[PPT]理論力學(xué)課件之空間一般力系

1、第三章 空間一般力系1第三章 空間一般力系 31 力對軸的矩 32 空間一般力系的簡化與平衡 33 物體的重心和形心 2本章重點(diǎn)：力對軸的矩的計(jì)算，空間一般力系的平衡條件及其應(yīng)用，重心的求法。本章難點(diǎn)：力對軸的矩的計(jì)算，平衡方程的應(yīng)用， 3空間一般力系：各力的作用線不全在同一平面內(nèi)且任意分布的力系。也稱空間任意力系。所謂任意分布是指各力的作用線既不完全相交也不完全相互平行。物體受空間一般力系作用是物體受力最一般的情況，在工程實(shí)際中很普遍。地面反力自重側(cè)風(fēng)力迎風(fēng)力4空間一般力系有以下三種特殊力系：空間匯交力系：各力的作用線不全在同一平面內(nèi)且匯交于一點(diǎn)的力系?？臻g平行力系：各力的作用線不全在同一平

2、面內(nèi)且相互平行的力系?？臻g力偶系：各力偶作用面不全在同一平面內(nèi)的力偶系。5一、定義為了度量力使物體繞軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，引用力對軸的矩。圖示門，求力 對z（矩軸）的矩。z將力分解：3-1 力對軸的矩AOd z 軸z 軸6于是：結(jié)論：力對軸的矩等于該力在垂直于此軸的平面上的投影對此軸與這個(gè)平面交點(diǎn)的矩。（1）力對軸的矩是代數(shù)量。正負(fù)號規(guī)定：右手螺旋法則。7即力 與軸共面時(shí)，力對軸之矩為零。（2）若力與軸空間垂直，則無須投影。（3）若 / z 軸與z軸相交（4）力沿作用線移動，力對軸的矩不變。8二、力對點(diǎn)的矩與力對通過該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系前面我們討論了力對點(diǎn)的矩與力對軸的矩：力對點(diǎn)的矩是矢量，力對軸的矩是

3、代數(shù)量另一方面：力對平面內(nèi)一點(diǎn)的矩與力對通過該點(diǎn)而垂直于平面的軸的矩的大小相等，符號可能或同或異?？梢姡诟拍钌?，力對點(diǎn)的矩與力對軸的矩不盡相同但又相互聯(lián)系。那么，在一般情況下，力對點(diǎn)的矩與力對通過該點(diǎn)的軸之矩有什么關(guān)系呢？9即：通過O點(diǎn)作任一軸Z，則：由幾何關(guān)系：所以：10 結(jié)論：力對點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的任意軸上的投影等于這力對于該軸的矩。這就是力對點(diǎn)之矩與對通過該點(diǎn)軸之矩的關(guān)系，簡稱力矩關(guān)系式。 由于又由第一章知：這就是力對直角坐標(biāo)軸的矩的解析表達(dá)式。11力對軸的矩的計(jì)算方法：（1）定義法；（2）解析式；（4）合力矩定理。（3）力矩關(guān)系式；例1已知P=20N，求 對z軸的矩。解：方法一：定

4、義法12方法二：解析式X=Pcos600sin450=5Y=Pcos600cos450 = 5Z= Psin600= 10 x= 0.4my=0.2+0.3=0.5mz=0.3m13方法三：力矩關(guān)系式14方法四：合力矩定理=0153-2 空間一般力系的簡化與平衡一、空間匯交力系的合成同平面匯交力系一樣，作力多邊形（此時(shí)是空間的），得：空間匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的大小和方向等于力系中各力的矢量和，即二、空間力偶系的合成空間力偶是自由矢量，所以可以將空間力偶系中各力偶矩矢搬移到某一點(diǎn)，得到一組空間匯交的力偶矩矢。應(yīng)用空間匯交力系的合成方法，得空間力偶系合成的結(jié)果是一個(gè)合力偶，合力偶矩矢

5、等于各分力偶矩矢的矢量和，即16 把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的簡化問題，但須把平面坐標(biāo)系擴(kuò)充為空間坐標(biāo)系。 設(shè)作用在剛體上有空間一般力系任選O點(diǎn)簡化中心三、空間一般力系向一點(diǎn)的簡化17根據(jù)力的平移定理，將各力向O點(diǎn)平移，=得到一空間匯交力系：和一附加空間力偶系：18將 合成，得將 合成，得=稱為原力系的主矢量，過簡化中心O。稱為原力系的主矩。=19結(jié)論：空間一般力系向一點(diǎn)簡化，一般可得一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力作用在簡化中心，大小和方向等于原力系的主矢，即等于原力系各力的矢量和；這個(gè)力偶的矩矢等于原力系對簡化中心的主矩，即等于原力系各力對簡化中心矩的矢量和。主矢與簡化中心O

