等邊三角形、等腰直角三角形之間的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題(精華)

1、等邊三角形、等腰直角三角形之間的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題（精華）1、圖（D中，C點(diǎn)為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，ACM, ZkCBN是等邊三角形，AN與BM相等嗎？ 說(shuō)明理由；如圖（2） C點(diǎn)為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，等邊三角形ACM和等邊三角形CBN在AB的異側(cè)，此時(shí)AN與BM 相等嗎？說(shuō)明理由；如圖（3） C點(diǎn)為線(xiàn)段AB外一點(diǎn)，AACM, CBN是等邊三角形，AN與BM相等嗎？說(shuō)明理由.2、如圖（1）所示，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，AACM、4CBN是等邊三角形，直線(xiàn)AN、MC交于點(diǎn)E, 直線(xiàn)BM、CN交于點(diǎn)F.（1）求證：AN=MB；（2）將ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90 ,其他條件不變，在圖（2）中補(bǔ)出符合要求的圖形, 并

2、判斷（1）題中的結(jié)論是否依然成立，說(shuō)明理由.3、如圖，已知幽是等邊三角形，E是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，選擇一點(diǎn)D,使得4CDE是等邊三角 形，如果M是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，N是線(xiàn)段BE的中點(diǎn)，求證：ZkCMN是等邊三角形.（根據(jù)ACDgZkBCE,得出 AD=BE, AM=BN；又AMCgZkBNC,可得 CM=CN, ZACM=ZBCN,證明N NCM=ZACB=60即可證明CMN是等邊三角形;）1、（錦州）如圖A, /XABC和4CEF是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)C,連接AF 和BE. （1）線(xiàn)段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）將圖A中的4CEF繞點(diǎn)C旋 轉(zhuǎn)一定的角度

3、，得到圖B, （1）中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷并說(shuō)明理由；（3）若將圖A中的4ABC 繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，請(qǐng)你畫(huà)山一個(gè)變換后的圖形C （草圖即可），（1）中的結(jié)論還成立嗎?作出 判斷不必說(shuō)明理由；（4）根據(jù)以上證明、說(shuō)理、畫(huà)圖，歸納你的發(fā)現(xiàn).（3）此小題圖形不惟一，如圖第（1）中的結(jié)論仍成立.（4）根據(jù)以上證明、說(shuō)理、畫(huà)圖，歸納 如下：如圖A,大小不等的等邊三角形ABC和等邊三角形CEF有且僅有一個(gè)公共頂點(diǎn)C,則以點(diǎn)C 為旋轉(zhuǎn)中心，任意旋轉(zhuǎn)其中一個(gè)三角形，都有AF二BE.2、如圖，AA。和MCE都是等邊三角形，ZA6C=30,試說(shuō)明：5萬(wàn)=A* + 5。二（綜合全等和勾股定理）3、ADAC,

4、 EBC 均是等邊三角形，AE,BD 分別與 CD,CE 交于點(diǎn) M,N,求證：（1 ）AE=BD （2）CM=CN （3） CMN為等邊三角形（4） MNBC4、已知：如圖1,點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，ZACM, aCBN都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E, BM交CN于點(diǎn)F.（1）求證：AN=BM；（2）求證：ZCEF為等邊三角形；將aACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90 0,其他條件不變，在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判 斷第（1）、（2）兩小題的結(jié)論是否仍然成立（不要求證明）.5、如圖所示，己知ABC和4BDE都是等邊三角形。下列結(jié)論：AE二CD；BF=BG；BH平分NAHD；NAH0600,4

5、BFG是等邊三角形；FGAD0其中正確的有（）C6、己知，如圖所示，在 AAbC和AOE 中，AB = AC9 AD = AE, ZBAC = ZDAE y 且點(diǎn) 8, 4 D在一條直線(xiàn)上，連接BE, CD, M, N分別為BE, 8的中點(diǎn).（1）求證：3E = C。；AM = AN；（2）在圖的基礎(chǔ)上，將AA。七繞點(diǎn)4按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180,其他條件不變，得到圖所示的 圖形.請(qǐng)直接寫(xiě)出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立.7、如圖，C為線(xiàn)段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A, E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形 CDE, AD與BE交于點(diǎn)0, AD與BC交于點(diǎn)P, BE與CD交于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ

