第35屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽試題版

1、第35屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽理論考試試題（上海交大）1、（35 分）如圖，半徑為 R質(zhì)量為M的半球靜置于光滑水平桌面上，在半球頂點(diǎn)上有一質(zhì)量為m半彳5為r的勻質(zhì)小球。某時(shí)刻，小球收到微擾由靜止開(kāi)始沿半球表面運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球相對(duì)半球的位置由角位置描述， 為兩球心連線與豎直22線的夾角。己知小球繞其對(duì)稱(chēng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣重為一mr ,小球與半球5間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，假定最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。重力加速度大小為g。i時(shí)，半球運(yùn)動(dòng)（1） （15分）小球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后在一段時(shí)間內(nèi)做純滾動(dòng)，求在此過(guò)程中，當(dāng)小球的角位置為的速度大小Vm （ 1）和加速度大小3m （ 1）；（2）（15分）當(dāng)小球純滾動(dòng)到角

2、位置 2時(shí)開(kāi)始相對(duì)于半球滑動(dòng)， 求2所滿(mǎn)足的方程（用半球速度大小 Vm（ 2）和加速度大小3m （ 2）以及題給條件表示）；（3） （5分）當(dāng)小球剛好運(yùn)動(dòng)到角位置3時(shí)脫離半球，求此時(shí)小球質(zhì)心相對(duì)于半球運(yùn)動(dòng)速度的大小vm（ 3）2、（35 分） 平行板電容器極板1和2的面積均為S,水平固定放置，它們之間的距離為d,接入如圖所示的電路中， 電源的電動(dòng)勢(shì)記為 U。不帶電的導(dǎo)體薄平板 3（厚度忽略不計(jì)）的質(zhì)量為 m尺寸與電容器極板相同。平板3平放在極板2的正上方，且與極板 2有良好的電接觸。整個(gè)系統(tǒng)置于真空室內(nèi)，真空的介電常量為0。合電鍵KB,平板3與極板1和2相繼碰撞，上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)。假設(shè)導(dǎo)體板間的電

3、場(chǎng)均可視為勻3與極板1或2碰撞后立即在極短時(shí)強(qiáng)電場(chǎng)；導(dǎo)線電阻和電源內(nèi)阻足夠小，充放電時(shí)間可忽略不計(jì)；平板間內(nèi)達(dá)到靜電干衡；所有碰撞都是完全非彈性的。重力加速度大小為go（17分）電源電動(dòng)勢(shì) U至少為多大？（18分）求平板3運(yùn)動(dòng)的周期（用 U和題給條件表示）已知積分公式dx ax2 bxIn 2ax b 2后170?bxC ,其中a0, C為積分常數(shù)。3、(35 分)如圖，質(zhì)量線密度為 、不可伸長(zhǎng)的軟細(xì)繩跨過(guò)一盤(pán)狀定滑輪，定滑輪半徑為R,軸離地面高度為L(zhǎng),系統(tǒng)原處于靜止?fàn)顟B(tài)。在 t=0時(shí)，滑輪開(kāi)始以恒定角速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，繩子在滑輪帶動(dòng)下開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，繩子與滑輪間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。滑輪兩側(cè)的繩子在運(yùn)動(dòng)過(guò)

4、程中始終可視為沿豎直方向，繩的兩端在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中均沒(méi)有離開(kāi)地面，地面上的繩了可視為集中在一點(diǎn)。已知重力加速度大小為go繩子在與滑輪左、右側(cè)相切處的張力分別記為T(mén)i、T2 (均非己知量)(20分)分別列出在繩子速度達(dá)到最大值之前，滑輪兩側(cè)繩子的豎直部分及滑輪上任意一小段繩子的運(yùn)動(dòng)所滿(mǎn)足的動(dòng)力學(xué)方程：(15分)求繩子可達(dá)到的最大速度的大小。4、(35 分)如圖，一張緊的弦沿x軸水平放置，長(zhǎng)度為L(zhǎng)。弦的左端位于坐標(biāo)原點(diǎn)。弦可通過(guò)其左、右端與振源連接，使弦產(chǎn)生沿y方向的橫向受迫振動(dòng)，振動(dòng)傳播的速度為 U。-77 r ，(22分)固定弦的右端 P2,將其左端Pi與振源連接，穩(wěn)定時(shí)，左端的振動(dòng)表達(dá)式為 y(

