高三數(shù)學(xué)教案：簡單的線性規(guī)劃

1、高三數(shù)學(xué)教案：簡單的線性規(guī)劃【】鑒于大家對查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)非常關(guān)注，小編在此為大家搜集整理了此文高三數(shù)學(xué)教案：簡單的線性規(guī)劃，供大家參考!本文題目：高三數(shù)學(xué)教案：簡單的線性規(guī)劃7.4 簡單的線性規(guī)劃知識梳理1.二元一次不等式表示平面區(qū)域在平面直角坐標系中，直線Ax+By+C=0，坐標平面內(nèi)的點Px0，y0.B0時，Ax0+By0+C0，那么點Px0，y0在直線的上方;Ax0+By0+C0，那么點Px0，y0在直線的下方.對于任意的二元一次不等式Ax+By+C0或0，無論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù).當B0時，Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域;Ax+By+C

2、0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域.2.線性規(guī)劃求線性目的函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.滿足線性約束條件的解x，y叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域類似函數(shù)的定義域;使目的函數(shù)獲得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解.消費實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題.線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：1根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y;2找出線性約束條件;3確定線性目的函數(shù)z=fx，y;4畫出可行域即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域;5利用線性目的函數(shù)作平行直線系fx，y=tt為參數(shù);6觀察圖形，找到直線fx，y=t在可行域上使t獲得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解

3、，給出答案.點擊雙基1.以下命題中正確的選項是A.點0，0在區(qū)域x+y0內(nèi)B.點0，0在區(qū)域x+y+10內(nèi)C.點1，0在區(qū)域y2x內(nèi)D.點0，1在區(qū)域x-y+10內(nèi)解析：將0，0代入x+y0，成立.答案：A2.2019年海淀區(qū)期末練習(xí)題設(shè)動點坐標x，y滿足x-y+1x+y-40，x3，A. B. C. D.10解析：數(shù)形結(jié)合可知當x=3，y=1時，x2+y2的最小值為10.答案：D2x-y+10，x-2y-10，x+y1A.正三角形及其內(nèi)部B.等腰三角形及其內(nèi)部C.在第一象限內(nèi)的一個無界區(qū)域D.不包含第一象限內(nèi)的點的一個有界區(qū)域解析：將0，0代入不等式組合適C，不對;將 ， 代入不等式組合適D

4、，不對;又知2x-y+1=0與x-2y-1=0關(guān)于y=x對稱且所夾頂角滿足tan= = .答案：B4.點-2，t在直線2x-3y+6=0的上方，那么t的取值范圍是_.解析：-2，t在2x-3y+6=0的上方，那么2-2-3t+60，解得t .答案：t5.不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點共有_個.解析：1，1，1，2，2，1，共3個.答案：3典例剖析【例1】 求不等式|x-1|+|y-1|2表示的平面區(qū)域的面積.剖析：根據(jù)條件畫出所表達的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點求其面積.解：|x-1|+|y-1|2可化為x1， x1， x1， x1，y1， y1， y1， y1，x+y

5、4 x-y 2 y-x 2 x+y0.其平面區(qū)域如圖.面積S= 44=8.評述：畫平面區(qū)域時作圖要盡量準確，要注意邊界.深化拓展假設(shè)再求： ; 的值域，你會做嗎?答案： -，- ，+1，5.【例2】 某人上午7時，乘摩托艇以勻速v n mile/h420從A港出發(fā)到距50 n mile的B港去，然后乘汽車以勻速w km/h30100自B港向距300 km的C市駛?cè)?應(yīng)該在同一天下午4至9點到達C市.設(shè)乘汽車、摩托艇去所需要的時間分別是x h、y h.1作圖表示滿足上述條件的x、y范圍;2假如所需的經(jīng)費p=100+35-x+28-y元，那么v、w分別是多少時走得最經(jīng)濟?此時需花費多少元?剖析：由

6、p=100+35-x+28-y可知影響花費的是3x+2y的取值范圍.解：1依題意得v= ，w= ，420，30100.310， . 由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x+y應(yīng)在9至14個小時之間，即914.因此，滿足的點x，y的存在范圍是圖中陰影部分包括邊界.2p=100+35-x+28-y，3x+2y=131-p.設(shè)131-p=k，那么當k最大時，p最小.在通過圖中的陰影部分區(qū)域包括邊界且斜率為- 的直線3x+2y=k中，使k值最大的直線必通過點10，4，即當x=10，y=4時，p最小.此時，v=12.5，w=30，p的最小值為93元.評述：線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實際問題列出表達約束條件的不等式

7、.然后分析要求量的幾何意義.【例3】 某礦山車隊有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員.此車隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠.甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次.甲型卡車每輛每天的本錢費為252元，乙型卡車每輛每天的本錢費為160元.問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花本錢費最低?剖析：弄清題意，明確與運輸本錢有關(guān)的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條件，列出目的函數(shù)，用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解.解：設(shè)每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊所花本錢費為z元，那么x+y9，106x+68x360，04，07.z=252x+160y，其

