高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：12.1計(jì)數(shù)原理與簡(jiǎn)單排列組合問(wèn)題49

1、第十二章 計(jì)數(shù)原理本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖第一節(jié) 計(jì)數(shù)原理與簡(jiǎn)單排列組合問(wèn)題考綱解讀1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.理解排列、組合的概念.4.能用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式.命題趨勢(shì)探究1.本節(jié)為高考必考內(nèi)容，一般有12道選擇題或填空題.2.題目主要以實(shí)際應(yīng)用題形式出現(xiàn).3.試題的解法具有多樣性，一般根據(jù)計(jì)數(shù)重復(fù)或遺漏來(lái)設(shè)計(jì)錯(cuò)誤選項(xiàng)，在解答選擇題時(shí)可通過(guò)正向（分類相加）和反向（總數(shù)減去對(duì)立數(shù)）互相檢驗(yàn)，也可以通過(guò)排除法篩選正確選項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)精講基本概念1.分類加法計(jì)數(shù)原理 eq oac(,1)有n類方法 完成一件事

2、 eq oac(,2)任兩類無(wú)公共方法（互斥） 共有N= eq oac(,3)每類中每法可單獨(dú)做好這件事 種不同方法.如圖12-1所示.圖12-12.分步乘法計(jì)數(shù)原理 eq oac(,1)必須走完n步，才能完成任務(wù) 完成一件事 eq oac(,2)前一步怎么走對(duì)后一步怎么 共有N 走無(wú)影響（獨(dú)立） 種不同方法.如圖12-2所示.注圖12-2兩個(gè)原理及其區(qū)別.分類加法計(jì)數(shù)原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件事情有n類辦法，這n類辦法之間是互斥的，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分類加法計(jì)數(shù)原理.分步乘法計(jì)數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對(duì)“分步完成”的問(wèn)題.如果完成某件事情有n個(gè)步驟，而且這幾個(gè)步驟缺

3、一不可，且互不影響（獨(dú)立），當(dāng)且僅當(dāng)依次完成這n個(gè)步驟后，這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理.當(dāng)然，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，并不一定是單一應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理，有時(shí)可能同時(shí)用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.即分類時(shí)，每類的方法可能運(yùn)用分步完成；而分步后，每步的方法數(shù)可能會(huì)采取分類的思想求方法數(shù).對(duì)于同一問(wèn)題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數(shù)相同），這也是檢驗(yàn)排列組合問(wèn)題的很好方法.3.排列與排列數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)（不同）元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從n個(gè)不同元素中選取m個(gè)元素(nm)的

4、排列個(gè)數(shù)共有 . (m個(gè)連續(xù)正整數(shù)之積，n為最大數(shù)).注規(guī)定.排列數(shù)公式的兩種不同表達(dá)形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，常用于具體數(shù)字計(jì)算；而在進(jìn)行含字母算式化簡(jiǎn)或證明時(shí)，多用.可重排列與無(wú)重排列的區(qū)別.例如：用1，2，3，4，5這五個(gè)自然數(shù)，可排成有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)5555=54無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)5432=區(qū)別：不可重復(fù)排列：用過(guò)的數(shù)字不可再用，用一個(gè)少一個(gè).可重復(fù)排列：用過(guò)的數(shù)字還可再用，每次可用數(shù)字不減少。再例如：4封不同的信，全部投入5個(gè)信箱. eq oac(,1)任意投（投過(guò)的信箱可再投入）5555=54. eq oac(,2)每箱至多一封信（投過(guò)的信箱不可再投入）5432=.4.組

5、合與組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)(不同)元素，并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)共有 .注同樣，公式常用于具體數(shù)字計(jì)算，常用于含字母算式的化簡(jiǎn)或證明.（1）排列和組合的區(qū)別.組合：取出的元素地位平等，沒(méi)有不同去向和分工.排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同.注排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問(wèn)題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問(wèn)題，需要考慮順序的是排列問(wèn)題.排列是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列組合綜合問(wèn)題的基本思維是“先組合，