5、x 0,t) A0 COS t ,其中Ao為振幅，為圓頻率。(10分)已知弦上橫波的振幅在傳播方向上有衰減，衰減常量為0 ,求弦上各處振動(dòng)的振幅，(己知：在無(wú)限長(zhǎng)弦上沿x軸正方向傳播的振幅逐漸衰減的橫波表達(dá)式為xy(x,t) Ae cos t ,其中A和 分別為x=0處振動(dòng)的振幅和初相位。)u(ii ) (12分)忽略波的振幅在傳播方向上的衰減，求弦上駐波的表達(dá)式，并確定其波腹和波節(jié)處的x坐標(biāo)。(13分)將 R、P2都與振源連接，R、P2處的振動(dòng)表達(dá)式分別為：y(x 0,t) A0COS t、y(x L,t) A0 cos t 0 ,其中。為常量。忽略波的振幅在傳播方向上的衰減，分別計(jì)算。=0

6、和0=情形下弦上各處振動(dòng)的表達(dá)式以及共振時(shí)圓頻率應(yīng)滿(mǎn)足的條件。5、（35 分）質(zhì)量為M的絕熱壁容器處于遠(yuǎn)離其他星體的太空（可視為真空）中。在某慣性系中觀察，該容器的初始速度為零。容器的容積為V,容器中充有某種單原子分子理想氣體，氣體的初始分子數(shù)、分于質(zhì)量分別為N0、m,氣體的初始溫度為 T0o t=0時(shí)容器壁上出現(xiàn)面積為 S的一個(gè)小孔，由于小孔漏氣導(dǎo)致容器開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，但容器沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)。假設(shè)小孔較小，容器中的氣體在泄漏過(guò)程中始終處于平衡態(tài)。己知?dú)怏w分子速度沿x方向 mvX的分量Vx的麥克斯韋分布函數(shù)為 f vx J-e醞（k為玻爾茲曼常量）。在泄漏過(guò)程中，求： ,2 kT（6分）當(dāng)氣體的分子數(shù)密度為

7、n、溫度為T(mén)時(shí)在單位時(shí)間內(nèi)從小孔單位面積泄出的氣體分子數(shù)；（6分）當(dāng)容器中氣體溫度為 T時(shí)，從小孔泄出的氣體分子相對(duì)于容器的平均動(dòng)能：（15分）t時(shí)刻容器中氣體的溫度；（8分）t時(shí)刻容器運(yùn)動(dòng)速度的大?。僭O(shè) M Nom）。6、（35 分）介質(zhì)的折射率n可以大于0,也可以小于0。n小于0的介質(zhì)稱(chēng)為負(fù)折射介質(zhì)。光在負(fù)折射介質(zhì)內(nèi)傳播，其光程為負(fù)值（相位隨傳播距離的變化規(guī)律與在折射率為正的介質(zhì)中的相反）。如果定義折射角與入射角在界面法線同側(cè)時(shí)折射角為負(fù)，可以證明折射定律在介面兩邊有負(fù)折射介質(zhì)時(shí)仍然成立，即n1sin 1 n2 sin 2 ,其中和明均可以大于0或小于0, 2為折射角。a和圖b所示情況下

8、進(jìn)（10分）設(shè)想一束平行光入射到界面上，根據(jù)惠更斯原理，在答題紙上畫(huà)出圖入介質(zhì)2的光線及對(duì)應(yīng)的子波的示意圖，并依此證明折射定律成立;（13分）如圖c所示，半徑為R的球面將空間隔開(kāi)為兩個(gè)區(qū)域，其折射率分別記為n（色0）、山（奧0）, C點(diǎn)是球面的球心，取某一光軸與球面的交點(diǎn) 0為原點(diǎn)。圖中己畫(huà)出此情形下一段入射光線和折射光線，x和y分別為入射光線、折射光線與光軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。 記物距為 像距為S2.在傍軸近似下導(dǎo)出球面的成像公式和橫向放大率公式。請(qǐng)明確指出最后結(jié)果中各個(gè)量的正負(fù)號(hào)約定；（12分）設(shè)介質(zhì)1為空氣，即口 1 , 1可大于0也可小于0。在球面（參考圖 c）的前放置一普通薄序號(hào).d1L50

