2021-2022學年安徽省六安市第一中學高一下學期期中數(shù)學試題（解析版）

1、2021-2022學年安徽省六安市第一中學高一下學期期中數(shù)學試題滿分：150分 時間：120分鐘一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1. 已知是關(guān)于x的方程的一個根，則（ ）A. 0B. -2C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)實系數(shù)一元二次方程的虛數(shù)根互為共軛復數(shù)，即可根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出【詳解】因為是關(guān)于x的方程的一個根，則方程的另一根為，所以，解得：，即故選：C2. 平面平面，直線，則（ ）A. B. C. a與相交D. 以上都有可能【答案】D【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在正方體中思考，取，a為不同情況判

2、斷.【詳解】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，取為平面ADD1A1，為平面ABCD，a=BB1時，可判斷A選項的情況正確，a=BC1時，可判斷C選項的情況正確，a=B1C1時，可判斷B選項的情況正確，故以上情況都有可能.故選：D.3. 某校高一年級有男生400人，女生300人，為了調(diào)查高一學生對于高二時文理分科的意向，擬隨機抽取35人的樣本，則應抽取的男生人數(shù)為A. 25B. 20C. 15D. 10【答案】B【解析】【詳解】分析：設應抽取的男生人數(shù)為，根據(jù)分層抽樣的定義對應成比例可得，解出方程即可.詳解：設應抽取的男生人數(shù)為，解得，即應抽取的男生人數(shù)為20，故選B.點睛：本題考查應

3、從高一年級學生中抽取學生人數(shù)的求法，考查分層抽樣等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.4. 在ABC中，若其面積為S，且=2S，則角A的大小為（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】A【解析】【分析】由數(shù)量積的定義，結(jié)合條件即可求解.【詳解】因為，而，所以，所以，故.故選：A5. 已知球的半徑為，三點在球的球面上，球心到平面的距離為，則球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理可求得外接圓半徑，利用勾股定理可構(gòu)造方程求得，利用球的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】，（是的外接圓半徑），解得：；，解得：，球的表面積.故選：A6. 在空間四邊形

4、中，E，F(xiàn)，G，H分別是，中點，若，且與所成的角為60，則的長為（ ）A. 1或B. 或C. 1或D. 或【答案】C【解析】【分析】連接EF，F(xiàn)G，EG，根據(jù)異面直線所成角的意義，在中分情況計算作答.【詳解】連接EF，F(xiàn)G，EG，如圖，依題意，且，因與所成的角為60，則或，當時，是正三角形，當時，所以的長為1或.故選：C7. 在三角形ABC中，已知AB2，AC1，若CD與BE交于O點，則AO的長為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】應用基底法，結(jié)合B，O，E共線、C，O，D共線分別得到關(guān)于的線性表達式，由平面向量基本定理列方程求參數(shù)，再由向量數(shù)量積的運算律求的模長即可.【詳

5、解】因為AB2，AC1，則設，因為與不平行，所以，為一組基向量，因為B，O，E共線，所以，因為C，O，D共線，所以，所以，則，解得，所以，所以，所以AO的長為，故選：B8. “幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標.常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.甲、乙兩位同學分別隨機抽取10位本地市民調(diào)查他們的幸福感指數(shù)，甲得到十位市民的幸福感指數(shù)為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為8、方差為2.2，則這20位市民幸福感指數(shù)的方差為（ ）A. 1.75B. 1.85C. 1.95D. 2.05【答案】C【解析】【

6、分析】設乙得到十位市民的幸福感指數(shù)分別為，根據(jù)這10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8、方差為2.2可得，再根據(jù)方差的公式可求20個數(shù)據(jù)的方差.【詳解】設甲得到的十位市民的幸福感指數(shù)分別為，乙得到十位市民的幸福感指數(shù)分別為，故這20位市民的幸福感指數(shù)的方差為，因為乙得到十位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為8、方差為2.2，故，而，故，而，故所求的方差為，故選：C.【點睛】本題考查方差的計算，注意樣本數(shù)據(jù)的方差為，也可以是，本題屬于中檔題.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 如圖所示的是水平放置的三角形

7、直觀圖，是中邊上的一點，且，又軸，那么原的、三條線段中（ ）A. 最長的是B. 最長的是C. 最短的是D. 最短的是【答案】AD【解析】【分析】通過斜二測畫法將直觀圖還原，利用題干所給出的限制條件進行判斷.【詳解】由題意得到原的平面圖為：其中，的、三條線段中最長的是，最短的是，故選：AD.10. 甲、乙兩人進行飛鏢游戲，甲的10次成績分別為8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的10次成績的平均數(shù)為8，方差為0.4，則（ ）A. 甲的10次成績的極差為4B. 甲的10次成績的75%分位數(shù)為8C. 甲和乙的20次成績的平均數(shù)為8D. 乙比甲的成績更穩(wěn)定【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給

