北大群倫電子版group_theory_4

1、第四章 轉(zhuǎn)動群 continuous): 群元可由一組獨立實參量描述, 其中至少有一個參量在一定區(qū)域是連續(xù)變化的. 設(shè)連續(xù)參量的數(shù)目為r(1rn), 記為 r稱為該連續(xù)群的階. r個獨立實參量的變化區(qū)域稱為群參數(shù)空間4.1 一些基本概念G的群元g, 可由r個連續(xù)實參量表征, 即 1設(shè)一個集合G的元素g可由r個實參量來表征, 即如果g()滿足下列條件: 1) 集合G中存在一個單位元素e=g (0), 對任意元素g()G,有李群2) 逆元: 對任意, 存在 , 使通常取0=0,0, , 0即對于任意元素g()G,存在逆元素23) 封閉性: 對于任意兩個元素g(), g()G, 其乘積仍屬于G. 即

2、在參數(shù)空間中能夠找到一個參數(shù), 使4) 結(jié)合律: 對任意, , , 有是,的實函數(shù), 即則連續(xù)群G稱為李群. 或 5) =f(,)是,的解析函數(shù)(連續(xù)可微), 是的解析函數(shù).稱為李群的結(jié)合函數(shù). 3 連通性:如果從連續(xù)群的任意一個元素出發(fā), 經(jīng)過r個參量的連續(xù)變化, 可以到達單位元素, 或者說如果連續(xù)群中的任意兩個元素可以通過r個參量的連續(xù)變化連結(jié)起來, 則稱此連續(xù)群是連通的. 這樣的李群稱為簡單李群, 否則稱為混合李群. 緊致李群: 如果李群的參數(shù)空間由有限個有界的區(qū)域組成, 則稱該李群為緊致李群, 否則稱為非緊致李群. 1) 所有實數(shù)以數(shù)的加法為群的乘法構(gòu)成一個一階李群. 群參數(shù)為群元本身

3、. 結(jié)合函數(shù)為=+. 一階非緊致簡單李群 例:2)空間平移群: 三維實空間中的所有平移變換構(gòu)成一個李群, 群元由三個獨立的實參量表征.三階非緊致簡單李群.43) 二維特殊酉群SU(2): 所有行列式為+1的二維酉矩陣構(gòu)成 的群. 即SU(2)是一個三階緊致簡單李群其中,為實參量.滿足條件SU(2)的群元可寫為或?qū)憺?4) 三維實正交群O(3): 所有三維實正交矩陣構(gòu)成的連續(xù)群. 群元由3個實參數(shù)標記. 群元滿足正交條件 三維實特殊正交群SO(3): 所有行列式為 +1 的3維實正交矩陣構(gòu)成的連續(xù)群, 群元由3個實參數(shù)標記. O(3)保持實二次形不變SO(3)群對應(yīng)于三維實空間保持原點不變的三維

4、轉(zhuǎn)動群,群元為轉(zhuǎn)動矩陣 , 由三個實參量0 , 0 , 0 2 來表征. 三階緊致簡單李群.三維實正交群O(3)=SO(3)E,I. 由行列式分別為1的互不連通的兩葉構(gòu)成, 其參數(shù)空間包含兩個互不連通的區(qū)域, 是三階緊致混合李群. 6 空間轉(zhuǎn)動群: 三維實坐標空間R3保持原點不變的所有轉(zhuǎn)動變換構(gòu)成的群, 對應(yīng)于特殊實正交矩陣群SO(3). 1) SO(3)群的群元可用繞過原點方位角為(,)的轉(zhuǎn)動軸k的轉(zhuǎn)過角的轉(zhuǎn)動變換Ck()表示. 在笛卡爾坐標系中, 繞三個坐標軸x,y,z的轉(zhuǎn)動元素分別為SO(3)群的參數(shù)化:4.2 轉(zhuǎn)動群SO(3)與二維特殊酉群SU(2)7 2) SO(3)群的群元也可用三

