江蘇省常州市2018屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)試題含答案

1、常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)業(yè)水平監(jiān)測高三數(shù)學(xué)I試題參考公式：1圓錐的體積公式： Vo錐二Sh ,其中S是圓錐的底面積，h是局.21 n ,二2-1n樣本數(shù)據(jù)Xi, X2, Xn的萬差s （xx）,其中x Xi .n i in i i一、選擇題：本大題共14個(gè)小題，每小題5分，共70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1.若集合 A 2,0,1, B x|x2 1,則集合 AI B .2命題“ x 0,1 , x2 1 0”是 命題（選填“真”或“假”）.3.若復(fù)數(shù)z滿足z 2i |z2 1 （其中i為虛數(shù)單位），則z4.若一組樣本數(shù)據(jù)2015, 2017, x, 2018, 2016的平均數(shù)為2017,則

2、該組樣本數(shù)據(jù)的方差為5.如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的n的值是 .1 .函數(shù)f（x） 的定義域記作集合 D,隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（骰子的每個(gè)面上分別 ln x標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,6）,記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為t,則事件“ t D”的概率為.已知圓錐的高為6,體積為8,用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺體積是7,則該圓臺的高.各項(xiàng)均為正數(shù)白等比數(shù)列an中，若a2a3a4a?a3a，則a3的最小值為 . TOC o 1-5 h z 22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線1： x y 1 0與雙曲線C ：二、i(a 0,b 0)的兩條漸近 a b線都相交且交點(diǎn)都在 y軸左側(cè)，則雙曲線 C

3、的離心率e的取值范圍是.x y 0,.已知實(shí)數(shù)x, y滿足 2x y 2 0,則x y的取值范圍是.x 2y 4 0,.已知函數(shù)f (x) bx 1nx,其中b R,若過原點(diǎn)且斜率為k的直線與曲線y f(x)相切，則k b的值為 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，函數(shù)y sin( x ) (0,0)的圖像與x軸的交點(diǎn)A , B ,C滿足 OA OC 2OB,則 .在 ABC中，AB 5, AC 7, BC 3, P為 ABC內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)，若滿足uuu 1 uuuuuuruu uuuBP 1BABC(R),則BA BP的取值范圍為4.已知 ABC中，AB AC 33, ABC所在平面內(nèi)存在

4、點(diǎn) P使得PB2 PC2 3PA2 3，則 ABC面積的最大值為.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.).已知 ABC中，a, b, c分別為三個(gè)內(nèi)角 A, B, C的對邊，J3bsin C ccosB+c,(1)求角B ;11(2)右b2 ac ,求的值.tan A tanC.如圖，四棱錐P ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PC 平面ABCD , PB PD，點(diǎn)Q是棱PC上異于P、C的一點(diǎn).(1)求證：BD AC；(2)過點(diǎn)Q和的AD平面截四棱錐得到截面 ADQF (點(diǎn)F在PB上)，求證：QF /BC .已知小明(如

5、圖中 AB所示)身高1.8米，路燈OM高3.6米，AB , OM均垂直于水平地面，分別與 地面交于點(diǎn) A ,。.點(diǎn)光源從M發(fā)出，小明在地上的影子記作 AB.(1)小明沿著圓心為 O,半徑為3米的圓周在地面上走一圈，求AB掃過的圖形面積；若OA 3米，小明從A出發(fā)，以1米/秒的速度沿線段 AA走到A, OAA1 ,且AA 10米. 3秒時(shí)，小明在地面上的影子長度記為f (t)(單位：米)，求f (t)的表達(dá)式與最小值.2218.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C： x2 與 1包b 0)的右焦點(diǎn)為F ,點(diǎn)A是橢圓的左a b頂點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線 MN與橢圓交于M , N兩點(diǎn)(M在第三象限)，與

6、橢圓的右準(zhǔn)線交于 P點(diǎn).已知uuu uuuu 4 9AM MN ,且 OA OM b2.3BNM(1)求橢圓C的離心率e；10(2)右S amn S poe -a ,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.319.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1 a (其中a為常數(shù))，22nSn i (n 1)Sn n(n 1) (n N*).數(shù)列bn滿足 bn Janan 1 (n N*).anan 1(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式;(2)若無窮等比數(shù)列Cn滿足：對任意的n N* ,數(shù)列bn中總存在兩個(gè)不同的項(xiàng) bs, bt(s,t N*)使得bs Cn bt ,求Cn的公比q .