6、.以下五個(gè)結(jié)論：AD二BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；NA0B=60 ；CP=CQ；CPQ為等邊三角形；共有2 對(duì)全等三角形；CO平分NA0P；C0平分NBCD。恒成立的結(jié)論有 （把你認(rèn)為正 確的序號(hào)都填上）.8、（1）如圖7,點(diǎn)。是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，分別以A0和D0為邊在線(xiàn)段AD的同側(cè)作等邊三角形0AB 和等邊三角形OCD,連結(jié)AC和BD,相交于點(diǎn)E,連結(jié)BC.求NAEB的大??；（2）如圖8, A0AB固定不動(dòng)，保持 OCD的形狀和大小不變，將 OCD繞著點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)（ 0AB和 OCD不能重疊），求NAEB的大小.10題9、如圖，已知aABC是等邊三角形，ZBDC=120,說(shuō)明AD=BD

7、+CD的理由10、如圖所示，已知aABC中，AB二AC, D是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，NADB=60 , E是AD上一點(diǎn)，且DE=DB, 求證：AOBE+BC旋轉(zhuǎn)的等腰直角三角形原題：如圖所示，ABC和4ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，求證：ZMBD=ZMDB.變式1如圖所示，將等腰直角三角形ADE繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。，其余條件不變，結(jié)論ZMBD=汨還成立嗎？變式2如圖所示，將等腰直角三角形ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，其余條件不變，結(jié)論 ZMBD= NA/Q5還成立嗎？變式3如圖所示，將等腰直角三角形ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)135。，其余條件不變，結(jié)論ZMBD= NA

8、/Q5還成立嗎？變式4如圖所示，將等腰直角三角形ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180。，其余條件不變，結(jié)論ZMBD= NA/Q5還成立嗎？變式5如圖所示，將等腰直角三角形ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)外方向旋轉(zhuǎn)270,其余條件不變，結(jié)論ZMBD= NA/Q5還成立嗎？變式6如圖所示，將等腰直角三角形ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)外方向旋轉(zhuǎn)315。，其余條件不變，結(jié)論ZMBD= NA/Q5還成立嗎？.在 A46C中，ZACB = 90, AC=BC.直線(xiàn) MN 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C,且 A）_LMN 于 D, BE上 MN于 E.（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí)，求證：AADC三&CEB；DE=AD+BE;（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞

9、點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試問(wèn)：DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè) 等量關(guān)系，并加以證明.（3）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，試問(wèn)：DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè) 等量關(guān)系，并加以證明. （1）如圖1,若點(diǎn)P為正方形ABCD邊上一點(diǎn)，以PA為一邊作正方形AEFP,連BE、DP,并延長(zhǎng) DP交BE于點(diǎn)H.求證：DHVBE.（2）如圖2,將正方形AEFP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P落在正方形ABCD內(nèi)，其余條件不變，（1）的 結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.在A46C中，AD是中線(xiàn)，。為AD的中點(diǎn)，直線(xiàn)/過(guò)。點(diǎn)，過(guò)A、B、C三點(diǎn)分別作直線(xiàn)/的垂線(xiàn), 垂足分

10、別為G、E、F,當(dāng)直線(xiàn)/繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與AD垂直時(shí)（如圖1）易證：BE+CF=2AG.當(dāng)直線(xiàn)/繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與AD不垂直時(shí)，在圖2、圖3兩種情況下，線(xiàn)段BE、CF、AG 乂是怎樣 的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并以圖3的猜想給予證明.A把兩個(gè)全等的等腰直角三角板ABC和EFG （其直角邊長(zhǎng)均為4）疊放在一起（如圖1）,且使三角板 EFG的直角頂點(diǎn)G與三角形ABC的斜邊中點(diǎn)0重合.現(xiàn)將三角板EFG繞0點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋 轉(zhuǎn)角。滿(mǎn)足條件：090）,四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩三角板的重疊部分（如圖2）.（1）在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn) 的結(jié)

11、論；（2）連接HK,在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)=AGK”的面積為y,求），與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使AGK”的面積恰好等于AA5C面積的,？若存在,16求出此時(shí)X的值；若不存在，說(shuō)明理由.原題：在ABC中，AOBC, NACB=90, 4ADE為等腰直角三角形，DElADo M為線(xiàn)段EB的中點(diǎn)，連結(jié)DM、 CMo請(qǐng)?zhí)骄緿M與CM的關(guān)系（如圖1）。證明分析：利用直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角和定理不難證明DM與CM垂直且相 等。問(wèn)題：把等腰直角4ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其它條件不變，則上述命題的 結(jié)論仍然成立嗎？

