推理與證明.知識框架 普通高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義Word版

1、模塊框架合情推珅合悄推理與演繹椎理演繹推理數(shù)學(xué)!I呦滋堆砒證明整用問題謹(jǐn)明恒等式與不等式數(shù)列中的數(shù)學(xué)歸納法瓦他炎型題綜合注|仃析法坪艮證法二匸高考要求合情推理演繹證明與數(shù)學(xué)歸納法要求層次重難點推理證明A掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，熟練表達(dá)數(shù)學(xué)歸納法證明過程.對數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識不斷深化掌握數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：證恒等式；整除性的證明；探求平面幾何中的問題；探求數(shù)列的通項；不等式的證明.直接證明與間接證明A數(shù)學(xué)歸納法B演繹推理Cmin&知識內(nèi)容一、合情推理與演繹推理推理根據(jù)一個或幾個事實（或假設(shè)）得出一個判斷，這種思維方式叫推理.從結(jié)構(gòu)上說，推理一般由兩部分組成,一部分是已知的事實（或假設(shè)）叫做前提，一

2、部分是由已知推出的判斷，叫結(jié)論.合情推理：根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出的推理叫合情推理。合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：（1）歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理（2）類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象具有的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理叫演繹推理,簡言之，演繹推理是由一般到特殊的

3、推理。三段論是演繹推理的一般模式，它包括：（1）大前提-已知的一般原理；（2）小前提-所研究的特殊情況；（3）結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷。演繹法：如果一般的命題是已經(jīng)證明了的，或者是未經(jīng)證明而作為真理用的，那么以這個一般命題推出的每一個特殊命題也就是正確的象這樣由一般到特殊的推理方法，通常稱為演繹推理或者演繹法歸納法：先考察一些特殊的事例，然后分析它們共同具有的特征，作出一般的結(jié)論.象這樣由特殊到一般的推理方法通常稱為歸納推理，或者歸納法.歸納法又分為完全歸納法和不完全歸納法兩種.（1）由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法特點：特殊一一般.（2）不完全歸納法：從一個或幾個（但不是全

4、部）特殊情況作出一般性結(jié)論的歸納推理.不完全歸納法又叫做普通歸納法.這種歸納法是以一定數(shù)量的事實作基礎(chǔ)，進(jìn)行分析研究，找出規(guī)律.但是，由于不完全歸納法是以有限數(shù)量的事實作為基礎(chǔ)而得出的一般性結(jié)論.這樣作出的結(jié)論有時可能不正確.例如，在數(shù)列a二n2+n+41中，當(dāng)n項數(shù)為1，2，3，38，39時，數(shù)列的項分別為43，47，53,1601，這些數(shù)都是質(zhì)數(shù)，如果由此得出“數(shù)列a（其中a二n+n+41）的所有項都是nn質(zhì)數(shù)”的結(jié)論，那么就不對了.因為當(dāng)n=40時，則a二402+40+41二412，可n以看出，a的值不是質(zhì)數(shù)了，而是合數(shù).雖然不完全歸納法的結(jié)論有時可能不40正確，但它仍是一種重要的推理方

5、法.完全歸納法:作為結(jié)論依據(jù)的觀察，如果包含了規(guī)律所涉及的一切現(xiàn)象，這種歸納法叫做完全歸納法.由完全歸納所得出的結(jié)論是可靠的.完全歸納法是把出現(xiàn)的特殊情況完全無遺的一一加以研究，從而得出一般性的結(jié)論的推理方法.完全歸納法又叫做枚舉歸納法.應(yīng)用完全歸納法，在考慮各種情況時，應(yīng)做到不重不漏.教師備案完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法二、直接證明與間接證明三種證明方法的定義與步驟：綜合法是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法，它是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義

6、、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法。丄析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定義、公理、定理等)為止的證明方法。假設(shè)原命題的結(jié)論不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,由此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立，這樣的方法叫反證法；它是一種間接的證明方法.用這種方法證明一個命題的一般步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;(2)根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直至U推理中導(dǎo)出矛盾為止斷言假設(shè)不成立(4)肯定原命題的結(jié)論成立三、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法:對于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常

7、采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個值n時命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k(keN*，k三0n)時命題成立，證明當(dāng)n二k+1命題也成立+這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納0法.數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：數(shù)學(xué)歸納法是完全歸納法的一種.它是一種歸納演繹的推理方法.數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)是“自然數(shù)歸納原理”設(shè)A(n)表示關(guān)于自然數(shù)n的一命題，如果滿足條件：(i)A(1)正確；(ii)假設(shè)A(k)成立，推斷A(k+1)也成立、那么A(n)對一切自然數(shù)n都成立其中第(i)是驗證，它是證明的基礎(chǔ)；第(ii)是以假設(shè)A(k)成立，通過演繹推理，推證出A（k+1）也正確.即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n，如果當(dāng)

8、n二n時，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n二k（keN*，k三n）時，000命題成立.（這時命題是否成立不是確定的），根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當(dāng)n二k+1時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于n的正整數(shù)n+1，00n+2，命題都成立.0用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：（1）證明：當(dāng)n取第一個值n結(jié)論正確；0假設(shè)當(dāng)n=k（keN*，k三n）時結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確.0（3）由（1）,（2）可知，命題對于從n開始的所有正整數(shù)n都正確.0教師備案數(shù)學(xué)歸納法被用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.用數(shù)學(xué)歸納法證題時，兩步缺一不可；（2）證題時

9、要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)，二湊目標(biāo).教師備案數(shù)學(xué)歸納法大致可分為兩個步驟，第一步，驗證命題對某個自然數(shù)n=n成立，（nN），般取n=1，第二步假設(shè)n=k（kN，k三n）的時候，000命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立至此就可以得到結(jié)論，命題對于n和0比n大的所有自然數(shù)都成立.0如果將證明數(shù)學(xué)命題用建筑高樓來比喻，這兩步中，第一部可以看作是奠基部分，第二步可以看作是建設(shè)部分，整個命題的基礎(chǔ)就在第一步，如果忽略第一步，或者是第一步錯誤的話，那么不管第二步的證明有多巧妙和精彩，都如大廈建在沙子上一樣，是不穩(wěn)固的；而整個命題的遞推過程在于第二步，如果遞推過程出現(xiàn)了問題或者瑕疵，那么就如同建筑中的“爛尾樓”一般，得不到一個圓滿的結(jié)局.由此可見，這兩步都非常重要，缺一不可.數(shù)學(xué)歸納法是證明有遞推性或可轉(zhuǎn)化為遞推性命題的有效手段，它的思路明晰，形式優(yōu)美，但也要看到它的局限性，那就是并不