6、后排列”.例如：從10個(gè)人中抽出4人參加某項(xiàng)活動(dòng)有 種方案；從10個(gè)人中抽出4人分別參加4項(xiàng)活動(dòng)有 種方案.(2)一切排列數(shù)、組合數(shù)、階乘及它們展開(kāi)式的因數(shù)都是正整數(shù).常見(jiàn)的有0！=1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720.，.(3)公式（性質(zhì)）. eq oac(,1). eq oac(,2)，如. eq oac(,3)，如（口訣：相鄰組合數(shù)相加，加一元（nn+1）取大（m+1m，取m+1）. eq oac(,4).題型歸納及思路提示題型161 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理思路提示要明確完成一件事所包含的內(nèi)容是如何進(jìn)行的，若需分類按加法數(shù)原理，若需分步按乘法計(jì)數(shù)原理.

7、分類時(shí)要做到“不重不漏”，分步時(shí)要做到“步驟完整”.有些計(jì)數(shù)問(wèn)題既需要分類，又需要分步，此時(shí)要綜合運(yùn)用兩個(gè)原理.例12.1 現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項(xiàng)活動(dòng)需派人參加.(1)若只需1人參加，有多少種不同選法？(2)若需老師，男生，女生各1人參加，有多少種不同選法？(3)若需1名老師和1名學(xué)生參加，有多少種不同選法？解析 (1)有3類選人的方法：3名老師中選1人，有3種方法；8名男生中選1人，有8種方法；5名女生中選1人，有5種方法；由分類計(jì)數(shù)原理，共有3+8+5=16（種）選法.(2)分3步選人：第一步選老師，有3中方法；第二步選男生，有8種方法；第三步選女生，有5種方法；

8、由分步計(jì)數(shù)原理，共有385=120（種）選法.(3)可分兩類：每一類又分兩步.第1類：選1名教師和1名男生，因有兩步，故38=24（種）選法；第2類：選1名教師和1名女生，因有兩步，故有35=15（種）選法.再由分類計(jì)數(shù)原理，共有15+24=39（種）選法.評(píng)注 在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，并不一定是單一地應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理，有時(shí)可能同時(shí)用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.即分類時(shí)，每類的方法可能運(yùn)用分步完成，而分步后，每步的方法數(shù)可能會(huì)采取分類的思想求取.變式1 有5張卡片，正反面分別寫(xiě)有數(shù)字0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，現(xiàn)從中任取三張，排成一列，問(wèn)共可擺出 個(gè)不同的三位數(shù).解析 用分步計(jì)數(shù)原理.

9、由題意可分三步完成該事情.第1步選一個(gè)數(shù)字放在百位上，有9種不同的方法（0不可以）；第2步再選一個(gè)數(shù)字放在十位上，有8種不同的方法（因?yàn)榘傥簧险加靡粡埧ㄆ?個(gè)數(shù)字不能用）；第3步選一個(gè)數(shù)字放在個(gè)位上，只有6種不同的方法.共有9x8x6=432(種)不同的結(jié)果.變式2 晚會(huì)原有節(jié)目單由7個(gè)節(jié)目排成，現(xiàn)要新添3個(gè)不同的節(jié)目，且不改變?cè)泄?jié)目的相對(duì)順序，則這3個(gè)節(jié)目有多少種不同的安排方法？解析 共7+3=10（個(gè)）節(jié)目，其中7個(gè)定序，先排出10-7=3（個(gè)）非定序元素即可，共(種)排法.例12.2 (1)若8名學(xué)生爭(zhēng)奪3項(xiàng)體育比賽的冠軍（每名學(xué)生參數(shù)項(xiàng)目不限），則冠軍獲得者有 種不同情況（每個(gè)項(xiàng)目

