(整理)單元10超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算.

1、精品文檔單元 10 超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握力法、位移法的基本原理，能用這些方法計(jì)算常用的簡(jiǎn)單超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力；2、熟練應(yīng)用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和無側(cè)位移剛架；了解超靜定結(jié)構(gòu)的特征。 【知識(shí)點(diǎn)】1、超靜定結(jié)構(gòu)的概念、超靜定次數(shù)及確定；力法的基本原理、基本結(jié)構(gòu)；典型方程；用力 法計(jì)算簡(jiǎn)單的超靜定梁和剛架；支座移動(dòng)時(shí)單跨超靜定梁的內(nèi)力。2、力矩分配法的基本原理；轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、分配系數(shù)、傳遞系數(shù)、分配彎矩、傳遞彎矩；用力 矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架?！竟ぷ魅蝿?wù)】任務(wù) 1 用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)任務(wù) 2 用力矩分配法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)【教學(xué)設(shè)計(jì)】 通過對(duì)力法和力矩分配法的學(xué)習(xí)讓學(xué)生理解這兩種方法

2、在解決超靜定結(jié)構(gòu)各有何特點(diǎn)，通過例題的講解能使學(xué)生能更好地理解兩種方法在解超靜定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。10.1 用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)10.1.1 超靜定次數(shù)的確定我們知道，超靜定結(jié)構(gòu)由于有多余約束存在，約束反力未知量的數(shù)目多于平衡方程數(shù)目，僅靠平衡方程不能確定結(jié)構(gòu)的支座反力。從幾何組成方面來說，結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)就是多余約束的個(gè)數(shù)；從靜力平衡看，超靜定次數(shù)就是運(yùn)用平衡方程分析計(jì)算結(jié)構(gòu)未知力時(shí)所缺少的方程個(gè)數(shù)，即多余未知力的個(gè)數(shù)。所以，要確定超靜定次數(shù)，可以把原結(jié)構(gòu)中的多余約束去掉，使之變成幾何不變的靜定結(jié)構(gòu)，而去掉的約束個(gè)數(shù)就是結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。超靜定結(jié)構(gòu)去掉多余約束有以下幾種方法：(1) 去掉支座處的一

3、根鏈桿或者切斷一根鏈桿，相當(dāng)于去掉一個(gè)約束。圖 10-1(2) 去掉一個(gè)鉸支座或者去掉一個(gè)單鉸，相當(dāng)于去掉兩個(gè)約束。圖 10-2圖 10-1精品文檔精品文檔圖 10-2(3) 去掉一個(gè)固定端支座或者切斷一根梁式桿，相當(dāng)于去掉三個(gè)約束。圖 10-3(4) 將一個(gè)固定端支座改為鉸支座或者將一剛性連接改為單鉸連接， 相當(dāng)于去掉一個(gè)約束。圖圖 10-4 用去掉多余約束的方法可以確定任何超靜定結(jié)構(gòu)的次數(shù)，去掉多余約束后的靜定結(jié)構(gòu)，稱為原超靜定結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)。對(duì)于同一個(gè)超靜定結(jié)構(gòu)來說，去掉多余約束可以有多種方法，所以基本結(jié)構(gòu)也有多種形式。但不論是采用哪種形式，所去掉的多余約束的數(shù)目必然是相同的。圖 10-

4、5 (b) 、 (c) 為去掉多余約束的基本結(jié)構(gòu)，一個(gè)是懸臂梁，一個(gè)是簡(jiǎn)支梁，都是原結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)，它們?nèi)サ舻亩嘤嗉s束都是三個(gè)。這里要強(qiáng)調(diào)的是，基本結(jié)構(gòu)必須是幾何不變的靜定結(jié)構(gòu)，如圖所示的剛架，如果去掉一個(gè)支座處的鏈桿的瞬變體系，是不允許的。圖 10-3圖 10-4精品文檔精品文檔圖 10-510.1.2 力法的基本原理這里通過對(duì)圖 10-6 所示一次超靜定梁的分析，來說明力法的基本原理。圖 10-6把支座 B 鏈桿當(dāng)多余約束去掉，選取圖所示的靜定懸臂梁為基本結(jié)構(gòu)。為保持基本結(jié)構(gòu)受力狀態(tài)和原結(jié)構(gòu)的一致， B 支座處的支座反力用 x1 代替，稱為基本未知量。同時(shí)，基本結(jié)構(gòu) B 支座處的幾何變形要

