陣存貯 如

35、果節(jié)點(diǎn)號排序優(yōu)化的比較好，系數(shù)矩陣的存貯量就會減少很多。根據(jù)系數(shù)矩陣的對稱性，一般都是按半帶寬存貯。系數(shù)矩陣存貯的方法 二維等帶寬存貯 一維變帶寬存貯 方程組求解過程二維等帶寬存貯 二維等帶寬存貯 方程組求解過程二維等帶寬存貯二維等帶寬存貯消除了最大帶寬以外的全部零元素，節(jié)省了系數(shù)矩陣元素的存貯量。但是由于取最大帶寬為存貯范圍，因此不能排除在帶寬內(nèi)的大量零元素。當(dāng)系數(shù)矩陣的各行帶寬變化不大時(shí)，適合采用二維等帶寬存貯，方程組求解過程中系數(shù)矩陣元素的尋址也比較方便，求解效率較高。當(dāng)出現(xiàn)局部帶寬特別大的情況時(shí)，采用二維等帶寬存貯時(shí)，將由于局部帶寬過大而使整體系數(shù)矩陣的存貯大大增加。 方程組求解過程一

36、維變帶寬存貯 一維變帶寬存貯 一維變帶寬存貯方法就是把變化的帶寬內(nèi)的元素按一定的順序存貯在一個(gè)一維數(shù)組中。由于它不按最大帶寬存貯，因此比二維等帶寬存貯更節(jié)省內(nèi)存。按照解法可分為按行一維變帶寬存貯和按列一維變帶寬存貯。 按行一維變帶寬存貯 方程組求解過程一維變帶寬存貯 輔助的尋址數(shù)組M 一維變帶寬存貯是最節(jié)省內(nèi)存的一種方法，但是由于要借助于尋址數(shù)組尋找系數(shù)矩陣元素的位置，相對二維等帶寬存貯方法來說要復(fù)雜一些，而且在程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)也要復(fù)雜得多，方程組求解過程中也要消耗一些數(shù)組尋址時(shí)間。因此，在選用存貯方法時(shí)要權(quán)衡二者的利弊，統(tǒng)盤考慮。一般當(dāng)帶寬變化不大，計(jì)算機(jī)內(nèi)存允許時(shí)，采用二維等帶寬存貯方法是比較合

37、適的。 方程組求解過程一維變帶寬存貯 方程組求解過程求解方法方程組求解方法 高斯消去法 三角分解法 雅可比（Jacobi）迭代法 高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）迭代法 共軛梯度迭代法 預(yù)優(yōu)共軛梯度迭代法應(yīng)變、應(yīng)力回代過程 單元應(yīng)變和應(yīng)力回代求解 通過求解有限元平衡方程得到有限元節(jié)點(diǎn)位移后，就可以進(jìn)行系統(tǒng)的剛度校核。如果所分析問題要進(jìn)行強(qiáng)度校核，就要回代求解單元的應(yīng)變和應(yīng)力。由插值關(guān)系和幾何關(guān)系可得單元應(yīng)變，再通過本構(gòu)關(guān)系得到單元應(yīng)力數(shù)值積分 為什么要進(jìn)行數(shù)值積分?2節(jié)點(diǎn)線單元、3節(jié)點(diǎn)三角形單元和4節(jié)點(diǎn)四面體單元3種單元的單元剛度矩陣是常數(shù)矩陣，不需要再進(jìn)行數(shù)值積分運(yùn)算。 除了這3種單

38、元外，一般其它單元的剛度矩陣都是積分變量的函數(shù)，要采用數(shù)值積分方法進(jìn)行計(jì)算。 數(shù)值積分主要方法常用的單元面內(nèi)數(shù)值積分方法主要有： Hammer積分 Gauss積分 數(shù)值積分Hammer積分 Hammer積分 在三角形單元和四面體單元中，自然坐標(biāo)是面積坐標(biāo)和體積坐標(biāo)。采用這些坐標(biāo)建立的單元形函數(shù)，其單元剛度矩陣的一般形式為 二維 數(shù)值積分Hammer積分三維 一維單元在實(shí)際有限元應(yīng)用中，一般都采用正規(guī)自然坐標(biāo)系法建立單元的形函數(shù)。它采用Gauss積分方案 數(shù)值積分Hammer積分Hammer積分運(yùn)算 三角形單元的Hammer積分表示為 數(shù)值積分Hammer積分四面體單元的Hammer積分表示為