10、沒(méi)有并列冠軍）.(2)8名學(xué)生從3項(xiàng)體育項(xiàng)目中選擇參數(shù)，若每一名學(xué)生只能參加一項(xiàng)，則有 種不同的參賽方法.分析 正確理解任務(wù)完成的標(biāo)志，(1)即把3個(gè)冠軍名額全部分給8個(gè)學(xué)生（可以一名學(xué)生奪得多個(gè)冠軍）；(2)即為8名學(xué)生都報(bào)完比賽項(xiàng)目（可以多名學(xué)生報(bào)一個(gè)項(xiàng)目）.解析 (1)第1個(gè)冠軍名額的去向有8種，第2個(gè)冠軍名額和第三個(gè)冠軍名額同樣各有8個(gè)可能去向，故冠軍獲得者共有888=83（種）不同的情況.(2)第一位學(xué)生報(bào)項(xiàng)目的方法有3種，同樣，其他每一位學(xué)生都有3種報(bào)取項(xiàng)目的選擇方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，故應(yīng)有33333333=38（種）不同的參賽方法.變式1 將3個(gè)信封投到4個(gè)郵箱，最多的投法有

11、種.解析 第1封信投到信箱中有4種投法，第2封信投到信箱中也有4種投法，第3封信投到信箱中也有4種投法，只要把這三封信投完，就做完此件事情，依分步計(jì)數(shù)原理知共有4x4x4=64種方法.評(píng)注 （1）本類題要與排列題分開(kāi)，毎封信的投法互相獨(dú)立，不影響其余信的投法（并且不同的信可以投到同一信箱中），完成此事只需將信一封封地投出去即可.（2）正確理解分類和分步計(jì)數(shù)原理是基礎(chǔ)，解決有關(guān)問(wèn)題應(yīng)優(yōu)先考慮是否能運(yùn)用這兩個(gè)基本原理.變式2 現(xiàn)有6名同學(xué)聽(tīng)取同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每個(gè)同學(xué)可自由選擇其中一個(gè)講座，不同的選法有( )種.A. 56 B. 65C. D. 65432解析 分6步，每步由一名同學(xué)選一

12、個(gè)講座，都有5種選法，故只有5x5x5x5x5x5=56種方法.故選A.變式3 已知集合A=1,2,3，B=1,2,3,4.(1)映射f: AB共有多少個(gè)？(2)映射g: BA共有多少個(gè)？解析 由映射的定義可知，（1）f：任意唯一確定的，故從A到B共有4x4x4=43(個(gè))不同的映射；（2）g：任意唯一確定的，故從B到A共有3x3x3x3=34(個(gè))不同的映射；例12.3 同室4人各寫(xiě)一張賀卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿出一張別人送出的賀卡，則4張賀卡的不同的分配方式有（ ）.A. 6種 B. 9種 C. 11種 D. 23種分析 將同室4人分別記為a,b,c,d，然后利用4個(gè)取卡的情況分步來(lái)

13、確定.解析 解法一：第一步，4個(gè)人中的任意一人（例如a）取一張，則由題意知共有3種取法；第二步：由第一人取走的賀卡的供卡人取，也有3種取法；第三步：由剩余的兩人中的任一人取，只有1種取法；第四步：最后一人取，只有1種取法，由分步計(jì)數(shù)原理，共有3311=9（種）.解法二：設(shè)4張賀卡分別記為A，B，C，D.由題意，某人（不妨設(shè)A卡的供卡人）取卡的情況有3種，據(jù)此將卡的不同分配方式分為3類，對(duì)于每一類，其他人依次取卡分步進(jìn)行，為了避免重負(fù)或遺漏現(xiàn)象，我們用“樹(shù)圖”表示如下：設(shè)a,b,c,d代表4個(gè)人，A,B,C,D分別代表這4個(gè)人寫(xiě)的賀卡，則有如圖12-3所示的樹(shù)狀圖.圖12-3所以共有9種不同的分

14、配方式.故選B.評(píng)注 本例提供的第一種解法用了分步計(jì)數(shù)原理，關(guān)鍵是要弄清楚分步時(shí)每步的順序，例如a先取走C卡，則下一步應(yīng)由c取，否則由b,c,d中一人取，就很難斷定是有3種還是2種取法了.第二種解法可以看作兩個(gè)原理的交替應(yīng)用，用樹(shù)圖表示一目了然，便于分析計(jì)數(shù)，避免了重復(fù)或遺漏.在以后的學(xué)習(xí)中，用樹(shù)圖來(lái)直觀地分析問(wèn)題是常用的，請(qǐng)同學(xué)們重視.變式1 （2017浙江）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有_種不同的選法（用數(shù)字作答） 【答案】660 【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題 【解析】【解答】解：第一類，先選

