東南大學(xué)計(jì)算力學(xué)習(xí)題及答案匯總

1、第三章1如圖所示一三角形鋼板，兩個(gè)結(jié)點(diǎn)固定，對(duì)第三個(gè)結(jié)點(diǎn)施以單位水平位移，測(cè)出所施加的力，從而得出相應(yīng)的剛度系數(shù)。其他點(diǎn)依此類(lèi)推，這樣測(cè)得的剛度系數(shù)所組成的剛度矩陣，是否與按照常規(guī)三角形單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算公式所得結(jié)果一樣？用這樣實(shí)測(cè)所得的剛度矩陣能否進(jìn)行有限元分析？為什么？解：不一樣。單元?jiǎng)偠染仃囍忻總€(gè)元素的物理意義：氏表示單元第j個(gè)自由度產(chǎn)生單位位移，其它自由度固定時(shí), 第i個(gè)自由度產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力。單元?jiǎng)偠染仃囀窃趩卧幱谄胶鉅顟B(tài)的前提下得出的，單元作為分離體看待，作用在 它上面的外力（單元力）必是平衡力系，然而研究單元平衡時(shí)沒(méi)有引入約束承受平衡力系作用的無(wú)約束單元，其變 形是確定，但位移是不能

2、確定的，即單元可發(fā)生任意的剛體位移。不能。因?yàn)榕c有限元中單元與單元之間的約束情況不一樣，不能進(jìn)行有限元分析。2以位移為基本未知量的有限元法其解具有下限性質(zhì)，試證明之。解：系統(tǒng)總位能的離散形式n 1 a T K a a T Pp將求解的方程K a P帶入可得1 TTp a K a a p 2在平衡情況下，系統(tǒng)總位能等于負(fù)的應(yīng)變能。在有限元解中,1 T K a -a Ka U2由于假定的近似位移模式一般來(lái)說(shuō)總與精確解有差別的。設(shè)近似解為 一p、U、K、 a、 K a p ,真實(shí)解為p、u、K、 a、 k a p且根據(jù)最小勢(shì)能原理，得到的系統(tǒng)的總位能總會(huì)比真正的總位能要大，故 一口 D則U U p

3、p-T T T Ta K a a K a a P a P則近似解的位移總體上小于精確解的位移 解釋如下：?jiǎn)卧沁B續(xù)體的一部分，具有無(wú)限多個(gè)自由度，在假定了單元的位移函數(shù)后，自由度限制為只有以結(jié)點(diǎn)位移表示的有限自由度，引入了更多的約束和限制，使得單元?jiǎng)偠容^實(shí)際連續(xù)體加強(qiáng)了，連續(xù)體的整體剛度隨之增加，所以有限元解整體上較真實(shí)解偏小。3請(qǐng)分別闡述單元?jiǎng)偠染仃嚭驼w剛度矩陣中任一元素的物理意義。e解：在單剛 K 中，kj表示單元第j個(gè)位移產(chǎn)生一單位位移，其它位移為零時(shí)，第i個(gè)位移方向上引起的節(jié)點(diǎn)力。在整體剛度中，Kj表示第j個(gè)自由度產(chǎn)生一單位位移，其它自由度為零時(shí)，第i個(gè)自由度上引起的節(jié)點(diǎn)力。4簡(jiǎn)述

4、虛功原理，且使用虛功原理導(dǎo)出外荷載與節(jié)點(diǎn)荷載的等效關(guān)系式。解：虛功原理：變形體中任意滿(mǎn)足平衡的力系在任意滿(mǎn)足協(xié)調(diào)條件的變形狀態(tài)上作的虛功等于零，即體系外力的虛 功與內(nèi)力的虛功之和等于零。、. eeee設(shè)q為外荷載（此處為體力），p為節(jié)點(diǎn)荷載，w為單元內(nèi)位移場(chǎng)，為結(jié)點(diǎn)位移場(chǎng)e T ee T e根據(jù)虛功原理p w q dVV.e_ee Tee Ttee TTe由于 w N故 wq dVN q dVN q dVVVVe Tee TTeeTe則pNT q dVpNT q dVVV5試述彈性力學(xué)中按位移求解與有限單元法中按位移求解之間的異同點(diǎn)。解：彈性力學(xué)有限單元法物理模型連續(xù)體離散化結(jié)構(gòu)基本方程幾何方