8、定數(shù)據(jù)，計算極差、75%分位數(shù)、平均數(shù)、方差判斷各選項作答.【詳解】甲的極差為，A正確；將甲的10次成績由小到大排列為： 6，7，7，7，8，8，8，9，10，10，而，所以甲的10次成績的75%分位數(shù)為9，B不正確；甲的10次成績的平均數(shù)為8，而乙的10次成績的平均數(shù)為8，則甲和乙的20次成績的平均數(shù)為，C正確；甲的10次成績的方差，顯然，乙比甲的成績更穩(wěn)定，D正確.故選：ACD11. 已知是兩個單位向量，時，的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. 的夾角是B. 的夾角是C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)條件知，的最小值為，結(jié)合二次函數(shù)與方程的特點可求出的夾角為或，從而求出的值

9、【詳解】，是兩個單位向量，且的最小值為，的最小值為，的最小值為，即在上有唯一一個解，所以，所以與的夾角為或，所以正確，或3，或，所以正確，故選：12. 如圖，正四棱柱滿足，點E在線段上移動，F(xiàn)點在線段上移動，并且滿足.則下列結(jié)論中正確的是（ ）A. 直線與直線是相交直線B. 直線與直線所成角不隨著E點位置的變化而變化C. 三角形可能是鈍角三角形D. 三棱錐體積隨著E點位置的變化而變化【答案】AB【解析】【分析】證明中點與EF中點重合判斷A；證明平面判斷B；設，計算，借助余弦定理判斷C；過EF中點及AC的平面截三棱錐為兩個等體積的三棱錐計算判斷D作答.【詳解】在正四棱柱中，令，連，如圖，在矩形中

10、，而，分別是中點，則，同理，即O是的中點，在矩形中，與互相平分，即線段EF與的中點重合，所以直線與直線是相交直線，A正確；因，平面，則平面，而平面，于是得，即直線與直線所成角為，B正確；令，則，設，則，因此，因，即都不是鈍角，C不正確；連CO，由正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征知，點E，F(xiàn)到平面的距離恒為，三棱錐的體積，而是確定的三角形，面積為定值，所以三棱錐的體積是定值，D不正確.故選：AB【點睛】結(jié)論點睛：的三邊分別為a，b，c（abc），若，則是銳角三角形；若，則是直角三角形；若，則是鈍角三角形.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)復數(shù)對應的點所在區(qū)域的面

11、積為_.【答案】【解析】【分析】設，由題意可得，根據(jù)復數(shù)模的幾何意義得出區(qū)域形狀為圓環(huán)，再計算面積即可【詳解】設，因為，所以所以，所以復平面內(nèi)復數(shù)對應的點所在區(qū)域的是以為圓心，半徑為的圓外和以為圓心，半徑為的圓內(nèi)部分，即圓環(huán)面，故所求區(qū)域面積故答案為：14. 某船開始看見一座燈塔在南偏東方向，該船沿南偏東方向航行后，看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是_.【答案】【解析】【分析】如圖所示，設燈塔位于A處，船開始的位置為B，航行45海里后處C處，根據(jù)題意算出BAC和BAC的大小，在中利用正弦定理計算出AC長，可得該時刻船與燈塔的距離【詳解】解：設燈塔位于A處，船開始的位置為B，航行45km

12、后處C處，如圖所示DBC=60，ABD=30，BC=45ABC=6030=30，BAC=18060=120中，由正弦定理， 可得（km）即船與燈塔的距離是（km）故答案為：【點睛】本題考查正弦定理的應用，考查解三角形中與測量有關(guān)的實際問題，屬于基礎(chǔ)題.15. 在平面直角坐標系中，已知點、，、是軸上的兩個動點，且，則的最小值為_【答案】-3【解析】【分析】據(jù)題意可設E（0，a），F(xiàn)（0，b），從而得出|ab|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，將a=b+2帶入上式即可求出的最小值，同理將b=a+2帶入，也可求出的最小值【詳解】根據(jù)題意，設E（0，a），F(xiàn)（0，b）；a=b+2，或b=a+

13、2；且；當a=b+2時，；b2+2b2的最小值為；的最小值為3，同理求出b=a+2時，的最小值為3故答案為：3【點睛】考查根據(jù)點的坐標求兩點間的距離，根據(jù)點的坐標求向量的坐標，以及向量坐標的數(shù)量積運算，二次函數(shù)求最值的公式16. 已知三棱錐的各棱長都相等，為上一點，且的最小值為，則該棱錐外接球的體積為_【答案】【解析】【分析】先把側(cè)面和展開到同一平面中，利用的最小值為求出三棱錐的棱長，再找到外接球的球心，利用勾股定理建立半徑的關(guān)系，求出半徑，進而求出體積.【詳解】將三棱錐的側(cè)面和展開到同一平面中，如圖所示，設，則三棱錐的各棱長均為，在中，由余弦定理得的最小值為：，解得，還原回三棱錐，如圖所示，

