等比數(shù)列前n項和教學設計(張向偉)

1、請下載支持！蟻節(jié)肈螈薂薅莇 課題：等比數(shù)列的前 n 項和蒅芅薇蝿莃薄膇 銅川礦務局第一中學張向偉螅蝿芀節(jié)肅芀膁 一、 教材分析薈螀蒞薆腿螞芄 本節(jié)課選自普通高中課程標準數(shù)學教科書數(shù)學（必修5）（北師大版）第一章第三節(jié)第一課時。 從在教材中的地位與作用來： 看等 比數(shù)列的前 n 項和是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容， 它不僅在現(xiàn)實生活 中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推 導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法， 都是學生今后學習和工作中必備的數(shù)學素養(yǎng)。芁膄羆羇肅膂芆 二、 學情分析肂蕆膀荿芅螇蕆 從學生的思維特點看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前

2、n 項和 從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利 因素是：本節(jié)公式的推導與等差數(shù)列前 n 項和公式的推導有著本質(zhì)的不 同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于 q = 1 這一特殊情況，學生 往往容易忽視， 尤其是在后面使用的過程中容易出錯。 教學對象是剛進入 高中的學生， 雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力， 邏輯思維能力 也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深 刻，因此片面、不嚴謹。螄罿袀膄羋薀螞 三、設計思想袈芁羃蒄莈膃膅 本節(jié)課采用探究式課堂教學模式， 即在教學過程中， 在教師的 啟發(fā)引導下，讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋

3、疑的嘗試活動， 深入探討。讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中 增知，在“探究”中創(chuàng)新。設計思路如下：螂肅羅芇葿肄膅薇蝿莃薄膇蟻節(jié) 四、教學目標芀節(jié)肅芀膁蒅芅 1、掌握等比數(shù)列的前 n項和公式，能用等比數(shù)列的前 n 項和公式 解決相關問題。蒞薆腿螞芄螅蝿 2、通過等比數(shù)列的前 n 項和公式的推導過程， 體會錯位相減法以 及分類討論的思想方法。羆羇肅膂芆薈螀 3、通過對等比數(shù)列的學習， 發(fā)展數(shù)學應用意識， 逐步認識數(shù)學的 科學價值、應用價值，發(fā)展數(shù)學的理性思維。膀荿芅螇蕆芁膄 五、教學重點與難點袀膄羋薀螞肂蕆 重點：掌握等比數(shù)列的前 n 項和公式，能用等比數(shù)列的前 n 項和 公

4、式解決相關問題。羃蒄莈膃膅螄罿 難點：錯位相減法以及分類討論的思想方法的掌握。羅芇葿肄膅袈芁 六、教學過程（一） 莀袀袃蚅蚆螂肅 復習回顧莁螁膆衿芃羄蒆 1 、 （提問）等比數(shù)列的定義？通項公式？性質(zhì)？ 襖蚇蚈葿螃羇艿 2 、（提問）等差數(shù)列前 n 項和公式是什么？ （二） 膈薇羀螞莇肇袂 創(chuàng)設問題情景蠆蒁螄蚄芀莂蚃 引例：“一個窮人到富人那里去借錢 , 原以為富人不愿意，哪知 富人一口答應了下來 ,但提出了如下條件： 在 30天中，富人第一天借給窮 人 1萬元,第二天借給窮人 2萬元, 以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多 1萬; 但借錢第一天 ,窮人還 1 分錢, 第二天還 2 分錢, 以后每天

5、所還的錢數(shù)都是 上一天的兩倍 ,30 天后互不相欠 . 窮人聽后覺得挺劃算 ,本想定下來 , 但又 想到此富人是吝嗇出了名的 , 怕上當受騙 ,所以很為難。”請在座的同學思 考討論一下 , 窮人能否向富人借錢 ?羂蚃膅聿蕿薂莄 設計一個學生比較感愛好的實際問題， 吸引學生注重力， 使其馬 上進入到研究者的角色中來！ 啟發(fā)引導學生數(shù)學地觀察問題， 構建數(shù)學模 型。蒂薆羈肀蚄裊蒈 學生直覺認為窮人可以向富人借錢，教師引導學生自主探求， 得出：肆肀薁薃莆莇蒂 窮人 30 天借到的錢： S30 1 2 30 （1 30） 30 465 （萬 元）衿肁莂袇蒀蠆薅 窮人需要還的錢： S30 1 2 222

