振動(dòng)理論及工程應(yīng)用6-第六章-彈性體的一維振動(dòng)課件

1、 6.1 桿的縱向自由振動(dòng) 6.2 桿的縱向受迫振動(dòng) 6.3 梁的橫向自由振動(dòng) 6.4 梁的橫向受迫振動(dòng) 6.5 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剪切變形和軸向力對(duì)梁橫向振動(dòng)的影響 6.6 梁橫向振動(dòng)的近似解法 第6章 彈性體的一維振動(dòng) 實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因而又稱連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng)確定連續(xù)體上無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)的位置需要無(wú)限多個(gè)坐標(biāo)，因此連續(xù)體是具有無(wú)限多自由度的系統(tǒng)連續(xù)體的振動(dòng)要用時(shí)間和空間坐標(biāo)的函數(shù)來(lái)描述，其運(yùn)動(dòng)方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程組，它是偏微分方程在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒有什么差別，連續(xù)體振動(dòng)的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全

2、類似的（1）本章討論的連續(xù)體都是線性彈性體（2）材料均勻連續(xù)；各向同性（3）振動(dòng)滿足微振動(dòng)的前提 （1）桿的縱向振動(dòng) 討論等截面細(xì)直桿的縱向振動(dòng) 桿長(zhǎng) l假定振動(dòng)過程中各橫截面仍保持為平面截面積 A單位長(zhǎng)度的質(zhì)量彈性模量 E單位長(zhǎng)度桿上分布的縱向作用力 桿參數(shù)：忽略由縱向振動(dòng)引起的橫向變形 6.1 桿的縱向自由振動(dòng)桿上距原點(diǎn) x 處截面在時(shí)刻 t 的縱向位移微段分析 微段應(yīng)變： 橫截面上內(nèi)力：達(dá)朗貝爾原理： 達(dá)朗貝爾慣性力 變形為： 為桿上距原點(diǎn) x 處截面在時(shí)刻 t 的縱向位移橫截面上內(nèi)力：達(dá)朗貝爾原理： 桿的縱向強(qiáng)迫振動(dòng)方程 等直桿EA為常數(shù) 彈性波沿桿的縱向的傳播速度 系統(tǒng)是無(wú)阻尼的，因

3、此可象解有限多個(gè)自由度系統(tǒng)那樣，假設(shè)一個(gè)主振動(dòng)模態(tài)，即設(shè)系統(tǒng)按某一主振型振動(dòng)時(shí)，其上所有點(diǎn)都做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。假設(shè)桿上各點(diǎn)做同步運(yùn)動(dòng)，即所有的點(diǎn)將同時(shí)經(jīng)過平衡位置，并同時(shí)達(dá)到極限位置。 得到桿的縱向自由振動(dòng)微分方程為固有頻率和主振型解可以用x的函數(shù)U(x)與t的諧函數(shù)的乘積表示，即記：桿上距原點(diǎn) x 處的截面的縱向振動(dòng)振幅q(t) 表示桿上各點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù) 記：通解： 當(dāng)U(x)具有非零解，而且符合桿端邊界條件的情況下，求解值 p2及振型函數(shù)U(x)稱為桿作縱向振動(dòng)的特征值問題。p2為特征值，U(x)又稱為特征函數(shù)或主振型；而p是固有頻率。 桿有無(wú)窮多個(gè)自由度系統(tǒng)，振型不再是折線而變成一條連

4、續(xù)曲線，表示各坐標(biāo)振幅的相對(duì)比值 。由桿的邊界條件，可以確定p2值及振型函數(shù)U(x)。由桿的邊界條件，可以確定p2值及振型函數(shù)U(x)。由頻率方程確定的固有頻率 有無(wú)窮多個(gè) 一一對(duì)應(yīng)第 i 階主振動(dòng)：系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加： 現(xiàn)在來(lái)確定幾種簡(jiǎn)單邊界條件下桿的固有頻率和主振型1. 桿兩端固定的情況特征為兩端位移為零，即兩端固定桿的頻率方程。由此解出固有頻率為相應(yīng)的主振型為邊界條件為：不能恒為零 由于零固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去 分別令i =1,2,3，可得系統(tǒng)的前三階固有頻率和相應(yīng)的主振型為桿的前三階主振型表示如圖所示。2. 桿一端固定，一端自由特征：固定端位移