8、中x、yN.作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖.作出直線l0：252x+160y=0，把直線l向右上方平移，使其經(jīng)過可行域上的整點，且使在y軸上的截距最小.觀察圖形，可見當直線252x+160y=t經(jīng)過點2，5時，滿足上述要求.此時，z=252x+160y獲得最小值，即x=2，y=5時，zmin=2522+1605=1304.答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊所用本錢費最低.評述：用圖解法解線性規(guī)劃題時，求整數(shù)最優(yōu)解是個難點，對作圖精度要求較高，平行直線系fx，y=t的斜率要畫準，可行域內(nèi)的整點要找準，最好使用網(wǎng)點法先作出可行域中的各整點.闖關(guān)訓(xùn)練夯實根底1.x-12+y-12

9、=1是|x-1|+|y-1|1的_條件.A.充分而不必要 B.必要而不充分C.充分且必要 D.既不充分也不必要解析：數(shù)形結(jié)合.答案：B2.x+2y+1x-y+40表示的平面區(qū)域為解析：可轉(zhuǎn)化為x+2y+10， x+2y+10，x-y+40 x-y+40.答案：B3.2019年全國卷，14設(shè)x、y滿足約束條件x0，xy，2x-y1，那么z=3x+2y的最大值是_.解析：如圖，當x=y=1時，zmax=5.答案：5x-4y+30，3x+5y-250，x1，_.解析：作出可行域，如圖.當把z看作常數(shù)時，它表示直線y=zx的斜率，因此，當直線y=zx過點A時，z最大;當直線y=zx過點B時，z最小.x

10、=1，3x+5y-25=0，得A1， .x-4y+3=0，3x+5y-25=0，zmax= = ，zmin= .答案：5.畫出以A3，-1、B-1，1、C1，3為頂點的ABC的區(qū)域包括各邊，寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目的函數(shù)z=3x-2y的最大值和最小值.分析：本例含三個問題：畫指定區(qū)域;寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達式不等式組; 求以所寫不等式組為約束條件的給定目的函數(shù)的最值.解：如圖，連結(jié)點A、B、C，那么直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求ABC區(qū)域.直線AB的方程為x+2y-1=0，BC及CA的直線方程分別為x-y+2=0，2x+y-5=0.在ABC內(nèi)取一點P1

11、，1，分別代入x+2y-1，x-y+2，2x+y-5得x+2y-10，x-y+20，2x+y-50.因此所求區(qū)域的不等式組為x+2y-10，x-y+20，2x+y-50.作平行于直線3x-2y=0的直線系3x-2y=tt為參數(shù)，即平移直線y= x，觀察圖形可知：當直線y= x- t過A3，-1時，縱截距- t最小.此時t最大，tmax=33-2 -1=11;當直線y= x- t經(jīng)過點B-1，1時，縱截距- t最大，此時t有最小值為tmin= 3-1-21=-5.因此，函數(shù)z=3x-2y在約束條件x+2y-10，x-y+20，2x+y-506.某?；锸抽L期以面粉和大米為主食，面食每100 g含蛋

12、白質(zhì)6個單位，含淀粉4個單位，售價0.5元，米食每100 g含蛋白質(zhì)3個單位，含淀粉7個單位，售價0.4元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費用最少?解：設(shè)每盒盒飯需要面食x百克，米食y百克，所需費用為S=0.5x+0.4y，且x、y滿足6x+3y8，4x+7y10，x0，y0，由圖可知，直線y=- x+ S過A ， 時，縱截距 S最小，即S最小.故每盒盒飯為面食 百克，米食 百克時既科學(xué)又費用最少.培養(yǎng)才能7.配制A、B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料，配一劑A種藥需甲料3 mg，乙料5 mg;配一劑B種藥需甲料5 mg，乙料

13、4 mg.今有甲料20 mg，乙料25 mg，假設(shè)A、B兩種藥至少各配一劑，問共有多少種配制方法?解：設(shè)A、B兩種藥分別配x、y劑x、yN，那么x1，y1，3x+5y20，5x+4y25.上述不等式組的解集是以直線x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25為邊界所圍成的區(qū)域，這個區(qū)域內(nèi)的整點為1，1、1，2、1，3、2，1、2，2、3，1、3，2、4，1.所以，在至少各配一劑的情況下，共有8種不同的配制方法.8.某公司方案在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機和智能洗衣機，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況如資金、勞動力確定產(chǎn)品的月供給量，以使得總利潤到

