線性代數(shù)總復習題2004625_2

1、線性代數(shù)總復習題(2004.6.25)、填空題1、設向量組3=(1, 1,1),國=(1, 2, 1),陽(1, 3, t)的秩為 2,則 t =2、設向量組o(1= (1, 3、設向量組o(1= (1,4、設A為3階方陣, 5、設A為4階方陣,2, 3), 2, 3), 且滿足 且滿足02= (1, 1 , 1 ), -3= (1 , 2, t)線性相關,則 t=2= (1, 1 , 1 ), 0(3= (1 ,2,A2+A= E,則 R (A+E) =A3- A=E,則 R (A- E) =t),則 t.00時線力量性無關。6、設3= (1, 3, 5), P = (3, -2, 1),令

2、 A=aTp,貝U An = TOC o 1-5 h z 7、設人=11 一 且 A 6 = E，則 A11 =;2 21 )8、設1是矩陣A的一個特征值，且B= A3-A,則|B|=。9、已知4階行列式D的第二行元素分別為-1,0, 2,4,第4行元素的余子式依次為2,10, y, 4,則丫 =10、設 A、B 均為 3 階方陣，且 |A|=2, |B|=4,則 12A*B-1|=。11、設3階方陣A= ( aij )的特征值為1, 3, 5,則|A|二12、設A、B均為3階方陣，且|A|二2,|B|=4,則 A*B-1|二13、設3階方陣a=( aj)的特征值為1,3,5,則 Tr=14、

3、設實矩陣A 33=(aj) #0,且 a11 #0,aaij=Aj (為為a。的代數(shù)余子式)，則I A |15、設A=名209210000110、0-21 ，則 I A |16、設A為二階方陣,B為三階方陣，且1 A |O(2 A)-117、設A為四階可逆方陣，且| A,I =2,則| 3(A *),2A | =18、設三階方陣A= ( q )的特征值為1, 2, 3,貝U an+a22+a33=19、設f =4x； +3x； +2叔2乂3 +3x；為正定二次型，則K的取值范圍20、設 f(X1,X2,X3)=x：+4x2+4x；+2九X1X22x1x3+4x2X3 為正定二次型，貝U 人的取

4、值范圍21、設f =3x； +3x2 +2八1&+3乂2為正定二次型，則K的取值范圍22、設3階矩陣A= 2yl , B=3 2 )其中a, 3% 聿均為3維的行向量，且 A|=18, |B|=2,則|A- B|=、單項選擇題(每小題3分，共計15分)1、設n階方陣A、B、C滿足BCA = E,則下面的結論正確的是()。(A) ACB = E; (B) CBA = E; (C) CAB = E;(D) BAC = E。2、設n階方陣A、B、C滿足CBA=E，則下面結論正確的是()。(A) CAB=E;(B) ACB=E;(C) ABC=E;(D) BCA=E。 TOC o 1-5 h z 3、

5、若A, B為同階方陣，且滿足AB=0,則有()A = 0 或 B=0;(B) |A|=0 或 |B|=0;(A+B)2 = A2+B2 ;(D) A與 B 均可逆；4、若由AB=AC (A, B, C為同階方陣)能推出B=C,則A滿足()A#0;(B) A=0;(C) |A|#0;(D) |AB|第0。5、若A, B為同階方陣，則有()(A) (AB)k=Ak Bk;(B) |- AB|= 一|AB|;(C)E2-(AB)2= (E AB) (E+AB); (D) |A+B|= |A|+|B|。6、已知A為n階方陣，若有n階方陣B使人8=8人=人則()(A) B為單位矩陣；(B) B為零方陣；

6、(C) B,=A; (D)不一定。7、若A, B, (B,+A)為同階可逆方陣，則(B,+A,)=()(A) B+A；(B) B + A; (C) (B+A)；(D) B(B+A)A。8、設1,。2線性相關，P,線性無關，則下面結論正確的是()。(A) 5, 22, 內(nèi)線性相關；(B) 口1,汽2, 3線性無關；(C)叼能由P, 2,二3線性表示；(D) P能由覆1, 2線性表示。9、已知P可由G1, 2, CC3線性表示，而P不能由ai,立2線性表示，則下面結論正確的是()。口3能由口1, 2, P線性表示，也能由1, 口2線性表示；g能由四，2, P線性表示，但不能由1, 22線性表示；%