5、為零 自由端軸向力為零 邊界條件 ：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：或：頻率方程桿右端固定，左端自由特征：固定端位移為零 自由端軸向力為零 邊界條件 ：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：頻率方程邊界條件固有頻率模態(tài)函數(shù)頻率方程3. 桿的兩端都是自由的情況特征：自由端的軸向力為零 邊界條件 ：固有頻率：相應(yīng)的主振型為：當(dāng)p = 0時(shí)，對(duì)應(yīng)了桿的剛體振型。例6-1 一均質(zhì)等截面細(xì)直桿，長(zhǎng)為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 ，橫截面積為A，材料的彈性模量為E。其一端固定，另一端連接彈簧常數(shù)為k的彈簧，試求桿的縱向振動(dòng)的固有頻率及主振型。 桿作縱向振動(dòng)時(shí)，桿的右端的彈簧支承相當(dāng)于作用kU(l) 之力。因此，邊界條件為 解：桿的端部連接彈簧

6、或帶有集中質(zhì)量時(shí)，稱復(fù)雜邊界條件。頻率方程x=l處桿的抗壓剛度相應(yīng)于固有頻率pi的主振型為討論兩個(gè)極端的情況當(dāng) 時(shí)，相當(dāng)于固定端，有 ,即則頻率方程為相應(yīng)的主振型為若 ，相當(dāng)于自由端，即例6-2 與例6-1中所設(shè)參數(shù)相同的桿，若其一端固定，另一端附有集中質(zhì)量M如圖所示，試求桿作縱向振動(dòng)時(shí)的固有頻率和主振型。當(dāng)桿作縱向振動(dòng)時(shí)，附有集中質(zhì)量的一端相當(dāng)作用有慣性力因此桿的邊界條件為得到C = 0解：此系統(tǒng)仍屬于復(fù)雜邊界條件問題。得頻率方程無(wú)量綱因子質(zhì)量比相應(yīng)的主振型為Mechanical and Structural Vibration對(duì)于 的情況， 將很小，即桿的質(zhì)量遠(yuǎn)小于集中質(zhì)量時(shí)，可以取則得到

7、對(duì)于基頻情況，有其中 是不計(jì)桿本身質(zhì)量時(shí)桿的抗壓剛度，以上結(jié)果與不計(jì)桿本身質(zhì)量而將其看成是單自由度系統(tǒng)所得的結(jié)果相同。 因?yàn)椴簧婕爸髡裥偷木唧w形式，所以不對(duì)桿作任何設(shè)定。即桿的質(zhì)量密度、橫截面積等都可以是x的函數(shù)。因此可寫出桿的縱向振動(dòng)微分方程式為只討論簡(jiǎn)單邊界條件的桿的主振型的正交性。將桿的主振動(dòng)的表達(dá)式代入取特征值問題的兩個(gè)解代入因?yàn)椴簧婕爸髡裥偷木唧w形式，所以不對(duì)桿作任何設(shè)定。即桿的質(zhì)量密度、橫截面積等都可以是x的函數(shù)。因此可寫出桿的縱向振動(dòng)微分方程式為只討論簡(jiǎn)單邊界條件的桿的主振型的正交性。將桿的主振動(dòng)的表達(dá)式代入取特征值問題的兩個(gè)解代入乘以乘以分別沿桿長(zhǎng)l對(duì)x積分，得再利用分部積分，

8、可將式中左邊積分為桿端簡(jiǎn)單邊界條件總可以寫成1. 固定端 2. 自由端等于零相減，得就是桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性。 桿端簡(jiǎn)單邊界條件總可以寫成1. 固定端 2. 自由端等于零乘以分別沿桿長(zhǎng)l對(duì)x積分，得上二式則是桿的主振型關(guān)于剛度的正交性。當(dāng)i = j 時(shí)，式總能成立，令為第j階主質(zhì)量第j階主剛度 Kpj與Mpj的大小取決于第j階主振動(dòng)中常數(shù)的選擇 主質(zhì)量與主剛度的關(guān)系與多自由度系統(tǒng)相似，可將主振型函數(shù)Uj進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。如果主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件確定則得到的主振型 稱為正則振型，這時(shí)相應(yīng)的第j階主剛度 6.2 桿的縱向受迫振動(dòng) 與有限多自由度系統(tǒng)一樣，在對(duì)桿進(jìn)行的縱向自由振動(dòng)分析的基礎(chǔ)