7、一 . ln x.已知函數(shù)f (x) 2 ,其中a為常數(shù).(x a)(1)若a 0,求函數(shù)f(x)的極值；(2)若函數(shù)f (x)在(0, a)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；(3)若a 1,設(shè)函數(shù)f(x)在(0,1)上的極值點(diǎn)為x0,求證：f (Xo)2.常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)R (附加題).【選做題】在A、B、G D四小題只能選做兩題,每小題10分，共計(jì)20分.請?jiān)诖痤}卡 指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選彳4-1 :幾何證明選講 BC在 ABC中，N是邊AC上一點(diǎn)，且CN 2AN, AB與 NBC的外接圓相切，求 的值.B.選彳4-2 :矩陣與變換-

8、44 2已知矩陣A不存在逆矩陣，求：a 1(1)實(shí)數(shù)a的值；(2)矩陣A的特征向量.C.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系 .曲線C的參數(shù)方程為x 2cos 1( 為參數(shù))，直線l的極坐標(biāo)方程為y 2sin點(diǎn)，求MN的長.D.選彳4-5 :不等式選講3 入3已知a 0, b 0,求證：a2 b2面.a bsin()J2 ,直線l與曲線C交于M , N兩【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答 時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.已知正四棱錐 P ABCD的側(cè)棱和底面邊長相等，在這

9、個(gè)正四棱錐的8條棱中任取兩條，按下列方式定義隨機(jī)變量 的值:若這兩條棱所在的直線相交，則的值是這兩條棱所在直線的夾角大小(弧度制)若這兩條棱所在的直線平行，則0;若這兩條棱所在的直線異面，則的值是這兩條棱所在直線所成角的大小(弧度制).(1)求P( 0)的值；(2)求隨機(jī)變量 的分布列及數(shù)學(xué)期望 E().一.1 .1 ,.記(x1) (x-)(x-)(n 2且n N )的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為Sn,含x2項(xiàng)的系數(shù)為2nTn.（1）求 Sn；TnS2an bn c,對n 2,3,4成立，求實(shí)數(shù)a,b,c的值;（3）對（2）中的實(shí)數(shù)a,b,c用數(shù)字歸納法證明：對任意TnN，TSI2an bn c者

10、B成立.常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)業(yè)水平監(jiān)測高三數(shù)學(xué)參考答案、填空題1. 22.真3.154. 25.76.67. 38.、.39.(1, 2)10. 2,811.112.3e413.5,2514.5、,云8 416二、解答題.3bsinC15.解:(1)cos B c由正弦定理得、3sin BsinC cosBsinCABC 中，sinC0 ，所以 V3sin B cosB.，一、11s,所以 sin(B )62(2)因?yàn)閎2ac,由正弦定理得,2sin B sin Asin C ，1tan A1tan Ccos Asin AcosCsin CcosAsin C sin AcosCsin Asin C

11、sin(A C) sin Asin Csin(B)sin Asin Csin Bsin AsinC所以,1tan A1tanCsin Bsin2 B1sin B2.3316. (1)證明:PC平面ABCD, BD平面ABCD,所以BD PCBD交于點(diǎn)O ,平行四邊形對角線互相平分，則。為BD的中點(diǎn)，又PBD中，PB PD ,所以BD OP ,OP 平面PAC ,所以BD平面PAC ,又AC平面PAC所以BD AC ;（2）四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD/BC ,又AD 平面PBC , BC平面PBC，所以 AD/平面PBC ,QF又AD 平面ADQF ,平面ADQF I平面PBC，所以

