自動控制原理_習(xí)題解答-

1、第5章頻率特性法教材習(xí)題同步解析一放大器的傳遞函數(shù)為:K%產(chǎn)TT1測得其頻率響應(yīng)，當(dāng)=1rad/s時，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比為12/ 42 ,穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信的相位差為一兀/4。求放大系數(shù)K及時間常數(shù)To解：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比為K12日口jT，即-.1T22% 2K272T2 2穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的相位差arctan T45當(dāng) =1rad/s時，聯(lián)立以上方程得T=1, K=12放大器的傳遞函數(shù)為:12Qs)=s 1已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為5Q(s) s 1根據(jù)頻率特性的物理意義，求閉環(huán)輸入信號分別為以下信號時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。r (t) =sin (t +30 );

2、r (t) =2cos (2t45 );r (t) = sin (t+15 ) 2cos (2t -45 );解：該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s)閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性為閉環(huán)系統(tǒng)的相頻特性為(1)輸入信號的頻率為因此有A(系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出(2)輸入信號的頻率為2,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出(3)由題(1)和題(2)對于輸入分量1: sin(t+15A()Css(t)因此有A()Css(t)36arctan65 3737巨 sin(t3710丁 (),10cos(2t 2()9.4620.54 )18.4363.43 ),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出如下5.37c1ss(t)-37sin(t5.54 )對于輸入分量2: 2cos

3、(2t45 ),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為C2ss(t)10 cos(2t 63.43 )25.37css(t)sin(t37根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加定理，系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)輸出為105.537 )cos(2t 63.4363 )2繪出下列各傳遞函數(shù)對應(yīng)的幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性。10G(s)0.1s 1G(s)=10 1)、4G(s)- s(s 2)(4)G(s)s 0.2(6)G(s)解:(1)G(s)幅相頻率特性(s 1)(s 2)102-(s 1)(s100.1s 1開環(huán)系統(tǒng)G1(s)10TH0.1s 11)(5) G(s)s(s 0.02)G(s)0.2 e個不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié),頻率特性為G(j )-10

4、j0.1(a)幅相頻率特性(b)對數(shù)頻率特性圖題(1)系統(tǒng)頻率特性相頻特性為1()(180arctan 0.1 ) arctan 0.1180相頻特性從-180連續(xù)變化至-90可以判斷開環(huán)奈氏曲線起點為( 10, j0)點，隨 的增加，A()逐漸減小至0,而1()逐漸增加至-90 ,繪制出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G(j )的軌跡，如圖(a)虛線所示，是一個直徑為10的半圓。10而開環(huán)系統(tǒng)G2(s)0.1s 1則是一個典型的慣性環(huán)節(jié)，其幅相頻率特性G2(j )如圖(a)實線所示。對數(shù)頻率特性10 ,10開環(huán)系統(tǒng)GMs) 一史一與G2(s) 一史一的對數(shù)幅頻特性完全相同，僅對數(shù)相頻特性不同，如圖(b)0.

5、1s 10.1s 1所示。(2)/s)=i0 i)幅相頻率特性開環(huán)系統(tǒng)G(s)=101)的頻率特性為G1( j ) 10( j0.11),其相頻特性為相頻特性從180連續(xù)變化至90Im-10Gi(j )1( ) 180arctan0.1。其開環(huán)頻率特性G(jG2(j )Re10(a)幅相頻率特性)的軌跡，如圖(a)虛線所示。(b)對數(shù)頻率特性圖題(2)系統(tǒng)頻率特性而開環(huán)系統(tǒng) G(s)=10+1)則是一個典型的一階微分環(huán)節(jié)，其幅相頻率特性G(j )如圖(a)實線所示。(b)所示。對數(shù)頻率特性同題(1),二者的對數(shù)幅頻特性完全相同，僅對數(shù)相頻特性不同，如圖，、4(3) G(s)s(s 2)系統(tǒng)開環(huán)

6、傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達(dá)式為幅相頻率特性1)系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，A(0) =8,(0)= 90o，低頻特性始于平行于負(fù)虛軸的無窮遠(yuǎn)處。低頻漸近線如下確定:將頻率特性表達(dá)式分母有理化為G(j )j (j0.51)1j2(1 j0.5 )(1 j0.5 )(1 j0.5 )2j2(1 0.25 2)21 0.25 2j(1 0.25 2)則低頻漸近線為-1x lim ReG(j ) lim R( ) lim z1000 1 0.25 2同時可知，頻率特性實部與虛部均0,故曲線只在第三象限。2) n-n=2,則()=-180 ,幅相特性沿負(fù)實軸進(jìn)入坐標(biāo)原點。3)此系統(tǒng)無開環(huán)零點，因此在 由0增大到 過程中