5、程物理方程平衡微分方程幾何方程物理方程結(jié)點(diǎn)平衡方程解法解微分方程解代數(shù)方程解答形式用函數(shù)表示用數(shù)值表示解答精度精確解近似解6如果二節(jié)點(diǎn)三角形單兀繞其中某一個(gè)節(jié)點(diǎn)作小的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)角為，證明單兀內(nèi)所有的應(yīng)力均為零。解：在三角形單元中D Bbi 0 bj 0 bm 0yj ym0ym yi0y Yj011B0 q 0 5 0cm0 xj xm0 xm xi0 xi xj2Aj2AjjCibiCjbjCmbmxjxmyjymxmxi ym yxi xj yyj由于三角形單元繞其中某一個(gè)節(jié)點(diǎn)作小的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，各節(jié)點(diǎn)的位移可表示為：0 Yv v0 x TT則可知節(jié)點(diǎn)位移向量0,0, yj, xj, ym

6、, xm00Yi Ym0Ym Yi0Yi Yj00_1_Yi1_故應(yīng)變B0 xj xm0 xm x0 xi xj02Ajjxj2AxjxmYiYmxmXjYmYi為Xjy Yj0ymxm由于彈性矩陣 D為常量矩陣，應(yīng)變向量為零向量，故為零向量，即單元內(nèi)所有的應(yīng)力為零。7二維單元在x,y坐標(biāo)內(nèi)平面平移到不同位置，單元?jiǎng)偠染仃囅嗤瑔?？在平面?nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)又怎樣？試證明之。解：二維單元在 x,y坐標(biāo)內(nèi)平面移到不同位置時(shí)，剛度矩陣相同。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，剛度矩陣也相同。剛度矩陣krsBr T D Bs hA 曰34(12)brbsCrCsbrCsCrbsbrcsCrCsbrbs單元平移或旋轉(zhuǎn)時(shí)，b,C不變，故

7、單元?jiǎng)偠染仃嚥蛔儭?判斷有限元網(wǎng)格離散合理性a）對(duì)圖1（a）所示的有限元網(wǎng)格，評(píng)論網(wǎng)格的優(yōu)劣性，指出模型中的錯(cuò)誤，并加以改正。b）評(píng)論圖1（b）的網(wǎng)格劃分合理嗎？為什么？請(qǐng)加以改正。（口）(b)圖1解：（a）網(wǎng)格劃分不合理。1 ）無(wú)過(guò)渡單元2 ）無(wú)邊界條件3）夾角區(qū)應(yīng)力集中，應(yīng)適當(dāng)加密風(fēng)格4）對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)網(wǎng)格應(yīng)對(duì)稱(chēng)劃分（b）不合理。1）左部網(wǎng)格應(yīng)適當(dāng)加密2）由于三角形單元會(huì)造成局部精度不夠，過(guò)渡區(qū)可采用其它單元?jiǎng)澐?）右部單元的長(zhǎng)寬比較大，就進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。9如圖2所示，平面三角形構(gòu)件以 x-y坐標(biāo)系表示的剛度矩陣方程如下102.51.832.5ux1Px14 1.832.55.02.5vy1Py1

8、1042.54.52.52.5Ux2Px22.52.52.52.5Vy2Py2試建立以u(píng) , 1Uy1 , ux2：（與圖中px2同向的位移）及叱來(lái)表示的剛度矩陣方程。Ux1Ux1解：用坐標(biāo)變換Tvy1則Vy1Ux2ux2 cosvy2.ux2 sin TOC o 1-5 h z 10000 1000 0 cos00 0 sin 0由K PKTP102.51.832.51.832.55.02.5KT2.54.52.52.52.52.52.52.5102.52.964Ux1Px11041.832.52.5Vy1Py1020Ux2Px210000100102.5 2.964 041.832.52.

