幾何概型的定義及計(jì)算

1、幾何概型的定義及計(jì)算幾何概型的概念:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)稱(chēng)比例，則稱(chēng)這樣 的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型。幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件”該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事字一、捆測(cè)度:口 | 41 =件A，則事件A發(fā)生的概率 刷測(cè)度。說(shuō)明：(1)D的測(cè)度不為0；其中”測(cè)度”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段，平面圖形，立體圖形時(shí)，相應(yīng)的” 測(cè)度”分別是長(zhǎng)度，面積和體積；區(qū)域?yàn)椤遍_(kāi)區(qū)域”；區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的 可能性大小只與該部分的測(cè)度成正比而與其形狀位置無(wú)關(guān).幾何概型的

2、基本特點(diǎn)：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)；每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.古典概型的定義及計(jì)算基本事件的定義：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱(chēng)為一個(gè)基本事件。等可能基本事件：若在一次試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱(chēng)這些基本事件為等可能基本 事件。古典概型：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足：(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的；那么，我們稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型.古典概型的概率:如果一次試驗(yàn)的等可能事件有n個(gè)，那么，每個(gè)等可能基本事件發(fā)生的概率都是胃；如iW PS）=-果某個(gè)事件A包含了其中m個(gè)等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的

3、概率為珂。古典概型解題步驟：（1）閱讀題目，搜集信息；（2）判斷是否是等可能事件，并用字母表示事件；（3）求出基本事件總數(shù)n和事件A所包含的結(jié)果數(shù)m；宵=-（4）用公式町求出概率并下結(jié)論。求古典概型的概率的關(guān)鍵：求古典概型的概率的關(guān)鍵是如何確定基本事件總數(shù)及事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)。概率的基本性質(zhì)（互斥事件、對(duì)立事件）互斥事件：事件A和事件B不可能同時(shí)發(fā)生，這種不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件。如果A，A，A中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件A，A，A彼此互斥。12n12n對(duì)立事件：兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記做且。注：兩個(gè)對(duì)立事件必是互斥事件，

4、但兩個(gè)互斥事件不一定是對(duì)立事件。事件A+B的意義及其計(jì)算公式：（1）事件A+B:如果事件A，B中有一個(gè)發(fā)生發(fā)生。（2）如果事件A，B互斥時(shí)，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件AA，-A彼此互斥時(shí)，那么 P（A+A+-+A）=P（A）+P（A）+-+P（A）。12 n12n12n對(duì)立事件：P (A+ ) =P (A) +P ( ) 二1。概率的幾個(gè)基本性質(zhì)：概率的取值范圍：0, 1.必然事件的概率為1.不可能事件的概率為0.互斥事件的概率的加法公式：如果事件A, B互斥時(shí)，P (A+B) =P (A) +P (B)，如果事件AA ,-A彼此互斥時(shí)， 那么 P (A+A+-+A) =P (

5、A ) +P (A ) +-+P (A)。12 n12n12n如果事件A, B對(duì)立事件，則P (A+B) =P (A) +P (B)=1。互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別和聯(lián)系：互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外， 還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生。因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必 是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要但不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分 但不必要條件。隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件的定義：在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件叫 做隨機(jī)事件，隨機(jī)事件通常用大寫(xiě)英文字母A、B、C等表示。必然事件

6、的定義：必然會(huì)發(fā)生的事件叫做必然事件；不可能事件：肯定不會(huì)發(fā)生的事件叫做不可能事件；概率的定義：在大量進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率網(wǎng)總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)。這 時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P (A)。m，n的意義：事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了 m次。因0WmWn,所以，0WP （A）W1,必然事件的概率為1,不可能發(fā)生的事件的概率0。隨機(jī)事件概率的定義：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率尤（司總是接近于區(qū)間 0，1中的某個(gè)常數(shù)，我們就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P（A）。頻率的穩(wěn)定性：即大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，任何結(jié)果（事件）出現(xiàn)的頻率盡管是隨機(jī)的，卻“穩(wěn)

7、定”在某一個(gè) 常數(shù)附近，試驗(yàn)的次數(shù)越多，頻率與這個(gè)常數(shù)的偏差大的可能性越小，這一常數(shù)就成為該事 件的概率；“頻率”和“概率”這兩個(gè)概念的區(qū)別是：頻率具有隨機(jī)性，它反映的是某一隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，它反映的是隨機(jī)事件出現(xiàn) 的可能性；概率是一個(gè)客觀常數(shù)，它反映了隨機(jī)事件的屬性。獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)分類(lèi)變量與列聯(lián)表：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別，像這類(lèi)變量稱(chēng)為分類(lèi)變量；列出的兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)表，稱(chēng)為列聯(lián)表。獨(dú)立性檢驗(yàn)：為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量貯忒網(wǎng)-陌3+以id心十*|0十刃，其中n=a+b+c+d為樣本容量。利用隨機(jī)變量K2來(lái)確定在多大 程

8、度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的方法，稱(chēng)為兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠 程度，具體做法是：（1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要的可信程度確定臨界值k；0（2）利用公式（1），由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值；（3）如果kk，就以（1-P （K2k0）X100%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就 說(shuō)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)肴提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù)。獨(dú)立性檢驗(yàn)的性質(zhì)：獨(dú)立性檢驗(yàn)沒(méi)有直觀性，必須依靠K2的觀測(cè)值k作判斷。獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2X2列聯(lián)表；2就如-況滬根據(jù)公式S十以泌康十刈，計(jì)算K2的值;查表比較K2

