南京工業(yè)大學(xué)--線性代數(shù)A卷

1、XX工業(yè)大學(xué)線性代數(shù)試題（A）卷（閉）2008-2009學(xué)年第一學(xué)期 使用班級(jí)江浦各專業(yè)本科生班級(jí)學(xué)號(hào)XX題號(hào)一二二四五六七八總分得分（符號(hào)說明：E表示單位矩陣， R表示矩陣的秩，表示行列式，T表示矩陣的轉(zhuǎn)置。）一、填空題（每題 3分，共15分）1 1 11 .設(shè)3階矩陣A 0 1 2 ,B32_A 5A ,則 B2 3 4.設(shè)三階矩陣 A的特征值為1, 1, 3,再設(shè)B.設(shè)n階矩陣A的各行元素之和等于零，且 A的秩為n 1,則齊次線性方程組 AX 0的通解為。1.設(shè)向量 （2, 一，1,0）T,（0,1,k, 1）T為屬于實(shí)對(duì)稱矩陣 A的不同特征值的特征向k量，則k 。2.已知A A 2E

2、0 ,則A、選擇題（每題 3分，共15分）1 .設(shè)齊次方程組AX 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為12121311 ,20 ,30 ,則010001(A) R(A) 5(B)R(A) 4(C) R(A) 3(D)R(A) 22.設(shè)n階矩陣A有s個(gè)不同的特征值1, 2s,而且 R( iE A) n ri, i1,2,，s。如果A與對(duì)角矩陣相似，則（）.ss(A)rin(B)rini 1i 1srini 1srini 13.若向量組1, 2, 3線性無關(guān)，向量組1, 2, 4線性相關(guān)，則 （）(A)4必不可由1, 2,3線性表示(B)4必可由1, 2, 3線性表示(C)2必不可由1 , 3,4線性表示(D)2必

3、可由1 , 3, 4線性表示 TOC o 1-5 h z .設(shè)m n階矩陣R(A) r,則如下結(jié)論正確的是().,.、_/TT_ T_ T_ T(A) R(A A) R(A) (B) R(A A) R(A)(C)R(A A) R(A) (D) R(A A) R(A ).對(duì)于矩B$方程 AB AC ,以下結(jié)論正確的是().(A) B C (B) B C (C)如A可逆，則B C (D)以上均不正確.三、(10分)計(jì)算下行列式x aia2a3ana1x a2a3anDa1a2x a3an- , ,-,a1a2a3x an滿足矩陣方程AX A2 3X 9E ,試求矩陣3, 1, 4), 3 (7,1

4、,1,2), 4 ( 1,1, 3, 2), TOC o 1-5 h z 200四、(10分)設(shè)三階矩陣A450124X .五、(14分)設(shè)向量 1(3,2,1,3), 2 (15 (0,7, 4,3),求向量組的秩和極大無關(guān)組，并把極大無關(guān)組以外的向量用極大無關(guān) 組線性表示六、(13分)當(dāng)a,b為何值時(shí)，線性非齊次方程組XiX2X3 X40 x1 2x23x3 3x41x2 (a 3)x3 2x434 2x2X3 ax4無解、有唯一解、或有無窮多組解？在有無窮多解時(shí)，求出其通解 七、(15分)已知二次型 f(x1,x2,x3) 2x12 3x； 3x； 4x2x3，試回答下列問題1)寫出此二

5、次型的矩陣 A；2)利用正交變換 X QY該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，并給出所使用的正交變換和標(biāo)準(zhǔn)型;3 ）判斷該二次型是否具有正定性。八、（8分）Housesholder矩陣是計(jì)算數(shù)學(xué)中一類重要的變換（鏡面反射）方法，一般用來化矩陣為上Hessebergt陣。設(shè)實(shí)向量u （u1,u2,，un）T且uTu 1 ,則其一般形式為H E 2uuT試回答下列問題:1）證明：Householder矩陣是實(shí)對(duì)稱正交矩陣；（3分）2）證明：一般實(shí)對(duì)稱正交矩陣的特征值只能是1或1,并確定Householder矩陣的特征值（3分）3）對(duì)于u試給出此Householder矩陣屬于各特征值的特征向量.（2分）XX工業(yè)大學(xué)