9、50000-502.5 4.50.503c2.52.50.5000053所示。試求結(jié)點(diǎn)2的等效荷載列陣R2O荷載作用于解：?jiǎn)卧?N21 2邊上，故等效節(jié)點(diǎn)力只與 1、2號(hào)節(jié)點(diǎn)有關(guān)形函數(shù)N1(11邊上，機(jī)1其1N1N202l,ld10某平面結(jié)構(gòu)采用四節(jié)點(diǎn)矩形單元和三節(jié)點(diǎn)三角形單元建立有限元計(jì)算模型，其如圖線(xiàn)性分布面力則RyMqydsl1ql2d0ql 3單元,形函數(shù)N1rN在1-2邊上,TN0qs dss dsq7qi2故節(jié)點(diǎn)2的等效荷載列陣0R2ql 2311試求如圖4所示的有限元網(wǎng)格的整體剛度矩陣，假設(shè)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)為1 ,且設(shè)K e表木第e個(gè)單元的單元?jiǎng)偠染仃嚕ㄗ⒁猓航Y(jié)果應(yīng)該用kj表示

10、）。解：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囌w剛度矩陣：Kk2)kf?k(5)卜.2)卜 女(2)22232625町k22)k24)k25)/ 卜卜 卜 卜32333635KK K Kk42)k44)k4?kkkk(2)k52k63k66k65k51)k52)k54)k55)(AJ2)/)/)22)k62k53k56k55(A(A(3)k55(3)k57)(3)k58),(3)k55.(4), (4)(4) (4)k56k58,(4), (4)Kk媛k?k!3)k7； 燎，Kk65Y)k66k68kkrRRrRRkS0k*媲)000蜴k22)k22)蝎蜴k2?蜷蜷000舄2)k33)0k32k36)00k41)k4

11、1)0k44)k42000k51)k52)M）k53)k(1) k(1)女 545555* k(4) i k(4)*X3)女555556565758580履2)噌0k65)kk k0k656666680000k7(30k77)k78)0000戚）k(4)k(4)*小3).(4)858687888812圖5中兩個(gè)三角形單元組成平行四邊形，已知單元按局部編碼i,j,m的單元?jiǎng)偠染仃嘖和應(yīng)力矩陣S是K（1）1661213.59對(duì)13.500-3030040-30-1201.5-1.5-0.51.5解：由圖可知mi，i(2) mKHKijKimKjjKjmKij則由KjjKjmKmmKmi得至1J K

12、KmmKii9.53267.535.56431.58066對(duì)1661213.59稱(chēng)13.5-3-1-313如圖-0.51.5-1.5-1.56所示8結(jié)點(diǎn)矩形單元（每邊中點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)）,3點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),a=b=2,元厚為t。求該單元的位移函數(shù)和形函數(shù)和并檢驗(yàn)其是否滿(mǎn)足收斂性條件。求在2-6-3邊作用均布水平荷載解：（1）位移函數(shù)：q時(shí)的等效結(jié)點(diǎn)荷載。u 12X 3yv 910X 11y24X2 12X5xy13xy26y2 14y27X y215X y28xy216xyy單 TOC o 1-5 h z 806626647.5331.59.535.5按圖5示單元的局部編碼寫(xiě)出K?, S。 TOC o

13、1-5 h z 引入無(wú)量綱的局部坐標(biāo)x,yabx1 x3y1y3則 n3,x2-一3,y2- HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 22w _1-1故10,22, 3 1, 10,22, 3 114 (1),P3 2 (-)1111i 2(12)(1),l24 (1),l3 2 (3), p12(萬(wàn))(1)巾2則 n 2時(shí)，1 0, 2 1, 1 0, 2 1l1 1 ,l2, P11, P2則角節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)為1111Ni 4 (12)(0N2 4 (-)(-)(1)1111N3 4()(1)(/1),N4 4 (-)(-)(1)邊中節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)為N

14、s 4(1),N64 (證明收斂性：位移函數(shù)中2U 12X 3y4X2v 910X11 y12X1)(1),N74 ( HYPERLINK l bookmark189 o Current Document 22sxy 6 y7X y2213Xy14y15X y1)(1), N84 (1)28Xy216Xy2, 3和9, 10表示常應(yīng)變，故位移函數(shù)具有完備性設(shè)相鄰單元公共邊界上的直線(xiàn)方程是y b (或 xa）,代入位移函數(shù)中3b 6b2 (11b (105b13b)8b2)X ( 416b X ( 127b)x2 1sb)X2為X （或y）的2次函數(shù)，而邊界上三點(diǎn)確定的位移函數(shù)為也為二次曲線(xiàn)，故