15、1女3男，有C63C21=40種，這4人選2人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有A42=12種，故有4012=480種，第二類，先選2女2男，有C62C22=15種，這4人選2人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有A42=12種，故有1512=180種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有480+180=660種，故答案為：660【分析】由題意分兩類選1女3男或選2女2男，再計(jì)算即可 變式2 3個(gè)人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開(kāi)始踢，經(jīng)過(guò)5次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有（ ）.A. 6種 B. 8種 C. 10種 D. 16種分析 任務(wù)的完成與分布流程有關(guān)，可以使用樹(shù)狀圖求解.解析 如圖12-24所示，若甲第一次將

16、毽子傳給乙，可以有5種情況完成任務(wù).同理，甲傳給丙，也有5種情況，綜上，共有10種傳法.故選C.甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲甲乙乙乙乙乙丙丙丙丙丙第1次第2次第3次第4次第5次圖 12-24例12.4 某外語(yǔ)組有10人，每人至少會(huì)英語(yǔ)、法語(yǔ)中的一門.其中7人會(huì)英語(yǔ)，5人會(huì)法語(yǔ).從中選擇會(huì)英語(yǔ)和法語(yǔ)的各一人派往兩地參加會(huì)議，有多少種不同的方法？分析 對(duì)于較為復(fù)雜的分類與分步問(wèn)題，應(yīng)做到不重不漏，本題應(yīng)抓住公共元素的處理方法.解析 由集合知識(shí)可知，既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)的有7+5-10=2(人)，僅會(huì)英語(yǔ)的有7-2=5(人)，僅會(huì)法語(yǔ)的有5-2=3(人).易知此題的任務(wù)是派遣適合條件的兩人.解法一：按僅會(huì)英語(yǔ)的

17、5人的派遣情況分成兩類.第1類：僅會(huì)英語(yǔ)的5人中有1人選中，則有5種方法，而會(huì)法語(yǔ)的則有5種方法，從而由分步計(jì)數(shù)原理，有55種方法.第2類：僅會(huì)英語(yǔ)的5人中沒(méi)有人被選中，則會(huì)英語(yǔ)的必須從既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)的2人中選，從而有2種選法.而會(huì)法語(yǔ)的只能從兩種語(yǔ)言均會(huì)的剩余1人或僅會(huì)法語(yǔ)的3人中選，共有1+3=4(種)，由分步計(jì)數(shù)原理得，此時(shí)共有24種方法.由分類計(jì)數(shù)原理，共有55+24=33(種)方法.解法二：按僅會(huì)法語(yǔ)的3人的選派情況分成以下兩類.第1類：僅會(huì)法語(yǔ)的3人恰被選中1，則由分步計(jì)數(shù)原理，共有37種方法.第2類：僅會(huì)法語(yǔ)的3人均未被選中，則由分步計(jì)數(shù)原理得，共有26種方法.從而由分類計(jì)數(shù)原

18、理，共有37+26=33(種)方法.解法三：按既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)的2人的選派情況分成3類.第1類：2人均未被選派，則有35種方法.第2類：2人均被選派，則有2種方法.第3類：2人中恰有1人被選派，則又分為兩類.若另一人只會(huì)英語(yǔ)，則有25種方法.若另一人只會(huì)法語(yǔ)，則有23種方法.由分類計(jì)數(shù)原理得，共有35+2+25+23=33(種)方法.評(píng)注 在應(yīng)用分類和分步計(jì)數(shù)原理解決較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：(1)認(rèn)真審題，分析題目的條件、結(jié)論，特別要理解題目中所講的“事情”，即任務(wù)是什么，完成這件事情的含義和標(biāo)準(zhǔn)是什么.(2)明確完成這件事情是分類還是分步，還是既要分類又要分步，并搞清分類或分步的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么