7、，特性的相位單調(diào)連續(xù)減小，從- 90o連續(xù)變化到-180 。奈氏曲線是平滑的曲線，從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原點。系統(tǒng)的幅相頻率特性Gj)見圖(a)。(a)幅相頻率特性圖題(3)系統(tǒng)頻率特性對數(shù)頻率特性1)可知系統(tǒng)包含有放大、積分、一階慣性環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率為t =2 rad s-。低頻段斜率為20dB/dec,低頻段表達(dá)式為L()=20lg2 20lg co,并通過點 L(2)= 0dB 。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率 t后斜率為40dB/dec。2)系統(tǒng)的相頻特性為積分環(huán)節(jié)(90。)與慣性環(huán)節(jié)(0o90o )相頻特性的疊加，為()90 arctan 0.5轉(zhuǎn)折頻率處相位為(2)=

8、- 135 ,對數(shù)相頻特性曲線對應(yīng)于該點斜對稱。繪制開環(huán)伯德圖L()、()，如圖(b)所示。(4) G(s)(s 1)(s 2)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達(dá)式為G(s)(s 1)(0.5s 1)幅相頻率特性1)系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，A(0) =2,(0)=0o ,開環(huán)奈氏曲線起點為(2 , j0)點；n- n=2,則(尸一180隨 的增加，A()逐漸單調(diào)連續(xù)減小至0,而()滯后逐漸增加至180。，幅相特性沿負(fù)實軸進(jìn)入坐標(biāo)原點。2)將頻率特性表達(dá)式分母有理化為G(j )2(j1)(1 j0.5 )2(1 0.5 2)2Z 2(1)(1 0.25)2(1 j )(1 j0.5 )(1j (12)(1

9、0.25 2)32Z2-)(1 0.25 )頻率特性虛部均0,故曲線在第三、第四象限。3)相位有 ()=-90 ，因此與虛軸的交點為此系統(tǒng)無開環(huán)零點，因此在ReG(j )-2rad由0增大到2(10.5 2)2_2(1)(1 0.25 )/s, ImG(j )0.94過程中，奈氏曲線是平滑的曲線，Gj )見圖(a)。對數(shù)頻率特性(a)幅相頻率特性(b)對數(shù)頻率特性圖題(4)系統(tǒng)頻率特性1)可知系統(tǒng)包含有放大、兩個一階慣性環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率分別為i =1 rad s t、 2 =2 rad - s 系統(tǒng)為0型，低頻段斜率為 0dB/dec ,低頻段表達(dá)式為 L()=20lg2=6dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率八

10、 2后斜率分別為20、 40dB/dec。2)系統(tǒng)的相頻特性是兩個慣性環(huán)節(jié)相頻特性的疊加，為() arctan arctan 0.5兩個轉(zhuǎn)折頻率處相位分別為(1)= -72 ,(2)= 109繪制開環(huán)伯德圖L()、(),如圖(b)所示。(5) G(s)s 0.2s(s 0.02)10(5s 1)s(50s 1)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達(dá)式為0.2(5s 1)G(s) 0.02s(50s 1)幅相頻率特性1)系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，A(0) =8,(0)= 90o，低頻特性始于平行于負(fù)虛軸的無窮遠(yuǎn)處。低頻漸近線如j j10(250 2 1)1 2500 2(1 2500 2)下確定:G(j )j10

11、(j51)(1 j50)j (j501)(1 j50 )(1 j50 )(a)幅相頻率特性(b)對數(shù)頻率特性圖題(5)系統(tǒng)頻率特性450450低頻漸近線為x lim ReG（ j ） lim R（ ）lim 200 0 1 2500 2同時可知，頻率特性實部、虛部均 m高頻漸近線斜率為一20（n-nj） dB/dec的斜線，（）|O因此，本開環(huán)系統(tǒng)相頻特性有,(0)=0 ,(8)= -270 。最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性的變化趨勢相同，即若L()的斜率減小(或增大)，則()的相位也相應(yīng)地減小(或增大)；如果在某一頻率范圍內(nèi)，對數(shù)幅頻特性L()的斜率保持不變，則在這些范圍內(nèi)，相位也

