數(shù)學(xué)模型(第五版)-課件

1、回歸模型是用統(tǒng)計方法建立的最常用的一類模型.機理分析和統(tǒng)計分析是數(shù)學(xué)建模的兩種基本方法通過對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型. 不涉及回歸分析的數(shù)學(xué)原理和方法 . 通過實例討論如何選擇不同類型的回歸模型 . 對軟件得到的結(jié)果進(jìn)行分析，對模型進(jìn)行改進(jìn). 第九章 統(tǒng)計模型通過實例介紹判別分析、主成分分析等模型. 第九章 統(tǒng)計模型9.1 孕婦吸煙與胎兒健康9.2 軟件開發(fā)人員的薪金9.3 酶促反應(yīng)9.4 投資額與生產(chǎn)總值和物價指數(shù)9.5 冠心病與年齡9.6 蠓蟲分類判別9.7 學(xué)生考試成績綜合評價9.8 艾滋病療法的評價和療效的預(yù)測9.1 孕婦吸煙與胎兒健康吸煙有害健康！孕婦吸煙是否會傷害到腹

2、中的胎兒？對于新生兒體重，吸煙比婦女懷孕前身高、體重、受孕歷史等因素的影響更為顯著美國公共衛(wèi)生總署警告1.新生兒體重（oz）1201131281231082.孕婦懷孕期（天）2842822799992823.新生兒胎次(1第1胎,0非第1胎)101014.孕婦懷孕時年齡27332836235.孕婦懷孕前身高(in)62646469676.孕婦懷孕前體重(lb)1001351151901257.孕婦吸煙狀況(1吸煙,0 不吸煙)00111美國兒童保健和發(fā)展項目(CHDS)提供的數(shù)據(jù)(1236個出生后至少存活28天男性單胞胎新生兒體重及其母親的資料)data 0901.m研究目的利用CHDS的數(shù)據(jù)

3、建立新生兒體重與孕婦懷孕期、吸煙狀況等因素的數(shù)學(xué)模型，定量地討論：孕婦吸煙是否會使早產(chǎn)率增加，懷孕期長短對新生兒體重有影響嗎；對于新生兒體重來說，孕婦吸煙是否是比孕婦年齡、身高、體重等更為顯著的決定因素；對每個年齡段來說，孕婦吸煙對新生兒體重和早產(chǎn)率的影響是怎樣的。問題背景及分析美國公共衛(wèi)生總署的警告容易受到人們的質(zhì)疑：按照是否吸煙劃分人群所做的研究，只能依賴于觀測數(shù)據(jù)，而無法做人為的實驗，很難確定新生兒體重的差別是因為吸煙，還是其它因素(如懷孕期長短、吸煙孕婦多是體重較輕的年青人等).“孕婦吸煙可能導(dǎo)致胎兒受損、早產(chǎn)及新生兒低體重”的警告不如“吸煙導(dǎo)致肺癌”來得強，是由于對孕婦吸煙與胎兒健康

4、間的生理學(xué)關(guān)系研究得不夠.參數(shù)估計 吸煙比不吸煙孕婦新生兒體重平均低9 oz (250g ), 新生兒體重低的比例明顯高. 吸煙比不吸煙孕婦懷孕期平均短2天,早產(chǎn)率差不多.參數(shù)估計不吸煙孕婦（n=742）吸煙孕婦（n=484）新生兒體重均值的點估計y0=123.0472y1=114.1095新生兒體重均值的區(qū)間估計121.7932 124.3011112.4930 115.7260新生兒體重低比例的點估計r0=0.0310r1=0.0826懷孕期均值的點估計x0=280.1869（n=733）x1= 277.9792懷孕期均值的區(qū)間估計278.9812 281.3926276.6273 279

5、.3311早產(chǎn)率的點估計q0=0.0764q1=0.0854新生兒體重和懷孕期的差別在統(tǒng)計學(xué)上是否顯著？prog0901a.m假設(shè)檢驗 吸煙孕婦的新生兒體重比不吸煙孕婦的低、且 新生兒體重低的比例高，在統(tǒng)計學(xué)上有顯著意義.假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗結(jié)果(=0.05)新生兒體重均值H0: y0y1, H1: y0y1拒絕H0, 接受H1新生兒體重低比例H0: r0r1, H1: r0 x1拒絕H0, 接受H1 早產(chǎn)率H0: q0=q1, H1: q0q1接受H0, 拒絕H1(t=0.5663)吸煙與不吸煙孕婦孕期和早產(chǎn)率的差別難以肯定是顯著的(若=0.01將接受懷孕期均值相等的假設(shè))prog0901a.m

6、一元線性回歸分析假設(shè)檢驗結(jié)果：孕婦吸煙狀況對新生兒體重大小有顯著影響，但是對懷孕期長短的影響難以確定。新生兒體重與懷孕期的關(guān)系如何？直線y=b0+b1x描述了數(shù)據(jù)的變化趨勢，但是擬合得不好.怎樣衡量由擬合得到的模型的有效性？模型系數(shù)精確度和模型預(yù)測的數(shù)值范圍多大？480位吸煙孕婦的懷孕期x和新生兒體重yxy擬合直線 y=b0+b1x一元線性回歸模型 y=b0+b1x+ 隨機變量 除x外, 影響y的隨機因素的總和，對于不同的x，相互獨立且服從N(0,2)分布.系數(shù)系數(shù)估計值系數(shù)置信區(qū)間b0-51.2983-77.5110 -25.0856b10.59490.5008 0.6891R2=0.243

7、8, F=154 , pF(1,n-2)= 3.8610 (=0.05)，應(yīng)拒絕H0: b1=0的假設(shè)，模型有效。b1置信區(qū)間較長，決定系數(shù)R2較小(y的24.38%由x決定)，剩余方差s2較大，模型的精度不高.480位吸煙孕婦數(shù)據(jù) x,y模型求解懷孕期x, 新生兒體重y模型檢驗prog0901b.m 吸煙孕婦懷孕期增加一天，新生兒體重平均增加約0.6 oz. 不是x=0時y的估計, 只能在數(shù)據(jù)范圍內(nèi)(x=220340天) 估計.一元線性回歸模型 y=b0+b1x+ 懷孕期x, 新生兒體重y模型解釋模型預(yù)測模型精度不高導(dǎo)致預(yù)測區(qū)間如此之大！一元線性回歸模型 y=b0+b1x+ 懷孕期x, 新生