15、單元在公共邊界連續(xù),故位移函數(shù)收斂 （2）荷載作用在2，1、N23邊上,2乂故等效節(jié)點(diǎn)力只與2,6,3號(hào)節(jié)點(diǎn)有關(guān)1)(1 ), M 4(1萬(wàn))(1)(；）（1)0邊上計(jì)算NiN2N61,6 4(1N32 ),3 40,N6b-Nds J(一)2 ()2d2dP3x1t Mqxds 2qt N3d3 P6X1N6q*ds 2qt N6ds04qtFLt3N2q*ds12qt N2d0qt3第四章1經(jīng)典梁理論和Timoshenko梁理論有哪些相同點(diǎn)和哪些不同點(diǎn)？基于以上兩種理論的梁?jiǎn)卧饔泻翁匦?解：經(jīng)典梁理論Timoshenko 梁理論相同點(diǎn)Kirchhoff 假設(shè)不同點(diǎn)G型單元甯曲梁?jiǎn)呜＝孛孓D(zhuǎn)

16、動(dòng)是撓度w的一階導(dǎo)數(shù)，只有撓度w是獨(dú)立的采用Hermite插值C。型單元考慮男切變形影響撓度w和截面轉(zhuǎn)動(dòng)各自獨(dú)立插值采用拉格朗日插值特性梁的高度遠(yuǎn)小于跨度梁很薄時(shí)，會(huì)造成剪切鎖死現(xiàn)象2寫(xiě)出桿件的應(yīng)變能計(jì)算公式，并給出推導(dǎo)過(guò)程。優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)凝聚自由度法3在桿系系統(tǒng)中，除了采用凝聚自由度的方法實(shí)現(xiàn)較接端條件, 法的優(yōu)缺點(diǎn)。解：解：將只考慮軸向變形的桿件劃分成n個(gè)單元，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為x0,x1,L,xi,x 1,L , xn單元的位移函數(shù)u(x)12x ( xi 1用形函數(shù)近似位移函數(shù)得u(x)eNi i(x)ueNiUi ,其中ANi i(x)x xie-,Ni(x)xixi 1單元的應(yīng)變dudx-xi

17、xi 11eUi! r r eB Ui單元的應(yīng)力EB ue單元應(yīng)變能其中Kiexi 1AdxeUi(BT EABdx)xieUie TUiKieeUi不1BT EABdxxiEA還有什么方法可以實(shí)現(xiàn)以上條件，并比較這幾種方4利用最小勢(shì)能原理，推導(dǎo)圖1所示彈性基礎(chǔ)上梁?jiǎn)卧匠?，其中該梁的?shì)能為: TOC o 1-5 h z ,2 HYPERLINK l bookmark55 o Current Document L12 L kfvLEI (v) dxdx wvdx HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 0 2020圖1解：根據(jù)最小勢(shì)能原理可知p 0p

18、lll故有(EIv) vdxkfv vdx w vdx 0lll對(duì)第一項(xiàng)分部積分(EIv)vdx (EIv) v；(EIv) v (EIv) v|； (EIv)山 (EIv) v000l則(EIv) kfv w vdx (EIv) v 0l _0 (EIv) v引入強(qiáng)制邊界條件和臼然邊界條件使（EIv）vl _l0 (EIv) v由于 v的任意性故控制微分方程為（EIv） kfv w 0此梁的位移函數(shù)vh(x) N：(x)Vi N；(x) 1 N；(x)V3 N：(x) 4 N由于物理關(guān)系可知v(x)B d 貝U vB dl由(EIv)vdx0lkfv0vdxvdx 0 得T xi 1e_ T

