八大C級考點(diǎn)強(qiáng)化七：直線與圓

1、2011屆高三強(qiáng)化班數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)教學(xué)案：八大C級考點(diǎn)強(qiáng)化七：直線與圓一、基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1、當(dāng)為任意時，若直線恒過定點(diǎn)，則以為圓心并且與相切的圓的方程是 .2、在中，已知角所對的邊依次為，且，則兩直線的位置關(guān)系是 .重合3、若圓上的點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)仍在圓上，且圓與直線相交的弦長為，則圓的方程為 .4、直線與圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的值為 .5、直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是 .6、已知圓，圓與軸交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)的圓的切線為是圓上異于的一點(diǎn)，垂直于軸，垂足為是的中點(diǎn)，延長分別交于.（1）若點(diǎn)，求以為直徑的圓的方程，并判斷是否在圓上；（2）當(dāng)在圓上運(yùn)動時，證明：直線恒與圓相切.解：（1）由直

2、線的方程為. 令，得.由直線的方程為，令，得.為線段的中點(diǎn)，以為直徑的圓恰以為圓心，半徑等于. 所以，所求圓的方程為，且在圓上.(2)證明：設(shè)，則，直線的方程為，在此方程中令，得.直線的斜率，若，則此時與軸垂直，即；若，則此時直線的斜率為，直線與圓相切.二、例題精選精講例1、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，是動點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于.（1）求證：動點(diǎn)一定在某條定曲線上；（2）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M，N，問：是否存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以點(diǎn)得坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題意得

3、 ，化簡得.故動點(diǎn)在定曲線橢圓上.（2）解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，得坐標(biāo)分別為,.則直線的方程為，直線的方程為令得，.于是得面積又直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離.于是的面積當(dāng)時，得又，所以=，解得.因?yàn)?，所?故存在點(diǎn)使得與的面積相等，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.解法二：若存在點(diǎn)使得與的面積相等，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.因?yàn)?所以,所以，即，解得.因?yàn)?，所?故存在點(diǎn)使得與的面積相等，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.例2、已知圓C過點(diǎn)P(1，1)，且與圓M：(r0)關(guān)于直線xy20對稱（1）求圓C的方程；（2）設(shè)Q為圓C上的一個動點(diǎn)，求的最小值；（3）過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，

4、O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由解：（1）設(shè)圓心C(a，b)，則解得則圓C的方程為，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，得2，故圓C的方程為2（2）設(shè)Q(x，y)，則2，且(x1，y1)(x2，y2)xy4xy2，所以的最小值為4(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)（3）由題意，知直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：y1k(x1)，PB：y1k(x1)由得2k(1k)x20因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x1一定是該方程的解，故可得，同理所以1所以直線OP和AB一定平行例3、已知平面直角坐標(biāo)系中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，圓是的外接圓，過點(diǎn)（2，6）的直線被圓所截得的弦長為.（1）求圓的方程及直線的方程；

5、（2）設(shè)圓的方程，過圓上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，求的最大值. 解：(1)因?yàn)?，所以為以為斜邊的直角三角形，所以圓：斜率不存在時，：被圓截得弦長為，所以：適合 斜率存在時，設(shè)： 即因?yàn)楸粓A截得弦長為，所以圓心到直線距離為2,所以 綜上，：或（2）解：設(shè)，則在中，由圓的幾何性質(zhì)得，所以，由此可得 ，則的最大值為.三、目標(biāo)達(dá)成反饋1、設(shè)，則直線的傾斜角是 .2、 已知圓截x軸所得弦長為16，則的值是 .3、如果圓上總存在兩個點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .4、“”是“直線與圓相切”的 條件. 充分不必要5 、已知圓的方程為，設(shè)該圓過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為 6、已知直線過點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交與兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若與直線交與點(diǎn)，求當(dāng)取最大值時的方程為.7、設(shè)圓，動圓，（1）求證：圓、圓相交于兩個定點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的一條切線，切點(diǎn)為，過點(diǎn)P作圓的一條切線，切點(diǎn)為，問：是否存在點(diǎn)P，使無窮多個圓，滿足？如果存在，求出所有這樣的點(diǎn)P；如果不存在，說明理由.解（1）將方程化為，令得或，所以圓過定點(diǎn)和，將代入，左邊=右邊，故點(diǎn)在圓上，同理可得