6、29 ?薂薅莇莈膀蒃薇 直覺先行 , 思辨引路 , 在矛盾沖突中引發(fā)學生積極的思維 !莃薄膇蟻節(jié)肈螈 教師緊接著把如何求 S30 1 2 22229 ？的問題讓學生探究：1 2 22229 若用公比 2 乘以上面等式的兩邊，得到229袃蚅蚆螂肅羅芇 學生 A： Sn a1 a1q a1q2na1qa1qn 1（1）膆衿芃羄蒆莀袀 （1）-（2）有 （1 q）Snna1a1q芅螇蕆芁膄羆羇 S30 230 11073741823 （分） 1073（萬元） 465 （萬元）腿螞芄螅蝿芀節(jié) 2S30 2 2230肅膂芆薈螀蒞薆 若式減去式，可以消去相同的項，得到：羋薀螞肂蕆膀荿 答案 : 窮人不能向

7、富人借錢莈膃膅螄罿袀膄 （三）引導學生用“特例到一般”的研究方法，猜想數(shù)學規(guī)律。葿肄膅袈芁羃蒄 提出問題 : 如何推導等比數(shù)列前 n 項和公式？（學生很自然地 模仿以上方法推導）蚈葿螃羇艿莁螁 學生 B：羀螞莇肇袂襖蚇 推導等比數(shù)列前 n項和 Sn的公式，引導學生類比前面的特例完成以上推導課本上的推導方法后，螄蚄芀莂蚃膈薇 教師：還有沒有其他推導方法？（經(jīng)過幾分鐘的思考，有學 生舉手發(fā)言）膅聿蕿薂莄蠆蒁 學生 C：即a 2 a3a1 a2ana2 a3an羈肀蚄裊蒈羂蚃sna1n 1qsna nsna11aqnq（qa1 a2an 11）。薁薃莆莇蒂蒂薆 “特例類比猜想”是一種常用的科學的研究

8、思路！莂袇蒀蠆薅肆肀 教師讓學生進行各種嘗試，探尋公式的推導的方法，同時抓住機 會或創(chuàng)設問題情景調(diào)動了學生參與問題討論的積極性， 培養(yǎng)學生的探究能 力，發(fā)揮了組織者、推進者和指導者的作用，而學生卻是實實在在的主體 活動者、成為發(fā)現(xiàn)者、創(chuàng)造者！讓學生享受成功的喜悅！ 莇莈膀蒃薇衿肁 【基礎知識形成性練習】膇蟻節(jié)肈螈薂薅 1 在公比為 q 的等比數(shù)列 an 中膁蒅芅薇蝿莃薄 （1） 若a1 2,q 1，則 Sn 1 3 3芄螅蝿芀節(jié)肅芀（2）若 a1 2,q 2,n 8，則 Sn ；芆薈螀蒞薆腿螞 （3）若 a1 8,q2,an則 Sn蕆芁膄羆羇肅膂 2判斷正誤：膅袈芁羃蒄莈膃1）1+1+L212

9、)n2n螞肂蕆膀荿芅螇48( 2)n 11 (1 2n)12膅螄罿袀膄羋薀3)122232n1 (1 2n)12蚆螂肅羅芇葿肄 （ 四 ） 新知應用芃羄蒆莀袀袃蚅 例 1、求等比數(shù)列 1 ,1,1, 1 , 的前 8 項的和2 4 8 16螃羇艿莁螁膆衿 變式 1：求等比數(shù)列 1 ,1, 1, 1 , 的第 6 項到第 10項的和2 4 8 16莇肇袂襖蚇蚈葿 例 2、求數(shù)列 1 a a2 a3n1 a（a 0） 的前 n項和芀莂蚃膈薇羀螞1變式 2：求 1的值蕿薂莄蠆蒁螄蚄例 1例 2教師板演示范，強調(diào)解題的規(guī)范。變式 1，變式 2學生 分析解法， 學生不會時要分析出不會做的癥結所在， 然后

10、再由學生板演出解題過程。 蚄裊蒈羂蚃膅聿 （五）課堂小結莆莇蒂蒂薆羈肀蒀蠆薅肆肀薁薃 等差數(shù)列膀蒃薇衿肁莂袇 等比數(shù)列節(jié)肈螈薂薅莇莈 求和公 式芅薇蝿莃薄膇蟻蝿芀節(jié)肅芀膁蒅螀蒞薆腿螞芄螅 推導方 法膄羆羇肅膂芆薈蕆膀荿芅螇蕆芁罿袀膄羋薀螞肂 公式應 用芁羃蒄莈膃膅螄肅羅芇葿肄膅袈蒆莀袀袃蚅蚆螂 由學生完成課堂總結，教師完善，點評 艿莁螁膆衿芃羄 （六）布置作業(yè)袂襖蚇蚈葿螃羇 六、教學反思蚃膈薇羀螞莇肇 本節(jié)課授課對象為實驗班的學生，學習基礎較好。所以采用 了探究教學的方式， 大部分內(nèi)容由學生自行探究討論完成。 教學設計從學 生的角度出發(fā)，采用“教師設計問題與活動引導”與“學生積極主動探 究”相