12、一、特殊位置時(shí)結(jié)論的證明旋轉(zhuǎn)一：當(dāng)線(xiàn)段AD旋轉(zhuǎn)到線(xiàn)段AC上時(shí)（如圖2）。證明分析（如圖3）：設(shè)線(xiàn)段AE與線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)N。由直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)可 得，AM=EM；由等腰直角三角形的定義可得，AD二ED,所以，根據(jù)“到線(xiàn)段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在 線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上”可得DM_LAE,可證DMAB。同理，CMAN,綜合可證aCDM是等腰直角三 角形。于是，命題得證。旋轉(zhuǎn)二：當(dāng)E、D、B三點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到同一條直線(xiàn)上時(shí)（如圖4）0n證明分析（如圖5）：延長(zhǎng)AD至N,使DN=DM,連結(jié)CN。ZiEDA是等腰直角三角形，所以可證得 AN=EM=BMo 由三角形內(nèi)角和可證NNAC二NCBM,用 “SA

13、S” 證明CBMgACAN。得NMCB二NNCA,證 出NNCM=90,再由CBMgZXCAN可得NN=NDMC,由四邊形內(nèi)角和可證得NN=NDMC =90,從而證 明四邊形DMCN為正方形。于是命題得以證明。旋轉(zhuǎn)三：當(dāng)點(diǎn)E、A、B三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)（如圖6）。圖6圖7圖17連結(jié)DM、CMo請(qǐng)?zhí)骄緿M與CM的關(guān)系。1）當(dāng)D、A、B三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)（如圖8）2）當(dāng)D、A、C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)（如圖9）當(dāng)D、E、B三點(diǎn)在同直線(xiàn)時(shí)（如圖10）當(dāng)A、E、B三點(diǎn)在同直線(xiàn)時(shí)（如圖11）CE 圖8CD圖10CABE圖9cD 圖iiNC證明分析（如圖7）：作DF_LBE于F, CN_LAB于點(diǎn)N,設(shè)D

14、F =a, CN=b,根據(jù)等腰直角三角形的 定義與性質(zhì)可得BE=2（a+b）,所以有EM=BM=a+b。計(jì)算證出DF二NM, FM=CNO用“SAS”證 CMN,可證結(jié)論成立。下列四種情況，請(qǐng)讀者證明結(jié)論的正確性。已知AABC和4ADE為等腰直角三角形，M為線(xiàn)段EB的中點(diǎn)，圖12囹13二、一般位置時(shí)結(jié)論的證明旋轉(zhuǎn)四：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度小于45時(shí)（如圖12）。證明分析:（如圖13）作DN_LDM,取DN=DM。連結(jié)AN交BE于點(diǎn)P,連結(jié)CN。用“SAS”證ADNgZiEDM,則NPNO二NDMO,在NPO和aODM中利用內(nèi)角和定理證明NNP0=90,同理在APAQ和BQC中證明 NPAQ二NCBQ。另一

15、方面由ADNgZiEDM 可證明 AN二EM二BM。用 “SAS” 證明CBMCAN,仿前變 式二證明NNCM=90,連結(jié)DC,證NDNC二NDMC,利用四邊形內(nèi)角和證NDNC二NDMC=90,于是可證 四邊形DMCN為正方形，得DM=CM,且DM_LCM。請(qǐng)讀者證明下列幾種變化情況。如下列圖14,圖15,圖16,其它條件不變，即：ZiABC和aADE為等腰直角三角形，M為線(xiàn) 段EB的中點(diǎn)，連結(jié)DM、CMo請(qǐng)?zhí)骄緿M與CM的關(guān)系。圖16D我們對(duì)于已做過(guò)的習(xí)題要有解題后反思。本題變式多，證明方式也不盡相同，可以說(shuō)是精彩紛 呈，是復(fù)習(xí)備考中難得的一道好題。借題發(fā)揮，拓寬視野，這樣做不僅有助于學(xué)生綜合而靈活的運(yùn) 用知識(shí)，而且能不斷提高學(xué)生獨(dú)立探究問(wèn)題解決的能力，更有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性