19、.(3)注意兩個(gè)原理的實(shí)質(zhì)：分類用分類計(jì)數(shù)原理（即加法），分步用分步計(jì)數(shù)原理（即乘法）.變式1 用三種顏色染如圖12-4-1所示的矩形塊，要求每塊染一種顏色且相鄰不同色.(1)共有多少方法？(2)每種顏色染兩塊有多少種方法？圖12-4-1解析 記三色為1,2,3.逐塊確定，易得共3x2x2x2x2x2=96(種)方法.第一塊3種方法，第二塊2種方法，不妨設(shè)第一塊用顏色1，第二塊用顏色2，此時(shí)如圖12-25所示.12 圖12-25按第三塊分類： 分三步，故共有3x2x(1+2+2)=30(種)方法.評(píng)注 涂色問(wèn)題往往從某一塊出發(fā)進(jìn)行分步涂色，用分步計(jì)數(shù)原理.本題中的三色改成三種不同花，同一解法.

20、變式2 （2016年全國(guó)II高考）如圖12-4-2，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（ ）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9圖12-4-2【分析】從E到F最短的走法，無(wú)論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，由組合數(shù)可得最短的走法，同理從F到G，最短的走法，有C31=3種走法，利用乘法原理可得結(jié)論【解答】解：從E到F，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，從E到F最短的走法，無(wú)論怎樣走，一定包括4

21、段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42=6種走法同理從F到G，最短的走法，有C31=3種走法小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為63=18種走法故選：B題型162 排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算思路提示盡量用性質(zhì)計(jì)算；推導(dǎo)、證明和化簡(jiǎn)約分用階乘形式，計(jì)算用乘積形式.例12.5 (1)證明：.(2) 已知，且.證明： eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3) eq oac(,4)解析 (1) 為從n個(gè)（nN*）不同元素中取出m（mn, mN*）個(gè)（不同）元素，按照一定順序排成一列的不同排列的個(gè)數(shù)

22、（即排列數(shù)）.如表12-1所示，需要m步完成排列任務(wù).表12-1位置1位置2位置mn種方法n-1種方法n-m+1種方法第一步（為位置1選擇一個(gè)元素）有n種選法.第二步（為位置2選擇一個(gè)元素）有n-1種選法.第m步（為位置m選擇一個(gè)元素）有n-m+1種選法.依分步計(jì)數(shù)原理，得.(2) eq oac(,1) 為從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)（不同）元素并成一組的不同組合的個(gè)數(shù)（即組合數(shù)），當(dāng)mN*，mn時(shí)，從n個(gè)不同元素中取m個(gè)（不同）元素按照一定的順序排成一列，可以分成兩步完成，第一步從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素并成一組，第二步把取出的m個(gè)元素按照一定的順序排成一列，依分步乘法原理得.即，又，故.當(dāng)m

23、=0，.，也成立. eq oac(,2)故. eq oac(,3). eq oac(,4)由，則，依此類推，故.評(píng)注 題目 eq oac(,4)中的求和應(yīng)用，如(i) (ii).變式1 組合數(shù) 恒等于( ).A. B. C. D. 解析 解法一：特殊值法.r=1時(shí)，選項(xiàng)，選項(xiàng),選項(xiàng),選項(xiàng),則排除選項(xiàng)A和B；r=2時(shí)，選項(xiàng)，排除C，故選D.解法一：推演法.，即.故選D.變式2 解方程 .解析 由排列數(shù)公式可知，故原方程可化為4（2n-1）=100,解得n=13.例12.6 (1)乘積 可表示為( ).A. B. C. D. (2)式子 可表示為( ).A. B. C. D. 解析 (1)原式=

24、，也可以觀察，一共有21個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積，可以直接表示為.故選D.(2)原式= .故選D.評(píng)注 公式的構(gòu)成特點(diǎn)是：公式右邊第一個(gè)因數(shù)是n，其后每個(gè)因數(shù)都比它前面一個(gè)因數(shù)少1，最后一個(gè)因數(shù)是n-m+1，共有m個(gè)因數(shù)相乘，組合數(shù) 公式也有相似特點(diǎn).使用時(shí)要注意三個(gè)問(wèn)題：第一個(gè)因數(shù)是什么、最后一個(gè)因數(shù)是什么、一共有多少個(gè)連續(xù)相乘的正整數(shù)，防止我們?cè)凇皀”，“m”比較復(fù)雜時(shí)用錯(cuò)公式.應(yīng)用公式時(shí)，要注意正用、逆用和活用等.變式1市內(nèi)某公共汽車站有6個(gè)候車位(成一排)，現(xiàn)有3名乘客隨便坐在某個(gè)座位上候車，則恰好有2個(gè)連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)為()A48 B54 C72 D84解析 選c 先把3名乘客進(jìn)行