39、數(shù)值積分Hammer積分?jǐn)?shù)值積分Hammer積分?jǐn)?shù)值積分Gauss 積分 Gauss 積分 采用正規(guī)自然坐標(biāo)確定形函數(shù)的單元，其單元剛度矩陣的一般形式為 一維 二維 三維 數(shù)值積分Gauss 積分這些積分形式在積分限上與高斯積分完全一致，因此高斯積分方案被廣泛應(yīng)用于此類積分形式中。它們的具體數(shù)值形式為 一維 二維 數(shù)值積分Gauss 積分三維 數(shù)值積分Gauss 積分?jǐn)?shù)值積分積分階次選擇 數(shù)值積分的階次選擇 求解單元平衡方程時(shí)，絕大多數(shù)情況要采用數(shù)值積分方法，如何選擇數(shù)值積分的階次將直接影響計(jì)算精度和計(jì)算量。如果積分階次選擇不當(dāng)，有時(shí)甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算失敗 數(shù)值積分積分階次選擇選擇積分階次的原則主

40、要依據(jù)以下兩點(diǎn)： 積分精度 積分階次n與被積分多項(xiàng)式的階次m有直接關(guān)系。一般來說，有限元應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)公式 積分項(xiàng)有兩個(gè)應(yīng)變矩陣B相乘，因此m一定是偶數(shù)，則積分階數(shù)n等于0.5、1.5、2.5、 數(shù)值積分積分階次選擇常用單元的積分階次選擇 一維單元 一般都采用正規(guī)自然坐標(biāo)系法得到的形函數(shù) 在單元平衡方程中雅可比矩陣中雖然也含有自然坐標(biāo)，但是它只是單剛的一個(gè)系數(shù)，只對單剛中的每個(gè)元素的大小有相同的影響，不會改變單剛的特性 數(shù)值積分積分階次選擇2節(jié)點(diǎn)線單元只能取高斯積分點(diǎn)n=13節(jié)點(diǎn)線單元可以取n=1或n=24節(jié)點(diǎn)線單元可以取n=2或n=32節(jié)點(diǎn)線單元：m=0，n=0.53節(jié)點(diǎn)線單元：m=2，n=1.

41、54節(jié)點(diǎn)線單元：m=4，n=2.5按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算：實(shí)際應(yīng)用計(jì)算：數(shù)值積分積分階次選擇在有限元法中，把3節(jié)點(diǎn)單元取n=1以及4節(jié)點(diǎn)單元取n=2的積分方案稱為減縮積分，而3節(jié)點(diǎn)單元取n=2以及4節(jié)點(diǎn)單元取n=3的積分方案稱為完全積分 實(shí)際數(shù)值結(jié)果表明，有時(shí)減縮積分方案會帶來很大的計(jì)算誤差，產(chǎn)生零能模式(沙漏模式) 正常積分方案的有時(shí)計(jì)算結(jié)果也會偏小，產(chǎn)生(剪切)閉鎖現(xiàn)象 數(shù)值積分積分階次選擇造成這些現(xiàn)象的原因有很多，例如，單元形狀、單元相對大小、單元受力狀況、分析問題的類型等等。為了避免零能模式和閉鎖現(xiàn)象的發(fā)生，一般采用減縮積分加阻尼矩陣方法。采用減縮積分方案時(shí)，對每個(gè)節(jié)點(diǎn)施加一個(gè)柔性彈簧，通過彈