5、保持和原來狀態(tài)一致，即豎向位移為零： =0基本結(jié)構(gòu)和原結(jié)構(gòu)的受力狀況是完全一致的，如果能夠求出基本結(jié)構(gòu)上的基本未知量，再利用靜力平衡方程求出其余的支座反力，則結(jié)構(gòu)的內(nèi)力也就可以全部求解出，這就是力法分析的基本思路。下面先介紹求解基本未知量的方法。利用疊加方法，把基本結(jié)構(gòu)中的豎向位移分為兩部分位移，即其中 1P 表示基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下 B 點(diǎn)沿 x1 方向的位移， 11 表示基本結(jié)構(gòu)在X1 作用下 B 點(diǎn)沿 X1 方向的位移，如上圖 10-6 （c ）（ d）所示。精品文檔精品文檔由于結(jié)構(gòu)的變形在彈性變形范圍內(nèi)，設(shè) 為基本結(jié)構(gòu)在 X1=1 作用下 B 點(diǎn)沿 X1方向的位移，則 1l 可以表示為

6、： 1l= .X1 代入公式得到：由于基本結(jié)構(gòu)為靜定結(jié)構(gòu)，根據(jù)前面靜定結(jié)構(gòu)求位移的方法，可以利用圖乘法求出上式中的 1P 和彎矩圖，稱為 Mp，下圖 10-7 所示為基本結(jié)構(gòu)在荷載 P 及單位荷載 X1=1 分別作用下的，則：所得結(jié)果為正，說明 X1 的實(shí)際方向與基本結(jié)構(gòu)中假設(shè)的方向相同。求得 X1 后，原超靜定結(jié)構(gòu)的彎矩圖 M可利用已經(jīng)繪出的 MP圖和 圖，按疊加原理繪出，即 M=MP+ X1原結(jié)構(gòu)彎矩圖如圖。圖 10-7綜上所述，力法的基本原理就是以多余約束的約束反力作為基本未知量，以去掉多余約束的基本結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，根據(jù)多余約束處的幾何位移條件建立力法基本方程，求解出多余約束反力，然后求

7、解出整個(gè)超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。用這一方法可以求解任何超靜定結(jié)構(gòu)。10.1.3 力法典型方程上面討論了一次超靜定結(jié)構(gòu)的力法原理，下面以一個(gè)三次超靜定結(jié)構(gòu)來說明力法解超靜定結(jié)構(gòu)的典型方程。下圖 10-8 所示為一個(gè)三次超靜定剛架，荷載作用下結(jié)構(gòu)的變形如圖中虛線所示。這里我們?nèi)』窘Y(jié)構(gòu)如圖（ b）所示，去掉固定支座 C 處的多余約束，用基本未知量 X1、 X2、精品文檔精品文檔X3 代替。圖 10-8由于原結(jié)構(gòu) C 為固定支座，其線位移和轉(zhuǎn)角位移都為零。所以，基本結(jié)構(gòu)在荷載及 X 1、 X2、X3 共同作用下， C 點(diǎn)沿 X 1、 X2、 X3 方向的位移都等于零，即基本結(jié)構(gòu)的幾何位移條件為：（ 10.

8、1 ）第一式中 1P、 1x1、 1x2、 1x3 分別為荷載 P 及多余未知力 X 1、 X2、 X3 分別作用在基本結(jié)構(gòu)上沿 X1 方向產(chǎn)生的位移，如果用 11、 12、 13 表示單位力 X 1=1、 X2=1、X3=1 分別作用于基本結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的沿 X1 方向的相應(yīng)位移，如圖（ c）（ d）（e）（ f ）所示。上面幾何條件中的第一式可以寫為：另外兩式以次類推，則可以由（ 10.1 ）式得到以下求解多余未知力 X 1、 X2、 X3 的方程為精品文檔精品文檔（ 10.2 ）對(duì)于 n 次超靜定結(jié)構(gòu)，用力法分析時(shí)，去掉 n 個(gè)多余約束，代之以 n 個(gè)基本未知量，用上面同樣的分析方法，可以得