25、全排列，有Aeq oal(3,3)6種排法，排好后，有4個(gè)空，再將1個(gè)空位和余下的2個(gè)連續(xù)的空位插入4個(gè)空中，有Aeq oal(2,4)12種排法，則共有61272種候車方式題型163 計(jì)數(shù)原理與排列組合問(wèn)題的結(jié)合思路提示要注意可重排列與不可重排列的區(qū)別；選擇適當(dāng)?shù)慕忸}策略，即加法與減法；應(yīng)注意不重不漏.例12.7 如圖12-6所示，電路中共有13個(gè)開(kāi)關(guān)（電阻略），每個(gè)開(kāi)關(guān)可任選“開(kāi)”或“關(guān)”一種狀態(tài)，且相互獨(dú)立.圖12-6(1)燈亮，有多少種整體狀況；(2)燈滅，有多少種整體狀況.分析 每個(gè)開(kāi)關(guān)有“開(kāi)”或“關(guān)”兩種狀況，逐個(gè)確定這13個(gè)開(kāi)關(guān)的“開(kāi)”、“關(guān)”狀態(tài)共有213=8192(個(gè))整體狀

26、態(tài)，只要求出(1)與(2)中一值，用減法即可求出另一值.解析 (1)燈亮，第一步A通到C，第二步C通到D，第三步D通到E，第四步E通到，算出每步方法數(shù)，再相乘得整體通（即燈亮）方法數(shù)第一步：先算到不通方法數(shù)，即上、中、下三路都不通，上路不通的方法數(shù)=23(上路通的方法數(shù))=23(221)=5，中路不通的方法數(shù)=1，下路不通的方法數(shù)=221=3.故A到C不通的方法數(shù)為513=15.A到C通的方法數(shù)=2815=25615=241，C到D通的方法數(shù)=221=3，D到E通的方法數(shù)=1，E到B的方法數(shù)=221=3.故燈亮即四步都通，整體狀況有241313=2169(種).(2)燈不亮有2132169=8

27、1922169=6023(種).評(píng)注 串聯(lián)求通：把各段通數(shù)相乘，得總通數(shù).串聯(lián)求不通：先求通，再用減法，得串聯(lián)不通數(shù).并聯(lián)求通：先求不通數(shù)，再用減法，得并聯(lián)通數(shù).并聯(lián)不通：把各支路不通數(shù)相乘.變式1 直線方程Ax+By=0，從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作A和B，共可確定（ ）條直線.A. 20 B. 19 C. 18 D. 16解析 由直線方程得，,故看成有多少個(gè)不同的值.A,B不同屬排列問(wèn)題，去掉重復(fù)，20-2=18.故選C.變式2 一個(gè)n棱錐的所有頂點(diǎn)共可確定 條直線，這些直線可確定 對(duì)異面直線.解析 共n+1個(gè)頂點(diǎn)可確定條直線，每對(duì)異面直線由一條側(cè)棱與底面與它無(wú)公共點(diǎn)

28、的直線確定，共對(duì).例12.8 如圖12-7所示，有4種不同顏色供選，要求A,B,C,D,E每塊一種顏色，相鄰兩塊不同色，共有多少種染色方法？解析 如圖12-8所示，記4種顏色為1,2,3,4，可以從E開(kāi)始染，有4種染法，A與E相鄰，A,E不同色，所以A有3種方法，B與A,E均相鄰，B有2種染法，最后剩C,D，此時(shí)要注意分類討論，如圖12-8所示，C與A同色時(shí)，D有2種染法；C與A不同色時(shí)，D有1種染法，即C,D共有3種方法.綜上共有4323=72種染色方法. 圖12-7 圖12-8評(píng)注 利用計(jì)數(shù)原理求解染色問(wèn)題，一般有“區(qū)域”染色和“線段端點(diǎn)”染色兩類，其中區(qū)域染色問(wèn)題，常用的原則有“最多相鄰