19、 _d ( BTEIBdx) dx1(BTEIBdxx1NTkfNdx)不T xi 1Te(NTkfNdx) dxix 1N T wdxT xi 1etd ( NT wdx)xixi則梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠确匠虨镋I BTBdxxix 1kf NTNdx為x 1N T wdxxi5 圖2所示剛架1)2)如何進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號(hào)使整體剛度矩陣K的帶寬最?。縿偧艿恼w剛度矩陣中a節(jié)點(diǎn)的總剛度矩陣 Kaa和的總剛度矩陣 小各由哪些單元的哪些分塊矩陣疊加組成3)（自行確定單元局部坐標(biāo)方向）試按照二維等帶寬存儲(chǔ)和一維變帶寬存儲(chǔ)方式確定Kaa中對(duì)角元素的在相應(yīng)存儲(chǔ)數(shù)組中的位置。圖2有錢(qián)點(diǎn)的剛架解：1）考慮每個(gè)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度

20、由于半帶寬d=（相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值+1)故節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示可使單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)編碼相差*23,使得帶寬d=8aKK K K K(5)KK(6)2KaaK22K22K11K11KbcK123)考慮單元節(jié)點(diǎn)1自由度的凝聚可知Kaa中對(duì)角線(xiàn)元素在原整體剛度矩陣中第6行第7列和第7行第8列則用二維等帶寬存儲(chǔ)后在矩陣中的第6行第2列和第7行第2列用一維變帶寬存儲(chǔ)后在K aa中對(duì)角線(xiàn)兀素在數(shù)組中的位置為9和10K(1)K01112(1)(1)KKK0212211(3)00K110k(2)k 21210000000000000000000000K00012K00012K K(3)2222k(4)0k(5)(5)

21、1212KK1111(4)(6)KKK0021221100KK(7)1112KK(5)(7)2222K0K2121*KK11110k(6)0k(8)21210000(9)000K ()000000000000K(6)0012000(8)K0012(6)(8)(10)KKK00222211(11)(11)0KK1112(11)(9)(11)(12)0KKKK0001根據(jù)以下形函數(shù)表達(dá)式210000第五章21222211(10)(12)K0K21210000000K(10)120k(12)12(10)(12)K K22221_3_2313_223N/ L 1 -3(2x 3x L L ) N2 -

22、3(x L 2x L xL )N3 ( 2x3 3x2L)N4 (x3L x2L2)畫(huà)出形函數(shù) N和N以及導(dǎo)數(shù)(dN2/dx)和(dNJdx),它們代表梁?jiǎn)卧麄€(gè)長(zhǎng)度上形狀變化2、對(duì)于圖1中給出的四節(jié)點(diǎn)二次應(yīng)變一維等參單元，試確定：a)形函數(shù) N, N2,Ns, N;b)單元?jiǎng)偠染仃噆。 TOC o 1-5 h z .11-I1T117-1圖1解：(a)由拉格朗日插值函數(shù)可知11(5) (2)(1)N311洌 1 2)( 111)(2)(1)1)N2(b)一維問(wèn)題中，單元?jiǎng)偠染仃嘚16(812k4E1N26(86(8kF* 3(3N3N4121)12X2X3X41)1)1)11)(萬(wàn))，N41

23、(1)(萬(wàn))(1)T1 _111)()( HYPERLINK l bookmark263 o Current Document 22 22 HYPERLINK l bookmark145 o Current Document 111)(?(2)1r(11)(1=)(11) HYPERLINK l bookmark149 o Current Document 221)1(BTDB Jd11E BTB Jd11)，N31)，N44)(1)i(8122 1)6(8121)31)3(3211)臚122 1) d3試?yán)米児?jié)點(diǎn)數(shù)法構(gòu)造插值函數(shù)的，構(gòu)造出圖2所示的三次三角形單元的形函數(shù)及相應(yīng)的位移函數(shù)。3

24、22解：位移函數(shù):u 12Xv 1112X23y 4X213y 14Xsxy15xy6y2 16y7X317X28X y218X y9Xy19Xy310y320 y(1)構(gòu)造不考慮邊節(jié)點(diǎn)和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的角節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù):N?1L1N2L2NL3構(gòu)造不考慮內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的邊節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù):N?427N?7272O 272-7L1L2(- L2)，N?5 L1L2(-232327272萬(wàn) L2L3(3? 272L2), N8T L1L3 (23L1), N?9L2 L3(232727LiL3(3L3)L3)(3)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)插值函數(shù)：N1Li L2 L3111(0)( 0)(33327L1L2L3(4)修正邊中