9、上，可以用振型疊加法求解桿對(duì)縱向任意激勵(lì)的響應(yīng)。 首先研究桿對(duì)初始條件的響應(yīng)。桿的自由振動(dòng)微分方程假定在給定的邊界條件下，已經(jīng)得到各階固有頻率及相應(yīng)的正則振型。根據(jù)類似于多自由系統(tǒng)的線性變換，設(shè)通解為第i階正則坐標(biāo)第i階正則振型函數(shù)通乘以并沿桿長(zhǎng)l積分這就是以正則坐標(biāo)表示的桿作縱向自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程?？紤]到正交性條件及標(biāo)準(zhǔn)化條件，上式成為設(shè)桿的初始條件為正則坐標(biāo)變換乘以沿x桿長(zhǎng)對(duì)積分，得將正交性和歸一化條件代入得到桿以正則坐標(biāo)表示下的對(duì)初始條件的響應(yīng)得到桿對(duì)初始條件的總響應(yīng)例6-3 一端固定，一端自由的等直桿，長(zhǎng)為l。自由端受到軸向常拉力P的作用。設(shè)在t=0時(shí)突然去掉此力，求桿的縱向自由振動(dòng)。

10、桿的初始條件為桿的固有頻率及主振型為解：根據(jù)題意，t=0時(shí)桿內(nèi)的應(yīng)變?yōu)闂U的固有頻率及主振型為將主振型代入歸一化條件，得得到正則振型為得到正則坐標(biāo)表示的初始條件為得到桿以正則坐標(biāo)表示下的對(duì)初始條件的響應(yīng)于是桿的自由振動(dòng)為令x=l，其中 ，若將t=0代入上式，可得初始時(shí)自由端的位移。得桿的自由端的自由振動(dòng) 此題也可以用直接求解方法解出。根據(jù)已解出的固有頻率及主振型函數(shù)可寫出桿的振動(dòng)方程為常數(shù)Ai , Bi由初始條件確定。初始條件為再利用三角函數(shù)的正交性可得三角函數(shù)的正交性并沿桿長(zhǎng)l積分受迫振動(dòng)微分方程通乘以這就是在激勵(lì)q(x,t)作用下按正則坐標(biāo)表示的桿的受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 利用正交性及歸一

11、化的條件將形如上式的各個(gè)正則坐標(biāo)表示的響應(yīng)代入,便得到桿的初始條件下對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)為寫出第i個(gè)以正則坐標(biāo)表示的響應(yīng)為。例6-4 如圖所示兩端固定的桿，突然受到均布縱向力q(常數(shù))的作用，試求其響應(yīng)。設(shè)初始條件均為零。 解：該桿的固有頻率和主振型為將主振型代入歸一化條件，得考慮到q為常量，并且初始條件均為零，得得到正則振型為 例6-5 圖示的等直桿在自由端作用有簡(jiǎn)諧激振力，其中F0為常數(shù)，求桿的縱向穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)。 解： 由例8-3 已知桿的正則振型為得第i個(gè)正則方程為在本例中由于激勵(lì)不是沿桿身作用的分布力，而是集中力。對(duì)于如圖所示的在 處的集中力，利用 函數(shù)，第i個(gè)正則方程為由上式求出正則坐標(biāo)

12、的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為F(t)F(t) 表示為分布力于是桿的穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)為當(dāng)激振力頻率 等于桿的任一階固有頻率pi時(shí)，都會(huì)發(fā)生共振。Mechanical and Structural Vibration 6.3 梁的橫向自由振動(dòng) 假設(shè)梁的各截面的中心主慣性軸在同一平面Oxy 內(nèi)，外載荷也作用在該平面，且略去剪切變形的影響及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，因此梁的主要變形是彎曲變形，這即是通常稱為歐拉伯努利梁(BernoulliEuler Beam)的模型。 p(x,t): 單位長(zhǎng)度梁上分布的外力 m(x,t): 單位長(zhǎng)度梁上分布的外力矩 梁參數(shù)：J 截面對(duì)中性軸的慣性矩 為梁的密度A 梁橫截面積E 彈性模量

