《現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算》課件2.6分段低次插值

1、2.6 分段低次插值2.6.1 高次多項(xiàng)式插值的問題2.6.2 分段線性插值2.6.3 分段三次Hermite插值為何要進(jìn)行分段低次插值引例1、分段插值2、基本方法3 . 分段線性插值函數(shù)的余項(xiàng)例2.13綜合舉例 n 次Lagrange插值多項(xiàng)式的誤差： 插值多項(xiàng)式與被插函數(shù)的逼近程度同分點(diǎn)的數(shù)目和位置有關(guān)。一般地，分點(diǎn)越多，逼近程度越好，但也有例外。一、為何要進(jìn)行分段低次插值2.6.1 高次多項(xiàng)式插值的問題 在5, 5上考察 的Ln(x)。取 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，端點(diǎn)附近抖動越大，稱為龍格（Runge）

2、 現(xiàn)象Ln(x) f (x)引例 同時(shí)，插值誤差除來自截?cái)嗾`差外，還來自初始數(shù)據(jù)的誤差和計(jì)算過程中的舍入誤差。插值次數(shù)越高，計(jì)算工作量越大，積累誤差也可能越大。 因此，在實(shí)際操作過程中，常常用分段低次插值進(jìn)行計(jì)算，即把整個(gè)插值區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上進(jìn)行低次插值。1、分段插值就是將被插值函數(shù)逐段多項(xiàng)式化。2、基本方法將每個(gè)子段上的插值多項(xiàng)式組合在一起，作為整個(gè)區(qū)間 上的插值函數(shù)。這樣構(gòu)造的插值多項(xiàng)式就是分段插值多項(xiàng)式。劃分： 并在每個(gè)子段 上構(gòu)造插值多項(xiàng)式2.6.2 分段線性插值 已知：且定義 (分段線性插值) 稱為數(shù)據(jù)的分段線性插值函數(shù)。上為線性多項(xiàng)式在每一個(gè)小區(qū)間 即當(dāng)時(shí), （

3、2）滿足插值條件：或函數(shù)表：滿足如果(2.36)其中,當(dāng) i=0時(shí), 沒有第一式; 當(dāng) i=n時(shí),沒有第二式. 顯然,分段線性插值基函數(shù) li(x)只在xi 的附近不為零, 在其他地方均為零,這種性質(zhì)稱為局部非零性. 幾何意義：相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的函數(shù)為一次線性函數(shù), 圖象為線段。 注：由圖象可知， 在節(jié)點(diǎn)處的光滑性較差，為了提高光滑性，討論分段三次埃爾米特插值。在整個(gè)區(qū)間a，b上為折線。分段線性插值就是通過插值節(jié)點(diǎn)用折線段連接起來逼近f(x).用分段線性插值逼近上述例子的效果，取 n =10。例2.13已知f(x)在四個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值如下表所示 30 45 60 901求f(x)在區(qū)間30,90上

4、的分段連續(xù)線性插值函數(shù)Ih(x)解 將插值區(qū)間30,90分成連續(xù)的三個(gè)小區(qū)間30,45 ,45,60 ,60,90, 則Ih(x)在區(qū)間30,45上的線性插值為 Ih(x)在區(qū)間45,60上的線性插值為 Ih(x)在區(qū)間60,90上的線性插值為 將各小區(qū)間的線性插值函數(shù)連接在一起，得 分段線性插值函數(shù)的余項(xiàng)可以通過線性插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)來估計(jì).定理2.3 如果記則對任意分段線性插值函數(shù)有余項(xiàng)估計(jì) （2.39）證明 根據(jù)（2.13），在每個(gè)小區(qū)間上有3 . 分段線性插值函數(shù)的余項(xiàng) 因此，在整個(gè)區(qū)間 上有該定理也說明分段線性插值函數(shù) 具有一致收斂性。該定理也說明，可以加密插值節(jié)點(diǎn)，縮小插值區(qū)間使h

5、減小，從而減小插值誤差缺點(diǎn)：分段插值函數(shù)只能保證連續(xù)性， 失去了原函數(shù)的光滑性。 優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡單； 適用于光滑性要求不高的插值問題。 綜合以上的討論，分段線性插值有以下優(yōu)、缺點(diǎn)2.6.3. 分段三次Hermite插值分段線性插值函數(shù)具有良好的一致收斂性，但它不是光滑的，它在節(jié)點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)不相等。如果交通工具用這樣的外形，則勢必加大摩擦系數(shù)，增加阻力，為了克服這個(gè)缺陷，一個(gè)自然的想法是添加一階導(dǎo)數(shù)的插值條件。因此用Hermite分段插值更好。已知 ，且有 定義 (分段3次Hermite插值) 如果 滿足：(1) (2)在每個(gè)小區(qū)間為3次多項(xiàng)式 ；（3）滿足插值條件： 由定理2.4知,當(dāng) 時(shí)，

6、為3次Hermite插值多項(xiàng)稱 為 的分段3次Hermite插值函數(shù)。 公式： 式。因此有以下形式： 由上節(jié)代入即得下式：分段三次Hermite插值函數(shù)的余項(xiàng)可以通過前面三次Hermite插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)來估計(jì)。 定理2.4 （1）設(shè)，且已知的函數(shù)及導(dǎo)數(shù)表 （2） 為 上 的分段3次Hermite插值函數(shù)，則有誤差估計(jì)：其中（對 一致收斂）且存在k使 定理2.13 證明: 令記，則 且有極值的求法即于是，且有。（一致收斂） # 優(yōu)點(diǎn)：分段線性插值與分段3次Hermite插值函數(shù)在每個(gè)小區(qū)缺點(diǎn)：1、分段線性插值光滑性差；間上都收斂于函數(shù) 。2、分段3次Hermite插值能保證插值多項(xiàng)式圖象的光滑性，但節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值不大容易提取, 實(shí)際應(yīng)用困難。綜合舉例X -2 -1 0 1 2 3 -5 1 1 1 7 25X y 2.4 0.00252.5 -0.0484 -0.05092.6 -0.0968 -0.0484 0.002