29、優(yōu)先”，但要注意最后23個(gè)區(qū)域的分類討論.變式1 如圖12-9所示，用4種不同顏色給圖中A,B,C,D,E,F共6個(gè)點(diǎn)染色，要求每個(gè)點(diǎn)染一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)不同色，則不同的染色方法共有( )種.A. 288 B. 264 C. 240 D. 168解析 按所用顏色分兩類.第一類：三色涂完，必然兩兩同色，即AC,BE,DF或AF,BD,CE同色，有.第二類：四色涂完，A,D,E肯定不同色，有種涂法，再?gòu)腂,F,C中選一位置涂第四色，有3種，若選的是B，則AF,CE或FD,CA或FD,CE同色，故F,C共3種涂發(fā)，所以(種)，故共有48+216=264（種）染色方法.故選B.變式2

30、用4種不同顏色為正方體的六個(gè)面著色，要求有公共棱的兩個(gè)面不同色，則共有( )種不同的著色方法.A. 24 B. 48 C. 72 D. 96分析 根據(jù)正方體的幾何特征知，相同顏色只能涂對(duì)面，即上下可同色，左右可用色，前后可同色.解析 按所用顏色分兩類 第一類：選取其中三種顏色涂色，有種涂色方法.第二類：4色涂完，在同一公共點(diǎn)的平面有選色方法，另外在剩下的三個(gè)平面選一個(gè)平面涂第四種顏色，其余兩個(gè)平面顏色與對(duì)面顏色相同，及確定.有,故共有種.故選D.變式3 用紅、黃、藍(lán)三色之一去涂如圖12-10所示的標(biāo)號(hào)19的9個(gè)小正方形，使任意有公共邊的小正方形不同色，且3,5,7的方塊同色，則共有 種不同涂色

31、方法. 圖12-9 圖12-10解析 如圖12-26所示，第一步，“3”，“5”，“7”定一色，有（種）染發(fā)如取紅色.第二步染“1”，“2”，“4”塊，按“2”，“4”同色、異色分類.“2”，“4”同色，“1”定色，共2x2=4種染色4紅2紅紅圖12-26“2”，“4”異色,“1”定色,有種染色共6種染色第三步，染“6”，“8”，“9”塊，同理共有6種染色方法故共有3x6x6x=108（種）不同染色方法.變式4 在五邊形ABCDE中，五個(gè)頂點(diǎn)各染紅、黃、綠三色之一，相鄰頂點(diǎn)不同色，共有種不同_染法.解析 如圖12-27所示，第一步染A，有種染法，如取A為紅；第二步按B,E同色與否分類.B,E同

32、色，如取B=E黃，DCBA為紅E圖 12-27種染法. B,E不同色，取B為黃嗎，E為綠，（種）染法.故共有（種）不同染法.例12.9 某市汽車牌照前面兩個(gè)英文字母（不可重復(fù)）后面四個(gè)數(shù)字（可重復(fù)）組成，最多有多少個(gè)牌照？ 解析 任務(wù)：第一步，確定前面兩個(gè)英文字母；第二步：確定后面四個(gè)數(shù)字.所以最多可有（個(gè)）牌照.變式1 某通信公司推出一組手機(jī)號(hào)碼，號(hào)碼的前7位數(shù)固定，從到共10000個(gè)號(hào)碼。公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后4位帶有數(shù)字4或7的一律作為優(yōu)惠卡，則這組號(hào)碼中優(yōu)惠卡有（ ）個(gè). A.2000 B.4096 C.5904 D.8320解析 總數(shù)減去對(duì)立數(shù)=1000-后四位既無(wú)4也無(wú)7=1000-

33、84=5904.故選C.變式2 用數(shù)字這4個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)中有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有（ ）個(gè).A.192 B.182 C.174 D.274解析 總數(shù)減去對(duì)立數(shù)=3x4x4x4-無(wú)重復(fù)四位數(shù)=192-=174.故選C.變式3 用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(gè)（用數(shù)字作答）.解析 從反面著想，因?yàn)橹皇浅霈F(xiàn)“2”或只是出現(xiàn)“3”的四位數(shù)有2個(gè)，則數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次的四位數(shù)有24-2=14個(gè).例12.10 設(shè)集合，選擇的兩個(gè)非空子集與，要使中最小的元素大于中的最大元素，則與的不同的選擇方法共有（ ）種. A.50 B.49 C.48 D.47分析 關(guān)鍵在于