42、簧的阻尼增加剛度矩陣的穩(wěn)定性，阻止零能模式的發(fā)生。但是彈簧的剛性系數(shù)越大，計(jì)算誤差就越大，因此彈簧系數(shù)的選擇也有一定的困難 數(shù)值積分積分階次選擇三角形單元 3節(jié)點(diǎn)三角形單元按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的積分階次n=0.5，實(shí)際計(jì)算時(shí)只能取n=1 結(jié)果造成計(jì)算結(jié)果偏硬，有時(shí)會產(chǎn)生閉鎖現(xiàn)象，實(shí)際有限元計(jì)算時(shí)也證明了這一點(diǎn) 數(shù)值積分積分階次選擇6節(jié)點(diǎn)三角形單元積分階次是比較精確的 按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的積分階次應(yīng)該取n=1.5，在單元面內(nèi)應(yīng)該是3個(gè)積分點(diǎn) 但是，這并不意味著單元的精度就比較高，因?yàn)閱卧木仁怯刹逯刀囗?xiàng)式本身決定的 數(shù)值積分積分階次選擇四邊形單元 4節(jié)點(diǎn)四邊形單元：m=2，n=1.58節(jié)點(diǎn)四邊形單元：m

43、=4，n=2.512節(jié)點(diǎn)四邊形單元：m=6，n=3.5按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算：4節(jié)點(diǎn)四邊形單元可以取 n=1 或 n=28節(jié)點(diǎn)四邊形單元可以取 n=2 或 n=312節(jié)點(diǎn)四邊形單元可以取 n=3 或 n=4實(shí)際應(yīng)用計(jì)算：數(shù)值積分積分階次選擇這些單元在數(shù)值積分時(shí)，同樣會象一維單元一樣，出現(xiàn)零能模式或閉鎖現(xiàn)象 完全積分方案 4節(jié)點(diǎn)取 n=18節(jié)點(diǎn)取 n=212節(jié)點(diǎn)取 n=3減縮積分方案 4節(jié)點(diǎn)取 n=28節(jié)點(diǎn)取 n=312節(jié)點(diǎn)取 n=4數(shù)值積分積分階次選擇四面體單元四面體單元與三角形單元相似，它們都沒有減縮積分方案。4節(jié)點(diǎn)單元取 n=1，但計(jì)算結(jié)果偏硬，有時(shí)會產(chǎn)生閉鎖現(xiàn)象。其它高階單元積分階次是比較精確的

44、，但是單元的計(jì)算精度都比較低 數(shù)值積分積分階次選擇六面體單元 六面體單元與四邊形單元相似 8節(jié)點(diǎn)六面體單元取減縮積分方案 n=1 或完全積分方案 n=220節(jié)點(diǎn)六面體單元取減縮積分方案 n=2或完全積分方案 n=3有限元基本方法總結(jié)位移法基本過程 1）離散化過程 3）約束處理過程 2）單元平衡方程組裝過程 5）應(yīng)變、應(yīng)力回代過程 4）方程組求解過程 有限元基本方法總結(jié) 為彈性體的應(yīng)變 為彈性體的應(yīng)力 u為彈性體的可容位移 彈性體處于平衡狀態(tài)時(shí)，其勢能應(yīng)為最小 P 為表面分布力 G 為彈性體的體力 A 為彈性體的表面積 V 為彈性體的體積 有限元基本方法總結(jié)單元插值關(guān)系 單元幾何關(guān)系 單元本構(gòu)關(guān)

45、系 N為單元形函數(shù)矩陣 L為單元幾何微分算子 為單元彈性矩陣 單元節(jié)點(diǎn)自由度向量有限元基本方法總結(jié)B 稱為應(yīng)變矩陣 單元平衡方程或單元剛度方程 k 稱為單元剛度矩陣 f 稱為單元載荷向量 單元剛度矩陣的特性 對稱性 奇異性 主元恒正且對角占優(yōu) 有限元基本方法總結(jié)單元模型構(gòu)造整體坐標(biāo)系法局部坐標(biāo)系法 采用多項(xiàng)式函數(shù) 易于進(jìn)行微分和積分運(yùn)算 隨著多項(xiàng)式函數(shù)階次的增加，可以提高有限元法的計(jì)算精度有限元基本方法總結(jié)收斂性條件 在單元內(nèi)，場函數(shù)必須是連續(xù)的； 當(dāng)單元無限縮小時(shí)，插值多項(xiàng)式應(yīng)該能夠描述場函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)（直至最高階導(dǎo)數(shù)）的均勻狀態(tài)； 場函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)（直至比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的各階導(dǎo)數(shù)）在各