9、到相應(yīng)的 n 個(gè)力法方程，我們稱之為力法典型方程，具體如下：（ 10.3 ）力法典型方程的物理意義是：基本結(jié)構(gòu)在荷載和多余約束反力共同作用下的位移和原結(jié)構(gòu)的位移相等。 力法典型方程中的 1P 項(xiàng)不包含未知量， 稱為自由項(xiàng)， 是基本結(jié)構(gòu)在荷載單獨(dú)作用下沿 Xi 方向產(chǎn)生的位移。從左上方的 11 到右下方 nn 主對(duì)角線上的系數(shù)項(xiàng)ii ，稱為主系數(shù)，是基本結(jié)構(gòu)在 xi=1 作用下 xi 方向的位移，其值恒為正。其余系數(shù) ij稱為副系數(shù)，是基本結(jié)構(gòu)在 Xj=1 作用下沿 Xi 方向的位移，根據(jù)互等定理可知 ij= ji 。其值可能為正，可能為負(fù)，也可能為零。求得基本未知量后，原結(jié)構(gòu)的彎矩可按下面疊加

10、公式求出：（ 10.4 ）10.1.4 用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)根據(jù)以上力法原理，用力法求解超靜定結(jié)構(gòu)的一般步驟為：(1) 去掉多余約束，選取基本結(jié)構(gòu)。，(2) 建立力法典型方程。(3) 分別作出基本結(jié)構(gòu)在荷載 P 及單位未知力 Xi 作用下的彎矩圖 Mp、(4) 利用圖乘求方程中的自由項(xiàng) ip 和系數(shù)項(xiàng) ij 。(5) 解力法方程，求出多余未知力 Xi。(6) 用疊加方法畫出彎矩圖，進(jìn)而得到剪力圖和軸力圖。 【例 10-1 】用力法求圖 10-9 （a）圖所示超靜定剛架，作出彎矩圖、剪力圖、軸力圖。剛度 EI 為常數(shù)。精品文檔精品文檔圖 10-9【解】 (1) 選取基本結(jié)構(gòu)如圖 （ 2）建立力法

11、典型方程10-9(b) 所示。(3) 作出 Mp、 圖，如圖 10-10 （a）（ b）（ c） , 用圖乘法求出方程中的各系數(shù)項(xiàng)和自由項(xiàng)(4) 代入力法典型方程化簡(jiǎn)得：精品文檔精品文檔解得做出彎矩圖、剪力圖如圖 10-10 （d）（ e）（ f ）所示圖 10-1010.2 用力矩分配法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)10.2.1 力矩分配法的基本原理及基本概念力矩分配法是在位移法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種漸進(jìn)方法，它不必計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移，也無須求解聯(lián)立方程，可以直接通過代數(shù)運(yùn)算得到桿端彎矩。與力法、位移法相比，計(jì)算過程較為簡(jiǎn)單直觀，計(jì)算過程不容易出錯(cuò)，適用于求解連續(xù)梁和無節(jié)點(diǎn)線位移剛架。在力矩分配法中，內(nèi)力正負(fù)號(hào)的規(guī)

12、定與位移法的規(guī)定一致。10.2.1.1 力矩分配法的基本原理這里我們以下圖 10-11 所示剛架為例，來說明力矩分配法的基本思路。精品文檔精品文檔圖 10-11根據(jù)位移法的分析，在荷載作用下，剛節(jié)點(diǎn) 1 產(chǎn)生一個(gè)轉(zhuǎn)角位移 。假設(shè)我們?cè)?1點(diǎn)增加一個(gè)剛臂約束，這時(shí)候結(jié)構(gòu)被附加約束固定，不能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，我們把這一狀態(tài)稱為 固定狀態(tài) ，如上圖 10-11 （b）所示。固定狀態(tài)下，由于各桿段被約束隔離，可以獨(dú)立的分離出來研究，其內(nèi)力可以直接查表得到，稱為固端彎矩，用 表示。同時(shí)，節(jié)點(diǎn) 1 滿足平衡條件，如上圖 10-11 （d），據(jù)此可以求得附加剛臂的約束力矩上式表明，約束力矩等于各桿端固端彎矩之和。以