34、選擇分類的依據(jù).選擇的元素個(gè)數(shù)為分類依據(jù)是最佳選擇，顯然，依題意.或選擇中的最小元素為分類依據(jù).解析 解法一：令中有個(gè)元素，則有種選法.有種選法.有種選法.有種選法，則不同的選擇方法共有+=49.故選B. 解法二：當(dāng)中的最小元素為時(shí)，則中的最大元素只能為1，種；當(dāng)中的最小元素為時(shí)，則中的最大元素只能為1或2，有種；當(dāng)中的最小元素為時(shí)，則中的最大元素小于或等于，有種；當(dāng)中的最大元素為小于或等于時(shí)，有種；，共有.故選B.評(píng)注 解法一中可以理解組合問(wèn)題隔板法，應(yīng)為集合中元素大小順序一定.解法二中應(yīng)注意排除可能出現(xiàn)空集的問(wèn)題. 變式1 ，是的兩個(gè)子集，中有個(gè)元素，中至少有兩個(gè)元素，且中所有的元素不大于

35、中的最小元素，這樣的有_組.解析 以A中最小元素x分類討論，依題意x=2,3,4.X=2，B：,A: ,有=6（組）X=3，同理有（組）X=4，有（組）故共有6+12+11=29（組）變式2 ，從中取出4個(gè)不同的子集，滿足條件： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 其中必有和； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 4個(gè)子集中的任意兩個(gè)子集與，必有或.則4個(gè)子集共有_種選法.解析 依題意，任取一種選法：稱之為“0,1,2,4”類，則共有3類：“0,1,2,4”類，“0,1,3,4”類，“0,2,3,4”類.“0,1,2,4”類有=12（種）選法；“0,1,2,4”類有=1

36、2（種）選法；“0,2,3,4”類有=12（種）選法.故共有12+12+12=36（種）選法.例12.11 用填如圖12-11所示的“九宮圖”，每格一數(shù)，不同格不同數(shù)，其中“”，34圖12-11“”已填好，要求每行從左至右，每列從上到下都遞增，共有_種不同填格法.126347589圖12-12 解析 依題意，1,2,9位置固定，如圖12-12所示,5,6,7,8任意分兩組分散9上方和左方兩格，有種分法，如取5,8在9左邊，6,7在9上方，只能如圖所示，故有6種不同方法.變式1 在1,2,3,4,5的排列中滿足，排列有（ ）個(gè). A.10 B.12 C.14 D.16解析 a2，a4中必有“5”

37、，分兩類. a2，a4為4,5+ a2，a4為3,5=+（*3*54+45*3*）=12+=16.故選D.變式2 用4個(gè)數(shù)字（只含0和1）排成一個(gè)四位數(shù)字表示一個(gè)信息，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有（ ）個(gè). A.10 B.11 C.12 D.15解析 解法一：至多有兩個(gè)位置上的數(shù)字相同的信息，分3種情況：沒(méi)有一個(gè)位置上的信息相同，為個(gè)；有一個(gè)位置上的信息相同，為個(gè)；有兩個(gè)位置上的信息相同，為個(gè)，共有+=11（個(gè)）. 故選B.解法二：總數(shù)減去對(duì)立數(shù).0,1組成四位號(hào)碼，共2x2x2x2=16個(gè)，減去（與0110三位相同的加上與0110四位相同的）=16-4-1=11.故選B.最有效訓(xùn)練題49（限時(shí)30分鐘）1.3封不同的信任意投入4個(gè)不同的信箱，隨意投的投法數(shù)和每箱至多1信的投法數(shù)依次為（ ）. A. B. C. D.2.從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）. A.24 B.18 C.12 D.6 3. （2017新課標(biāo)理）安排3名志愿者完成4項(xiàng)工