46、單元邊界必須連續(xù)。 有限元基本方法總結(jié)均勻狀態(tài)是場函數(shù)最基本的變化狀態(tài)，當(dāng)單元逐漸縮小時(shí)，場函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)在單元內(nèi)將趨于常數(shù)，因此也要求插值多項(xiàng)式具備這種表達(dá)能力。從固體力學(xué)角度來看，插值多項(xiàng)式零階導(dǎo)數(shù)所描述的場函數(shù)均勻狀態(tài)的物理意義就是剛體位移，一階導(dǎo)數(shù)的均勻狀態(tài)對應(yīng)的是常應(yīng)變狀態(tài)。有限元基本方法總結(jié)協(xié)調(diào)單元 滿足插值多項(xiàng)式收斂性條件和的單元 完備單元 滿足插值多項(xiàng)式收斂性條件的單元cr 階連續(xù)性 場函數(shù)的第r階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的 有限元基本方法總結(jié)插值多項(xiàng)式應(yīng)該盡可能滿足其收斂性條件（收斂性）由插值多項(xiàng)式所確定的場函數(shù)變化應(yīng)該與局部坐標(biāo)系的選擇無關(guān)（各向同性） 假設(shè)的插值多項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)量應(yīng)該等于

47、單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)（解的唯一性） 選擇條件有限元基本方法總結(jié)由收斂性條件可知，插值多項(xiàng)式中必須含有常數(shù)項(xiàng)（剛體位移項(xiàng)），高階項(xiàng)的次數(shù)必須依次增加，不允許有跳躍由選擇條件可知，插值多項(xiàng)式函數(shù)在所有自由度方向上要滿足各向同性性，這樣就不會隨局部坐標(biāo)系變化而改變了選擇條件是為了能由單元節(jié)點(diǎn)值唯一確定插值多項(xiàng)式有限元基本方法總結(jié)從理論上講，整體坐標(biāo)系法可以求任意單元的形函數(shù)，但計(jì)算過程太復(fù)雜只能求一維2節(jié)點(diǎn)線單元、二維3節(jié)點(diǎn)三角形單元和三維4節(jié)點(diǎn)四面體單元3種線性單元的形函數(shù)復(fù)雜的或二次以上的單元必須采用局部坐標(biāo)系法求位移場 u 是形函數(shù) Ni 的線性組合，因此形函數(shù)Ni同樣具有插值多項(xiàng)式的特性有限元基本方

48、法總結(jié)單元形函數(shù)的特性正規(guī)性：單元形函數(shù)之和等于1。 正交性：形函數(shù)在本節(jié)點(diǎn)的值等于1，在其它節(jié)點(diǎn)的值等于0。 有限元基本方法總結(jié)局部坐標(biāo)系法 長度坐標(biāo) 一維線單元 面積坐標(biāo) 二維三角形單元 體積坐標(biāo) 三維四面體單元 正規(guī)的自然坐標(biāo) 一維線單元、二維四邊形單元、 三維六面體單元有限元基本方法總結(jié)等參單元 單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移u與單元節(jié)點(diǎn)位移ue之間的關(guān)系為 一般單元坐標(biāo)的插值關(guān)系也采用與位移插值關(guān)系相同的變換關(guān)系即單元內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x與單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)xe之間的關(guān)系為 有限元基本方法總結(jié)等參單元凡是幾何形狀和位移場采用同階同參數(shù)插值關(guān)系來描述的單元，稱為等參單元 前面介紹的所有單元都屬于等參單元