13、順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?。為了保持結(jié)構(gòu)受力狀態(tài)不改變，我們?cè)诠?jié)點(diǎn) 1 施加一個(gè)和 轉(zhuǎn)向相反、大小相等的力矩 并把這個(gè)狀態(tài)稱為放松狀態(tài)，如上圖 10-11 （C）所示。這樣，固定狀態(tài)和放松狀態(tài)兩種情況的疊加就是結(jié)構(gòu)的原始狀態(tài)，分別對(duì)固定狀態(tài)和放松狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算，并將算得的各桿端彎矩值對(duì)應(yīng)疊加， 即得到原結(jié)構(gòu)的桿端彎矩， 這就是力矩分配法的基本原理。10.2.1.2 力矩分配法的基本概念（ 1）、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為了使桿件 AB某一端 ( 例如 A 端) 轉(zhuǎn)動(dòng)單位角度 ( 不移動(dòng) )， A 端所需要施加的力矩稱為該桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，以 表示。其中產(chǎn)生轉(zhuǎn)角的一端 (A 端)稱為近端，另一端 (B 端)稱為遠(yuǎn)端，如圖 10-

14、12 所示：精品文檔精品文檔圖 10-12遠(yuǎn)端固定：遠(yuǎn)端鉸支：=4=3遠(yuǎn)端定向支座： =遠(yuǎn)端自由（或軸向支桿） =0（ 2）分配系數(shù)在圖 10-11 所示剛架的放松狀態(tài)，剛節(jié)點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)角位移 ，相當(dāng)于 1 點(diǎn)各桿都發(fā)生轉(zhuǎn)角位移 ，各桿端彎矩可以用轉(zhuǎn)動(dòng)剛度來表示：（ a）根據(jù)放松狀態(tài)下 1 節(jié)點(diǎn)平衡，如上圖 10-12 （e）精品文檔精品文檔將式 (a) 代入：式中 表示相交剛接點(diǎn) 1 的所有桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度之和，代回式（ a）得到：從上式可以看出，在放松下， 1 點(diǎn)各桿端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度在所有 1 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度之和中占有一個(gè)比例， 1 點(diǎn)各桿端正是按這個(gè)比例來分配附加力矩 。我們把這個(gè)比例稱為分配系數(shù)，分用

15、表示， 上面 1 節(jié)點(diǎn)各桿端所分配到的彎矩改用 表示， 稱為分配彎矩，上式可寫為：=精品文檔精品文檔= =對(duì)于任意剛接點(diǎn) ，以次類推，可以得到其分配系數(shù)和分配彎矩的表示為：（ 10.5 ）（ 10.6 ）表示桿件的轉(zhuǎn)動(dòng)端（近端）， 表示遠(yuǎn)端顯然，對(duì)于同一個(gè)剛接點(diǎn)，各桿分配系數(shù)的和為 1 1利用上式（ 10.6 ）計(jì)算分配彎矩的過程，就稱為力矩分配。（3）傳遞系數(shù)圖 10-12 所示為遠(yuǎn)端不同約束的直桿。 當(dāng)近端 轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生彎矩， 遠(yuǎn)端 也會(huì)產(chǎn)生彎矩，遠(yuǎn)端彎矩和近端彎矩的比就稱為傳遞系數(shù)，用 表示。傳遞系數(shù)可以理解為是近端分配彎矩傳遞到遠(yuǎn)端的一個(gè)系數(shù)，近端彎矩乘以這個(gè)系數(shù)就是遠(yuǎn)端彎矩。正因?yàn)檫@種傳