9、與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷?；貧w分析的基本思想及其初步應(yīng)用相關(guān)系數(shù):當(dāng)r0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)rV0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；|r|W1,且|r| 越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0,相關(guān)程度越小。殘差：邳，=1 _號(hào) (y- - y?相關(guān)指數(shù)R2用來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，其計(jì)算公式是口 3，在含有一個(gè)解釋變量的線性模型中，R2恰好等于相關(guān)系數(shù)r的平方。顯然，R2取值越大， 意味著殘差平方和越小，也就是模型的擬合效果越好。建立回歸模型的基本步驟：確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；畫(huà)出解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系；由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類(lèi)型(如觀察到

10、數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程 = 快)；按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法)；（5）得出結(jié)果分析殘差圖是否有異常，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否 適當(dāng)。當(dāng)回歸方程不是形如時(shí)，我們稱(chēng)之為非線性回歸方程。線性回歸分析回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間具有 線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線；最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法。 回歸直線方程：y = ct +隘, 丙一*，-了，Il 弘-奸-苴，-層.1-13-1其中+=亍阪?；貧w分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種常用數(shù)學(xué)方法，其步驟為：

11、（1）確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有，那么就找出他們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式；（2）根據(jù)一組觀察值，預(yù)測(cè)變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢(shì)；（3）求出回歸直線方程。散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖：（1）散點(diǎn)圖的定義：用兩組數(shù)據(jù)構(gòu)成多個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，考察坐標(biāo)點(diǎn)的分布，判斷兩變量之間 是否存在某種關(guān)聯(lián)或總結(jié)坐標(biāo)點(diǎn)的分布模式。（2）散點(diǎn)圖表示因變量隨自變量而變化的大致趨勢(shì)，據(jù)此可以選擇合適的函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn) 進(jìn)行擬合。散點(diǎn)圖將序列顯示為一組點(diǎn)，值由點(diǎn)在圖表中的位置表示。散點(diǎn)圖的作用：（1）確認(rèn)兩組變量是否相關(guān);發(fā)現(xiàn)變量這間除因果關(guān)系之外的其他關(guān)系；直觀觀察或用統(tǒng)計(jì)分析兩變量潛在關(guān)系的強(qiáng)度；如不相關(guān)，可總結(jié)特征點(diǎn)的分布模式。散

12、點(diǎn)圖的做法：收集若干對(duì)變量數(shù)據(jù)，制成數(shù)據(jù)表；畫(huà)出坐標(biāo)軸和坐標(biāo)點(diǎn)：一般x軸上的變量為獨(dú)立變量，y軸上的變量為從屬變量； 如果有重復(fù)的數(shù)值，就在此點(diǎn)上畫(huà)圈標(biāo)示，重復(fù)幾次畫(huà)幾個(gè)圈。圖形分析：散點(diǎn)圖的形狀可能表現(xiàn)為變量間的線性關(guān)系、指數(shù)關(guān)系和對(duì)數(shù)關(guān)系等。 以線性關(guān)系為例，散點(diǎn)圖一般包括：A正相關(guān)。Y的增加可能取決于X的增加。如受教育的時(shí)間增加，平均月收入可能隨之上 升。B可能正相關(guān)。X增加，Y可能有些上升。如除了受教育時(shí)間外，月收入還涉及其他變量。C不相關(guān)。受教育時(shí)間和平均月收入之間沒(méi)關(guān)系。D可能負(fù)相關(guān)。當(dāng)X增加，Y可能有些降低。除了所受教育的時(shí)間之外，可能還存在影響 收入的其他變量。E負(fù)相關(guān)。Y的降

13、低可能取決于X的增加。所受教育的時(shí)間增加，平均月收入可能降低。散點(diǎn)圖的適用范圍：當(dāng)估計(jì)兩個(gè)變量之間存在相關(guān)關(guān)系時(shí)，用散點(diǎn)圖進(jìn)行確認(rèn)，并觀察和確定兩者的關(guān)系強(qiáng) 度。還可以用散點(diǎn)圖分析坐標(biāo)點(diǎn)的分布模式，如“風(fēng)險(xiǎn)機(jī)遇評(píng)估矩陣”。標(biāo)準(zhǔn)差、方差方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義：考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均 數(shù)的一種平均距離，一般用s表示。- 成=_ 3 _工滬_)+.一.+伏 _工滬設(shè)一組數(shù)據(jù)羽的平均數(shù)為&，則 叢，其中S2表示方差，s表示標(biāo)準(zhǔn)差。一般地，平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差具有如下性質(zhì)：若數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差為S2，標(biāo)準(zhǔn)差為s.則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是方差為標(biāo)準(zhǔn)差為特別地，

14、如a=1，則新數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準(zhǔn)差與原數(shù)據(jù)相同，分別為S2, s。因此，當(dāng)一 組數(shù)據(jù)均較大且接近某個(gè)常數(shù)時(shí)，可先將每個(gè)數(shù)同時(shí)減去這個(gè)常數(shù)，再計(jì)算這組新數(shù)據(jù)的方 差，它與原數(shù)據(jù)的方差相等.方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義：方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的特征數(shù)，常數(shù)來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大 小，方差較大的波動(dòng)較大，方差較小的波動(dòng)較小。用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征分兩類(lèi)：用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù).用樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體方差、標(biāo)準(zhǔn)差.樣本容量越大，估計(jì)就越精確.計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的算法：算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差X E=1二 滴;(3)算出(3)算出(4)算出心這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差S2(5)算出方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)) 叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。平均數(shù):如果有幾個(gè)數(shù)，那么叫做這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)。如果在幾個(gè)數(shù)中，灼出現(xiàn)Z次，勺出現(xiàn)片次，丸出現(xiàn)&次J這里片+火二如），那么 云*思5號(hào)5企叫做這幾個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)中位數(shù)的特點(diǎn)：中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但是它對(duì)極端值的不 敏感有時(shí)也會(huì)