12、AD/QF ,又 AD/BC ,所以 QF /BC.17.解：（1）由題意AB/OM ,則AB ABOB OM1.83.63,所以 OB 6,小明在地面上的身影 AB掃過的圖形是圓環(huán)，其面積為623227 （平方米）；AB 1一 一，所以O(shè)M 2A0B0 經(jīng)過t秒，小明走到了 Ao處，身影為A0B0,由（1）知OB0f(t) A0B0 OA0 . OA2 AA2 2OA AA0cos OAA0 .化簡得f(t)#39, 0t 10, f (t)t|27 、“3一、W7,當(dāng)t 時(shí)，f(t)的最小值為423.32答：f (t),t2 * * 3t9, 03 一.,10,當(dāng)t (秒)時(shí),2f(t)的

13、最小值為3.3218.解:(1)由題意所以XMab2-2 c(2)1)M (直線MN的方程為(Xb a, 2,消去y2($22y得當(dāng)aaxb20,a,X2ab2-2-ca,0)，uu uuuuOA OMXmXaab2- a c所以y J2X,所以右準(zhǔn)線方程為X 4b,34.34.6P(vb-b)2.2b2C1 CLS POF 二0F yP2S AMN 2 S AOMOA所、2b2 詈 b2yM2b10 . 2 u2b3占2,32b,3所以b1.19.解：(1)方法一：因?yàn)閚Sn1 (n 1)Sn n(n1),所以(n 1)Sn 2 (n 2)&1(n 1)(n 2),1)Sn 2(n 1),由

14、-得，(n+1)Sn2 nSn 1 (n 2)Sn 1 (n即(n 1)Sn2 (2n 2)Sn1 (n 1)Sn 2(n 1),又 n 1 0,則 Sn22Sn1Sn 2 ,即 2口 2 烝12.在 nSn 1(n 1)Sn n(n 1)中令 n 1 得，a1 a2 2a1 2,即 a2 a1 2.綜上，對任意n N*，都有ani an 2,故數(shù)列an是以2為公差的等差數(shù)列.又 a1 a ,則 an 2n 2 a .S.S.萬法二：因?yàn)?nSn 1 (n 1)Sn n(n 1),所以？H 1 1 ,又 s & a, n 1 n則數(shù)列 是以a為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,n因此無n 1 a,即S

15、n n2 n當(dāng) n 2 時(shí)，an Sn Sn 1 2n*.故 an 2n 2 a(n N ).(a 1)n.2 a ,又a a也符合上式,故對任意n N* ,都有an 1 an2,即數(shù)列an是以2為公差的等差數(shù)列考察函數(shù)y)上遞增，因此因?yàn)閷θ我鈔N，總存在數(shù)列bn中的兩個(gè)不同項(xiàng)bs, bt,使得bsCnbt,所以對任意的n N都有Cn應(yīng)2 4，明顯q 0. a(a 2) TOC o 1-5 h z “an 1 .22令en 1 -一，則數(shù)列en是遞減數(shù)列，所以1 en 1 . an2n 2 aa1 .1x 11x (x1),因?yàn)?y 1 0,所以 y x 一在(1,xx xx1 ,當(dāng) n 1

16、 logq J1 en en 2 從而a fl匹卜時(shí), q . a(a 2)有CnC1qn 1 72qn 1 , 2 4,不符合題意，舍去;a(a 2)q 1, 當(dāng) n 1 logq，-2a 時(shí),2a 2有Cn.2 ,不符合題意，舍去;n 1 o4n 1Gq . 2 q a(a 2)In x20.解：(1)當(dāng)a 0時(shí)，f(x) ，定義域?yàn)?0,), xx(0,ve)捉(Ve,)f(x)0f(x)Z1極大值2e1 2ln xf (刈一3,令 f (x) 0,得 xve.x1當(dāng)x Je時(shí)，f(x)的極大值為，無極小值 2e(2)1 f(x) -a 2ln xx 2l ,由題意f(x) 0對x (0