6、點(diǎn)的位置無關(guān)，而主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。20若取簡化中心O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則： 主矢大小 主矢方向 根據(jù)力對點(diǎn)之矩與力對軸之矩的關(guān)系: 則主矩大小為： 主矩方向：21 空間一般力系向一點(diǎn)簡化的最后結(jié)果有以下幾種情況：2、 則原力系簡化為一個(gè)合力偶，其矩等于原力系對于簡化中心的主矩MO。此時(shí)主矩與簡化中心的位置無關(guān)。1、 則原力系簡化為一個(gè)合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通過簡化中心O點(diǎn)。 （換個(gè)簡化中心，主矩不為零）四、簡化結(jié)果的討論223、 ，此時(shí)可以進(jìn)一步簡化為一個(gè)合力 。將 用 代替根據(jù) 、 的轉(zhuǎn)向與 一致的原則確定 在O點(diǎn)的那一側(cè)。23由此知又即：如果空間一般力

7、系簡化為一合力，則合力對任一點(diǎn)的矩等于力系中各力對同一點(diǎn)矩的矢量和這就是空間一般力系的合力矩定理。將上式向過O點(diǎn)的任一軸z軸投影，得即合力對任一軸的矩等于各分力對同一軸的矩的代數(shù)和。24 ，力螺旋例 擰螺絲 炮彈出膛時(shí)炮彈螺旋線 與 成任意角（不平行也不垂直） 把 分解為平行于 的 和垂直于 的 。 分別按、處理。若力與力偶矩矢同向，稱為右手螺旋；反之，稱為左手螺旋。25即原力系簡化的結(jié)果為O點(diǎn)的一個(gè)力螺旋。 （自由矢量）平移到O點(diǎn) 使主矢 搬家，搬家的矩離：4、 , 則原力系平衡。26 1、空間一般力系的平衡方程五、空間一般力系的平衡方程空間一般力系平衡的充分必要條件是：空間一般力系的平衡方

8、程為：27空間一般力系的平衡方程的基本形式（1）有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程，對一個(gè)剛體最多只能求解六個(gè)未知量；（2）各軸可以不垂直，投影軸和矩軸也可以不為同一個(gè)軸。（3）其他形式：四力矩式，五力矩式和六力矩式。282、空間匯交力系的平衡方程以匯交點(diǎn)為簡化中心，則3、空間平行力系的平衡方程取z軸平行于各力，則于是由空間一般力系的平衡方程得：于是由空間一般力系的平衡方程得：294、空間力偶系的平衡方程于是由空間一般力系的平衡方程得：注意：力偶對某軸的矩是把力偶當(dāng)成矢量后，將該矢量向該軸投影（類似力在軸上的投影），見例3。30(1)球鉸（球形鉸鏈）5、空間約束 觀察物體在空間的六種（沿三軸移動和繞三軸轉(zhuǎn)動

9、）可能的運(yùn)動中，有哪幾種運(yùn)動被約束所阻礙，有阻礙就有約束反力。阻礙移動為反力，阻礙轉(zhuǎn)動為反力偶。3132光滑球鉸鏈約束實(shí)例33（2）軸承(滾珠軸承)，蝶鉸鏈軸承蝶鉸343536（3）止推軸承 37（4）空間固定端38 例2 圖示起重機(jī)自重不計(jì)，已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=200kN，起重臂AC位于拉索BE、BF的對稱平面內(nèi)。求:索BE、BF的拉力和桿AB的內(nèi)力。解（1）以C點(diǎn)為研究對象 （平面匯交力系）39(2)以B點(diǎn)為研究對象（空間匯交力系）：40注意：力偶不出現(xiàn)在投影式中力偶對某軸的矩是把力偶當(dāng)成矢量后，將該矢量向該軸投影（類似力在軸上的投影）例3 曲桿ABCD, ABC=B

10、CD=900,已知, m2, m3 求：支座反力及m1=?41解：42例4重為W 的均質(zhì)正方形板水平支承在鉛垂墻壁上，求桿1、2及BC的內(nèi)力和球鉸A的約束力。 解：取板為研究對象ABC12設(shè)正方形板的邊長唯a，則：ABCED43ABCED44例5絞車的軸安裝于水平位置。已知絞車筒半徑r1=10cm，膠帶輪半徑r2=40cm，a=c=80cm，b=120cm，重物重P=10kN。設(shè)膠帶在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)與水平成=300角，且T1=3.5T2，求勻速吊起重物時(shí)軸承A、B處的約束力及T1、T2的大小。 45解：以絞車為研究對象聯(lián)立T1=3.5T2，得XB=1.56kN 得ZB=5.1kN 得T2=

