函數(shù)建模案例_課件

1、函數(shù)建模案例知識(shí)回顧解函數(shù)應(yīng)用題的一般流程審題建模求模還原弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系。將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論。將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題?，F(xiàn)在許多家庭都以燃?xì)猓ㄌ烊粴狻⒚簹?、液化氣、沼氣等）為燒水做飯的燃料，?qǐng)同學(xué)簡(jiǎn)單的概述燃?xì)庠顭沫h(huán)節(jié)。問題引入例1 現(xiàn)在燃?xì)鈨r(jià)格不斷上升，用燃?xì)鉄鲲埵潜匾?，但怎樣用氣才能做到?jié)約。怎樣燒開水最省燃?xì)饽?？問題提出省燃?xì)獾暮x就是燒開一壺水的燃?xì)庥昧可佟畷r(shí)是通過燃?xì)庠钌系男o控制燃?xì)饬髁康?，流量隨著旋鈕位置的變化而變化。由此可見，燃?xì)庥昧颗c旋鈕的位置是函數(shù)關(guān)系。于是，問

2、題是：旋鈕在什么位置時(shí)燒開一壺水的燃?xì)庥昧孔钌?？設(shè)想，當(dāng)旋鈕轉(zhuǎn)角非常小時(shí)，燃?xì)饬髁恳卜浅Ｐ?，甚至點(diǎn)火后的熱量不足以將一壺水燒開，如果一直燒下去，燃?xì)庥昧繉o止境；隨著旋鈕轉(zhuǎn)角增大，即燃?xì)饬髁繚u漸增大。但旋鈕轉(zhuǎn)角很大時(shí)，燃?xì)獠灰欢ǔ浞秩紵?，過分的熱量也不能充分作用于水壺，會(huì)產(chǎn)生浪費(fèi)，反而會(huì)使燒一壺開水的燃?xì)庥昧吭龃?。旋鈕在什么角度用氣量最小呢？我們不可能測(cè)出所有旋鈕轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的燃?xì)庥昧恐?，于是，試圖經(jīng)過實(shí)驗(yàn)測(cè)出幾組數(shù)據(jù)，然后用這些數(shù)據(jù)擬合函數(shù)，得到所求。分析理解1. 給定燃?xì)庠詈鸵恢凰畨兀驗(yàn)槿細(xì)庠铌P(guān)閉時(shí)，燃?xì)庑o的位置為豎直方向，我們把這個(gè)位置定為0o；燃?xì)忾_到最大時(shí)，旋鈕轉(zhuǎn)了90o.選擇燃?xì)庠?/p>

3、旋鈕的五個(gè)位置18o，36o，54o，72o，90o圖象。一、建立數(shù)學(xué)模型解決問題的方案018365472903. 利用數(shù)據(jù)擬合函數(shù)，建立旋鈕位置與燒開一壺水燃?xì)庥昧康暮瘮?shù)解析式。4. 利用函數(shù)解析式求最小用氣量。5. 對(duì)結(jié)果的合理性作出檢驗(yàn)分析。2. 在選好的五個(gè)位置上，分別記錄燒開一壺水所需的時(shí)間和所用的燃?xì)饬?。一、建立?shù)學(xué)模型解決問題的方案項(xiàng)目位置燃?xì)獗黹_始時(shí)讀數(shù)/m3水開時(shí)燃?xì)獗碜x數(shù)/m3所用燃?xì)饬?m318o9.0809.2100.13036o8.9589.0800.12254o8.8198.9580.13972o8.6708.8190.14990o8.4988.6700.172 為

4、減少實(shí)驗(yàn)誤差，要保證每次燒水時(shí)水壺的起始溫度是一樣的.所以，在做實(shí)驗(yàn)之前，記錄相關(guān)數(shù)據(jù)得到下表: 用表內(nèi)數(shù)據(jù)，用橫坐標(biāo)表示旋鈕位置，縱坐標(biāo)表示燒開一壺水燃?xì)庥昧康狞c(diǎn)，在直角坐標(biāo)系上標(biāo)出各點(diǎn)。二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三、擬合函數(shù) 從所選的5組數(shù)據(jù)可以判斷燃?xì)庥昧颗c旋鈕角度之間存在什么樣的關(guān)系呢？0.20.118o 36o 54o 72o 90o 旋鈕角度 燃?xì)庥昧?m3 0 0.1300.1220.1390.1490.172從圖可以看出，5個(gè)點(diǎn)顯示出隨著旋鈕的角度逐漸增大，燃?xì)庥昧坑幸粋€(gè)從小到大的過程。在我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)圖像中，二次函數(shù)的圖像與之最接近，因此可以用二次函數(shù)近似地表示這種變化。三、擬合函數(shù) 為

5、此，設(shè)函數(shù)式為y=ax2+bx+c：取三對(duì)數(shù)據(jù)可求出表達(dá)式的系數(shù)，不妨取(18，0.130)，(36，0.122)，(90，0.172)，得方程組則函數(shù)解析式為 求燃?xì)庥昧孔钌贂r(shí)的旋鈕位置，實(shí)際上是求函數(shù)的最小值點(diǎn)x0 即燃?xì)庥昧孔钌贂r(shí)旋鈕的位置是旋轉(zhuǎn)39度，這時(shí)的用氣量為四、求最小用氣量 取旋轉(zhuǎn)39度角，燒開一壺開水，所得實(shí)際用氣量是不是0.1218m3? 如果基本吻合就可以依托此做結(jié)論了。 如果相差大，特別是這個(gè)用量大于0.122，最小值點(diǎn)就肯定不是39度了，說明這三對(duì)數(shù)據(jù)取的不好，可以換另外的點(diǎn)重新計(jì)算.然后再檢驗(yàn)。直至結(jié)果與實(shí)際比較接近就可以了。 實(shí)際上，我們從已知的五對(duì)數(shù)據(jù)可以看出，

6、如果取(18,0.130)，(36,0.122)，(54,0.139)，函數(shù)的最小值點(diǎn)就小于36。了。五、檢驗(yàn)分析用數(shù)學(xué)思想、方法、知識(shí)解決實(shí)際問題的過程叫做數(shù)學(xué)建模。抽象概括實(shí)際情景提出問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)結(jié)果可用結(jié)果檢驗(yàn)合乎實(shí)際不合乎實(shí)際數(shù)學(xué)建模的過程如圖： 例2 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高/cm60708090100110體重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高/cm120130140150160170體重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根據(jù)表提供的的數(shù)據(jù)，能否建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能近似地反映這個(gè)地區(qū)一體化未成年男性體重y與身高x的函數(shù)關(guān)系?試寫出這個(gè)函數(shù)模型的關(guān)系式；典例講解(2)若體重超過相同身高男性體重的平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175，體重為78的在校男生的體重是否正常?解：(1)以身高為橫坐標(biāo)，體重為縱坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖典例講解典例講解根據(jù)圖中點(diǎn)的分布特點(diǎn)，設(shè)y=abx這一函數(shù)來近似刻畫其關(guān)系;解 (2)將x=175代入y=21.02x，得y=21.02175用計(jì)算器得：y63.