11、結合的方法分成五個步驟層次分明（ 1）創(chuàng)設問題情景、布疑激趣（2）啟發(fā)引導學生數(shù)學地觀察問題，構建數(shù)學模型（ 3）探尋特例、提出 猜想（ 4）數(shù)學應用（ 5）知識評估。學生在未經(jīng)預習不知等比數(shù)列求和公 式和證明方法的前提下， 在教師預設的思路中， 一步步發(fā)現(xiàn)了公式并推導 了公式，感受到了創(chuàng)造的快樂， 激發(fā)了學習數(shù)學的愛好， 教學的知識目標、 能力目標、情感目標均得到了較好的落實。莄蠆蒁螄蚄芀莂 導學案 : 等比數(shù)列的前 n 項和蒈羂蚃膅聿蕿薂 班級姓名蒂蒂薆羈肀蚄裊 【知能目標】薅肆肀薁薃莆莇 1. 掌握等比數(shù)列的前 n項和公式的推導方法 - 錯位相減法，并能 用其思想方法求某類特殊數(shù)列的前

12、n 項和.薇衿肁莂袇蒀蠆 2. 掌握等比數(shù)列前 n 項和公式以及性質(zhì)，并能應用公式解決有關 等比數(shù)列前 n項的問題.在應用時，特別要注意 q=1和 q1這兩種情況 . 螈薂薅莇莈膀蒃 3. 能夠利用等比數(shù)列的前 n 項和公式解決有關的實際應用問題 . 蝿莃薄膇蟻節(jié)肈 【重難點】節(jié)肅芀膁蒅芅薇 重點：掌握等比數(shù)列的求和公式，會用等比數(shù)列前 n項和公式解 決有關問題 .薆腿螞芄螅蝿芀 難點：錯位相減法以及分類討論的思想方法的掌握 .羇肅膂芆薈螀蒞 【 學習過程 】一、 荿芅螇蕆芁膄羆 復習回顧1、膄羋薀螞肂蕆膀 等比數(shù)列的定義？通項公式？性質(zhì)？ 蒄莈膃膅螄罿袀 2、等差數(shù)列前 n 項和公式是什么？

13、 芇葿肄膅袈芁羃 二、情境導入袀袃蚅蚆螂肅羅 引例：“一個窮人到富人那里去借錢 , 原以為富人不愿意，哪知 富人一口答應了下來 ,但提出了如下條件： 在 30天中，富人第一天借給窮 人 1萬元,第二天借給窮人 2萬元, 以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多 1萬; 但借錢第一天 ,窮人還 1 分錢,第二天還 2分錢,以后每天所還的錢數(shù)都是 上一天的兩倍 ,30 天后互不相欠 .窮人聽后覺得挺劃算 ,本想定下來 ,但又 想到此富人是吝嗇出了名的 ,怕上當受騙 ,所以很為難。”請在座的同學思 考討論一下 , 窮人能否向富人借錢 ?螁膆衿芃羄蒆莀 三、自主探究蚇蚈葿螃羇艿莁 推導：等比數(shù)列的前 n 項和公

14、式薇羀螞莇肇袂襖 方法 1（主要重點方法：錯位相減法） 蒁螄蚄芀莂蚃膈 方法 2（提取公因式法） 蚃膅聿蕿薂莄蠆 方法 3（等比定理法）薆羈肀蚄裊蒈羂 四、辨析練習肀薁薃莆莇蒂蒂 1 在公比為 q 的等比數(shù)列 an 中膃膅螄罿袀膄羋 例 2、求數(shù)列 1 a a2 a3n1（a 0） 的前 n項和肁莂袇蒀蠆薅肆(1) 若 a1 2,q 1，1 3 3則 Sn2）若 a12,q2,n 8，則 Sn _（3）若 a18,q 2,an1，2，則Sn _薅莇莈膀蒃薇衿2判斷正誤：12n螞芄螅蝿芀節(jié)肅11( 1) + +L +24（1）n21薄膇蟻節(jié)肈螈薂( 2) 1 2 4 8( 2)n11 (1 2n)12芀膁蒅芅薇蝿莃( 3) 1 2 22 232n1 (1 2n)12膂芆薈螀蒞薆腿 五、新知應用螇蕆芁膄羆羇肅 例 1、求等比數(shù)列 1 ,1,1, 1 , 的前 8 項的和2 4 8 16薀螞肂蕆膀荿芅 變式 1：求等比數(shù)列 1 ,1, 1, 1 , 的第 6 項到第 10項的和2 4 8 161n 的值x變式 2：求 1 12 13 x x2 x3 六、課時小結由學生完成課堂總結，教師完善，點評）七、自測自評1 、在等比數(shù)列 2n 中，前 n 項和 Sn =（(A) 2n