8、兒體重y誤差的估計值(均值為0的正態(tài)分布)若數(shù)據(jù)殘差的置信區(qū)間不含零點，稱為異常點(偏離整體數(shù)據(jù)的變化趨勢)，應(yīng)剔除。系數(shù)系數(shù)估計值系數(shù)置信區(qū)間b0-53.6126-77.0606 -30.1645b10.60070.5164 0.6850 R2= 0.3040 F=196 p0.0001 s2 = 182雖然b0和b1的估計值變化不大，但置信區(qū)間變短，且R2 和F變大，s2減小，說明模型精度得到提高.prog0901b.m一元線性回歸模型 y=b0+b1x+ 懷孕期x, 新生兒體重y系數(shù)系數(shù)估計值系數(shù)置信區(qū)間b033.533014.9989 52.0671b10.32010.2541 0.3

9、860 R2= 0.1165 F=90 p0.0001 s2 = 181690位不吸煙孕婦數(shù)據(jù)x,y (剔除異常點后)不吸煙孕婦懷孕期增加一天，新生兒體重平均只增加0.32oz. 對吸煙孕婦是增加約0.6oz，二者相差很大！將吸煙狀況作為另一自變量，建立新生兒體重與2個自變量的回歸模型，利用全體孕婦數(shù)據(jù)進(jìn)行分析. prog0901c.m多元線性回歸分析y新生兒體重, x1孕婦懷孕期, x2=0,1 不吸煙, 吸煙.模型 y=b0+b1x1+b2x2+ x1相同時，吸煙比不吸煙孕婦的新生兒體重平均約低8.8oz. 對于吸煙狀況x2相同的孕婦，x1增加一天y平均增加0.44oz. 在吸煙孕婦的0.

10、6與不吸煙孕婦的0.32oz之間.與參數(shù)估計的數(shù)值相同，但增加了x1相同的條件.1145位全部孕婦數(shù)據(jù) (剔除異常點后)多元線性回歸分析系數(shù)系數(shù)估計值系數(shù)置信區(qū)間b034.092515.4605 52.7244b10.31810.2517 0.3844 b2-87.0738-116.9656 -57.1820b30.28040.1734 0.3875R2=0.2766 F=145 p0.0001 s2 =183模型 y=b0+b1x1+b2x2+ 模型有效, 但是R2較小, s2較大, 仍有改進(jìn)余地.增加乘積項x1x2 x1和x2對y的綜合影響y=b0+b1x1+b2x2+b3x1x2+ x2

11、=0 x2=1不吸煙孕婦的一元模型吸煙孕婦的一元模型prog0901d.m變量選擇與逐步回歸CHDS提供的數(shù)據(jù)中除孕婦懷孕期和吸煙狀況外,還有孕婦懷孕時的年齡、體重、身高和胎次狀況.變量選擇 從應(yīng)用的角度希望將所有影響顯著的自變量都納入模型，又希望最終的模型盡量簡單.逐步回歸 迭代式的變量選擇方法.新生兒體重模型中是否應(yīng)該加入其他的自變量？利用CHDS數(shù)據(jù)提供的全部信息, 通過逐步回歸方法選擇變量, 建立新生兒體重的線性回歸模型.x1 (孕婦懷孕期), x2 (胎次狀況), x3 (年齡), x4 (身高), x5 (體重), x6 (吸煙狀況) 組成候選變量集合S.選取x1, x6為初始子集

12、S0 用逐步回歸方法建立新生兒體重y的線性回歸模型 繼續(xù)進(jìn)行，直到不能引入和移出為止 . 從S0外的S中引入一個對y影響最大的x, S0 S1 . 對S1中的x進(jìn)行檢驗，移出一個影響最小的, S1 S2 . 引入和移出都以給定的顯著性水平為標(biāo)準(zhǔn). 顯著性水平取缺省值(引入=0.05, 移出=0.10) MATLAB統(tǒng)計工具箱中的逐步回歸逐步回歸命令stepwise第1個輸出圖形按照提示點擊，引入x4x1, x6在模型中，給出系數(shù)估計值和置信區(qū)間prog0901e.m MATLAB統(tǒng)計工具箱中的逐步回歸按照提示點擊，依次引入 x4, x2, x5最終模型包含除x3 外的所有自變量用逐步回歸方法建

13、立新生兒體重y的線性回歸模型x1 (懷孕期), x2 (胎次狀況), x4 (身高), x5 (體重), x6 (吸煙狀況).x1,x2 ,x4, x5相同時,吸煙比不吸煙孕婦的新生兒體重平均低8.4 oz. 孕婦的懷孕期、身高、體重對新生兒體重的影響是正面的.第1胎新生兒體重比非第1胎平均約低3.3 oz (第1胎x2=1).yx1x2x3x4x5x6y1.00000.4075-0.04390.02700.20370.1559-0.2468x11.00000.0809-0.05340.07050.0237-0.0603x21.0000-0.35100.0435-0.0964-0.0096x3

14、1.0000-0.00650.1473-0.0678x41.00000.43530.0175x51.0000-0.0603x61.0000y和各自變量的相關(guān)系數(shù)矩陣與y相關(guān)性較強的是懷孕期x1, 吸煙狀況x6, 身高x4.自變量間相關(guān)性較強的有：孕婦體重x5與身高x4的正相關(guān)；年齡 x3與胎次狀況x2的負(fù)相關(guān)(年齡越大第1胎x2=1越少).相關(guān)分析當(dāng)幾個自變量間有較強相關(guān)性時, 刪除多余的只保留一個不會對模型有效性和精確度有多大影響.不同年齡段孕婦吸煙對新生兒體重的影響小于25歲2530歲3035歲大于35歲b0-66.3893-39.1296-157.1307-130.1740b1(懷孕期)