14、達最大.對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：資 金 單位產(chǎn)品所需資金百元 月資金供給量百元空調(diào)機 洗衣機成 本 30 20 300勞動力工資 5 10 110單位利潤 6 8試問：怎樣確定兩種貨物的月供給量，才能使總利潤到達最大，最大利潤是多少?解：設(shè)空調(diào)機、洗衣機的月供給量分別是x、y臺，總利潤是P，那么P=6x+8y，由題意有30 x+20y300，5x+10y110，x0，y0，x、y均為整數(shù).由圖知直線y=- x+ P過M4，9時，縱截距最大.這時P也取最大值Pmax=64+89=96百元.故當月供給量為空調(diào)機4臺，洗衣機9臺時，可

15、獲得最大利潤9600元.探究創(chuàng)新9.實系數(shù)方程fx=x2+ax+2b=0的一個根在0，1內(nèi)，另一個根在1，2內(nèi)，求：1 的值域;2a-12+b-22的值域;3a+b-3的值域.f00f10f20b0，a+b+10，a+b+20.如下圖. A-3，1、B-2，0、C-1，0.又由所要求的量的幾何意義知，值域分別為1 ，1;28，17;3-5，-4.思悟小結(jié)簡單的線性規(guī)劃在實際消費生活中應(yīng)用非常廣泛，主要解決的問題是：在資源的限制下，如何使用資源來完成最多的消費任務(wù);或是給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的資源來完成.如常見的任務(wù)安排問題、配料問題、下料問題、布局問題、庫存問題，通常解法是

16、將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，歸結(jié)為線性規(guī)劃，使用圖解法解決.圖解法解決線性規(guī)劃問題時，根據(jù)約束條件畫出可行域是關(guān)鍵的一步.一般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的非封閉平面區(qū)域.第二是畫好線性目的函數(shù)對應(yīng)的平行直線系，特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關(guān)系要判斷準確.通常最優(yōu)解在可行域的頂點即邊界限的交點處獲得，但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點坐標的近似值.它應(yīng)是目的函數(shù)所對應(yīng)的直線平移進入可行域最先或最后經(jīng)過的那一整點的坐標.老師下載中心教學(xué)點睛線性規(guī)劃是新增添的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)予以足夠重視.線性規(guī)劃問題中的可行域，實際上是二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，是解決線性規(guī)劃問題的根底，因為在直

17、線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點x，y實數(shù)Ax+By+C的符號一樣，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點x0，y0假設(shè)原點不在直線上，那么取原點0，0最簡便，把它的坐標代入Ax+By+C=0，由其值的符號即可判斷二元一次不等式Ax+By+C0或0表示直線的哪一側(cè).這是教材介紹的方法.在求線性目的函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值時，設(shè)ax+by=t，那么此直線往右或左平移時，t值隨之增大或減小，要會在可行域中確定最優(yōu)解.解線性規(guī)劃應(yīng)用題步驟：1設(shè)出決策變量，找出線性約束條件和線性目的函數(shù); 2利用圖象在線性約束條件下找出決策變量，使線性目的函數(shù)到達最大或最小.拓展題例【例1】 fx=px2-q且

18、-4-1，-15，求f3的范圍.解：-4-1，-15，p-q-1，p-q-4，4p-q5，4p-q-1.求z=9p-q的最值.p=0，q=1，zmin=-1，p=3，q=7，-120.【例2】 某汽車公司有兩家裝配廠，消費甲、乙兩種不同型號的汽車，假設(shè)A廠每小時可完成1輛甲型車和2輛乙型車;B廠每小時可完成3輛甲型車和1輛乙型車.今欲制造40輛甲型車和20輛乙型車，問這兩家工廠各工作幾小時，才能使所費的總工作時數(shù)最少?解：設(shè)A廠工作x h，B廠工作y h，總工作時數(shù)為t h，那么t=x+y，且x+3y40，2x+y20，x0，y0，可行解區(qū)域如圖.而符合問題的解為此區(qū)域內(nèi)的格子點縱、橫坐標都是

19、整數(shù)的點稱為格子點，于是問題變?yōu)橐诖丝尚薪鈪^(qū)域內(nèi)，找出格子點x，y，使t=x+y的值為最小.由圖知當直線l：y=-x+t過Q點時，縱、橫截距t最小，但由于符合題意的解必須是格子點，我們還必須看Q點是否是格子點.x+3y=40，2x+y=20，得Q4，12為格子點.唐宋或更早之前，針對“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書學(xué)各科目，其相應(yīng)傳授者稱為“博士，這與當今“博士含義已經(jīng)相去甚遠。而對那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者，又稱“講師?！敖淌诤汀爸叹瓰閷W(xué)官稱謂。前者始于宋，乃“宗學(xué)“律學(xué)“醫(yī)學(xué)“武學(xué)等科目的講授者；而后者那么于西晉武帝時代即已設(shè)立了，主要協(xié)助國子、博士培養(yǎng)生徒。“助教在古代不僅要作入流的學(xué)問，其教書育人的職責(zé)也十清楚晰。唐代國子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教一席，也是當朝打眼的學(xué)官