13、外部力： 在梁上x處取長(zhǎng)為 dx 的微元段。f(x,t): 單位長(zhǎng)度梁上分布的外力 m(x,t): 單位長(zhǎng)度梁上分布的外力矩 微段受力分析y(x,t): 距原點(diǎn) x 處的截面在 t 時(shí)刻 的橫向位移 截面上的剪力和彎矩 微段的慣性力 微段所受的外力矩 微段所受的外力 在梁上x處取長(zhǎng)為 dx 的微元段。根據(jù)微段dx的受力圖，寫出微段沿y向的運(yùn)動(dòng)微分方程。截面上的剪力和彎矩 微段的慣性力 微段所受的外力矩 微段所受的外力 在梁上x處取長(zhǎng)為 dx 的微元段。以右截面上任一點(diǎn)為矩心，力矩平衡： 略去高階小量：得對(duì)于等截面梁，則E、J為常數(shù)，上式又可寫成變截面歐拉伯努利梁的橫向振動(dòng)微分方程 代入材料力學(xué)

14、的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：等截面梁的橫向振動(dòng)微分方程 變截面梁的橫向振動(dòng)微分方程 得到梁的橫向自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程解用x的函數(shù)Y(x)與t的諧函數(shù)的乘積表示梁上各點(diǎn)按振型函數(shù)Y(x)作同步諧振動(dòng) 代入在Y(x)符合梁的邊界條件并具有非零解的條件下，由此方程求解p2和振型函數(shù)Y(x)的問題，稱為梁作橫向振動(dòng)的特征值問題。 對(duì)于等截面梁通解為或表示為 根據(jù)梁的邊界條件可以確定值及振型函數(shù)Y(x)中待定常數(shù)因子。邊界條件要考慮四個(gè)量，即撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力，梁的每個(gè)端點(diǎn)都與其中的兩個(gè)量有關(guān)。對(duì)于等截面梁通解為一一對(duì)應(yīng)第 i 階主振動(dòng)： 和 由系統(tǒng)的初始條件確定 系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振

15、動(dòng)的疊加： 1. 固定端常見的簡(jiǎn)單邊界條件有如下幾種2. 簡(jiǎn)支端在梁的自由端上彎矩M與剪力 等于零在梁的固定端上撓度y與轉(zhuǎn)角 等于零，即在梁的簡(jiǎn)支端上撓度y與彎矩 等于零3. 自由端下面討論在兩種支承情況下，梁的固有頻率和主振型。1. 兩端鉸支由此式得簡(jiǎn)支梁的頻率方程一端圓柱固定鉸另一端圓柱滑動(dòng)鉸固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動(dòng)鉸：撓度和截面彎矩為零得：對(duì)應(yīng)于 的固有頻率為可見，各固有頻率與梁長(zhǎng)的平方成反比。因此主振型函數(shù)為第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)模態(tài)形狀節(jié)點(diǎn)位置無(wú)節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)節(jié)點(diǎn)2. 左端固定，右端自由因此有代入邊界條件為懸臂梁的頻率方程方程的前四個(gè)根為時(shí)，可以取固

16、有頻率為基頻為則主振型函數(shù)為則主振型函數(shù)為前三階主振型由圖所示 鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)無(wú)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位置頻率方程：模態(tài)函數(shù)：其中：當(dāng) i=1,2,3時(shí)解得：當(dāng) 時(shí)自由端：彎矩和截面剪力為零當(dāng) 時(shí)對(duì)應(yīng)剛體模態(tài)3. 兩端自由例：懸臂梁一端固定，另一端有彈性支撐邊界條件固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等彈簧2：直簧，與撓度成正比彈簧1：卷簧，與截面轉(zhuǎn)角成正比彎矩平衡條件：剪力平衡條件：固定端：彈性支撐端：由固定端條件解得：由彈性支撐固定端條件解得：或非零解條件導(dǎo)出頻率方程：（1）若k1、k2 同時(shí)為零，則退化為

17、懸臂梁的情形討論：（2）若k10、k2 無(wú)窮大，則退化為一端固定另一端簡(jiǎn)支的情形討論：例6-6 如圖所示的懸臂梁的自由端附加一集中質(zhì)量M，將附加質(zhì)量視為質(zhì)點(diǎn)，求頻率方程和主振型函數(shù)。 解：與桿的復(fù)雜邊界條件相同，梁的端點(diǎn)帶有支承彈簧或附加質(zhì)量，或者兩者都有，為復(fù)雜邊界條件。該題即為復(fù)雜邊界條件問題。其邊界條件為 代入 令上面兩式是關(guān)于C1, C2的齊次方程組，具有非零解的充分必要條件是，是其系數(shù)行列式必須為零。 具有非零解的充分必要條件是，是其系數(shù)行列式必須為零，由此得到即頻率方程 則主振型函數(shù)為 說(shuō)明：以上分析中沒有考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，因此以上有關(guān)梁的分析只適用于細(xì)長(zhǎng)梁（梁的長(zhǎng)