9、352?2L50.85/?;-K50.357?4-L50.85/?凸透鏡，透鏡的光軸通過(guò)球心 C,焦點(diǎn)位于負(fù)折射介質(zhì)區(qū)域內(nèi)，透鏡的距f=1.5R,透鏡中心O點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為do 一束沿光軸傳播的平行光入射到薄透鏡。分別就表中四組參數(shù)計(jì)算入射光在光軸上會(huì)聚點(diǎn)離O點(diǎn)的距離，并在答題紙上畫(huà)出序號(hào)4情形的光路示意圖。7、（35 分）在固體材料中，考慮相互作用后，可以利用“準(zhǔn)粒子”的概念研完材料的物理性質(zhì)。準(zhǔn)粒子的動(dòng)能與動(dòng)量之間的關(guān)系可能與真實(shí)粒子的不同：當(dāng)外加電場(chǎng)或磁場(chǎng)時(shí)，準(zhǔn)粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用經(jīng)典力學(xué)的方法來(lái)處理。在某種二維界面結(jié)構(gòu)中，存在電量為q、有效質(zhì)量為 m的準(zhǔn)粒子，它只能在 x-y平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)

10、，其動(dòng)能 K與2動(dòng)量大小p之間的關(guān)系可表示為 K p ,其中 為正的常量。 2m 2（4分）對(duì)于真實(shí)的自由粒子，動(dòng)能 K -p-,其中m為該粒子質(zhì)量，試從動(dòng)能定理出發(fā)，推導(dǎo)該粒2m子運(yùn)動(dòng)的速度v與動(dòng)量p之間的關(guān)系式；（5分）仿照（1）的方法，推導(dǎo)準(zhǔn)粒子運(yùn)動(dòng)的速度v與動(dòng)量p之間的關(guān)系式；（4分）用動(dòng)能表示準(zhǔn)粒子運(yùn)動(dòng)速度的大小：（11分）將該二維界面結(jié)構(gòu)置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)沿 z軸正方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,求動(dòng)能為K的準(zhǔn)粒子做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的半徑、周期和角動(dòng)量的大??；（11分）將該二維界面結(jié)構(gòu)放置在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，準(zhǔn)粒子可能在垂直于電場(chǎng)的方向上產(chǎn)生加速度。如果電場(chǎng)沿x軸正方向，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為 E當(dāng)準(zhǔn)

11、粒子的速度大小為 v（v ）、方向與x軸正方向成 角時(shí)，求其運(yùn)動(dòng)的加速度分量 a和ay 。 x y8、（35 分） 熱輻射入射到反射鏡，反射鏡可利用熱輻射的輻射壓力對(duì)外做功，這一過(guò)程可以用動(dòng)力學(xué)或熱學(xué)來(lái)研究。為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，將熱輻射視為一維黑體輻射，正入射到平面理想反射（完全反射）鏡上。反射鏡所受輻射壓 力與外界阻力相互平衡，以速度 V做勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向與入射輻射的方向相同：己知在實(shí)驗(yàn)室參考系中溫度為T(mén)的一維黑體輻射譜（單位時(shí)間內(nèi)在頻率V附近單位頻率間隔內(nèi)輻射出的輻射能）為（v T） 鄧 ，式中h為普朗克常量，k為玻耳曼常量。真空中的光速為 ,hv/kie 1(14分)從一維黑體輻射光子與運(yùn)動(dòng)理想反射鏡碰撞的動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，計(jì)算在實(shí)驗(yàn)室參考系中鏡子利用光子能量克服阻力做功的效率。