25、點(diǎn)的插值函數(shù):0)N4N?42n1027227萬(wàn)乩(3 L2)萬(wàn) LJ2L3|4231 1)19同理得N5N?5-N10-L1L2 (3L21),N619N7N?7”10L2L3(3L31),N819N9N?9/10產(chǎn)311)(4)修正角節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)：19N?6 2 N102 L2L3(3L2 1)19N?8 -N10 -L1L3(3L3 1)N1N?13(N4L1293 /LmL11)193 ”2(丸213 27L1L2L3N2N?2Ns11N6)3(N4 N7)3N10299L2 3 產(chǎn)(丸2“尸回2191)3 產(chǎn)(九113 27L1L2L312(3L2 1)(3L22)L2c 21N3

26、 N?3 -(N7 5)(N633N9)1029L3 - L2L3(3L33291) -L1L3(3L3 1)21991-L2L3(3L2 1) -L1L3(3L1 1) - 27L1L2L3322311(3L31)(3L32)L34試構(gòu)造如圖3所示的15結(jié)點(diǎn)三棱柱體單元的插值函數(shù)，并判斷其構(gòu)造的位移函數(shù)是否收斂。解：（1）不考慮邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形角節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù):1 11 1N?1L1 - L1(1), N2L2 2(1)1121121111N?3L3 7T-L3(1), N?4L1-“(1)1 121 1 2?11?11N5 L2L2(1), N16L3L3(1)112112(2)構(gòu)造三角形

27、邊中點(diǎn)的插值函數(shù)：N10N11L1L2_1(10)(J0)11L2L311111(；。)(；o)112LL2(2L2L3(1)1)135N12N14L1L31(I 0)(1 0)1 1L2L311r7(2 0)(2 0)12乩(2L2L3。1)，N13)，N15L1L21C 0)(2 0) 1 12口(12L1L3(1(3)構(gòu)造四邊形邊中點(diǎn)的插值函數(shù):N7(1)(1)(0 1)(0 1)L2)，N8L21)(1)(0 1)(0 1)2L2(1)，N9L3(01)(1)1)(0 1)L3(12)(4)修正角節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù):N1N?111”0 N12)-N712L1(1)1產(chǎn) 1L2(1)2L1L

28、3(1)12L1(12)2L1(1)( 2L2 2L3)N2N211”0N11)2N81I1)1)2L2L3(1)I(12)12L2(1)(2L1 2L3)N3N?31/111N12)”912L3(1)1產(chǎn)2L3(1)2LL(1)12L3(12)2L3(1)(2L1 2L2)N4N?41 (N1321N15) -N721 -L1(1 21-2 L1L2。22L1L3。)1 -L1(1 22)12L1(1)(2L2 2L3)N5&1一(N2113N14)- N 8212l2(11產(chǎn)1L2(12L2L30)12L2(12)12L2(1)(2L1 2L3)1 (N2114N15) N 921 L3(

29、121 -2L2L3(12L1L3(1)1 L3(122)12L3(1)(2L1 2L2)第六章1等參元的收斂性證明。證明:(1)協(xié)調(diào)性：考察單元之間的公共邊，為了保證協(xié)調(diào)性，相鄰單元在這些公共邊(或面)上應(yīng)有完全相同的結(jié)點(diǎn),同時(shí)每一單元沿這些邊的坐標(biāo)和未知函數(shù)應(yīng)采用相同的插值函數(shù)加以確定。(2)完備性: TOC o 1-5 h z nnn三維等參元中x Mx , y Ny, z NiZ i 1i 1i 1n有限元中，將場(chǎng)函數(shù)離散為各個(gè)單元局部場(chǎng)函數(shù)的集合體Nii 1單元內(nèi)場(chǎng)函數(shù)為 i a bxi cyi dziNi i i 1nnNi (a bxi cyi dzi) a Nii 1i 1nb