6、 線性代數(shù)試題(A)卷試題標(biāo)準(zhǔn)答案2008-2009學(xué)年第一學(xué)期使用班級(jí)江浦各專業(yè)本科生、填空題（每題3分，共15分）(1) 0(2.) -432k（1,1，,1）T ,k為任意常數(shù).(4)1 或1 (5)1/2( AE).二、選擇題（每題（1） D （2） C三、（10分）3分,B共15分）(4)xa1a2a3ana1xa2a3ana1a2x a3annai i 1naii 1naii 1a2a3anx a2a2a3anxa3ana1a2a3x annaii 1a2a3x an（從第二列至第n列加到第1列)a?an(xna。i 1=(xa。x a2a3ana2a2xa3an（提取公因子）a3

7、xan(Ciac(i2)n 1(xa。10分四、（10分）解：由AX A2 3X 9E得A 3E10分0,故A 3E可逆，上式兩邊同時(shí)左乘 （A 3E） 1得X (A 3E)五、（14分）解:最簡形.為列生成矩陣A,并對(duì)A施行初等行變換將其化為行r1r2 2r13-3rr4311514 r315122 0151521532181/93 0 011 33 00所以R（1,5)3,一個(gè)極大無關(guān)組為1, 2,12分)且 32 12 , 5122 4.(14 分)六、（13分）對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換(A|b) HYPERLINK l bookmark65 o Current Document

8、 11112301 a 3321132 a01111：01r2r10122：1 .b33r1 01 a 32： b1012 a 3 ：1 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark5 o Current Document 1 111.0B 5 分r3 r2 0 122：1 .4 2 0 0 a 10: b 1顯然可見：當(dāng)a 1,b方程組有無窮多組解.當(dāng) a 1,b1時(shí)繼續(xù)將矩陣B化為行最簡形得0 1220 0 40與原方程組等價(jià)的方程組為X11X2 1X32x3X42x4令X3X4,得原方程組的一個(gè)特解為11分與原方程組對(duì)應(yīng)的齊次方程組等價(jià)的方程組為X2X3X42x3

9、2x41時(shí)方程組無解，當(dāng) a 1時(shí)方程組有唯一解，當(dāng) a 1,b1時(shí)X310令 3,得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為X401故原方程組有無窮多組解時(shí)的通解為Xk1 1k2k1,k2為任意常數(shù).13分七、（15分）解：1）二次型的矩陣為2）先計(jì)算矩陣的特征多項(xiàng)式fA( ) A(2)(1)(5)故矩陣的特征值分別為1,22, 35.再計(jì)算矩陣的屬于各特征值的特征向量:11時(shí)，求解方程組（A 1E）x0得一個(gè)特征向量為q1/V2（0, 1,1）T .當(dāng)22時(shí)，求解方程組(A2E)x0得一個(gè)特征向量為q2(1,0,0)T. TOC o 1-5 h z 當(dāng)35時(shí)，求解方程組(A3E)x0得一個(gè)特征向量為q2

10、1/J2(0,1,1)T.令Q (qi,q2,q3),作變換X QY ,則此變換即為正交變換，該二次型在此變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為 f(yi,y2,y3) y2 2y2 5y2。 i2分3)因?yàn)榫仃嚨奶卣髦刀际钦?，故該二次型為正定二次?15分八、1)顯然H為實(shí)矩陣，又HT (E 2uuT)T E 2uuT H ,HH T H2 (E 2uuT)(E 2uuT) E .所以H為實(shí)對(duì)稱正交矩陣. 3分2)設(shè)X是實(shí)對(duì)稱矩陣正交矩陣 H的屬于特征值的特征向量，則xTx XT Ex XT H T Hx (Hx, Hx) ( x, x) 2xTx,而XTX 0,則必有1或一1.容易驗(yàn)證 Hu u,即1是H的一個(gè)特征值，設(shè)v是和u正交的非零向量，則有Hv v,又R(u)=1,這種非零向量v可以求出n 1個(gè)。所以1是H的 n 1重特征值。 6分 HYPERLINK l bookmark1