7、不能由%，2, P線性表示，也不能由5, 2線性表示；g不能由口1, 32, P線性表示，但能由5, 32,線性表示。 TOC o 1-5 h z 10、設0C1, 02,購線性無關，則下列向量組線性相關的是()。(A) 0C1 , 02 , 03 - 0C1 ；( B) 0C1 , 01+02, 0C1+ 03；(C) 01+ 02, 02+ os, 0G+a1；(D) a1-o(2, 02- o(3, os-od。11、設n元線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A的秩為n-3,且仍，s 名為線性方程組Ax=0的三個線性無關的解 向量，則方程組Ax=0的基礎解系為()。(A) 0C1+ 02 , 0

8、2 + 06 , 0G+a1；(B) 0(2 - 0C1 , OG - 0(2, 0C1 - 03；(C) 2 02 - a1, - 03 -02, ot1 - 03；(D) oi+oe+oo, 03-02, - g-2 03。212、設 A 為 n 階方陣，且 A3=2E,又 B=A2+A+E,則 R (B)=()。(A) 0;(B) 1;(C) 3;(D) n。13、設A、B均為n階非零矩陣，且AB=O,則R(A)和R(B)滿足()。(A)必有一個等于零；(B)都等于n；(C) 一個小于n, 一個等于n；(D)都等于n。14、已知A =i2 HYPERLINK l bookmark14 o

9、 Current Document 24l363、t , B為3階非零方陣，且AB=O,則(915、(A) t = 6 時,(C) t06 時,R(B)必為 i;(B) t = 6 時，R(B)必為 2;R( B)必為 i;(D) tw6 時，R(B)必為 2。設A為mxn矩陣，B為nxm矩陣，則線性方程組ABx=0()。(A)當nm時，僅有零解;(B)當mn時，僅有零解;(B)當nm時，必有非零解;(D)當mn時，必有非零解。16、設 Ax=b，其中 Amxn,R(A)=r，則(B) r m時，Ax=b有無窮多解;(A) r=m 時，Ax=b 有解；(C) rwm 時，Ax=b有唯一解；(D

10、) r=m 時，Ax=b有唯一解。i7、設Bi, B2是非齊次線性方程組 Ax=b的兩個不同的解，ai,。2是其對應的齊次線性方程組 Ax=0的基礎解系，ki,k2為任意常數(shù)，則線性方程組Ax= b的通解為(、i ；：2(A) kiai+k2 ct2+ -;i 2ki o(i+k2( ai-ct2)+；2(B) ki ： i+k2(： i+ ： 2)+ki ： i+k2( ：i- 2)+i8、已知Qi,電是齊次線性方組Ax=0的基礎解系,Pi,比是非齊次線性方程Ax=b的兩個不同的解向量，ki,k2為任意常數(shù)，則Ax=b的通解為(i(A) kioti + k2O(2 + ( Pi-fe)；2(

11、B)i9、(B)(C)(D)i(C) kiC(2 +k2 (%+口2)+ (i+p2)；2(D)kiPi + k202 + (ai-O(2)；2- - i ,-、kii+ k2(Pi-p2)+ (口什與)。設A為mx n矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組 Ax=b所對應的齊次線性方程組 ，則下面結論正確的是若Ax=0僅有零解，則 Ax=b有唯一解；若Ax= b有無窮多組解，則Ax=0只有零解;若Ax= b有無窮多組解，則Ax=0有非零解;若Ax=0有非零解，則Ax=b有無窮多組解。20、設ai, 02是n元線性方程組Ax=0的兩個不同的解向量，k為任意常數(shù)，則方程組 Ax=0的通解為(kai；k

12、 處;(C)k( ai- 02);( D) k( ai+ 22) o2i、設矩陣A=3i一7,B =i iI5i3-i,Pi尸2 =0 ik0則B=(A) P2PiA;22、已知矩陣(B) P1P2A;(C)APi P2;(D) AP2Pioi、i22,B =ii034i ii 22 32i ,Pi = i;00尸2 = h0 iJ 0 b2 0 b(B) AP2P1；(C) AP1P2；(D)P2P1A01 1,1 2 1C 0 0)e 1 01oP1P2A;12,P1 =(C)0-1P1AP2；(D)AP1P2。(A)P1P2A;(B)P2 P1A;(C)AP1P2;(D)23、已知矩陣已