18、度大于梁高度5倍以上）若梁為非細(xì)長(zhǎng)梁，必須考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響鐵木辛柯梁 （Timoshenko beam）考慮剪切變形使得梁的剛度降低，考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量使得梁的慣性增加，這兩個(gè)因素都會(huì)使梁的固有頻率降低 6.4 梁的橫向受迫振動(dòng) 梁作橫向振動(dòng)時(shí)，振型函數(shù)也具有正交性。這里只討論具有簡(jiǎn)單邊界條件下主振型的正交性，但梁可以是變截面的或非均質(zhì)的。 取特征值問題的任意兩個(gè)解代入并且都沿梁的長(zhǎng)度l對(duì)x積分，得乘以乘以左邊進(jìn)行分部積分，得對(duì)前面提出的任一種簡(jiǎn)單邊界條件，以上二式已積分出來(lái)的各項(xiàng)均為零。有二式相減，得如果 時(shí)，有 ，則由上式必得即梁的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性。 代入代入上面兩式即梁的

19、主振型關(guān)于剛度的正交性。 當(dāng)i=j，第j階主質(zhì)量第j階主剛度可得到它們的關(guān)系，即如果主振型Yj(x)中的常數(shù)按下列歸一化條件來(lái)確定，即這時(shí)相應(yīng)的第j階主剛度 為 總能成立，令由此得到的主振型函數(shù)稱為正則振型函數(shù)梁的橫向受迫振動(dòng)微分方程與解桿的縱向受迫振動(dòng)的響應(yīng)類似，可設(shè)通解為正則振型函數(shù)正則坐標(biāo)上式通乘以 并沿梁長(zhǎng)l對(duì)x積分，有 考慮到正交性及歸一化條件，上式成為第i個(gè)正則坐標(biāo)表示的梁的橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程第i個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力設(shè)梁的初始條件為由正交條件可得到用正則坐標(biāo)表示的梁對(duì)初始條件的響應(yīng)將以上兩式乘以 并沿梁長(zhǎng)對(duì)x積分，代入第i個(gè)正則坐標(biāo)表示解為第i個(gè)正則坐標(biāo)表示解為得到梁在初始條件下

20、對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)。如果作用在梁上的載荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩 利用函數(shù)，可以表示為: 有：例6-7 一簡(jiǎn)支梁在其中點(diǎn)受到常力F作用而產(chǎn)生變形，求當(dāng)力F突然移去時(shí)梁的響應(yīng)。解：由已求出兩端鉸支梁的固有頻率及主振型函數(shù)為將主振型代入歸一化條件從而得到正則振型函數(shù)為得到正則振型函數(shù)由材料力學(xué)得初始條件為梁中央的靜撓度 算出正則坐標(biāo)表示的初始條件為因?yàn)闆]有激振力，正則廣義力等于零，得于是梁的自由振動(dòng)為梁在中央受常力作用產(chǎn)生的靜變形只激發(fā)起對(duì)稱振型的振動(dòng)。 例6-8 均勻簡(jiǎn)支梁在x=x1處作用有一正弦激勵(lì) ，求梁的響應(yīng)，梁的初始條件為零。用 函數(shù)表示集中力解：由上例的結(jié)果可知正則振型函數(shù)正則

21、廣義力為于是梁的自由振動(dòng)為由于初始條件為零，所以響應(yīng)為例6-9：簡(jiǎn)支梁求：梁的響應(yīng)中點(diǎn)受力矩 作用例：懸臂梁自由端作用有正弦力求穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)，以及梁自由端的響應(yīng)。解：強(qiáng)迫振動(dòng)方程 ：模態(tài)函數(shù) ：設(shè)解為 ：代入方程 ：利用正則模態(tài)的正交性條件 ：兩邊乘 并沿梁長(zhǎng)對(duì) x 積分：模態(tài)穩(wěn)態(tài)解 ：梁的響應(yīng)：梁的響應(yīng)：梁自由端的響應(yīng)令 x=l：例6-10：簡(jiǎn)支梁，左端承受正弦支撐運(yùn)動(dòng)試求梁的響應(yīng)。解：梁的振動(dòng)方程： 解釋：微段分析力平衡方程 ：以右截面上任一點(diǎn)為矩心，力矩平衡： 略去高階小量，得：材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：梁的振動(dòng)方程： 代入方程： 令：即：即： 設(shè)解為： 為歸一化的正則模態(tài)

