人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書：第八章第2節(jié)　圓與方程

1、第2節(jié)圓與方程1.掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.3.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.1.圓的定義與方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)式(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)圓心為(a,b)半徑為r一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0充要條件:D2+E2-4F0圓心坐標(biāo):(-D2,-E2)半徑r=12D2+E2-4F2.點與圓的位置關(guān)系點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系:(1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0-a)2+

2、(y0-b)2r2.(2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2=r2.(3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0-a)2+(y0-b)2r2.3.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系.dr相離.(2)代數(shù)法:0相交;=0相切;0),圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r20).方法位置關(guān)系幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系代數(shù)法:聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離dr1+r2無解外切d=r1+r2一組實數(shù)解相交|r1-r2|dr1+r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d=|r1-r2|(r1r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0d

3、0),其中a,b是定值,r是參數(shù);(2)過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點的圓系方程:x2+y2+ Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R);(3)過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)(該圓系不含圓C2,解題時,注意檢驗圓C2是否滿足題意,以防漏解).4.兩圓相交時公共弦的方程設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若兩圓相交,則有一條公共弦,其公共弦所在直

4、線方程由-得,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.1.若點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則實數(shù)a的取值范圍是(A)A.(-1,1)B.(0,1)C.(-,-1)(1,+)D.1解析:點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,所以(1-a)2+(1+a)24,解得-1a1.故選A.2.(多選題)已知圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則下列說法正確的是(ABD)A.圓M的圓心為(4,-3)B.圓M被x軸截得的弦長為8C.圓M的半徑為25D.圓M被y軸截得的弦長為6解析:圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則(x-4)2+(y

5、+3)2=25.圓的圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.顯然選項C不正確,A,B,D均正確.故選ABD.3.(選擇性必修第一冊P98習(xí)題T1改編)圓Q:x2+y2-4x=0在點P(1,3)處的切線方程為(D)A.x+3y-2=0B.x+3y-4=0C.x-3y+4=0D.x-3y+2=0解析:因為點P在圓上,且圓心Q的坐標(biāo)為(2,0),所以kPQ=0-32-1=-3,所以切線的斜率k=33,所以切線方程為y-3=33(x-1),即x-3y+2=0.故選D.4.圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為(B)A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離解析:兩圓圓心分別為(-2,0

6、),(2,1),半徑分別為2和3,圓心距d=42+12=17.因為3-2d0,即3a2+4a-40,所以-2a0),則圓心到直線x+y=22的距離d=|2-a-22|2=2,所以a=2,所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+2)2=4.故選C.2.已知圓C過點A(6,0),B(1,5),且圓心在直線l:2x-7y+8=0上,則圓C的方程為.解析:法一(幾何法)kAB=5-01-6=-1,則AB的垂直平分線方程為y-52=x-72,即x-y-1=0,聯(lián)立方程組x-y-1=0,2x-7y+8=0,解得x=3,y=2,r=(6-3)2+(0-2)2=13,故圓C的方程為(x-3)2+(y-2)2=

7、13(圓的任何一條弦的垂直平分線過圓心).法二(待定系數(shù)法)設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.由題意可得(6-a)2+(0-b)2=r2,(1-a)2+(5-b)2=r2,2a-7b+8=0,解得a=3,b=2,r2=13,故所求圓C的方程為(x-3)2+(y-2)2=13.答案:(x-3)2+(y-2)2=133.經(jīng)過三點(2,-1),(5,0),(6,1)的圓的一般方程為.解析:設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意可知,22+(-1)2+2D-E+F=0,52+02+5D+0+F=0,62+12+6D+E+F=0,解得D=-4,E=-8,F=-5,故所

8、求圓的一般方程為x2+y2-4x-8y-5=0.答案:x2+y2-4x-8y-5=0求圓的方程的兩種方法(1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程.(2)待定系數(shù)法:若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值;若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值. 與圓有關(guān)的最值問題利用幾何法求最值 (1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若圓C:(x-3)2+(y-a)2=4上存在兩點A,B滿足:AOB=60,則實數(shù)a的最大值是()A

9、.5B.3C.7D.23(2)已知M(x,y)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點,且點Q(-2,3).求|MQ|的最大值和最小值;求y-3x+2的最大值和最小值;求y-x的最大值和最小值.(1)解析:根據(jù)題意,圓C的圓心為(3,a),在直線x=3上,分析可得,當(dāng)圓心距離x軸的距離越遠(yuǎn),AOB越小.如圖,當(dāng)a0時,圓心C在x軸上方,若OA,OB為圓的切線且AOB=60,此時a取得最大值,此時AOC=30,有|OC|=2|AC|=4,即(3-0)2+(a-0)2=16,解得a=7,故實數(shù)a的最大值是7.故選C.(2)解:由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2