13、知正定矩陣2則A相似的對角矩陣為(-1(B)(C)(D)7)26、已知正定矩陣0:0則A相似的對角矩陣為-12(B)(C)；(D)、計算題1、已知向量組(D驗證3，密,3%是R3的一個基;(2)將P用這個基線性表示。2、已知向量組(1) 證 0(1,0(2,3是R3的一個基;(2)將P用這個基線性表示。3、已知向量組，1、2、3、9-9a1 =-1,汽2 =1,口3 =1,P =-8巴巳-13(1)1, 2, 口3 是 R3 的一個基;(2)將P用這個基線性表示。4、已知矩陣1-2-4-4-21-4J相似，求x與y。5、已知矩陣20-1-2相似，求x。6、已知矩陣2xJ-1相似，求x與y。7、

14、已知四元線性方程組Ax=b的三個不同解2,3,且 R (A) =3,其中求線性方程組Ax=b的通解8、已知四元線性方程組Ax=b的三個不同解2,3,且 R (A) =3,其中2、00% =a0 +o(,=,2300求線性方程組Ax=b的通解10、已知矩陣25-141-131?4-114；-1|3L114 2 14 0 10求R (A)及其列向量組的一個極大無關組11、已知矩陣1 22 10 31 0求R (A)及其行向量組的一個極大無關組12、已知向量組求向量組的秩及其一個極大無關組。13、設三階方陣A、B滿足關系式A-1BA=6A+BA,其中13A= 0求矩陣Bo14、設三階方陣A、B滿足關

15、系式A-1BA=6A+BA,其中3 0 0、B = 0 2 09 0 1求矩陣A15、設矩陣A=300 0-5 003一、1.一* * ，一一且潴足 ABA +BA +16E=0,求矩陣B。216、已知A=0、12122)3)2、17、設四維向量組JS2,+ 0(2 + 0(3 + 0t4o 求 Ax =18、已知線性方程組0(3,0(4,其中 0(2,B的通解。2x1 + x2 - x3 - x4 = 12X1 X2 X3 - X4 = 14x1 2x2 x3 - 2x4 = 23 4 ,求解下列矩陣方程：（1）AX=X+C , (2) AXB=C03, 0(4 線性無關， 0(1=- 0(

16、2 - 0(3, 令 A= (ot1, 0(2, 0(3, 0(4),（1）求出線性方程組的通解；（2）寫出該線性方程組所對應的齊次線性 方程組的基礎解系；（3）寫出該線性方程組的一個特解。19、已知線性方程組x1 x2 x3 + x4 = 0 x1 - x2 x3 - 3x4 = 2x1 - x2 - 2x3 + 3x4 = -1（1）線性方程組的通解;（2）寫出該線性方程組所對應的齊次線性方程組的基礎解系；（3）寫出該線性方程組的一個特解。20、x1+x 2-3x 4 -x 5 = 0 x1-x2 +2x 3 -x 4 +x 5=04x1 -2x 2 +6x 3 -5x 4 +x 5 =

17、02x1 +4x2 -2x 3 +4x 4 -16x 5= 0求解非齊次線性方程組x1+x2r3+x4+x5=3J2x1+x2+3x3 +3x4 +4x5 = 143x1 +4x2r3 -3x4 x5 = -11、x1-x2+4x3 +8x4 +4x5 = 31求解齊次線性方程組21、設向量組22、la+8J試問（1）a、b為何值時,B能由0C1 ,02,03,的唯一的線性表示?(2)a、b為何值時,0C1 ,0,03,04線性表小?（3） a、b為何值時，B能由g, 0C2, 03, 04線性表小，但表小法不唯一并寫出表小式23、已知4階方陣A=(4,%,%,心),其中%,%，%均為4維的列

18、向量，并且久2e3。4線性無關，而 30tl = -2a2 % ,若P =3+2%+為3十4久4,求Ax=P的通解。24、求一個正交變換x=py,把二次型f(Xi,X2,X3)= 2x12+3x22+2x2X3+3x32化成標準型。25、求一個正交變換 x=py,把二次型f(x1,x2,x3) = 4x12+3x22+2x2x3+3x32化成標準型。26、求一正交變換，將二次型 f(xi, x2, x3)= 5xi2+5x22 3x32 2xix2+6xix36x2x3 化為標準形，并指出 f(xi , x2, x3)=1表示何種二次曲面。27、已知二次型 f(xi, x2, x3)= xi2+x22+x32+ 2axix2+2xix3+2bx2x3經(jīng)過正交變換化為標準形 f=y22+2y32,求參數(shù) a、 b及所用的正交變換矩陣。四、證明題i、設三階方陣A滿足A3-3A2+2A= O,且R(A)=2, A的非零特征值不同，求(i) A的跡；(2) |A|; (3) A能否 化成對角陣，并說明理由，若能化成對角陣，并寫出對