12、幾乎保持不變。因此，系統(tǒng)的相頻特性在每個慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處有相應(yīng)的變化，并可直接求取幾個典型頻率處(如轉(zhuǎn)折頻率)的相位，以提高曲線的準(zhǔn)確性。如果系統(tǒng)有開環(huán)零點，則在相關(guān) 轉(zhuǎn)折頻率處特性曲線出現(xiàn)凹凸。圖題系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性轉(zhuǎn)折頻率處相位為：(1)= 一 ,(10)= 131 ,(300)= - 223本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖(a)。解：(b)1)由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù) K低頻段的余率為20dB/dec,該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，v=1。將低頻漸近線延長線上的點L(100)=0，代入低頻漸近線的表達(dá)式 L( )=20lg K- 20lg,可以求出 K=100。2)確定串聯(lián)的

13、各典型環(huán)節(jié)_ 1,一111 100第一個轉(zhuǎn)折頻率1=1rad - s 1,且斜率減小 20dB/dec,有一個慣性環(huán)節(jié) 一s第二個轉(zhuǎn)折頻率2=100rad - s 1,且斜率減小20dB/dec ,有一個慣性環(huán)節(jié)3)綜上所述，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)一 s(s10011)( s 1)1004)繪出近似的對數(shù)相頻特性與題(a)的分析相同，本開環(huán)系統(tǒng)相頻特性滿足,(0)= -90 ,(oo)=-270 o轉(zhuǎn)折頻率處相位為：(1)= 135 ,(10)= 180 ,(100)= -225 o系統(tǒng)的相頻特性在每個慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處有相應(yīng)的變化。本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖(b)。解：(c)1

14、)由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù) K低頻段的斜率為0dB/dec,該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)。由201g K 20 ,求出K=10o2)確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)第一個轉(zhuǎn)折頻率i=5rad - s 1,且斜率減小40dB/dec ,有一個二階振蕩環(huán)節(jié)，其時間常數(shù)為 TOC o 1-5 h z _11,- 11Ti , 由 10.2,止匕振湯環(huán)衛(wèi)為 一2155s 2s25 25第二個轉(zhuǎn)折頻率1=80rad s 一二且斜率增加 40dB/dec ,所以有一個二階微分環(huán)節(jié)，其時間常數(shù)為11,1八八，八， ssT2由2 0.1 ，此二階微分為1。280106400 4003)綜上所述，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞

15、函數(shù)為Gk(s)4)繪出近似的對數(shù)相頻特性10(系s2擊-1s2 2s 125251)同上，本開環(huán)系統(tǒng)相頻特性滿足，(0)=0 ,(8)= 0。，轉(zhuǎn)折頻率處相位為(5)=(80)= 91系統(tǒng)的相頻特性在每個二階振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處有相應(yīng)的變化。本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖(c)。(c(d圖題系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性解：(d)1)由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù) K由于低頻段的斜率為+20dB/dec,該系統(tǒng)有一個純微分環(huán)節(jié)。低頻漸近線表達(dá)式為L( )=20lg K+20lg,將點L(10)=0代入，可求出 K=o2)確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率 =100rad s 一1且斜率減小20

16、dB/dec ,有一個慣性環(huán)節(jié)s100Gk(s)0.1s1003)綜上所述，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為4)繪出近似的對數(shù)相頻特性同上，本開環(huán)系統(tǒng)相頻特性滿足,(0)= 90，() = 0O系統(tǒng)的相頻特性在慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處為(100)=45 。本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖(d)。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，求系統(tǒng)的相角裕量，并判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。(1)Gk(s)10Z 2s(s s 1)(0.25s0.4s 1) Gk(s)100s(s 1)(10s 1)解：(1)可知系統(tǒng)包含有放大、積分、兩個二階振蕩環(huán)節(jié)，二階振蕩環(huán)節(jié)的參數(shù)為 :T 1, n T 1,0.5s s 11 2: T 0.5, n T 2,

17、0.40.25s0.4s 1因此，轉(zhuǎn)折頻率分別為1=1rad s1、2=2 rad - s 繪制開環(huán)伯德圖如圖所示。低頻段斜率為20dB/dec,并通過點L(1)=20dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率1后斜率為60dB/dec ,經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率 2后最終斜率為100dB/dec。并有L(2)= L(1) 60lg2=2dB開環(huán)傳遞函數(shù)中兩個振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比分別為t；1=,乙2=。由教材表可知，對數(shù)幅頻特性的修正值分別為0dB和2dB,誤差很小，可不必修正，對分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與相對穩(wěn)定性幾乎沒有影響。系統(tǒng)的幅值穿越頻率可以直接從半對數(shù)坐標(biāo)系上讀取，也可根據(jù)漸近線求取，方法如下：L( c)L(2)100, L