30、Nixii 1nc Niyii 1nd Nzi 1na N i bx cy dz i 1n當(dāng)Ni 1時(shí)，表明單元能夠表示線(xiàn)性變化的場(chǎng)函數(shù)，滿(mǎn)足了完備性的要求。i 12等參元的優(yōu)點(diǎn)是什么？解：1)等參單元為協(xié)調(diào)元，滿(mǎn)足有限元解收斂的充要條件2)將不規(guī)則單元轉(zhuǎn)換為規(guī)則母單元后，容易構(gòu)造位移函數(shù)和形函數(shù)3)當(dāng)單元邊界呈二次以上的曲線(xiàn)時(shí)，容易用很少的單元去逼近曲線(xiàn)邊界3什么是位移的零能模式，在什么條件下會(huì)發(fā)生？如何檢驗(yàn)它是否存在和如何防止它的出現(xiàn)。解：(1)由于采用減縮積分方案導(dǎo)致其應(yīng)變能為零，而自身有別于剛體運(yùn)動(dòng)的位移模式稱(chēng)為位移的零能模式。(2)通過(guò)檢查K的非奇異性條件是否得到滿(mǎn)足來(lái)驗(yàn)證是否存在零

31、能模式。(3)高斯積分點(diǎn)提供應(yīng)變分量的數(shù)目M ng d大于系統(tǒng)獨(dú)立自由度數(shù)目 N ,是保證系統(tǒng)剛度矩陣 K非奇異性的必要條件。系統(tǒng)不出現(xiàn)對(duì)應(yīng)于除剛體運(yùn)動(dòng)以外位移模式的零特征值，是保證系統(tǒng)剛度矩陣 K非奇異性的充分條件。4請(qǐng)闡說(shuō)減縮積分概念，并分析其優(yōu)缺點(diǎn).解：在數(shù)值積分中，能夠保證不降低收斂速度的條件下求解各種條件有限元問(wèn)題的最小階次，比精確積分低階的積分可稱(chēng)為減縮積分。一維問(wèn)題剛度矩陣的積分中，如果插值函數(shù)N中的多項(xiàng)式階數(shù)為 P,微分算子L中的導(dǎo)數(shù)的階次是 m ,則有限元得到的被積函數(shù)是 2( p m)次多項(xiàng)式。為了保證原積分的精度，選擇高斯積分的階次n p m 1 ,可精確積分n p m

32、1來(lái)確定積至2(p m) 1次多項(xiàng)式，可達(dá)到精確積分剛度矩陣的要求。在二維單元和三維單元中仍按分階次，即高斯積分階數(shù)低于被積函數(shù)所有項(xiàng)次精確積分所需要階數(shù)的積分方案，稱(chēng)為減縮積分。優(yōu)缺點(diǎn)：(1)精確積分是由插值函數(shù)中非完全項(xiàng)的最高方次所要求，而決定有限元精度的通常是完全多項(xiàng)式的方次。這些 非完全的最高方次項(xiàng)往往不能提高精度，反而帶來(lái)不好影響。取較低階的高斯積分，使積分精度正好保證完全多項(xiàng) 式方次的要求，而不包括更高次的非完全多項(xiàng)式的要求，在一定情況下改善了單元的精度。(2)在最小位能原理基礎(chǔ)上建立的位移有限元，位移解具有下限性質(zhì)。有限元的計(jì)算模型具有較實(shí)際結(jié)構(gòu)偏大的 整體剛度。選取減縮積分方案

33、使有限元計(jì)算模型的剛度有所降低，有助于提高計(jì)算精度。(3)采用減縮積分可能使系統(tǒng)剛度矩陣K奇異，出現(xiàn)有別于剛體運(yùn)動(dòng)的位移零能模式。5如需要對(duì)二維三次 Serendipity單元進(jìn)行精確積分，試討論所需的Gauss積分的階次(假定 J為常數(shù))。解：插值函數(shù) N中的多項(xiàng)式階數(shù)為 4,微分算子L中的導(dǎo)數(shù)的階次是被積函數(shù)是非完全次項(xiàng)的最高次為6次多項(xiàng)式，完全項(xiàng)的最高次為14次多項(xiàng)式若為精確積分，需要若為減縮積分，需要6 1局斯積分點(diǎn)n3.5故積分點(diǎn)數(shù)目為2高斯積分點(diǎn)n4 11 3故積分點(diǎn)數(shù)目為6求圖1所示單元的節(jié)點(diǎn)等效荷載;解:Ni (1)(1),M(11也Ni500(15dqxdsqyPyNqyds