49、 在描述單元的幾何形狀和位移場時(shí)，并不一定非采用同階插值關(guān)系 有限元基本方法總結(jié)對稱性 奇異性 稀疏性 非零元素帶狀分布 有限元基本方法總結(jié)約束處理 總體平衡方程組是奇異的消除無限制的剛體運(yùn)動 使總體平衡方程組存在唯一一組解有限元基本方法總結(jié)位移約束處理方法 賦0賦1法 乘大數(shù)法 有限元基本方法總結(jié)賦0賦1法的基本原理 利用初等變換對求解方程組進(jìn)行相同的行列變換，既保證方程組解不會改變，又可以保持方程組系數(shù)矩陣的對稱性。 在進(jìn)行初等變換時(shí)，只要保證對方程組系數(shù)矩陣做相同的行列變換，就可以保持方程組系數(shù)矩陣的對稱性。 有限元基本方法總結(jié)乘大數(shù)法的基本原理 利用矩陣的初等變換不改變方程組解的思想

50、放大位移約束方程的優(yōu)勢 大數(shù)A是系數(shù)矩陣中對角線元素的1010倍量級以上有限元基本方法總結(jié)賦0賦1法在約束處理過程中是嚴(yán)格精確的，而乘大數(shù)法是一種近似約束處理方法，它的精度取決于所乘大數(shù)A值 兩種方法都可以消除有限元平衡方程的奇異性，得到符合實(shí)際邊界條件的唯一一組解。但兩種方法還是有很大的區(qū)別 有限元基本方法總結(jié)方程組求解有限元計(jì)算過程中很重要的一部分，在有限元法的發(fā)展過程中，有限元方程的求解效率一直是其應(yīng)用的最大瓶頸之一 有限元方程組的特點(diǎn)： 有限元方程組的系數(shù)矩陣具有對稱、稀疏、帶狀分布以及正定、主元占優(yōu)。有效地利用這些特點(diǎn)，以減少系數(shù)矩陣的存貯量，提高方程組求解效率 有限元基本方法總結(jié)有

51、限元方程組系數(shù)矩陣是稀疏的、非零元素呈帶狀分布，帶寬就是它的寬度，帶寬的大小是由系統(tǒng)有限元網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)號排序決定的，具體求法是 帶寬=(單元最大節(jié)點(diǎn)號之差+1)*節(jié)點(diǎn)自由度數(shù) 帶寬是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)標(biāo)注方法直接決定的，不同標(biāo)注方法帶寬可能相關(guān)很大 有限元基本方法總結(jié)系數(shù)矩陣存貯 如果節(jié)點(diǎn)號排序優(yōu)化的比較好，系數(shù)矩陣的存貯量就會減少很多。根據(jù)系數(shù)矩陣的對稱性，一般都是按半帶寬存貯。系數(shù)矩陣存貯的方法 二維等帶寬存貯 一維變帶寬存貯 有限元基本方法總結(jié)常用的單元面內(nèi)數(shù)值積分方法主要有： Hammer積分 Gauss積分 有限元基本方法總結(jié)選擇積分階次的原則： 積分精度 積分階次n與被積分多項(xiàng)式的階次m有直接

52、關(guān)系。一般來說，有限元應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)公式 積分項(xiàng)有兩個(gè)應(yīng)變矩陣B相乘，因此m一定是偶數(shù)，則積分階數(shù)n等于0.5、1.5、2.5、 有限元基本方法總結(jié)減縮積分：低于經(jīng)驗(yàn)公式的階次正常積分：高于經(jīng)驗(yàn)公式的階次實(shí)際數(shù)值結(jié)果表明，有時(shí)減縮積分方案會帶來很大的計(jì)算誤差，產(chǎn)生零能模式 正常積分方案的有時(shí)計(jì)算結(jié)果也會偏小，產(chǎn)生閉鎖現(xiàn)象 有限元基本方法總結(jié)造成這些現(xiàn)象的原因有很多，例如，單元形狀、單元相對大小、單元受力狀況、分析問題的類型等等。為了避免零能模式和閉鎖現(xiàn)象的發(fā)生，一般采用減縮積分加阻尼矩陣方法。采用減縮積分方案時(shí)，對每個(gè)節(jié)點(diǎn)施加一個(gè)柔性彈簧，通過彈簧的阻尼增加剛度矩陣的穩(wěn)定性，阻止零能模式的發(fā)生。但