18、( c) 0lg c lg 2求得系統(tǒng)的幅值穿越頻率c= rad 5T,代入系統(tǒng)的相頻特性有GK(j )10j (12 j )(1 0.25 2 j0.4 )90arctan - 1arctan 41 0.25180( c)1680直接求解三角函數(shù)()180 ,可以求出系統(tǒng)的相角穿越頻率g,但計算十分復(fù)雜。實際上 g也可以從半對數(shù)坐標(biāo)系上讀取，有g(shù)= rad s t。將g代入低頻漸近線表達(dá)式，可求得L( g)=20 20lg g =,系統(tǒng)的幅值裕量為Lh= L( g)= 一 0因此，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。1= rad - s 1、2=1 rad - s 1。解：(2)可知系統(tǒng)包含有放大、積分、兩個慣

19、性環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率分別為繪制開環(huán)伯德圖如圖所示。低頻段斜率為-20dB/dec ,并通過點 L=20lg K =60dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率1后斜率為40dB/dec,經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率2后最終斜率為60dB/dec?？梢郧蟮?L(1)= L 40lg1/=20dB ,并有L()60, ig c igiL( c)0一) .-1一 系統(tǒng)的幅值穿越頻率c= rad - S，代入系統(tǒng)的相頻特性有()90 arctan arctan10180( c)61.80相角穿越頻率g= (rad/s )。將系統(tǒng)的幅值裕量為g代入中頻漸近線表達(dá)式，可求得L( g)= L -40lg g /=40dBLh=-L( g)= 40d

20、B0因此，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，并具有較好的穩(wěn)定裕量。(2)當(dāng)K=10時，求系統(tǒng)的相位裕量；繪制開環(huán)伯德圖如圖對數(shù)頻率特性(b)所示。相對于對數(shù)頻率特性(a),開環(huán)傳遞系數(shù)增加10倍，L()曲線上升20dB,相頻特性保持不變。系統(tǒng)的幅值穿越頻率c= rad - s 1,也是系統(tǒng)的相角穿越頻率，代入系統(tǒng)的相頻特性有180( c) 0系統(tǒng)的幅值裕量為Lh=- L( g)= L( c)=0dB因此，穩(wěn)定裕量為零，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。(3)分析開環(huán)傳遞系數(shù)的大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。由以上分析可見，對一結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的最小相位系統(tǒng)，當(dāng)開環(huán)傳遞系數(shù)增加時，由于L()曲線上升，導(dǎo)致幅值穿越頻率c右移，從而使得

21、相位裕量與幅值裕量都下降，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。某延遲系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)ses(s 1)試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時所允許的最大延遲時間解：max。一一一 ,、一1 繪制最小相位系統(tǒng) 一1一的對數(shù)幅頻特性，如圖所不，系統(tǒng)的幅值穿越頻率c=1 rad - ss(s 1)延遲環(huán)節(jié)e s不影響系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性，但使相頻特性隨3增加而滯后無限增加，延遲環(huán)節(jié)導(dǎo)致的相位滯后對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利?？紤]到延遲環(huán)節(jié)e s的滯后作用，系統(tǒng)在c=1 rad - s 1處的相位裕量為180(c) 180 90 arctan1803.1445 57.3當(dāng)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時，有4557.30因此，系統(tǒng)穩(wěn)定時所允許的最大延遲時

22、間max為max0.79s注：在MATLABK 可建立滯后系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型sys ,并直接利用bode(sys)和nyquist(sys)繪制滯后系統(tǒng)的伯德圖和奈氏圖。指令如下：sys=tf(num,den,inputdelay,a)其中，num定義為系統(tǒng)連續(xù)部分的分子多項式，den為系統(tǒng)連續(xù)部分的分母多項式，a定義為延遲環(huán)節(jié)e as的滯后時間。也可建立系統(tǒng)的零極點模型:sys=zpk(z,p,k, inputdelay ,a)z 、p、k分別為系統(tǒng)的開環(huán)零點、開環(huán)極點與開環(huán)傳遞系數(shù)。某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，試按照開環(huán)頻域指標(biāo)丫和c之值估算閉環(huán)系統(tǒng)的時域指標(biāo)b%口 tso圖題圖系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為C