15、 0.39720.35210.59510.6728b2-0.9978-7.4124-0.0932-4.1835b41.21440.84091.68280.8747b5-0.00210.09590.05570.0732b6(吸煙狀況)-8.4119-8.2656-10.5411-6.4008R20.25490.23300.33940.3136s2211.6359239.7201272.6021304.7208n444362211157孕婦按年齡分組建立y與x1, x2, x4, x5, x6的回歸模型對于x1和x6兩個影響y的主要因素, 30歲以下兩組結(jié)果差別不大, 而與30歲以上兩組則有一定差

16、異.建立模型研究薪金與資歷、管理責(zé)任、教育程度的關(guān)系.分析人事策略的合理性，作為新聘用人員薪金的參考. 9.2 軟件開發(fā)人員的薪金編號薪金資歷(從事專業(yè)工作年數(shù))管理(1-管理人員,0-非管理人員）教育(1-中學(xué)，2-大學(xué)，3-更高程度)0113876111021160810303187011134619346200146名軟件開發(fā)人員的檔案資料 data 0902.m分析與假設(shè) y 薪金，x1 資歷（年）x2 = 1 管理人員，x2 = 0 非管理人員1=中學(xué)2=大學(xué)3=更高 資歷每加一年,薪金的增長是常數(shù)； 管理、教育、資歷之間無交互作用. 教育線性回歸模型 a0, a1, , a4是待估

17、計的回歸系數(shù)，是隨機誤差 中學(xué)：x3=1, x4=0 ；大學(xué)：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0 假設(shè)模型求解R2,F, p 模型整體上可用資歷增加1年薪金增長546 管理人員薪金多6883 中學(xué)程度薪金比更高的少2994 大學(xué)程度薪金比更高的多148 a4置信區(qū)間包含零點，解釋不可靠!中學(xué)：x3=1, x4=0;大學(xué)：x3=0, x4=1; 更高：x3=0, x4=0. x2 = 1 管理，x2 = 0 非管理x1資歷(年)系數(shù)系數(shù)估計值系數(shù)置信區(qū)間a011032 10258 11807 a1546 484 608 a26883 6248 7517 a3-2994 -3826

18、 -2162 a4148 -636 931 R2=0.957 F=226 p0.0001 s2=106prog0902a.m殘差分析方法 結(jié)果分析殘差e 與資歷x1的關(guān)系 e與管理教育組合的關(guān)系 殘差全為正,或全為負(fù),管理教育組合處理不當(dāng). 殘差大概分成3個水平,6種管理教育組合混在一起，未正確反映.應(yīng)在模型中增加管理x2與教育x3, x4的交互項 .組合123456管理010101教育112233管理與教育的組合進(jìn)一步的模型增加管理x2與教育x3, x4的交互項R2,F有改進(jìn),所有系數(shù)置信區(qū)間不含零點,模型可用. 消除了不正?，F(xiàn)象 異常數(shù)據(jù)(33號)應(yīng)去掉! e x1 e 組合系數(shù)系數(shù)估計值

19、系數(shù)置信區(qū)間a01120411044 11363a1497486 508a270486841 7255a3-1727-1939 -1514a4-348-545 152a5-3071-3372 -2769a618361571 2101R2=0.9988 F=5545 p0.0001 s2=3104 prog0902b.m去掉異常數(shù)據(jù)e x1 e 組合R2: 0.9567 0.99880.9998F：226 5545 36701 s2: 104 3104 4103 置信區(qū)間長度更短殘差圖十分正常最終模型完全可用！系數(shù)系數(shù)估計值系數(shù)置信區(qū)間a01120011139 11261a1498494 503

20、a270416962 7120a3-1737-1818 -1656a4-356-431 281a5-3056-3171 2942a619971894 2100R2=0.9998 F=36701 p0.0001 s2=4103prog0902c.m模型應(yīng)用 制訂6種管理教育組合人員的“基礎(chǔ)”薪金(資歷為0）組合管理教育系數(shù)“基礎(chǔ)”薪金101a0+a39463211a0+a2+a3+a513448302a0+a410844412a0+a2+a4+a619882503a011200613a0+a218241中學(xué)：x3=1, x4=0 ；大學(xué)：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0 x1=

21、 0； x2 = 1 管理，x2 = 0 非管理大學(xué)程度管理人員比更高程度管理人員的薪金高. 大學(xué)程度非管理人員比更高程度非管理人員的薪金略低. 對定性因素(如管理、教育)可以引入0-1變量處理，0-1變量的個數(shù)可比定性因素的水平少1. 軟件開發(fā)人員的薪金殘差分析方法可以發(fā)現(xiàn)模型的缺陷，引入交互作用項常常能夠改善模型. 剔除異常數(shù)據(jù)，有助于得到更好的結(jié)果.注：可以直接對6種管理教育組合引入5個0-1變量. 問題研究酶促反應(yīng)（酶催化反應(yīng)）中嘌呤霉素對反應(yīng)速度與底物（反應(yīng)物）濃度之間關(guān)系的影響. 建立數(shù)學(xué)模型，反映該酶促反應(yīng)的速度與底物濃度以及經(jīng)嘌呤霉素處理與否之間的關(guān)系. 設(shè)計了兩個實驗 ：酶經(jīng)

22、過嘌呤霉素處理；酶未經(jīng)嘌呤霉素處理. 實驗數(shù)據(jù)見下表. 方案底物濃度(ppm)0.020.061.10反應(yīng)速度處理764797107123139159152191201207200未處理6751848698115131124144158160/9.3 酶促反應(yīng) 基本模型 Michaelis-Menten模型y 酶促反應(yīng)的速度, x 底物濃度 1 , 2 待定系數(shù) 底物濃度較小時，反應(yīng)速度大致與濃度成正比；底物濃度很大、漸進(jìn)飽和時，反應(yīng)速度趨于固定值.酶促反應(yīng)的基本性質(zhì) xyO1實驗數(shù)據(jù)經(jīng)嘌呤霉素處理xy未經(jīng)嘌呤霉素處理xy線性化模型 嘌呤霉素處理后實驗數(shù)據(jù)的估計結(jié)果 對