10、+(y-7)2=8,所以圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=22.又|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42,所以|MQ|max=42+22=62,|MQ|min=42-22=22.可知y-3x+2表示直線MQ的斜率k.設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.因為直線MQ與圓C有交點,所以|2k-7+2k+3|1+k222,可得2-3k2+3,所以y-3x+2的最大值為2+3,最小值為2-3.設(shè)y-x=b,則x-y+b=0.當(dāng)直線y=x+b與圓C相切時,截距b取到最值,所以|2-7+b|12+(-1)2=22,解得b=9或1.所以y-x的最大值為9,最小值為1.處理與

11、圓有關(guān)的最值問題時,應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì),并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合思想求解,其中以下幾類轉(zhuǎn)化較為常見:(1)形如m=y-bx-a的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.(2)形如m=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題.利用代數(shù)法求最值 設(shè)點P(x,y)是圓(x-3)2+y2=4上的動點,定點A(0,2),B(0,-2),則|PA+PB|的最大值為.解析:由題意,知PA=(-x,2-y),PB=(-x,-2-y),所以PA+PB=(-2x,-2y),由于點P(x,y)是圓上的點

12、,故其坐標(biāo)滿足方程(x-3)2+y2=4,故y2=-(x-3)2+4,所以|PA+PB|=4x2+4y2=26x-5.由圓的方程(x-3)2+y2=4,易知1x5,所以當(dāng)x=5時,|PA+PB|的值最大,最大值為265-5=10.答案:10根據(jù)已知條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)關(guān)系式的特征選用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等方法求最值.針對訓(xùn)練 (1)已知實數(shù)x,y滿足(x-2)2+(y-1)2=1,則z=y+1x的最大值與最小值分別為和.(2)已知A(0,2),點P在直線x+y+2=0上,點Q在圓C:x2+y2-4x-2y=0上,則|PA|+|PQ|的最小值是.解析:(1)由題意,得y+1x表示過

13、點A(0,-1)和圓(x-2)2+(y-1)2=1上的動點P(x,y)的直線的斜率.當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時,直線的斜率分別取得最大值和最小值.設(shè)切線方程為y=kx-1,即kx-y-1=0,則|2k-2|k2+1=1,解得k=473,所以zmax=4+73,zmin=4-73.(2)因為圓C:x2+y2-4x-2y=0,故圓C是以C(2,1)為圓心,半徑r=5的圓.設(shè)點A(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點為A(m,n),故m+02+n+22+2=0,n-2m-0=1,解得m=-4,n=-2,故A(-4,-2).連接AC交圓C于Q,由對稱性可知|PA|+|PQ|=|AP|+|PQ|AQ|=|

14、AC|-r=25.答案:(1)4+734-73(2)25 直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系的判斷 已知點M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是()A.相切B.相交C.相離D.不確定解析:因為M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,所以a2+b21,而圓心O到直線ax+by=1的距離d=|a0+b0-1|a2+b2=1a2+b20的前提下,利用根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)弦長公式求弦長.(2)幾何法:若弦心距為d,圓的半徑長為r,則弦長l=2r2-d2.切線問題 已知點P(2+1,2-2),點M(3,1),圓C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求過點P的圓C的切線方程

15、;(2)求過點M的圓C的切線方程,并求出切線長.解:由題意得圓心C(1,2),半徑r=2.(1)因為(2+1-1)2+(2-2-2)2=4,所以點P在圓C上.又kPC=2-2-22+1-1=-1,所以切線的斜率k=-1kPC=1.所以過點P的圓C的切線方程是y-(2-2)=x-(2+1),即x-y+1-22=0.(2)因為(3-1)2+(1-2)2=54,所以點M在圓C外部.當(dāng)過點M的直線斜率不存在時,直線方程為x=3,即x-3=0.又點C(1,2)到直線x-3=0的距離d=3-1=2=r,即此時滿足題意,所以直線x=3是圓的切線;當(dāng)切線的斜率存在時,設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),即kx-

16、y+1-3k=0,則圓心C到切線的距離d=|k-2+1-3k|k2+1=r=2,解得k=34,所以切線方程為y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.綜上可得,過點M的圓C的切線方程為x-3=0或3x-4y-5=0.因為|MC|=(3-1)2+(1-2)2=5,所以過點M的圓C的切線長為|MC|2-r2=5-4=1.圓的切線方程的兩種求法(1)代數(shù)法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),與圓的方程組成方程組,消元后得到一個一元二次方程,然后令判別式=0進(jìn)而求得k.(2)幾何法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,然后令d=r,進(jìn)而求出k.