23、小 40(s 1)Gk (s)s(0.05s 1)(8s 1)繪制開環(huán)伯德圖如圖所示。低頻段斜率為20dB/dec ,并通過點 L=52dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率 產(chǎn)rad - s 1后斜率為40dB/dec ,經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率 2=1rad s T后斜率為20dB/dec ,經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率 3=20rad s T后斜 率為40dB/dec。并有L()20, L( c) 0lg c lg1可求得系統(tǒng)的幅值穿越頻率c=4 rad s T ,代入系統(tǒng)的相頻特性有()arctan 90 arctan8 arctan 0.05180( c) 66.40高階系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標(biāo)(丫、c)與時域指標(biāo)(b%, ts)之間的

24、對應(yīng)關(guān)系比較復(fù)雜，通常采用經(jīng)驗公式來近似。1 )高階系統(tǒng)的超調(diào)量與相位裕量的關(guān)系通常用下述近似公式估算：“1”%0.16 0.4 1100% 19.8%sin2)高階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間與相位裕量的關(guān)系通常用下述近似公式估算2 HYPERLINK l bookmark292 o Current Document 11ts 2 1.5 12.5 11.7scsinsinc5%以上估算公式是在比較嚴(yán)格的情況下推導(dǎo)的，實際值往往更理想。通過MATLA昉真可得，此系統(tǒng)準(zhǔn)確的動態(tài)性能指標(biāo)為：% 12%, ts 1.53s5%?？梢?，利用開環(huán)頻域指標(biāo)丫和c估算閉環(huán)高階系統(tǒng)的時域指標(biāo) b%Dts,是完全滿足工程實

25、際的。已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),試?yán)L制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性， 計算系統(tǒng)的諧振頻率及諧振峰值,并估算閉環(huán)系統(tǒng)的時域指標(biāo)b方口 tso(1) G(s)16s(s 2)性。 G(s)60(0.5s 1)s(5s 1)解：(1) G(s)16s(s 2)方法一：可以先畫出開環(huán)對數(shù)頻率特性L()及()，再利用尼柯爾斯圖線繪制系統(tǒng)閉環(huán)對數(shù)頻率特方法二：由于是二階系統(tǒng)，可以根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)直接求取系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為16s(s 2)161 s(s 2)T 0.25, n162s2 2s 164,1s21s 116 80.25根據(jù)伯德圖的繪制規(guī)律，求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，見圖(1

26、)。對于振蕩環(huán)節(jié)，以漸近線代替實際對數(shù)幅頻特性時，要特別注意誤差修正。如果在范圍內(nèi)，誤差不大；而當(dāng)很小時，要有一個尖峰糾正。對于w=,查教材表修正表，可得轉(zhuǎn)折頻率T=4rad - s 1處最大誤差為6dBo在轉(zhuǎn)折頻率附近的修正曲線見圖虛線，可以明顯地看出振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)了諧振。而且越小，諧振峰值M越大，諧振角頻率 3 r越接近于轉(zhuǎn)折頻率 T (無阻尼自然振蕩頻率n)。已知二階系統(tǒng)諧振頻率r和諧振峰值M(r)與系統(tǒng)特征量之間的關(guān)系為n 1 2 2 3.74rad /sM2.0720lg M6dB2)閉環(huán)系統(tǒng)的時域指標(biāo) (1方口 ts計算如下二階系統(tǒng)的時域指標(biāo)與頻域指標(biāo)之間有一一對應(yīng)的關(guān)系，根據(jù)% e

27、 1100%或由教材圖二階系統(tǒng) 6。% M、丫與的關(guān)系曲線，可直接查得% 44%圖題控制系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖刖 /、60(0.5s 1)解：(2) G(s) s(5s 1)同理，由于是二階系統(tǒng)，可以根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)直接求取系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為0.5s 10.083s2 0.517s 160(0.5s 1)s(5s 1)1 60(0.5 s 1)s(5s 1)60(0.5s 1)25 s2 31s 60一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率i=2rad - s二階振蕩環(huán)節(jié)的參數(shù)為TnJ0.0830.29s20dB/dec。1T T 0.51713.45rad s0.89根據(jù)伯德圖的繪制規(guī)律，求出

