等腰三角形常用輔助線添加方法,五道經(jīng)典考題詳解

1、等腰三角形，是初中數(shù)學(xué)里的一個(gè)重點(diǎn)，和等腰三角形有關(guān)的考試題型，各種變式題也特別多。如何快速解決好等腰三角形問題，做到孰能生巧？今天總結(jié)了以下四種和等腰三角形題型有關(guān)的常見輔助線添加方法 ，共5道例題，有詳細(xì)講解。方法1,作“三線合一”中的“一線”1.如圖,AABC中,AB=AC, D是BC的中點(diǎn)，過A點(diǎn)的直線 EFBC,且 AE-AF,求證：DERF.原題圖（蟀析圖）證明匚如圖，連接AD.,ABC 中，AB=AC, D是BC 的中點(diǎn),AADBC,VEF#BC,，AD_LEF,又 AE=AF,二AD垂直平分EF,.DE=DF,方法一：做三線合一中的一線三線合一，是等腰三角形里最重要的性質(zhì)定理之

2、一。所謂三線，就是等腰三角形中, 頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線。必然三線合一例題1 ,是三線合一的最基礎(chǔ)的題型， D是BC的中點(diǎn)，那么連接 AD ,通過三線合一 的性質(zhì)，得出AD BC.方法2、作平行線法2.如圖,在aADC中,AB=AC,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA 移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動(dòng)， 己知點(diǎn)P, Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D.(1)如，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：PD=QD；(2)如圖,過點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為E,當(dāng)點(diǎn)P, Q在移動(dòng)的過程也線段BE, DE, CD中是否存在長度保 持不變的線段？請(qǐng)說明理由.解答：、過P點(diǎn)作PFAC交

3、BC于F.AHQ點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā),且速度相同,BP=CQ.VPF/7AQ, AZPFB=ZACB, ZDPF=ZDQC.VAB-AC, AZB=ZACB, A ZB-ZPFB, ，BP:PF,，PF=CQ.VZPDF=ZQDC, PF=CQ, ZDPF=ZDQCf AAPFDAQCD, APD=QD.、ED的長度保持不變.理由如下： 由知 PB二PF. PEJLBF, ； BE=EF. 由知PFDgQCD, AFD=DC ，ED=EF+FD=BE+DOLBC,2A ED為定值.方法二：做平行線法這個(gè)一般是做一腰的平行線，得出兩個(gè)角相等，從而得出三角形全等例題2中，這個(gè)題是非常常見的考試經(jīng)典題

4、型。第小題，得出三角形全等，得出PD=QD第小題，過點(diǎn)P做PF / AC,因?yàn)?PBF腰三角形,PE BF,三線合一得出BE=EFo又因?yàn)槿切稳?，得?FD=CD 。所以，得出ED=BC的一半，即為定值方法3、截長補(bǔ)短法（原題圖）（解析圖）3.已知：如圖，在AABC中,AB=AC, D是AABC外一點(diǎn)，且 ZABD=60- , NACD=60口求證：BD+DOAB.證明:延長BD到邑使即二BA,連接AF, CF, VZABD=60o ,r.ABF為等邊三角形， 二AF二AB=AC二BF, ZAFB-6O0 , AZACF=ZAFC,XV ZACD=60 , A ZAFB=ZACD=60 N

5、DFONDCF, /( DC=DF.BD+DC=BD+DF=BF=AB,即 BD+DC=AE.方法三：截長補(bǔ)短法，或者叫截長取短法簡單說，就是在某一條線段上截取一條線段，和已知線段相等?；蛘?，延長某一線段,使之等于某已知線段。此解題方法常用，請(qǐng)大家細(xì)心鉆研，平時(shí)多探索，勤學(xué)苦練。例題3,就是一道延長某一線段，使之等于某已知線段，經(jīng)典考試題型.如圖，在aABC 中，NBAO120。，ADLBC 于 D,且AB+BD=DC,求/C的度數(shù).（瞅題圖）（解析圖）解答：在DC上截取DE由D,連接AE,如圖所示， VADBCf A ZADB=ZADE=90 , 在ABD和4AED中， AD二AD, NAD

6、B=NADE, DB=DE,AAABDAAED(SAS), JAB二AE, AZB=ZAEB, 又lAB+BD=CD, DE=BD, ，AB+DE=CD,而 CD=DE+EC, ，AB二EC, .AEEC, 故設(shè) NSNEACr, /AEB為aAEC的外角， ，NAEB=/EAC+/C=2x, A NB=2% :在ABC 中，ZBAC+ZB+ZC=180 .*.1200 +2x+x=180 解得；x=20 , U(|Z0200例題4,這就是一道在某一條線段上截取一條線段，和已知線段相等，通過等量轉(zhuǎn)換, 得出結(jié)論的經(jīng)典考試題型。方法4、加倍折半法，倍長中線法.如圖，CE、CB分別是AABC與AA

7、DC的中線, 且 NACB= NABC 求證：CD=2CE.（原題圖）（解析圖）證明工過B作BFAC交CE的延長線于F,：CE 是中線，BFAC,AE=BE, /A=NABF, NACE=NF,在AACE 和aBFE 中，ZA=ZABF, NACE=NF, AE=BE,ACE色BFE(AAS), ACEf=EF, AOBF,ACF=2CE,又,/ACB=NABC, CB 是aADC 的中線， Z.AC=AB=BD=BF,丁 ZDBC= ZA+ Z ACB= ZABF+ Z ABC. AZDBC=ZFBC,在DBC 和FBC 中，DB=FB, NDEONFBC, BC=BC, /.DBCSAFBC (SAS),*DOCF=2CE.方法四：加倍折半法，倍長中線法例題5,解析說過點(diǎn)B做BF/ AC,最后得出的還是線段相等。其實(shí)，這個(gè)題還有一個(gè)更好的解題思路，就是倍長中線法先提示一下輔助線的添加方法。因?yàn)镃E是 AB酰中線，倍長中線 CE。延長CE至F,使