23、1 , 2非線性 對1, 2線性 系數(shù)系數(shù)估計值系數(shù)置信區(qū)間15.10723.5386 6.675820.24720.1757 0.3188R2=0.8557 F=59.2975 p0.0001 s2=3.5806 10-6prog0903a.m線性化模型結(jié)果分析 x較大時，y有較大偏差 1/x較小時有很好的線性趨勢，1/x較大時出現(xiàn)很大的起落. 參數(shù)估計時，x較小(1/x很大)的數(shù)據(jù)控 制了回歸參數(shù)的確定. 1/y1/xxyMATLAB命令 beta,R,J = nlinfit (x,y,model,beta0) MATLAB命令 betaci =nlparci(beta,R,J) 非線性模

24、型參數(shù)估計系數(shù)系數(shù)估計值系數(shù)置信區(qū)間1212.6837197.2045 228.162920.06410.0457 0.0826 1 , 2估計值函數(shù)M文件數(shù)據(jù)殘差1 , 2初值(取線性化結(jié)果)1 , 2置信區(qū)間prog0903a.mprog0903a1.m非線性模型結(jié)果分析畫面左下方的Export 輸出其他統(tǒng)計結(jié)果.拖動畫面的十字線，得y的預(yù)測值和預(yù)測區(qū)間剩余標(biāo)準(zhǔn)差s= 10.9337最終反應(yīng)速度為MATLAB命令 nlintool 給出交互畫面o 原始數(shù)據(jù)+ 擬合結(jié)果 半速度點(達(dá)到最終速度一半時的x值 )為混合反應(yīng)模型 x1為底物濃度， x2為一示性變量 x2=1表示經(jīng)過處理，x2=0表

25、示未經(jīng)處理 1是未經(jīng)處理的最終反應(yīng)速度 1是經(jīng)處理后最終反應(yīng)速度的增長值 2是未經(jīng)處理的反應(yīng)的半速度點 2是經(jīng)處理后反應(yīng)的半速度點的增長值 在同一模型中考慮嘌呤霉素處理的影響混合模型求解2置信區(qū)間包含零點，表明2對因變量y的影響不顯著.o 原始數(shù)據(jù)+ 擬合結(jié)果 未經(jīng)處理經(jīng)處理系數(shù)系數(shù)估計值系數(shù)置信區(qū)間1160.2802145.8466 174.713720.04770.0304 0.0650 152.403532.4130 72.3941 20.0164-0.0075 0.0403初值經(jīng)嘌呤霉素處理的作用不影響半速度點參數(shù).可忽略2，將模型簡化.剩余標(biāo)準(zhǔn)差s= 10.4000prog0903b

26、.mprog0903b1.mo 原始數(shù)據(jù)+ 擬合結(jié)果 未經(jīng)處理經(jīng)處理簡化的混合模型 簡化的混合模型形式簡單，參數(shù)置信區(qū)間不含零點.系數(shù)系數(shù)估計值系數(shù)置信區(qū)間1166.6025154.4886 178.716420.05800.0456 0.0703 142.025228.9419 55.1085剩余標(biāo)準(zhǔn)差s= 10.5851(比一般混合模型略大). prog0903b.mprog0903b2.m一般混合模型與簡化混合模型預(yù)測比較實際值一般模型預(yù)測值(一般模型）簡化模型預(yù)測值(簡化模型）6747.34439.207842.73585.44465147.34439.207842.73585.444

27、68489.28569.571084.73567.0478207200.968811.0447198.183710.1812200200.968811.0447198.183710.1812簡化混合模型的預(yù)測區(qū)間較短，更為實用、有效.預(yù)測區(qū)間為預(yù)測值 注：非線性模型擬合程度的評價無法直接利用線性模型的方法，但R2 與s仍然有效.酶促反應(yīng) 反應(yīng)速度與底物濃度的關(guān)系非線性關(guān)系求解線性模型 求解非線性模型機理分析嘌呤霉素處理對反應(yīng)速度與底物濃度關(guān)系的影響混合模型 發(fā)現(xiàn)問題，得參數(shù)初值引入0-1變量簡化模型 檢查參數(shù)置信區(qū)間是否包含零點問題建立投資額模型，研究某地區(qū)實際投資額與國民生產(chǎn)總值 ( GNP

28、 ) 及物價指數(shù) ( PI ) 的關(guān)系.根據(jù)對未來GNP及PI的估計，預(yù)測未來投資額. 該地區(qū)連續(xù)20年的統(tǒng)計數(shù)據(jù) 年份序號投資額（億元） GNP（億元） PI年份序號投資額（億元） GNP（億元） PI1 90.9 596.70.716711 229.81326.41.0575297.4637.70.727712228.71434.21.15083113.5691.10.743613206.11549.21.257910195.01185.91.000020424.53073.02.06889.4 投資額與生產(chǎn)總值和物價指數(shù) 時間序列中變量的順序觀測值之間存在自相關(guān).以時間為序的數(shù)據(jù)(如投資

29、額)稱為時間序列.分析許多經(jīng)濟數(shù)據(jù)在時間上有一定的滯后性. 需要診斷并消除自相關(guān)性，建立新的模型.采用普通回歸模型直接處理，會出現(xiàn)不良后果. 投資額與國民生產(chǎn)總值和物價指數(shù) 年份序號投資額（億元） GNP（億元） PI年份序號投資額（億元） GNP（億元） PI1 90.9 596.70.716711 229.81326.41.0575297.4637.70.727712228.71434.21.15083113.5691.10.743613206.11549.21.257910195.01185.91.000020424.53073.02.0688基本（普通的）回歸模型投資額與 GNP，PI