28、系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，如圖 （2）所示。對于振蕩環(huán)節(jié)，由于=,系統(tǒng)不產(chǎn)生諧振，并在轉(zhuǎn)折頻率2= s T處有約-5dB的修正量。由教材圖，當(dāng)=時，系統(tǒng)過渡時間約為ts 4T 1.16s5%= ,系統(tǒng)無振蕩。但系統(tǒng)有閉環(huán)零點一z= - 2,而閉環(huán)零點的作用將使系統(tǒng)響應(yīng)加快，并有超調(diào)，且閉環(huán)零點離閉環(huán)極點越近，影響就越大。本系統(tǒng)的閉環(huán)極點為S1,2=,因此閉環(huán)零點對系統(tǒng)響應(yīng)的影響較大。通過MATLAB!,系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標(biāo)為：（r%=14% ts=o某單位負(fù)反饋的二階I型系統(tǒng)，其最大超調(diào)量為峰值時間為。試求其開環(huán)傳遞函數(shù)，并求出閉環(huán)諧振峰值 M和諧振頻率 ro解二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為2

29、Gk（s）s s 2 n對于二階系統(tǒng)，開環(huán)頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)之間有著準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)關(guān)系。1）二階系統(tǒng)丫與系統(tǒng)平穩(wěn)性之間的關(guān)系系統(tǒng)超調(diào)量（7%和系統(tǒng)阻尼比之間的關(guān)系為% e 1 2 100%開環(huán)頻域指標(biāo)相位裕量丫與阻尼比之間的對應(yīng)關(guān)系為,2丫 = arctan.2 2.4 4 1將已知的最大超調(diào)量 代入，可求得0.552也可由教材圖直接查曲線求得。2）二階系統(tǒng) c、丫與系統(tǒng)快速性之間的關(guān)系在時域分析中，已知二階系統(tǒng)峰值時間t s為tp0.1146s(誤差A(yù) = 5%)因此，有3.14n31.6二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為3）諧振峰值M（ r）與之間的關(guān)系已知二階系統(tǒng)諧振頻率r和諧振峰值Gk (s)100

30、0s s 31.6M與系統(tǒng)特征量之間的關(guān)系為n 1 2 2 22.3rad s 11Mr 1.15r 2 .12MATLA改驗指導(dǎo)某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)100(s 4)s(s 0.5)( s 50)2試?yán)L制出系統(tǒng)的 Bode圖與nyquist圖，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。求分母（多項式相乘）建立開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型定義頻率范圍求開環(huán)伯德圖解：MATLA朗序如下num=100 400;den=conv(conv(conv(1 0,1 ),1 50),1 50) %sys=tf(num,den);%w=:10;%mag,phase,w=bode(sys);gm,pm,wcp,wcg=marg

31、in(sys);figure(1)margin(sys)figure(2)nyquist(sys)求系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標(biāo)將系統(tǒng)開環(huán)伯德圖繪制在第一張圖片在圖片上標(biāo)注所求的開環(huán)頻域指標(biāo)建立第二張圖片在第二張圖片上繪制開環(huán)奈氏圖所求得的系統(tǒng)Bode圖與Nyquist圖見圖。-27010-210-110010 1Frequency (rad/sec)Bode DiagramGm = 66.6 dB (at 46.4 rad/sec) , P m = 64.1 deg (at 0.28 rad/sec)23-101010-1-0.8-0.6-0.4-0.2Real Axis00.20.4Nyquist

32、Diagram(a)開環(huán)Bode圖(b)開環(huán)Nyquist圖圖 實驗系統(tǒng)Bode圖與Nyquist圖開環(huán)系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，并由開環(huán)奈氏圖可得:v1,P 0,N0,z2NP故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性O(shè)解：MATLAB序如下num=100*conv(1 5,1 5);den=conv(1 1,1 -1 9);Gk(s)sys=tf(num,den);2100(s 5)2(s 1)(s s 9)求分子(多項式相乘)求分母(多項式相乘)nyquist(sys)所求得的系統(tǒng)Bode圖與Nyquist圖見圖。400PVA wtfrapaxa ml-400工

33、I .JI1-Lr -1I1 1 rt- irr-150-100-50050100150200250Real AxisNyquist Diagram300200100-wo皿o300圖頭驗系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖開環(huán)系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，并由開環(huán)奈氏圖可得：v 0, P 2, N 1, z 2N P 0故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)5(s 2)s(s 1)(0.05s 1)(1)試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性，并求取相關(guān)頻域指標(biāo) 3 c、3 g、丫、L；(2)求取閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。解：MATLAB序如下num=5 10;den=conv(conv(1 0,1 1), 1);%求