16、遞特性，遠(yuǎn)端彎矩也稱為傳遞彎矩，用=（ 10.7 ）精品文檔精品文檔那么得出圖遠(yuǎn)端固定：遠(yuǎn)端鉸支：10-12 遠(yuǎn)端不同約束桿件的傳遞系數(shù)為：C=0.5C=0遠(yuǎn)端定向支座： C=-110.2.210.2.2.1用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架單節(jié)點(diǎn)的力矩分配法單節(jié)點(diǎn)力矩分配法的計(jì)算步驟如下：(1) 根據(jù)式（ 10.5 ）確定剛節(jié)點(diǎn)處各桿的分配系數(shù)，并用 驗(yàn)算。(2) 以附加剛臂固定剛節(jié)點(diǎn)，得到固定狀態(tài)，查表得到各桿端的固端彎矩 。(3) 利用式（ 10.6 ）計(jì)算各桿分配彎矩。(4) 根據(jù)式（ 10.7 ）計(jì)算傳遞彎矩。(5) 疊加計(jì)算出最后的桿端彎矩。對(duì)于近端，用固端彎矩疊加分配彎矩；對(duì)于遠(yuǎn)

17、端，固端彎矩疊加傳遞彎矩?！纠?10-2 】用力矩分配法計(jì)算圖 10-13 （a）所示無節(jié)點(diǎn)線位移剛架的彎矩圖， EI 為常數(shù)。【解】 (1) 確定剛接點(diǎn)處各桿的分配系數(shù)，令圖 10-13精品文檔精品文檔（ 2）計(jì)算固端彎矩：（ 3）力矩分配計(jì)算見下表顯然，剛接點(diǎn) B 滿足節(jié)點(diǎn)平衡條件： 。彎矩圖見圖 10-13 （b）10.2.2.2 多節(jié)點(diǎn)的力矩分配法對(duì)于多節(jié)點(diǎn)的情況，需要在多個(gè)剛節(jié)點(diǎn)處分配傳遞計(jì)算，由于節(jié)點(diǎn)之間相互有傳遞彎矩的影響， 一次分配計(jì)算就不能保證所有節(jié)點(diǎn)的平衡， 而需要多次重復(fù)計(jì)算， 將相互間的傳遞彎矩精品文檔精品文檔再進(jìn)行分配計(jì)算。在多次力矩分配計(jì)算中， 傳遞彎矩會(huì)越來越小，

18、 最后趨近于零，此時(shí)節(jié)點(diǎn)就接近于平衡，如果把此時(shí)各桿端每次分配計(jì)算得到的分配彎矩、傳遞彎矩疊加，再加上原 先的固端彎矩，就是最后的桿端彎矩。這一分配傳遞計(jì)算過程，就是多節(jié)點(diǎn)力矩分配法。我們以一個(gè)三跨連續(xù)梁為例來說明這個(gè)過程，如圖變形線。(1) 我們先分析梁的固定狀態(tài)，如圖 10-14(b) 在節(jié)點(diǎn)剛臂上必有附加約束力矩 。(2) 先放松節(jié)點(diǎn) B，在 B 點(diǎn)施加 ， C 仍然固定。10-14 （a）所示，圖中虛線為梁的B、 C 分別增加剛臂將節(jié)點(diǎn)鎖住，在分配后傳遞彎矩到 C， 因此C 節(jié)點(diǎn)約束力矩增加了 。如圖 10-14(c) 。(3) 放松 C 點(diǎn)，在 C 點(diǎn)施加 - （ + ）， B 重新被固定。分配后傳遞彎矩到 B，節(jié)點(diǎn) B 重新增加了附加約束 ，如圖 10-14(d) 。(4) 再次放松節(jié)點(diǎn) B，在 B 點(diǎn)施加 -束力矩重新增加了 ，如圖 10-14(e) 。(5) 再次放松節(jié)點(diǎn) C，在 C 點(diǎn)施加 -束力矩又增加 ，如圖 10-14(f) 。， C 固定， -， B 固定， -分配后傳遞彎矩到 C， C節(jié)點(diǎn)約分配后傳遞彎矩到 B， B 節(jié)點(diǎn)約圖 10-14重復(fù)以上步驟，輪流放松 B、 C 節(jié)點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)節(jié)點(diǎn) B、 C 相互間的傳遞彎矩會(huì)越來越小，最后趨近于零。 此時(shí)停止分配計(jì)算， 把以上固定狀態(tài)和所有放松狀態(tài)疊加起來， 就是梁原始的受力狀態(tài)，所