30、之間均有很強的線性關(guān)系.t 年份， yt 投資額，x1t GNP, x2t PI 0, 1, 2 回歸系數(shù) x1tytx2tytt 對t相互獨立的零均值正態(tài)隨機變量基本回歸模型的結(jié)果與分析 t存在自相關(guān)，違背t對t相互獨立的要求.系數(shù)系數(shù)估計值系數(shù)置信區(qū)間0322.7250224.3386 421.111410.61850.4773 0.75962-859.4790-1121.4757 -597.4823 R2= 0.9908 F= 919.8529 p 0 0如何估計 如何消除自相關(guān)性D-W統(tǒng)計量D-W檢驗 ut 對t相互獨立的零均值正態(tài)隨機變量存在負(fù)自相關(guān)性存在正自相關(guān)性廣義差分法 D-W

31、統(tǒng)計量與D-W檢驗 檢驗水平,樣本容量，回歸變量數(shù)目D-W分布表n較大DW4-dU44-dLdUdL20正自相關(guān)負(fù)自相關(guān)不能確定不能確定無自相關(guān)檢驗臨界值dL和dU由DW值的大小確定自相關(guān)性廣義差分變換 以0 *, 1 , 2 為回歸系數(shù)的普通回歸模型原模型 DW值 D-W檢驗無自相關(guān) 有自相關(guān) 廣義差分繼續(xù)此過程原模型 新模型 新模型 步驟 原模型變換不能確定增加數(shù)據(jù)量；選用其他方法.投資額新模型的建立 DWold dL 作變換 原模型殘差et樣本容量n=20, 回歸變量數(shù)目k=3, =0.05 查表臨界值dL=1.10, dU=1.54DWold=0.8754原模型有正自相關(guān)DW4-dU4

32、4-dLdUdL20正自相關(guān)負(fù)自相關(guān)不能確定不能確定無自相關(guān)剩余方差s2=96.58161.7(基本模型)，系數(shù)置信區(qū)間縮短，模型總體有效性改進(jìn)。 投資額新模型的建立 系數(shù)系數(shù)估計值系數(shù)置信區(qū)間 *0163.49051265.4592 2005.217810.69900.5751 0.82472-1009.0333-1235.9392 -782.1274R2= 0.9772 F=342.8988 p0.0001 s2=96.58prog0904.m新模型的自相關(guān)性檢驗dU DWnew 4-dU 新模型殘差et樣本容量n=19, 回歸變量數(shù)目k=3, =0.05 查表臨界值dL=1.08, dU

33、=1.53DWnew=1.5751新模型無自相關(guān)性DW4-dU44-dLdUdL20正自相關(guān)負(fù)自相關(guān)不能確定不能確定無自相關(guān)新模型還原為原始變量一階自回歸模型一階自回歸模型殘差et比基本回歸模型要小.新模型 et *，原模型 et +殘差圖比較新模型 t *，新模型 t +擬合圖比較模型結(jié)果比較基本回歸模型一階自回歸模型投資額預(yù)測對未來投資額(yt )作預(yù)測，需先估計出未來的GNP (x1t ) 和PI (x2t ) 一階自回歸模型基本回歸模型t 較小是由于yt-1=424.5過小所致年份序號投資額(yt ) GNP(x1t ) PI(x2t ) 年份序號投資額(yt ) GNP(x1t )

34、PI(x2t ) 1 90.9 596.70.716718401.92631.71.7842297.4637.70.727719474.92954.71.95143113.5691.10.743620424.53073.02.0688213312.02.1938469.7638 冠心病是一種常見的心臟疾病, 嚴(yán)重危害人類的健康. 多項研究表明, 冠心病發(fā)病率隨著年齡的增加而上升. 在冠心病流行病學(xué)研究中年齡是最常見的混雜因素之一. 100名被觀察者的年齡及他們是否患冠心病的數(shù)據(jù) 根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型,分析發(fā)病率與年齡的關(guān)系,并進(jìn)行統(tǒng)計預(yù)測. 序號12399100年齡2023246569冠心

35、病(1患病,0不患)000119.5 冠心病與年齡分析與假設(shè) 被觀察者是獨立抽取的. x被觀察者年齡, Y患病情況 (Y=1患病, Y=0不患病) 按年齡段分組統(tǒng)計患病人數(shù)及比例 患病比例隨年齡增大遞增,是介于01的S型曲線. 無法建立前面那樣的回歸模型,需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理. 年齡段段中點人數(shù)患病人數(shù)患病比例20-2924.51010.130-34321520.1360-6964.51080.80合計100430.43患病比例y是年齡段中點x時Y的平均值分析與假設(shè) Y取值 0, 1 ; y 取值 0, 1 用普通方法建立回歸方程 y取值不一定在0,1中. 誤差項只能取值0,1, 不具有正態(tài)性

36、, 且具有異方差性.違反普通回歸分析的前提條件! 當(dāng)因變量Y為一個二分類(或多分類)變量時，需要用到新的回歸模型.即Y的條件期望 logit 模型 Y的(條件)期望(x)年齡x的患病概率(患病比例y)方差 (x) S型曲線, 取值0,1 logit模型 (logistic回歸模型) (x)的變換 取值連接函數(shù)， logistic模型 反函數(shù) logit 模型 數(shù)據(jù)預(yù)處理: 將年齡分成k(=8)組.xi第i組年齡, ni被觀察人數(shù), mi患病人數(shù), i=1, k 患病概率 0, 1回歸系數(shù) 設(shè)mi服從二項分布 回歸系數(shù)可用極大似然法估計得到. logit 模型 b,dev,stats = glm

37、fit(x, y, distr, link)0 , 1估計值所用分布(binomial)數(shù)據(jù)統(tǒng)計指標(biāo)缺省(logit)prog0905.mMATLAB命令 模型求解 參數(shù)參數(shù)估計值標(biāo)準(zhǔn)差0 -5.03821.086310.10500.0231回歸曲線模型評價與結(jié)果分析 logit模型是否需要引入x2項？用似然比統(tǒng)計量計算：pval = 1 - chi2cdf(dev-dev2,1) =0.9371 選用probit模型(另一種廣義線性模型)結(jié)果如何？是正態(tài)概率分布函數(shù)(S型曲線) 模型中引入x2項不能顯著提高擬合程度.glmfit中需將logit改為probit年齡段年齡x患病比例( 實際值)