17、針對訓(xùn)練 (1)圓x2+y2-2x+4y=0與直線2tx-y-2-2t=0(tR)的位置關(guān)系為()A.相離B.相切C.相交D.以上都有可能(2)過點P(2,4)作圓(x-1)2+(y-1)2=1的切線,則切線方程為()A.3x+4y-4=0B.4x-3y+4=0C.x=2或4x-3y+4=0D.y=4或3x+4y-4=0(3)過點(3,1)作圓(x-2)2+(y-2)2=4的弦,則最短弦所在的直線方程為.解析:(1)直線2tx-y-2-2t=0恒過點(1,-2),因為12+(-2)2-21+4(-2)=-50,所以點(1,-2)在圓x2+y2-2x+4y=0內(nèi),則直線2tx-y-2-2t=0與

18、圓x2+y2-2x+4y=0相交.故選C.(2)由題意可知,點P(2,4)在圓外.當(dāng)切線的斜率不存在時,直線x=2與圓相切;當(dāng)切線的斜率存在時,設(shè)切線方程為y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,則|k-1+4-2k|k2+1=1,解得k=43,即切線方程為4x-3y+4=0,故切線方程為x=2或4x-3y+4=0.故選C.(3)設(shè)P(3,1),圓心C(2,2),則|PC|=2,半徑r=2,由題意知最短弦過P(3,1)且與PC垂直,kPC=-1,所以所求直線方程為y-1=x-3,即x-y-2=0.答案:(1)C(2)C(3)x-y-2=0 圓與圓的位置關(guān)系 已知兩圓x2+y2-2x-6

19、y-1=0,x2+y2-10 x-12y+m=0.(1)m取何值時兩圓外切?(2)m取何值時兩圓內(nèi)切?解:因為兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,所以兩圓的圓心分別為(1,3),(5,6),半徑分別為11,61-m.(1)當(dāng)兩圓外切時,由(5-1)2+(6-3)2=11+61-m,得m=25+1011.(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時,因為定圓半徑11小于兩圓圓心之間的距離5,所以61-m-11=5,解得m=25-1011.解決圓與圓位置關(guān)系問題的兩大方法(1)處理兩圓位置關(guān)系多用圓心距與半徑和或差的關(guān)系判斷,一般不采用代數(shù)法.(2)若兩圓相交,則兩圓

20、公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到.針對訓(xùn)練 已知兩圓C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10 x-12y+45=0.(1)求證:圓C1和圓C2相交;(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長.(1)證明:由題意可知,圓C1的圓心為C1(1,3),半徑r1=11,圓C2的圓心為C2(5,6),半徑r2=4,兩圓的圓心距d=|C1C2|=5,r1+r2=11+4,|r1-r2|=4-11,所以|r1-r2|dr1+r2,所以圓C1和圓C2相交.(2)解:圓C1和圓C2的方程左右兩邊分別相減,整理得4x+3y-23=0,所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x+

21、3y-23=0.圓心C2(5,6)到直線4x+3y-23=0的距離d=|20+18-23|16+9=3,故公共弦長為216-9=27. 由直線y=x+1上的一點向圓(x-3)2+y2=1引切線,則切線長的最小值為()A.1B.2C.7D.3解析:切線長的最小值是當(dāng)直線y=x+1上的點與圓心距離最小時取得,圓心(3,0)到直線的距離為d=|3-0+1|2=22,故切線長的最小值為d2-r2=7.故選C. 直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則ABP的面積的取值范圍是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,32解析:圓心(2,0)到直線的距離d

22、=|2+0+2|2=22,所以點P到直線的距離d12,32.根據(jù)直線的方程可知A,B兩點的坐標(biāo)分別為(-2,0),(0,-2),所以|AB|=22,所以ABP的面積S=12|AB|d1=2d1.因為d12,32,所以S2,6,即ABP的面積的取值范圍是2,6.故選A. 過點(2,0)引直線l與曲線y=1-x2相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,當(dāng)AOB的面積取最大值時,直線l的斜率等于()A.33B.-33C.33 D.-3解析:因為SAOB=12|OA|OB|sinAOB=12sinAOB12.當(dāng)AOB=2時,AOB的面積最大.此時O到AB的距離d=22.設(shè)直線AB的方程為y=k(x-2)(k0