11、1kN，T1=3.5kNxzy46得XA=-5.46kN 得ZA=7.15kN 絞車在AB方向沒有約束，可以運(yùn)動，稱為不完全約束系統(tǒng)。但仍然是平衡的（Yi=0）。若在B端換成止推軸承，則系統(tǒng)是完全約束系統(tǒng)。xzy47例6均質(zhì)薄板，單位面積重 =0.5kN/m2，在薄板平面內(nèi)作用一力偶，其矩M=100kN.m。在過邊DE的鉛直平面內(nèi)的D點(diǎn)作用F=10kN的力，與邊DE成300角。試求球鉸A及三根連桿的約束力。 解：以板為研究對象將板視為正方形ABCD減去三角形CDE。正方形ABCD重P0=62 =18kN，三角形CDE重P1=63 /2=4.5kN（負(fù)值，即P1向上），作用在各自的重心。 48B

12、CDxyz4549本題也可以不將板處理成P0、P1而是用求板ABCDE的重心來計(jì)算。 BCDxyz4550 靠近地球的物體都受到地球引力的作用。如果把物體看成是由無數(shù)微小部分組成，則其每一部分都受到地球引力的作用，這些重力可以看成是空間平行力系。整個(gè)物體的重力就是各微小部分重力的合力，合力的大小即為物體的重量。 對于剛體而言，無論怎樣擱置，物體重力的作用線都會通過物體某個(gè)固定不變的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是物體的重心。 重心在工程中有重要意義：起重機(jī)、船舶等的重心過高容易傾翻；重力壩的重心越靠近上游，抗傾穩(wěn)定性越好；高速轉(zhuǎn)動的部件，若其重心不在轉(zhuǎn)軸上就會發(fā)生振動等等。3-4 物體的重心和形心一、重心坐標(biāo)公

13、式：51由合力矩定理： y軸：x軸：P=Pi物體的重量將系統(tǒng)繞x軸旋轉(zhuǎn)90，使力線與y軸平行，再對x 軸應(yīng)用合力矩定理得：52于是得重心坐標(biāo)公式：若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得質(zhì)心公式對于均質(zhì)物體，單位體積的重量 =恒量，設(shè)Vi為第i個(gè)小體積，V為物體的總體積，則：二、均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式：Pi= Vi， P= V于是得：53（2）有對稱面（軸、點(diǎn)）的均質(zhì)物體，其重心必在對稱面（軸、點(diǎn)）上。令Vi0，則上式可寫成積分形式：均質(zhì)物體的重心與其重量無關(guān)，只與物體的體積（幾何形狀）有關(guān)，這個(gè)只由物體的幾何形狀決定的點(diǎn)稱為物體的形心。上式又稱為物體的形心公式。（1）形心與重心是兩個(gè)不

14、同的概念。對于均質(zhì)物體，重心和形心是重合的。54A面積同理可得均質(zhì)薄殼（板）的重心公式：均質(zhì)空間曲線的重心公式：l長度同樣可得它們的積分形式。55解：由于對稱，該圓弧重心必在Ox軸，即yC=0。取微段積分法（簡單形體）例7 求半徑為R，頂角為2 的均質(zhì)圓弧的重心。三、確定均質(zhì)物體重心的方法常見簡單形狀的均質(zhì)物體的重心公式見教材P9756 分割法（由簡單形體組成的復(fù)雜形體）解法一：例8求圖示均質(zhì)薄板的重心，尺寸如圖，長度單位：cm。（1）建坐標(biāo)系（盡量利用對稱性）（2）將圖形分成、三個(gè)部分，則5758解法二： 把板看成長方形割去虛線所示三角形而成，將割去的面積看作負(fù)值。此方法也稱為負(fù)面積法59實(shí)驗(yàn)法 懸掛法稱重法60*例9 挖去一正方形塊HGFK的均質(zhì)凹形薄板ABCD，在A處用球鉸支承，B處用碟鉸與鉛垂墻相連，再用一繩索CE拉住使板保持水平。已知板的單位面積重g=5KN/m2，尺寸如圖。求繩索的拉力及球鉸A和碟鉸B處的反力。 解 取整體為研究對象，受力如圖。取如圖坐標(biāo)： 板重P=55kN，sina=3/5，cosa=4/5 由