38、預(yù)測值1（logit）預(yù)測值2（probit）20-297830.071560-6964.50.800.85010.8489兩個模型的擬合程度不相上下. 模型評價與結(jié)果分析 probit模型求解參數(shù)參數(shù)估計值標(biāo)準(zhǔn)差0-2.99330.601110.06240.0128prog0905.m1的直觀解釋 Odds事件發(fā)生(患病)概率與不發(fā)生(不患病)概率之比.模型評價與結(jié)果分析 年齡x的人患病與不患病概率之比 年齡增加1歲的Odds比(發(fā)生比率)年齡增加1歲Odds比的對數(shù)年齡增加k歲后的Odds模型評價與結(jié)果分析 20歲的青年人患冠心病的概率 發(fā)生比(患與不患冠心病的概率之比

39、）10年后30歲人的發(fā)生比60歲時 48歲時患冠心病的概率會大于不患冠心病的概率. 年齡增加1歲患病概率的變化很小. Logit回歸模型是20歲的 倍 因變量是定性變量的回歸分析作為一種有效的數(shù)據(jù)處理方法已被廣泛應(yīng)用，尤其在醫(yī)學(xué)、社會調(diào)查、生物信息處理等領(lǐng)域 .自變量 可以是定量變量或定性變量 可以用逐步回歸方法建立多元logit模型和probit模型, 逐個加入自變量(包括自變量的高次項及交叉項), 并且實時地進(jìn)行模型比較檢驗, 選擇與數(shù)據(jù)擬合較好的模型. 模型評述多元logit模型9.6蠓蟲分類判別Apf 蠓蟲樣本Af 蠓蟲樣本待判蠓蟲樣本觸角長翅長觸角長翅長觸角長翅長1.141.781.

40、241.721.241.801.181.961.361.741.291.811.201.861.381.641.432.031.262.001.381.821.282.001.381.901.301.961.401.701.481.821.541.821.562.08已知蠓蟲和待判蠓蟲的樣本數(shù)據(jù)已知6個Apf 蠓蟲與9個Af 蠓蟲的觸角長和翅長,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)建立模型，正確區(qū)分這兩類蠓蟲； 用模型識別已知觸角長和翅長的3個待判蠓蟲；問題如果Apf 蠓蟲是某種疾病的載體毒蠓，Af 蠓蟲是傳粉益蠓，修改分類判別方法再進(jìn)行識別。問題分析 Apf 蠓蟲數(shù)據(jù)點集中在圖左上方 Af 蠓蟲數(shù)據(jù)點集中在圖右下方

41、找一條直線把兩類點分開，作為 Apf 蠓蟲和Af蠓蟲的分界線.Apf 蠓蟲總體G1Af 蠓蟲總體G2屬于兩總體判別問題距離判別模型 原理距離就近原則距離判別準(zhǔn)則距離判別函數(shù)線性距離判別函數(shù)對于樣本 x, 計算估計與假設(shè)檢驗Box M檢驗檢驗統(tǒng)計量蠓蟲分類的距離判別待判蠓蟲序號判別結(jié)果11.241.802.1640Apf 21.291.81-0.3673Af31.432.03-0.1475Af線性距離判別函數(shù)Box M檢驗結(jié)果距離判別結(jié)果距離判別準(zhǔn)則距離判別模型的檢驗回代誤判法逐個回代判別回代誤判率蠓蟲分類回代誤判率交叉驗證法蠓蟲分類交叉驗證誤判率從G1的n1個樣本中每次留一個作為驗證樣本, 其

42、余n1-1個與G2的n2個一起作為訓(xùn)練樣本建立判別準(zhǔn)則, 檢驗驗證樣本.交叉驗證誤判率Bayes判別模型考慮誤判損失毒蠓Apf誤判成益蠓Af的危害性更大模型假設(shè)Bayes判別準(zhǔn)則Bayes判別準(zhǔn)則正態(tài)情形Bayes判別準(zhǔn)則線性距離判別準(zhǔn)則總誤判損失的期望ECM(R1,R2)最小原理蠓蟲分類的Bayes判別模型先驗概率總體分布誤判損失毒蠓Apf誤判成益蠓Af的危害更大Bayes判別函數(shù)Bayes判別準(zhǔn)則閾值蠓蟲分類的Bayes判別結(jié)果分析待判蠓蟲序號判別函數(shù)值 WB(x)判別結(jié)果 =1.5 判別結(jié)果 =2.0 判別結(jié)果 =2.511.241.802.1640Apf ApfApf21.291.81

43、-0.3673AfAfApf31.432.03-0.1475AfApfApf不同誤判損失下的判別結(jié)果結(jié)果分析判別結(jié)果與距離判別法一致待判樣本3被判別為Apf蠓蟲待判樣本2和3均被判別為Apf回代誤判率均為0反映了誤判損失對Bayes判別的作用模型評述距離判別方法思路簡單、直觀，應(yīng)用廣泛，特別是線性距離判別模型.模型檢驗用的回代誤判法雖然簡單，缺點是建立與檢驗判別準(zhǔn)則使用相同的樣本，往往會低估誤判率。交叉驗證法雖計算量較大，但克服了回代法的缺點，是一種較好的檢驗方法。距離判別方法的缺點：沒有考慮環(huán)境中不同總體出現(xiàn)的概率會有差別；沒有涉及誤判造成的損失. Bayes判別模型彌補了這些缺陷.9.7學(xué)

44、生考試成績綜合評價學(xué)生序號數(shù)學(xué)分析高等代數(shù)概率論微分幾何抽象代數(shù)數(shù)值分析 總分A1627164757068410A2526557676058359A3516355977877421A51757466527055392A5270737088796944952名學(xué)生的6門課程的原始考試分?jǐn)?shù)閉卷科目：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、概率論(3門基礎(chǔ)課)開卷科目：微分幾何、抽象代數(shù)、數(shù)值分析問題數(shù)學(xué)系學(xué)生考試科目學(xué)生考試成績綜合評價問題確定若干綜合評價指標(biāo)來最大程度地區(qū)分學(xué)生的考試成績，在不丟失重要信息的前提下簡化對學(xué)生的評價；評價中如何體現(xiàn)開閉卷的影響，找到成績背后的潛在因素，科學(xué)地對考試成績進(jìn)行合理排序.按照