34、s12500 (10)2d25003P4yMqydss12500 (10)d250067如圖2所示12節(jié)點(diǎn)正方形單元，求其Jacobi行列式J ;解：求形函數(shù):(1)(2)構(gòu)造角節(jié)點(diǎn)形函數(shù)：ii7(2)(2),N?2- (244構(gòu)造邊節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)：N5(b)(2)(2)2a(a b)(a 2),N6(a)(2)(2)2b(b a)(b 2)，N9(b)(2)2a(a b)(a 2)(a)(2)2b(b a)(b 2)N7(A12),N82a(a b)(a 2)a)(2)2b(b a)(b 2)(b)(2)(22a(a b)(a,N122)a)(2)(2)2b(b a)(b 2)(3)修正角節(jié)點(diǎn)

35、形函數(shù):NiNi 4(2 a)2(N51Nio) b)2(N6Nii)(1i2)(i)4(2 a)(b)(2)(2(a)(2)8試構(gòu)造如圖解:NiN42a(a b)(a 2)2b(b a)(b 2)3所示的6結(jié)點(diǎn)斜三棱柱體等參單元的插值函數(shù),并證明其合理性。對(duì)圖中6結(jié)點(diǎn)斜三棱柱體進(jìn)行等參變換Liii iii ii2Li(i),N2i”1),N2L2彳L2J111 112L2(i),N3),N3L3i i彳*9i -L3(1i i 29空間八結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元各邊與坐標(biāo)軸e 111 TRN p J d d di i ix,y,z的精確值,平行，在y方向作用有線(xiàn)性變化體力，若用高斯積分法分析結(jié)點(diǎn)荷載試

36、求所需要的最少積分點(diǎn)數(shù)。解：空間八結(jié)點(diǎn)等參單元中形函數(shù)的階次為 1,且y方向作用有階次為1的線(xiàn)性變化體力，由于單元各邊與坐標(biāo)軸x,y,z平行，故J為常數(shù)，故被積函數(shù)的階次為一人一 ，一 P 1精確積分所需要高斯積分點(diǎn)n匚一121- 1.5,積分點(diǎn)數(shù)為2 2 2第七章1采用矩形薄板單元計(jì)算薄殼問(wèn)題時(shí)，其單剛方程有何特點(diǎn)？解：采用矩形薄板單元計(jì)算薄殼時(shí)，為了簡(jiǎn)單計(jì)算，平板的面內(nèi)變形與彎曲變形可認(rèn)為是互不影響的，即板內(nèi)變形和受力可看成是平面應(yīng)力和平板彎曲兩狀態(tài)的迭加，結(jié)點(diǎn)未知數(shù)為u,v,w, x, y, z單剛方程 FFpFb其中特點(diǎn):(2)（克?；舴蚣僭O(shè)）Fp,Fb中面無(wú)伸縮假設(shè)，可知由于平行于中

37、面的各層相互不擠壓，不拉伸，沿u,v 與 w,x , y , z無(wú)關(guān)。z方向不會(huì)引起翹曲，故 U ,V與W,M x,M y,M z無(wú)關(guān)(3)(4)z和M z對(duì)應(yīng)的剛度系數(shù)設(shè)定為零。2設(shè)薄板矩形單元，節(jié)點(diǎn)的位移未知數(shù)為:xiyixyiz對(duì)結(jié)點(diǎn)力不起作用，但為了計(jì)算不共面的相鄰單元的彎扭應(yīng)力，必須考慮。若位移模式取w(x, y) 12 3。y2乂3 21sx y3y3 16x24乂3ysxy26y37乂28xy29x y10y311x y312xy試判斷該位移模式是否收斂?解：位移函數(shù):w(x,y)2 3。y2乂3 2。y3y3。y24x326y37x28xy29x y3 10y3nx y312xy13xxysx8xy9x210 y3 11x212 xy2 13x214xy2231sx y3 216x