5、個歐拉角,來標記. SO(3)轉(zhuǎn)動元素由相繼三個轉(zhuǎn)動變換生成: (1) 繞z軸轉(zhuǎn)角,02; (2)繞新的y軸(y軸)轉(zhuǎn)角, 0; (3)繞新的z軸(z軸)轉(zhuǎn)角, 0 2. 即8 二維特殊酉群SU(2):所有行列式為+1的二維酉矩陣構(gòu)成 的群. 三階緊致簡單李群, 群元由三個實參數(shù)表示或9 SU(2)群與SO(3)群的關(guān)系:對于SU(2)中的任意一個元素uSU(2), 可定義一個三維實坐標空間中一個變換Ru如下:為泡利矩陣. 是三個獨立二階零跡厄米矩陣.定義:則Ru滿足1) Ru是三維實坐標空間中實正交變換, 即102) det(Ru)是a,b的連續(xù)函數(shù), det(Ru)=1.則SU(2)中任意

6、一個元素都對應(yīng)于SO(3)中一個元素Ru3) 上述映射關(guān)系保持乘法規(guī)律不變4) 上述映射關(guān)系是SU(2)到SO(3)的同態(tài)映射, 即對于SO(3)中任何一個元素, 都能在SU(2)中找到一個元素與之對應(yīng).11SO(3)中一個元素R(,), 都能在SU(2)中找到一個元素與之對應(yīng), 存在SU(2)群到SO(3)群的同態(tài).5) 同態(tài)核由組成, 對應(yīng)SO(3)中單位元素.SU(2)群到SO(3)群的同態(tài)映射是二對一的同態(tài), SU(2)中兩個元素u,-u對應(yīng)于SO(3)中同一元素.124.3 SU(2)群的不可約表示SU(2)群元是二維復(fù)向量空間上的酉變換有序復(fù)數(shù)(,)是二維復(fù)向量空間中任意向量. 考

7、慮和的2j次齊次函數(shù)構(gòu)成的2j+1維函數(shù)空間以j為基底生成一個2j+1維的線性復(fù)函數(shù)空間13在SU(2)群元作用下, (,)變?yōu)?,). 構(gòu)造一個映射, 將利用二項式定理變?yōu)楦鶕?jù)負整數(shù)的階乘為無窮, 并進行變量代換=j-k-k14得到SU(2)群元u的表示矩陣Aj保持SU(2)的乘法規(guī)律不變表示Aj是SU(2)的酉表示: 15如果對角矩陣A對角元素各不相同, 則與之對易的矩陣 必是對角矩陣.表示Aj是SU(2)的不可約表示: 2) 如果對角矩陣A矩陣B對易, 且B中有一列不含一個零, 則A必為常數(shù)矩陣.與SU(2)表示矩陣Aj(u)對易的SU(2)的矩陣必為常數(shù)矩陣: 當SU(2)元素中參數(shù)取

8、a=exp(i/2), b=0時, 2) Aj(u)第一列16SU(2)元素SU(2)的類結(jié)構(gòu)和特征標: 本征值可將本征值取為參數(shù)a實部相同的所有元素本征值相同.本征方程本征值只與Re(a)有關(guān), Re(a)相同的所有元素本征值相同,通過相似變換聯(lián)系, 相互等價, 互為共軛元素. 172) 取SU(2)元素SU(2)的類結(jié)構(gòu)和特征標: 表示Aj的特征標為u() 與u()屬于同一類, 則可用u()標記SU(2)群的類. 184.4 SO(3)群的不可約表示SU(2)群有到SO(3)群的同態(tài)映射是二對一的同態(tài), 保持乘法規(guī)律不變. SU(2)中兩個元素(u,u)對應(yīng)于SO(3)中同一轉(zhuǎn)動元素Ru.

9、對于SU(2)的表示Aj, 當j為整數(shù)時, 有Aj(u)= Aj(u), SU(2)中兩 個元素(u,u)對應(yīng)于同一表示矩陣. 則Dj(Ru)= Aj(u)是SO(3) 的一個表示, 稱為單值表示.對于SU(2)的表示Aj, 當j為半整數(shù)時, 有Aj(u)= Aj(u), 根據(jù)同態(tài) 關(guān)系, 有兩個矩陣Aj(u)對應(yīng)于SO(3)中一個元素, Dj(Ru)= Aj(u) 不是SO(3)的表示. SO(3)群中具有相同轉(zhuǎn)角的元素屬于同一類. 可用Ck()標記. 特征標為194.5 李群的無限小生成元設(shè)李群由r個實參量來表征 恒元由零參量標記0, 恒元附近的無窮小元素由無窮小參量將結(jié)合函數(shù)作泰勒展開結(jié)合函數(shù)為描述. 是群元g()鄰域的元素.20定義考慮的任意一個