45、學(xué)生6門課成績的總分排序進(jìn)行學(xué)業(yè)評價，沒有考慮課程之間的相關(guān)性以及開閉卷等因素.利用這份數(shù)據(jù)建立統(tǒng)計模型研究以下問題：問題分析找?guī)讉€綜合評價指標(biāo)來評價學(xué)生成績降維思想降維過程以數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)為例橫坐標(biāo)：數(shù)學(xué)分析成績縱坐標(biāo)：高等代數(shù)成績強的正相關(guān)性橢圓長軸方向數(shù)據(jù)變化較大橢圓短軸方向數(shù)據(jù)變化較小長軸方向的1維變量包含了2維數(shù)據(jù)的大部分信息. 2維數(shù)據(jù)問題轉(zhuǎn)化為了1維數(shù)據(jù)問題.主成分分析主成分(載荷) 系數(shù)主成分 依此類推主成分分析p個互不相關(guān)的主成分包含了原始數(shù)據(jù)中的全部信息學(xué)生成績的主成分分析MATLAB命令：COEFF, SCORE, LATENT = princomp(X)學(xué)生成績的主

46、成分分析計算結(jié)果協(xié)方差矩陣的特征根與貢獻(xiàn)率S的特征根貢獻(xiàn)率累積貢獻(xiàn)率469.6816 61.0812 61.0812 173.9525 22.6222 83.7034 58.5100 7.6091 91.3125 29.2527 3.8043 95.1167 21.4163 2.7851 97.9019 16.1334 2.0981 100.0000 方差解釋圖前兩個主成分y1,y2的累積貢獻(xiàn)率為83.7034%結(jié)果分析得分為絕對值大的負(fù)數(shù),說明擅長閉卷考試第一主成分y1考察一學(xué)生y1得分得分為很大的正數(shù),說明擅長閉卷考試開閉卷成分第二主成分y2系數(shù)均為正(僅微分幾何的系數(shù)略大)均衡性成分y2

47、得分反映學(xué)生各門課程成績的均衡性學(xué)生序號 成績總分第一主成分得分第二主成分得分A1410-12.8748-6.4011A2359-11.8037-25.162A3421-40.90041.6463A5139211.0336-18.1559A52449-15.149410.8663結(jié)果分析第一主成分得分：學(xué)生A23、A44、A26、A10有較大的正數(shù)，表明他們擅長閉卷考試；學(xué)生A41、A3、A11有絕對值較大的負(fù)數(shù)，他們擅長開卷考試.第二主成分得分：學(xué)生A25、A14、A13有較大的正數(shù)，表明他們6門課程比較均衡，成績較好；學(xué)生A7、A12、A2有絕對值較大的負(fù)數(shù)，表明他們各科成績均不太理想.因

48、子分析將x分解為若干因子的線性組合:公共因子向量特殊因子向量因子載荷矩陣因子分析因子分析=因子旋轉(zhuǎn)因子得分學(xué)生成績的因子分析模型 X的相關(guān)系數(shù)矩陣學(xué)生成績的因子分析模型MATLAB命令 lambda, psi, T, stats, F = factoran(X, m)確定公共因子個m因子分析模型結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)化變換后的因子 模型標(biāo)準(zhǔn)化變換特殊方差估計因子模型結(jié)果分析因子模型數(shù)學(xué)分析高等代數(shù)概率論微分幾何抽象代數(shù)數(shù)值分析第一公共因子f1與前三門課分?jǐn)?shù)有強的正相關(guān)第二公共因子f2與后三門課分?jǐn)?shù)有強的正相關(guān)前三門課是基礎(chǔ)課,閉卷考試后三門課開卷考試f1稱為“基礎(chǔ)課因子”f2稱為“開閉卷因子”因子模型結(jié)果分

49、析因子得分散點圖序號總分f1得分f2得分A1410-0.7750.0571A2359-1.9667-1.3509A3421-1.36591.2505A51392-0.531-0.9608A524490.16171.2846學(xué)生A44、A23、A10的f1得分較高，說明他們基礎(chǔ)課成績非常好，而學(xué)生A11、A2、A12的f1得分偏低，說明他們基礎(chǔ)課的表現(xiàn)不夠好。學(xué)生A41、A14、A13的f2得分較高，他們較擅長于開卷考試，而學(xué)生A7、A26、A17的f2得分偏低，說明他們在開卷考試中表現(xiàn)不夠理想。學(xué)生的因子得分(由factoran得到)學(xué)生成績綜合評價構(gòu)造因子綜合得分學(xué)生序號成績總分總分排名因子

50、綜合得分因子綜合得分排名A141034-0.56439A235951-1.810550A342129-0.702444A5139245-0.6442A52449140.446416總分排名前10名中有8人因子綜合得分也在前10名, 總分排名后10名中有9人因子綜合得分也在后10名因子綜合得分排名前10名中有8人總分也在前10名,因子綜合得分排名后10名中有8人總分也在前10名總體表現(xiàn)：兩種排名次序差異不超過5名的比例為61.54%，具有較好的吻合度。排序結(jié)果比較學(xué)生A3總分排名29, 綜合因子得分排名44,由于該生“基礎(chǔ)課因子”得分排名僅為48, 盡管在3門開卷考試中表現(xiàn)不錯,“開閉卷因子”得

51、分排名10, 但綜合得分中“基礎(chǔ)課因子”約占75%的權(quán)重, 所以因子綜合得分較低.成績綜合評價（學(xué)生個例分析）利用因子綜合得分排名，比傳統(tǒng)的排名方法更具有科學(xué)性與參考價值。兩種排名次序差異較大的學(xué)生成績分析學(xué)生A44總分排名第7，而因子綜合得分排名高居第2，該生“基礎(chǔ)課因子”得分排在第1，而“開閉卷因子”得分排名45，說明他很不擅長開卷考試，好在他有極好的基礎(chǔ)課考試成績，使得因子綜合得分躍升到第2名.模型評述利用主成分分析只要對原始分?jǐn)?shù)做恰當(dāng)?shù)木€性組合,就可以找到兩個指標(biāo)(即主成分),在不丟失重要信息的前提下,最大程度地區(qū)分學(xué)生的成績.當(dāng)各變量數(shù)據(jù)量綱不同或取值數(shù)量級相差較大時,通常要將原始變