22、代入方程，得：用乘上式，并沿桿長(zhǎng)積分：利用正交性：模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：簡(jiǎn)支梁固有頻率：代入：思考題： 懸臂梁，右端簡(jiǎn)支。試求梁的響應(yīng)。右端承受支撐運(yùn)動(dòng) 6.5 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剪切變形和軸向力對(duì)梁橫向振動(dòng)的影響當(dāng)梁的橫截面尺寸與長(zhǎng)度相比并不很小或者在分析高階振型時(shí)，就需要考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形對(duì)梁振動(dòng)的影響，這時(shí)的梁稱為鐵木辛柯梁(Timoshenko beam) 。 取一段微單元體 ，畫出由剪力及彎矩引起的變形。當(dāng)剪力為零時(shí)，單元體 的中心線垂直于橫截面表面，令 是由彎矩引起的截面轉(zhuǎn)角，由剪力引起的剪切角為 ，由彎矩和剪切力共同作用引起的梁的軸線的實(shí)際轉(zhuǎn)角為由材料力學(xué)的基本公式 為截面的幾何形狀常數(shù)(圓形

23、截面 ； 矩形截面)為剪切彈性模量，為橫截面積 令 ，得到由于考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，單元體的動(dòng)力方程式有二個(gè)，即 代入代入 設(shè)梁是等截面的，并由式中消去 得表達(dá)了剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響 現(xiàn)以簡(jiǎn)支梁為例。設(shè)解為代入與 相比是微小量，在計(jì)算剪切變形的影響時(shí)可以略去 為不計(jì)剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)簡(jiǎn)支梁的固有頻率。 由式中可以看出，考慮了剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以后，系統(tǒng)的固有頻率降低了。這是因?yàn)橄到y(tǒng)的固有頻率取決于它的質(zhì)量和剛度，考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之后，使系統(tǒng)的有效質(zhì)量增加，有效剛度降低，因而引起固有頻率的降低，對(duì)高階頻率的影響更為顯著。只考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響時(shí)只考慮剪切變形的影響時(shí) 剪切變形的影響要比轉(zhuǎn)動(dòng)

24、慣量的影響大即剪切變形的影響是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響的3.2倍。，且梁的橫截面是長(zhǎng)方形的，則如設(shè)如果在梁的兩端受到拉力F的作用，當(dāng)梁作橫向振動(dòng)時(shí)，尚須考慮軸向力引起的彎矩的影響。設(shè)梁作微幅振動(dòng)，且梁在振動(dòng)過程中梁截面上的張力F保持不變，于是微段 的運(yùn)動(dòng)微分方程為利用,則得到運(yùn)動(dòng)微分方程為仍設(shè)解為代入設(shè) 是常數(shù)，且可設(shè)上式的解為仍以簡(jiǎn)支梁為例，邊界條件為利用系數(shù)行列式為零的條件，得頻率方程由于 及 不為零，故, 如果將拉力改為壓力，即用-F代替F，結(jié)果是固有頻率減小。當(dāng)F=0時(shí)，即為前面所求的簡(jiǎn)支梁的固有頻率。若增加了F力之后梁的剛度增加固有頻率提高；當(dāng) 1時(shí)梁將失穩(wěn)而破壞，臨界壓力值如果不考慮阻尼的影響，根據(jù)能量守恒定律，則系統(tǒng)的最大動(dòng)能應(yīng)該等于系統(tǒng)最大勢(shì)能。瑞利法正是從這一定律出發(fā)，估算梁的第一階固有頻率。設(shè)梁在x處的位移為系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的勢(shì)能等于應(yīng)變能 6.6 梁橫向振動(dòng)的近似解法由 得瑞利法通常用于求第一階固有頻率的近似值，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，將 取成靜撓度曲線就可以得到精度較好的基頻。 假若梁上有附加質(zhì)量或彈性支承，則只要在計(jì)算梁的動(dòng)能和勢(shì)能時(shí)計(jì)入附加質(zhì)量的動(dòng)能和彈性支承的勢(shì)能就可以了。例如在梁上 處有集中質(zhì)量 則梁的最大動(dòng)能為 在梁上 處有彈簧常數(shù)為 和扭轉(zhuǎn)彈簧常數(shù)為 的彈性支承時(shí)，則梁的最大