53、是彈簧的剛性系數(shù)越大，計(jì)算誤差就越大，因此彈簧系數(shù)的選擇也有一定的困難 有限元基本方法總結(jié)采用乘大數(shù)法約束處理后的有限元平衡方程在求解時(shí)可能造成解的失真，大數(shù)A值越大可能解的偏差會越大，而賦0賦1法就不會出現(xiàn)類似的問題，它在約束過程和求解過程都是精確的乘大數(shù)法相對于賦0賦1法在約束處理過程上簡單一些 板料成形有限元法分類靜力隱式有限元法靜力顯式有限元法動力顯式有限元法逆算法(一步成形)板料成形有限元法單元模型單元模型 薄膜單元 薄殼單元 中厚殼單元 等效彎曲單元板料成形有限元法薄膜單元薄膜單元是由二維三角形單元或四邊形單元構(gòu)造的空間板殼單元薄膜單元適用于板料在變形過程中主要以拉伸和壓縮變形為主

54、，局部彎曲變形對整個(gè)成形問題不產(chǎn)生大的影響 液壓脹形、半球沖頭脹形等一類問題 板料成形有限元法薄膜單元三角形薄膜單元 板料成形有限元法薄膜單元局部坐標(biāo)系以1節(jié)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸與單元1、2邊重合并指向2節(jié)點(diǎn)，z軸與單元法向量nz平行。單位法向量nz為 板料成形有限元法薄膜單元隨體局部坐標(biāo)系oxyz與空間整體坐標(biāo)系OXYZ之間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣 為 板料成形有限元法薄膜單元單元局部坐標(biāo)自由度向量ue與整體坐標(biāo)自由度向量Ue的變換關(guān)系為 板料成形有限元法薄膜單元四邊形薄膜單元 板料成形有限元法薄膜單元局部坐標(biāo)系以1節(jié)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸與單元1、2邊重合并指向2節(jié)點(diǎn)，z軸與單元法向量nz平行。單位法向量n

55、z為 板料成形有限元法薄膜單元隨體局部坐標(biāo)系oxyz與空間整體坐標(biāo)系OXYZ之間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣 為 板料成形有限元法薄膜單元單元局部坐標(biāo)自由度向量ue與整體坐標(biāo)自由度向量Ue的變換關(guān)系為 板料成形有限元法單元平衡方程單元平衡方程單元插值關(guān)系(局部坐標(biāo)系) 單元幾何關(guān)系(局部坐標(biāo)系) 單元本構(gòu)關(guān)系(局部坐標(biāo)系) 最小勢能原理(局部坐標(biāo)系) 坐標(biāo)變換關(guān)系 板料成形有限元法單元平衡方程代入局部坐標(biāo)系的單元3個(gè)關(guān)系式, 得代入坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系式, 得板料成形有限元法單元平衡方程ke 為局部坐標(biāo)系的單元剛度矩陣 f e 為局部坐標(biāo)系的單元載荷向量 Ke 為整體坐標(biāo)系的單元剛度矩陣 F e 為整體坐標(biāo)系的單元載

56、荷向量 板料成形有限元法本構(gòu)方程 在金屬塑性大變形有限元分析時(shí)經(jīng)常采用流動理論本構(gòu)方程，其它本構(gòu)方程很少采用基于形變理論或非經(jīng)典的角點(diǎn)理論本構(gòu)方程雖然可以比較準(zhǔn)確板料失穩(wěn)后的局部化變形過程，但是板料成形屬于強(qiáng)約束過程，對角點(diǎn)本構(gòu)方程不敏感，而且板料成形也并不十分關(guān)心板料失穩(wěn)后的局部化變形過程 目前板料成形有限元模擬的精度也不高，也沒有必要十分強(qiáng)調(diào)本構(gòu)方程的影響 板料成形有限元法本構(gòu)方程考慮具有光滑屈服面屈服函數(shù)的彈塑性體，假設(shè)溫度對變形速度的影響很小，可以忽略不計(jì)。這樣全應(yīng)變率可以分解為彈性應(yīng)變率和塑性應(yīng)變率之和，即 板料成形有限元法本構(gòu)方程采用Hooke定律，彈性應(yīng)變率 Piola Kirc