17、, a)恒成立.(x a)3Q x (0, a), (x a)3 0,1 a 2ln x 0對 x (0, a)恒成立, xa 2xln x x對 x (0, a)恒成立.令 g(x)2xln x x , x (0, a),則 g(x) 2ln x 1 ,若01e 2,則 g(x)2lnx 1 0 對 x (0, a)恒成立,則 a 2( a)ln( a) (a),0 ln( a),21nx 1 0 ,得 x e 2,0, g(x) 2xlnx x 單調(diào)遞減，0, g(x) 2xlnx x單調(diào)遞增,11112e ln(e) e； 2e 萬2ln x 11g(e 2)12 .(3)當(dāng) a1 時(shí),

18、f (x)ln x2 , (x 1)f(x)2xlnx(x 1)3g(x) 2xln x x在(0, a)上單調(diào)遞減,1a 1與。o 2矛盾，舍去;a e若 a e 2,即 a e 2 ,令 g (x)1當(dāng) 0 x e 2 時(shí)，g (x) 2ln x 11當(dāng) e2 x a 時(shí)，g(x)1當(dāng)x e 2時(shí)) g(x)min1_2 .綜上 oa 2e a 2e令 h(x) x 1 2xln x , x (0,1),1h(x) (0,2e 攵 1，f(x)x 1 2x In xx(x 1)30恒成立,f(x)In x(x 1)21單調(diào)遞減，且f (x) f(e 2).1當(dāng) 0 V a 2 時(shí)，h(x)

19、 ， 0 x eh(x) x 1 2xlnx單調(diào)遞增,1則 h(x) 1 2(ln x 1) 2ln x 1 ,令 h(x) 0,得 心 x e一.1當(dāng) 21時(shí)，h(x)0, h(x) x 1 2xln x單倜遞減,e x 111111h(e 2) e 2 1 2e 2 ln(e 2) 2e 1 022225又 h(e ) e 1 2e ln(e ) 10, e1存在唯一 x (0,e2)使得h(x。) 0， 廣的)0,. . ln x .一當(dāng) 0 x x0 時(shí)，f(x0) 0, f(x) 2單調(diào)遞增,(x 1)當(dāng) Xn X e2 時(shí)，f(x。) 0， f(x) x0 x eln x 1(x

20、1)2 單倜遞減，且 f (x) f(e)，ln x由和可知,f(x)-y在(0,%)單調(diào)遞增，在(x0,1)上單調(diào)遞減,(x 1)一 . ln x . .當(dāng)x x0時(shí)，f (x) 2取極大值.(x 1)2Q hd) x0 1 2x0lnx0 0,ln %x012x0f (x0)ln x0(x0 1)22x0(x01)1 . 22(x0-)-11.21,1又 x0 (0,2e2)，2(x0 2) 2 ( 2，0)，f (x0)2(x0 2)2常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)業(yè)水平監(jiān)測高三數(shù)學(xué)R (附加題)參考答案21.A.解：記 NBC外接圓為O, AB、AC分別是圓。的切線和割線，所以 ab2 AN AC,BC AB AC又 A A,所以 ABN與 ACB相似，所以 ，所以BN AN AB 2BC AB AC AC 3 BC 6BNAN AB ANBNB.解：(1)由題意(2)0時(shí),5時(shí),4x2xC.解：曲線0,2y解得a 2 ；4)(1) 42x ,屬于0的一個(gè)特征向量為x 2y 02x 4yC：12 122y ,屬于0的一個(gè)特征向量為(x 1)22 0 ,圓心C(1,0)到直線l的距離為-2