52、量作標(biāo)準(zhǔn)化處理,于是協(xié)方差矩陣變?yōu)橄嚓P(guān)系數(shù)矩陣. 但是用二者得到的主成分系數(shù)一般是不同的(復(fù)習(xí)題1).如果原始數(shù)據(jù)量綱相同且數(shù)量級相差不大, 建議不要對數(shù)據(jù)做標(biāo)準(zhǔn)化處理.主成分分析與因子分析方法的主要思想都是采取常用的降維手段來降低整個數(shù)據(jù)的復(fù)雜程度。因子分析是從數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣出發(fā)，尋找潛在的起支配作用的因子，和主成分分析相比，由于因子分析可以使用因子旋轉(zhuǎn)技術(shù)幫助解釋因子，在數(shù)據(jù)解釋方面更加有優(yōu)勢。兩種方法各有優(yōu)缺點，都是目前數(shù)據(jù)挖掘與人工智能領(lǐng)域研究的重要方法。模型評述9.8艾滋病療法的評價和療效的預(yù)測艾滋病是當(dāng)前人類社會最嚴(yán)重的瘟疫之一，從1981年發(fā)現(xiàn)以來它已經(jīng)吞噬了數(shù)千

53、萬人的生命.艾滋病療法的評價及療效的預(yù)測 被選為全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2006年B題.數(shù)學(xué)建模也在這場艱苦斗爭中發(fā)揮著重要作用.人們正在艾滋病的研究、預(yù)防、治療等各個領(lǐng)域進(jìn)行著不懈的努力.賽題(2006B)艾滋病(醫(yī)學(xué)全名: 獲得性免疫缺損綜合癥, AIDS) 由艾滋病毒(全名: 人體免疫缺損病毒, HIV)引起.人類免疫系統(tǒng)的CD4細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起 重要作用，當(dāng)CD4被HIV感染而裂解時，其數(shù)量 會急劇減少，HIV迅速增加，導(dǎo)致AIDS發(fā)作. HIV破壞免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗疾病的能力.艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù) 量，同時產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效降低CD4

54、減少的速度，以提高人體免疫能力。迄今為止人類還沒有找到能根治AIDS的療法.問題一. 利用美國艾滋病醫(yī)療試驗機構(gòu)公布的ACTG320數(shù)據(jù)，預(yù)測繼續(xù)治療效果或確定最佳治療終止時間.病人序號CD4時間 (周)CD4濃度HIV時間(周)HIV濃度23424017805.5422843.9812684.72517125440994052342501405.346242.4911093.723122232.640320300多名病人每隔幾周測試的CD4和HIV的濃度data 0908a.txt問題二. 利用193A數(shù)據(jù)評價4種療法的優(yōu)劣，對較優(yōu)的療法預(yù)測繼續(xù)治療效果或確定最佳治療終止時間.病人序號療法年

55、齡CD4時刻 (周)CD4濃度1236.427103.13557.27143.044515.27142.772623.27142.833232.27143.2189403.04452447.846703.068183.8918163.9703233.610930.7143.3322393.09101300多名病人分4組,每組一種療法測試的CD4濃度data 0908b.txt問題分析臨床需要患者改變治療方案的原因：試驗結(jié)果提示,使用的不是最佳治療方案；CD4細(xì)胞數(shù)量繼續(xù)下降；表現(xiàn)嚴(yán)重毒副作用, 難以堅持治療.艾滋病療法的評價標(biāo)準(zhǔn)是降低HIV病毒，提升CD4細(xì)胞，而HIV濃度的測試成本很高.治療

56、過程中如果HIV不再降低，CD4不再升高，就應(yīng)終止治療，否則可繼續(xù)治療.人們對艾滋病發(fā)展和治療機理尚不完全掌握，本題用數(shù)據(jù)統(tǒng)計方法進(jìn)行療法評價及療效預(yù)測.數(shù)據(jù)多數(shù)是某位病人5或6個時間點的測試記錄，如果測試時間點過少(僅2,3個)，可將該病人刪除.為了消除病人的初始狀態(tài) (t=0的CD4和HIV濃度)對模型的影響，可以取各位病人每次的測量值與初始值之差(或之比)，作為分析、建模的依據(jù).對明顯錯誤數(shù)據(jù)(可根據(jù)前后記錄辨別)予以刪除. 也可以先按照病人的初始狀態(tài)分類 (如輕度、中度、重度)，然后對于每一類病人進(jìn)行分析和建模.數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)分析 對ACTG320數(shù)據(jù)隨機取若干病人作圖CD4tHIVt先

57、增后減先減后增問題一. 預(yù)測治療效果或確定治療終止時間CD4有先增后減趨勢，HIV有先減后增趨勢，啟示應(yīng)建立濃度對時間的二次回歸模型： y=b0+b1t+b2t2, y CD4(HIV)濃度, t 時間取3位病人的CD4濃度擬合二次回歸模型234242344123444彼此差異較大！數(shù)據(jù)分析 預(yù)測治療效果或確定治療終止時間1）縱向數(shù)據(jù)(longitudinal data)回歸模型tij , yij 第 i個病人第 j次測量的時間和CD4濃度ij 隨機誤差，服從零均值、方差2的正態(tài)分布.模型建立b0i, b1i, b2i 回歸系數(shù)，下標(biāo)i描述不同病人的CD4濃度，應(yīng)視為隨機變量. n 病人總數(shù)，ni 第i病人的測量次數(shù).bk固定效應(yīng)參數(shù), 與哪個病人i無關(guān); 1）縱向數(shù)據(jù)回歸模型模