57、hhoff應(yīng)力的Jaumann速率 用第二表示為 塑性應(yīng)變率用流動法則和屈服函數(shù) f 表示為板料成形有限元法本構(gòu)方程nij是屈服面（應(yīng)力空間f = 0的曲面）的單位法向量 = 0，應(yīng)力處于彈性狀態(tài), 應(yīng)力點(diǎn)位于屈服面以內(nèi) = 1，應(yīng)力處于塑性加載狀態(tài),應(yīng)力點(diǎn)位于屈服面上 h 表示當(dāng)前狀態(tài)的加工硬化率 板料成形有限元法本構(gòu)方程式中應(yīng)變率板料成形有限元法本構(gòu)方程由 與Cauchy應(yīng)力的Jaumann速率的關(guān)系 如果材料不可壓縮 材料本構(gòu)方程為 板料成形有限元法J2流動理論 J2流動理論 Mises屈服函數(shù)為 表示應(yīng)力的偏量板料成形有限元法J2流動理論材料的J2流動本構(gòu)關(guān)系 式中 h 可以由單向拉伸

58、實(shí)驗(yàn)確定 板料成形有限元法J2流動理論E 為彈性模量Et 為單向拉伸真應(yīng)力對數(shù)應(yīng)變曲線的切線模量 K 為材料強(qiáng)化系數(shù); n 為材料強(qiáng)化指數(shù)板料成形有限元法屈服函數(shù)Hill正交各向異性函數(shù) 一般的，若把各向異性主軸作為隨體坐標(biāo)系的x,y,z軸，則Hill屈服函數(shù)可以表示成 F、G、H、L、M、N為各向異性參數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定 板料成形有限元法屈服函數(shù)在平面應(yīng)力狀態(tài)下 Hill各向異性函數(shù) 板料成形有限元法迭代解法 非線性方程組迭代解法 板材沖壓成形數(shù)值模擬是一個(gè)強(qiáng)非線性問題，涉及到幾何、材料和邊界三重非線性。如果采用隱式有限元法就要求解非線性有限元方程組。非線性方程組一般是采用線性化方法，通過一系列

59、線性解逼近非線性解。但是這種方法是有局限性的，而且有時(shí)解的漂移誤差很大。因此，一般都采用迭代法求解非線性有限元方程組，即Newton-Raphson法 板料成形有限元法迭代解法Newton-Raphson法 對具有一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)F(u)在Un處作一階Taylor展開，并用un表Un，則它在Un處的線性近似公式為 板料成形有限元法迭代解法非線性方程組在Un附近的近似方程組是一個(gè)線性方程組，即假設(shè)因此 Newton-Raphson法的迭代方程為 板料成形有限元法迭代解法修正的Newton-Raphson法 在Newton-Raphson法中，剛度矩陣是與un有關(guān)的，在每個(gè)迭代步都要重新計(jì)算一次

60、。為了減少計(jì)算量，用某一不變的剛度矩陣代替，得到修正的Newton-Raphson法迭代方程 板料成形有限元法迭代解法擬Newton-Raphson法 Newton-Raphson法和修正的Newton-Raphson法都是用切線剛度矩陣進(jìn)行迭代平衡的。實(shí)際計(jì)算表明，這種直接迭代法不僅計(jì)算量大，而且常常不收斂。因此又提出一種擬Newton-Raphson法，用割線剛度矩陣進(jìn)行迭代平衡。 板料成形有限元法收斂準(zhǔn)則 迭代收斂準(zhǔn)則 位移收斂準(zhǔn)則 常用位移收斂準(zhǔn)則為 當(dāng)系統(tǒng)含有剛體位移時(shí)， 會比較大，此時(shí)不適合采用位移收斂準(zhǔn)則 板料成形有限元法收斂準(zhǔn)則常用失衡力收斂準(zhǔn)則為 為第n迭代步的失衡力 失衡力