23、),即kx-y-2k=0.由d=|-2k|k2+1=22,得k=-33(也可k=-tanOPH=-33).故選B. 已知RtABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角頂點C的軌跡方程;(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.解:(1)法一設(shè)C(x,y).因為A,B,C三點不共線,所以y0.因為ACBC,且BC,AC斜率均存在,所以kACkBC=-1,又kAC=yx+1,kBC=yx-3,所以yx+1yx-3=-1,化簡得x2+y2-2x-3=0.因此,直角頂點C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(y0).法二設(shè)AB的中點為D,由中點坐標(biāo)公式得D(1,0),由直角三角形的性

24、質(zhì)知|CD|=12|AB|=2.由圓的定義知,動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心,2為半徑的圓(由于A,B,C三點不共線,所以應(yīng)除去與x軸的交點).所以直角頂點C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y0).(2)設(shè)M(x,y),C(x0,y0).因為B(3,0),M是線段BC的中點,由中點坐標(biāo)公式得x=x0+32,y=y0+02,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,點C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(y0),將x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此動點M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(y0).知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用

25、練應(yīng)用創(chuàng)新練圓的方程1,4直線與圓的位置關(guān)系2,3,6,7,8,912,14,15圓與圓的位置關(guān)系5綜合問題1011,13,16,17181.方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的圖形是(D)A.以(1,-2)為圓心,11為半徑的圓B.以(1,2)為圓心,11為半徑的圓C.以(-1,-2)為圓心,11為半徑的圓D.以(-1,2)為圓心,11為半徑的圓解析:由x2+y2+2x-4y-6=0得(x+1)2+(y-2)2=11,故圓心為(-1,2),半徑為11.故選D.2.直線y=kx+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是(B)A.相切B.相交或相切C.相交D.不能確定解析:因為直線y=kx+1過定點

26、(0,1),而(0,1)在圓x2+y2=1上.故選B.3.已知O的圓心是坐標(biāo)原點O,且被直線x-3y+3=0截得的弦長為3,則O的方程為(C)A.x2+y2=1B.x2+y2=2C.x2+y2=3D.x2+y2=4解析:由題意,圓心到直線的距離d=|3|1+3=32,由幾何法可知,l=2r2-d2=3,代入數(shù)據(jù)可得r2-34=94,所以r2=3,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=3.故選C.4.圓(x+2)2+y2=5關(guān)于原點(0,0)對稱的圓的方程為(B)A.x2+(y-2)2=5B.(x-2)2+y2=5C.x2+(y+2)2=5D.(x-1)2+y2=5解析:因為所求圓的圓心與圓(x+2)2

27、+y2=5的圓心(-2,0)關(guān)于原點(0,0)對稱,所以所求圓的圓心為(2,0),半徑為5,故所求圓的方程為(x-2)2+y2=5.故選B.5.若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,則m等于(C)A.21B.19C.9D.-11解析:圓C1的圓心為C1(0,0),半徑r1=1.因為圓C2的方程可化為(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圓C2的圓心為C2(3,4),半徑r2=25-m(m0),由|AB|=23可得r2=(3)2+12=4,則a=r=2,所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=4.顯然,直線y=kx-k恒過圓內(nèi)一定點E(1,0),易得當(dāng)直線

28、y=kx-k與CE垂直時被圓C截得的弦長最短.因為CE的斜率為1-02-1=1,所以直線y=kx-k的斜率為-1.答案:(x-2)2+(y-1)2=4-111.已知直線l:kx+y+4=0(kR)是圓C:x2+y2-6x+2y+9=0的對稱軸,過點P(1,k)作圓C的兩條切線,切點分別為A,B,則三角形PAB的面積等于(D)A.3B.32C.34D.334解析:因為直線kx+y+4=0是圓C:x2+y2-6x+2y+9=0的對稱軸,所以直線kx+y+4=0過圓心C(3,-1),即3k-1+4=0,k=-1,所以點P(1,-1),|PC|=2,因為圓C的半徑r=1,所以切線長|PA|=|PB|=|PC|2-r2=3,且在直角三角形中sinAPC=sinBPC=r|PC|=12,所以APC=BPC=30,APB=60,所以三角形PAB的面積S=12|PA|PB|sinAPB=334.故選D.12.圓x2+y2+2x-8=0截直線y=kx+1(kR)所得的最短弦長為(A)A.27B.22C.43D.2解析:直線y=kx+1過定點(0,1),圓x2+y2+2x-8=0可化為(x+1)2+y2=32,故圓心為(-1,0),半徑為r=3.因為(0+1)2+12=21=|CM|,故不符合題意;當(dāng)ACB=23時,圓心到直線的距離為22-