14、設底面的中心為，外接球的球心為，連接、，則，設三棱錐的外接球半徑為，則，外接球體積.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知，（1）設，的夾角為，求的值；（2）若向量與互相垂直，求k的值【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的夾角公式即可解出；（2）根據(jù)平面向量的坐標運算以及垂直的坐標表示即可解出【小問1詳解】因為，所以.【小問2詳解】由，可得，因為向量與互相垂直，所以，即，解得：.18. 2022年2月4日至20日，第24屆冬季奧林匹克運動會在北京成功舉辦.某學校根據(jù)該校男女生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法隨機調(diào)查

15、了200名學生，統(tǒng)計他們觀看開幕式的時長（單位：）情況，樣本數(shù)據(jù)按照，進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求a的值并估計該校學生觀看開幕式時長的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）和中位數(shù)；（2）已知樣本中有的男生觀看開幕式時長小于80，觀看開幕式時長不小于80的男女生人數(shù)相等，估計該校男生與女生的人數(shù)之比.【答案】（1），平均數(shù)和中位數(shù)分別為78.4，77.5； （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直方圖中各小矩形面積之和為1，平均數(shù)等于各小矩形面積乘以該組區(qū)間的中點值的和，中位數(shù)左右兩側(cè)的面積相等即可解出；（2）由頻率分布直方圖可知樣本中觀看開幕式時長不小于80的人數(shù)為80，從

16、而得知 40人是男生，進而得出男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，即解出【小問1詳解】由，所以.平均數(shù)為.設這200名學生觀看開幕式時長的中位數(shù)為m，由頻率分布直方圖可知，且，解得.估計該校學生觀看開幕式時長的平均數(shù)和中位數(shù)分別為78.4，77.5.【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知樣本中觀看開幕式時長不小于80的人數(shù)為.由題意知這80人中有一半，即40人是男生，又因為觀看開幕式時長小于80的男生占男生人數(shù)的，故這40名男生占樣本中所有男生人數(shù)的，因此樣本中男生人數(shù)為120，女生人數(shù)為80，因為樣本是用分層抽樣的方法得到的，故估計該校男生與女生的人數(shù)之比為.19. 已知圓錐的底面半徑，高（1）求圓錐的表面

17、積和體積（2）如圖若圓柱內(nèi)接于該圓錐，試求圓柱側(cè)面積的最大值【答案】（1）,; （2）.【解析】【分析】（1）由已知求得圓錐的母線長,再由圓錐的側(cè)面積與體積公式求解;（2）作出圓柱與圓錐的截面圖，把圓柱的側(cè)面積用h表示,然后結(jié)合二次函數(shù)求最值.【小問1詳解】圓錐底面半徑R=6，高H=8，圓錐的母線長，則表面積，體積.【小問2詳解】作出圓錐、圓柱的軸截面如圖所示,其中，設圓柱底面半徑為r，則，即 .設圓柱的側(cè)面積為.當時，有最大值為.20. 在銳角中，角的對邊分別為，已知（1）若，求；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得，進而得解；（2）根

18、據(jù)正弦定理邊角互化可得，結(jié)合銳角三角形的范圍可得解.【詳解】（1）由，得，得，得，在，由余弦定理，得，即，解得或.當時， 即為鈍角（舍），故符合.（2）由（1）得，所以，為銳角三角形，故的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是熟練應用正余弦定理進行邊角互化，正確分析銳角三角形中角的范圍是解題的關(guān)鍵.21. 已知三棱柱（如圖所示），底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱底面，為的中點.（1）若為的中點，求證：平面；（2）證明：平面；（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）連接，證得底面，得到，再在正證得，結(jié)合線面垂直的判定地鞥了，即可證得平面；（2）連接交與，得出，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面.（3）取的中點，連接，證得可得平面，得出為三棱錐的高，且，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】（1）連接，由底面，且，可得底面，又由底面，所以，又因為為正邊的中點，所以，因為，且平面，所以平面.（2）連接交與，則為的中點，連接，則.因為平面，平面，所以平面.（2）因為，.取的中點，連接，則，可得平面，即為三棱錐的高，三棱錐的體積.【點睛】本題主要考查了空間中位置關(guān)系的判定與證明，以及幾何體的體積的計算，對于空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